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Ejercicio 2
xy y=y3
Solucin:
dy
dx=y (y2+1)
xy y=y3x Separando las variables
dy
y (y2+1)=
dx
x
(y3+1y2 ) dy
y (y2+1) =
dx
x
dy
y
ydy
y3+1
= ln (x)
Hacemos:
u=y2+1 du=2ydy ln (c )+ ln (y )=1
2ln (y2+1)+ln (x )
y2+1
x
y2+1
ln (Cy )=ln
Ejercicio 6
ex+y
Sen(x ) dx+(2y+1 ) ey2
dy=0
Solucin:
ex+y
Sen(x ) dx+(2y+1 ) ey2
dy=0 ex ey Sen (x )dx+(2y+1)ey2
dy=0
Separando las variables
ex
Sen (x )dx+(2y+1 ) ey2y
dy=C
ex
Sen (x ) dx+ey2y (2y+1 ) dy=0
ex
2( Sen(x )cos (x ))ey
2y=C
ex (Sen (x )cos (x ))2ey
2y=C
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Ejercicio 14
exy
dx+eyx dy=0
Solucin
exy dx+eyx dy=0
Separando variables
ex
ey
dx+e
y
ex
dy=0
e2x
dx+e2y dy=0 Ine!rando " e2x
dx+e2y dy=0
e
2x
2 dx+
e2y
y dy=C e2x+e2y=C
Ejercicio 16
y#= 10x+y
Solucin
y#= 10x+y
Separando las variables
dy
dx=10x 10y 10x dx=10y dy
" 10x
d$=" 10y
dy 10
x
ln (10 )=
10y
ln (10 )+c 10x+10y=c
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Ejercicio 2%
dy
dx=(y1)(x2)(y+3)(x1)(y2)(x+3)
Solucin:
Separando variables
(y2 )dy(y1)(y+3)
= (x2)dx
(x1)(x+3)
&racciones parciales en cada 'rmino:
(y2 )(y1)(y+3)
= A
y1+
B
y+3y2=A(y+3 )+B (y1)
y=() * ( %=+,(4- * += %.4 /=1 * (1=4 * =(1.4
Ine!rando
5
4
dy
y+3
1
4
dy
y+1=5
4
dx
x+3
1
4
dx
x1
5
4ln (y+3 )
1
4ln (y1)=
5
4ln (x+3 )
1
4ln (x1 )+ ln (c )
* 5 ln (y+3) ln (y1 )=5 ln (x+3 ) ln (x1 )+ ln ( c )
ln((y+3 )3
y1)=ln(C(x+3 )3
x1 ) (x1 ) (y+3 )2=C(y1 ) (x+3 )5
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Ejercicio 2
(xy2
x) dx+(yx2
y ) dy=0
Solucin
Separando variables
x (1y2 ) dx+y (1x2 ) dy=0
Ine!rando
xdx1x2
+ ydy1y2
=0 12ln (1x2 )1
2ln (1y2 )=ln(c )
ln (1x2 )3
2 (1y2 )1
2=ln ( c ) (1x2 )3
2 (1y2 )3
2=C (1x2 ) (1y2 )=C
Ejercicio )%
(xy+2x+y+2 ) dx+(x2+2x ) dy=0
Solucin
[x (y+2)+y ] dx+ (x2+2x ) dy=0 (y+2 ) (x+1 ) dx+ (x2+2x ) dy=0
Separando variables
x+1
x2+2x
dx+ dy
y+2=0
Ine!rando
1
22 (x+1 ) dx
x2+2x
+ dy
y+2=0
En la primera ine!ral cambio de variables
u=x2+2x du=2 (x+1 ) dx du
u+2 ln (y+2 )=0
ln (u )+2 ln (y+2 )=ln (c ) ln [u (y+2 )2
]=ln (c )
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d (x2+2x )(y+2 )2=C
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Ejercicio )3
xdx1x4 dy=x21x4 dy
xdx=(x2+1)1x4 dy
Solucin
( Separando variables
xdx
(1+x2)1x4=dy
xdx
(1+x2)1x4=dy
( Cambio de variable:
u=x2 du=2xdx ;1
2
du
(1+u)1u2
( Susiucin ri!onom'rica:
$=Sen,- * d$=Cos,-d 5 1( u2
= cos2 ( )
y=1
2
cos ()d
(1Sen ( ))cos2()
=1
2
d
1Sen ( )=
1
2
(1Sen ( )) d1Sen2 ( )
y=1
2
(1Sen ( )) dcos
2 ( ) =
1
2tg ( )
1
2cos ( )+C
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Ejercicio 42
,4$ xy2dx+(y+y x 2 ) dy=0
Solucin
* $,4 xy2dx+y (1+x2 ) dy=0
Separando variables:xdx
x2+1
+ ydy
y2+1
=0 ydy
y2+1
= xdx
x2+1
En la primera ine!ral
= y2+4 dt=2ydy
En la se!unda ine!ral
u= 4+x2
du=2xdx
2dt
t+2
du
u=0 ln ( t)+ ln (u )=ln (C)
y
( 2+4)(x2+1)=C ln (tu)=ln (C)
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Ejercicio 44
dy
dx=
3x26x2y2
yx2y
Solucin
Separando variables:
12y 2
3x
2 dy
dx=
ydy
12y2=
3y2
dx
1y3
ydy
12y3=
3x2
dx
1x3
Hacemos
u=12y2 du=4ydy t=1x3 dt=3x2 dx
du/4
u =du/3
u 1
4ln (u
3
4
)=ln (Ct1
3
) u3
4=ct
1
3
Se deermina C si $=) 5 y=1
(12)3=C(127)4 C=1 /263
(1x3)4=264(12y2)3
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7are 2
x (x6+1 ) dx+y2 (x4+1) dx=0 ; y (0 )=1
Solucin
Separando variables:
xdx
x4+1
+y
2dy
y4+1
=0 xdx
x4+1
+ y
2dy
y6+1
=0
En la primera ine!ral:
u=x2 du=2xdx
En la se!unda ine!ral:
t=y3 dt=3y3 dy
du /2
u2+1
+dt/3
t2+1
=01
2Arctg (u )+1
3Arctg ( t)=C
3Arctg (x2 )+2Arctg (y3 )=C
8a consane de ine!racin: y,0-=1
3Arctg (0 )+2Arctg (1 )=C C=
2
8ue!o:
3
Arctg (x2
)+2
Arctg (y3
)=
2
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Ejercicio 9
x3
dy+xydx=x2 dy+2ydx=0 ; y (2 )=e
Solucin:
(x3x2 ) dy+ (xy2y )dx=0
(x3x2 ) dy+y (x2 ) dx=0
Separamos las variables e ine!ramos:
dy
y+
(x2 )dx
x3x2
=0 ln (y )+(x2 ) dx
x2 (x1 )
=0
7or racciones parciales
x2
x2 (x1 )
=A
x+
B
x2
C
x1x2=Ax (x1 )+B (x1 )+C x2
7unos cr;icos:
$=0 * (2=,0-+,(1-C,0-- *+=2
$=1 * (1=,0-+,0-C,1- *C=(1
$=(1 * ()=,2-+,(2-C,1- *()=,2-(4(1 * =1
8ue!o:
ln (y )+dx
x+2
dx
x2
dx
x1=0
ln (y )+ln (x )2
xln (x1 )=C
Hallamos la consane: y,2-=e
8n,e-8n,2-(1(8n,1-=C * 8n,2-
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Ine!rando: dy
y+6yTg (2x ) dx=0L n (y )3ln [cos (2x )]=ln(C)
ln y
cos3(2x)
=ln (C) Y=cCos3(2x)
Hallamos C usando $=0 5 y=(2
2=cCos3 (0 ) C=2y=2cos3(2x )
Ejercicio 1
(1+ex )y y=ey ; y (0 )=0
Solucin:
(1+ex )ydydx
=ey Separando variables y ey dy= dx
1+ex
Ine!rando:
yey=
dx
1+exIntegramos por partes la primera integral
u=y * du=dy 5 v=" ey
dy=ey
yey
ey
=xln (1+ey
)+C
Se deermina la consane: $=0 5 y=0
0e0= ln (1+e0 )+C C= ln (2 )1
y eyey=x ln (1+ex )+ln (2 )1 ln( 1+ex
2 )x+1=(1+y )ey
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7racica )
Ejercicio %
y
=(x+y )2
Solucin:
dy
dx=(x+y )2 acemos :u=x+y
dy
dx=
du
dx1
eempla>amos:
du
dx 1
=u2
du
dx =u2
+1
Separamos variables e ine!rando:
dx= du
u2+1
x+C=Arctg (u )x+y=Tg (x+C)
Ejercicio 11
y
=Sen (xy )
Solucin
Hacemos: u=$(y * u=1y
du
dx=1Sen (u )
Separamos variables e ine!rando:
dx= du1Sen(u) dx+[1+Sen (u )
]du
1Sen2 (u ) =0x+ ducos2 (u )+Sen
(u
)du
cos2 (u ) =0
x+Tg (u )+Sec (u )=Cx+Tg (xy )+Sec (xy )=C
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Ejercicio 1)
(x2y3+y+x2) dx+(x3 y2+x ) dy=0
Solucin
Hacemos: u =$y * du=$dyyd$
Susiuyendo:
(u2 y+y+x2 ) dy+(x u2+x )(duydx )x
=0
(u2 y+y+x2) dx+ (u2+1 ) du (u2+1)ydx=0
(x2 ) dx+ (u2+1 ) du=0 (x2 )dx+(u2+1) du=0
x2
22x+
u3
3+ u=C3x212x+2x3y3+6xy=C
Ejercicio 20
[xy2x ln2 (y )+yLn (y )] dx+ [2x2 ln (y )+x ] dx=0 Sug;!=xLn (y )
Solucin:
Hacemos: >=$8n,y- * d> = 8n,y-d$$dy.y
$dy = yd> ( y8n,y-d$
(xy2y!2+y! /x)dx+(2!+1) [yd!yLn (y ) dx ]=0
(x2!2+! /x)dx+(2!+1) [ d!ln (y ) dx ]=0
(x2!2+! /x ) dx+ (2!+1 ) d!(2x!+1)(! /x )=0
(x2!2+! /x ) dx+ (2!+1 ) d!(2!2+! /x ) dx=0
x
2
2+ (2
!+1
)
2
4 =C2x2
+[2xLn (y )+1 ]2
+C
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Ejercicio 26:
(2+4x2y )ydx+x3y dy=0
Solucin:
(2+4x2y )ydx+x3y dy=0
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7racica 4
Ejercicio %:
x y=y+2x ey/x
Solucin:
8a ecuacin es ?omo!'nea de 1@ !radoA Hacemos: y = u$ * dy = ud$ $du
eempla>ando:
x (udx+xdu)=(ux+2x exx /x) d$
SimpliBcamos $: udx+xdu=udx+2ex
dx xdu=2ex dx
ex
dx=2dx
x ex=2ln (x )+ ln (#)pero u=
y
x e
yx =ln ( # x2 )
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Ejercicio 6:
dy= y
xCsc2( yx) dx
Solucin:
8a ecuacin es ?omo!enea de !rado 0A
Hacemos:
y = u$ * dy= ud$ $du
udx+xdu=[uCsc2 (u )] dx xdu=Csc
2 (u ) dx
Separamos variables:
Sen2 (u ) du+ dx
x=0 Sen2 (u ) du+
dx
x=0
Sen2 (u )du+dx
x=0
1cos (2u )2
du+ln (x)=0
u Sen(u )2 +2 ln (x )=#2uSen(2u )+4 ln (x )=#
7ero u=y
x;
2y
xSen( 2yx)+4 ln (x )=#2yxSen( 2yx)+4xLn (x )=#
x
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