Jose Roman Melendez Trujillo Comunicaciones I 25/Mayo/2015

1.24) Encontrar el periodo de las siguientes funciones:

a) cos nt⟹ cosn ( t+T )=cos (nt+nT )⟹nT=2π⟹T=2πn

b) cos2 πt⟹ cos2π ( t+T )=cos (2πt+2πT )⟹2πT=2 π⟹T=1

c) sin( 2 πtk )⟹ sin( 2π

k( t+T ))=sin(2πt

k+ 2πTk )⟹ 2πT

k=2π⟹T=k

d) sin t+sin t3+sin t

5⟹ sin (t+T )+sin( t3+ T

3 )+sin( t5 + T5 )⟹

T=2π , T3=2 π⟹T=6 π , T

5=2π⟹T=10π

Minimo común múltiplo: T=30 π

e) |sin wo t|⟹|sinwo ( t+T )|=|sin (wot+woT )|⟹wo=2π⟹wo=2π⟹T=2πwo

1.29) Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por:

f ( t )={1−π<t<00 0<t<π

Cn=1T ∫

−T2

−T2

f (t)e− jn wo t dt= 1T ∫

−T2

0

e− jnwo t dt= 1T (−e− jnwo tjnw o )| 0

−T2

= 12 jnπ

(e jn π−1 )= 12 jn π

(cosnπ+ j sin nπ−1 )= 12 jn π

(cosn π−1 )⟹ si nes impar⟹Cn=jn π

f (t )= ∑n=−∞

∞

Cnejnwo t= ∑

n=−∞

∞ ej (nwo+ π2 )nπ

= ∑n=−∞

∞ 1nπ (−sin nwot+ jcosn wo t )⟹ paranimpar⟹

f ( t )= ∑n=−1

∞ −2nπ

sin nwo t

1.33) Encontrar la serie de Fourier para la función:

f (t )=|A sinwo t|

Jose Roman Melendez Trujillo Comunicaciones I 25/Mayo/2015

bn=4T ∫0

T2

f ( t ) sin nw0t dt=4T∫0

T2

|A sin nwot|sin nwot dt=4 AT ∫

0

T2

(sin nw ot )2dt=4 A

T (12∫0

T2

dt−∫0

T2

cos2nwo t dt)=4 AT ( t2−

sin2nwo t2n wo )|T2

0=A−2 A sin 2nπ

nπ=A (1− sin 2nπ

n π )