Ingeniera trmica
Grado ingeniera mecnica.
Tema1.1.Introduccinalaconduccin
Conduccin Eslatransferenciadeenergadelaspartculamsenergticasde
unasustanciahacialasadyacentesmenosenergticas,comoresultadodelasinteraccionesdeesaspartculas.
Puedetenerlugarenslidos,lquidosygases: Enlquidosygaseslainteraccinseproduceatravsdecolisionesydeladifusin
delasmolculasdurantesumovimientoaleatorio.
Enslidossedebealacombinacindelasvibracionesdelasmolculasenunaretculayaltransportedeenergaporpartedeloselectroneslibres.
Latransferenciadecalorporconduccindepende de: geometra
propiedadesdelmaterial
diferenciadetemperaturas
Ingenieratrmica.GradoIM.Tema1.1:Introduccinalaconduccin. 2
Ingeniera trmica.GradoIM.Tema1.1:Introduccinalaconduccin. 3
Ley de Fourier Es una ley emprica o fenomenolgica, obtenida a travs de la experimentacin.
El flujo de calor q depende en general de: El tipo de material interpuesto (k, conductividad, medida en W/mK) La diferencia de temperaturas reinante Distancia entre focos de temperatura.
En formulacin diferencial, para una nica (o dominante) direccin x: En general el flujo de calor tiene tres direcciones, luego la ley de Fourier se transforma en:
q=kT
Vectorflujodecalorporconduccinqueatraviesaunasuperficiefinita,qs
Cantidadtotaldecalor(W)atravsdelasuperficie:
Propiedadesinteresantes: qs=0cuandocos =0 alassuperficiesisotermas qsesmximocuandocos = 1 ladireccindelgradiente
xTkqx
2/ mWxTk
Aqqx
Tq"
n
S
dSx
y
T(x, y)
T x q k T xx
q" = kT
cos
s
ssss Tkn
TkTkqq nn
SSS s dskdSdSqq nTnq
z
Ty
Tx
T
k
q
q
z
y
x
Conductividad trmica (1) Propiedad delosmateriales:capacidadparatransferircalorpordifusin.
Losmaterialespuedenserclasificadosenconductores yenaislantes delcalor,enfuncindesuconductividadtrmica.
Laconductividadtrmicanoesconstante,dependebsicamentedelatemperatura.Peroengeneral,unvalorconstantepuedeasumirseparaampliosintervalosdetemperatura paralamayoradelosproblemasprcticos.
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Valores tpicos de conductividad trmica (W/mK) a presin y temperatura
ambiente
Conductividad trmica (2) Influenciadelatemperaturaenlaconductividadtrmicade
diversosmateriales(Bejan,1992.HeatTransfer.JohnWiley&Sons,p.12)
Esunapropiedaddeestadointensiva.EnsustanciashomogneassolodependedeT(yligeramentedep),luegoporlogeneralk=k(T(r,t)).
Engeneral,paralosgases: Amayortemperaturamayorconductividad
Amayormasamolecularmenorconductividad
Laconductividadesindependientedelapresinenunrangoamplio
Enelcasodelquidos: Amayortemperaturamenorconductividad
Amayormasamolecularmenorconductividad
Paraslidos: Amayortemperaturamenorconductividad
Amayorordenacinmolecularmayorconductividad
Ciertarelacinconlaconductividadelctrica.
Otraspropiedadesimportantesson yc(ceslacapacidaddealmacenamientodeenergatrmica:
Nuevoparmetromuyutilizado:=k/(c).Esladifusividadtrmica(importanciarelativaentreconduccinyalmacenamientotrmico):rapidezalaquesepropagaelcalor
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Ecuacin de difusin de calor El objeto de la ecuacin de conduccin del calor es:
Conocer la distribucin de temperaturas del material Calcular el calor intercambiado por un medio material y su entorno (Ley de Fourier)
La validez de la EDC es para un slido homogneo e istropo en reposo respecto de un sistema de coordenadas y en ausencia de radiacin en el volumen y otros efectos que no sean la difusin = (T) ~ constante, y c = c(T) ~ constante
El significado de cada uno de estos trminos es el siguiente: Flujo neto de energa (calor) que entra en el volumen diferencial. Generacin de calor (energa) dentro del volumen diferencial (W/m3) Acumulacin transitoria (estacionario = 0). En el caso estacionario, no hay cambios en el
tiempo de la transferencia y temperaturas a lo largo del tiempo.
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tTcqTk
LdF y EDC segn coordenadas LeydeFourieryEDCparalos3 sistemasdecoordenadasmsusuales:
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tTcqTk
tTcq
zTk
zyTk
yxTk
x
tTcq
zTk
zTk
rrTkr
rr
2
11
tTcqTksen
senrTk
senrrTkr
rr
22
22
111
Coordenadas
Cartesianas
Cilndricas
Esfricas
zyx
zzsenry
rx
cos
cos
cos
zsensenrysenrx
EDC: simplificaciones Las distintas formas de la EDC segn las simplificaciones impuestas al
problema sern stas:
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ESTE ES EL CASO QUE SE VI EN TTyFTC (caso 1-D)
tTcqTk
tT1
kqT2
0qTk
tTcTk
0T2
0kqT2
tT1T2
0Tk
Restricciones a la EDC ninguna k cte. estacionario (T/ t=0)
todas
material pasivo
estacionario
ninguna
k cte.
(Ec. difusin)
(Ec. Poisson)
(Ec. Laplace)
(Ec. Fourier-Biot)
EN IT (2-D, 3-D, MN)
EN IT (PA)
EN IT (1-D)
EDC: condiciones i. y de c. Para resolver la EDC (de 2 orden), se necesita una condicin inicial (tiempo) y dos
condiciones de contorno (espacio).
Condicin inicial: Representa la situacin de donde se parte. La distribucin inicial de temperaturas en t=0.
Condicin de primer orden T(r,t)= T(r,0)= Ti (r).
Suele ser dato. Caso sencillo: Ti (r)= constante.
Condiciones de contorno (cc, 2 necesarias en cada direccin): representa la situacin enque la energa cruza la frontera del dominio de estudio. Son condiciones de segundoorden, ya que la EDC en su forma ms sencilla, se resuelve as: d2T/dx2 = 0
dT/dx = b = cte.
T(x) = a + bx
Para estimar a y b son necesarias esas 2 condiciones (en la direccin x en este caso). Hayen general 3 tipos de cc espaciales que se aplican: 1 especie (Dirichlet): imponer la temperatura, [T]s=Ts(r). Caso particular: Ts(r) = cte. 2 especie (Newmann): especificar la derivada T/n (flujo de calor por conduccin). Casos
particulares: Flujo de calor constante qs= cte, o bien contorno adiabtico qs=T/n= 0 3 especie: combinacin lineal, funcin y derivada. Ejemplo flujo por conveccin: qs=h(TsTf),
e incluso radiacin. Como casos particulares, tenemos:
h= Ts=Tf (1especie) h=0 T/n=0(2especie)
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Problemas pasivos 1-D Problemas de conduccin estacionaria: c(T/t)= 0.
Distribucin de temperaturas invariable en el tiempo Por tanto la condicin inicial no es relevante aqu.
Conduccin predominante en una direccin (1D). T depende slo de una coordenada, T(x), T(r) Las otras 2 dimensiones son muy grandes en comparacin con la del estudio o hay
simetra de revolucin.
Coinciden las condiciones de contorno (tenemos las mismas superficiesisotermas, y el flujo de calor va en el mismo sentido).
Problemas pasivos Generacin de calor nula q=0
Geometras: Pared plana
Cilindro (hueco) infinito
Esfera (hueca)
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T/n=0
T1
T2
q=0k= cte
T/n=0
T1
T2
q=0k= cte
T1
T2xq
A
L
r
r1
T1
T2
LT1
T2rq
x
rq
r
r2r1r2
r1r2
EDC en Sas pasivos 1-D Distribucin de temperaturas en sistemas pasivos unidimensionales, resuelta la EDC
con dos condiciones de contorno espaciales de temperatura fijada T1 y T2:
11
022
dx
Td
112
211 r
rlnrrln
TTT)r(T0
drdTr
drd
r1
0drdTr
drd
r1 2
2
2
1 Cr
C)x(T
21 CrlnC)x(T
22
11
T)r(TT)r(T
r1
r1
r1r1TTT)r(T
121
211
xL
TTT)x(T 211
21 CxC)x(T 2
1
T)L(TT)0(T
Pared
plana
Cilindro
Esfera
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EDC en Sas pasivos 1-D Flujo de calor en sistemas pasivos unidimensionales, segn el sistema de coordenadas
utilizado:
12
Paredplana
Cilindro
Esfera
dxdTkqx
drdTkqr
drdTkqr
.21 cteLTTkqx
rrrTTkqr
1)/ln( 12
21
221
21 1)/1()/1( rrr
TTkqr
LTTkAqx 21
)/ln(2
12
21
rrTTLkqr
)/1()/1(4
21
21
rrTTkqr
)/ln(2
12
21
rrTTkqr
Ingenieratrmica.GradoIM.Tema1.1:Introduccinalaconduccin.
xq
Concepto de resistencia trmica AnalogadelaTCconlaLeydeOhm(I=V/R I=q,V=T) Sedefinelaresistenciatrmicadeconduccin,Rt (K/W): Dependedelageometradelslidoenestudio:
Pared plana
Cilindro
Esfera
Paralaparedplanaqxesconstanteluegoexisteunaresistenciatrmicaporunidaddesuperficie(m2K/W).
Paraelcilindro pasalomismoporunidaddelongitud(q=cte)(mK/W)
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qTTRt 21
kALRt L
TTkAq 21
kLrrRt 2)/ln( 12
21
1141
rrkRt
)/ln(2
12
21
rrTTkLq
)/1()/1(4
21
21
rrTTkq
kLAR
qTTR tt
21
krrLR
qTTR tt 2
)/ln( 1221
Concepto de res. trmica (2) AplicandoelrazonamientoanterioralaLeydeenfriamientodeNewton,tenemosla
resistenciatrmicadeconveccin
Yparaelcasoderadiacin,sepuededefinirunaresistenciaalaradiacindelaformasiguiente,definiendouncoeficientedetransferenciaporradiacinhr:
Portanto,entodoslosmecanismosdetransferenciadecalornosquedaunaexpresindeltipo:
LonormalesteneragrupacionesenseriedeRt:
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Ah
RR
TTTTAhq convconv
ss
1 hARR convconv1"
WKAh
Rr
rad /1 rsradrs TTRTTAq 144
rs
rsr TT
TTh
44
BA TTRq 1
itotal RR 2,1,2,1,1 TTUATTRq total
Coeficiente global U(1) Si tenemos una agrupacin en serie (capas) de resistencias trmicas (1D):
Se caracteriza el sistema trmico en su conjunto, calculando la resistenciatrmica global (Rt,total, K/W)
Al inverso de la resistencia trmica global por unidad de superficie se le llamacoeficiente global de transferencia de calor U (W/m2K). Por ejemplo, para unsistema como el del dibujo posterior:
En el cilindro y la esfera, el rea crece con r. Se debe especificar UA(W/K), o bien U(W/Km2), pero incluyendo sobre que rea se ha calculado.
Para pared plana se puede hallar directamente U y para el cilindro UP que esconstante para cualquier r.
Un sistema como el del ejemplo (pared plana, cilindro compuestos) tiene muchasaplicaciones prcticas en el clculo de aislamientos.
El coeficiente global de transferencia de calor es el KG de los edificios (usado en lanorma antigua de certificacin energtica en la edificacin).
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i
ittbtatttotalt RRRRRR ,2,,,1,, 2,1,
,
2,1,ff
totalt
ff TTUAR
TTq
Coeficiente global U(2)
Paredplana(R,yR)
Cilindro(RyR)
Esfera(R)
Ingenieratrmica.GradoIM.Tema1.1:Introduccinalaconduccin. 16
2,1,,
2,1,ff
totalt
ff TTUR
TTAqq
WKm
hkL
kL
hUR
b
b
a
atotalt
2
21,
111
2,1,,
2,1,ff
totalt
ff TTUAR
TTq
WK
AhAkL
AkL
AhUAR
b
b
a
atotalt
21,
111
WmK
rhkrr
krr
rhUPR
batotalt
32
2312
11, 2
12
)/ln(2
)/ln(211
LrhLkrr
Lkrr
LrhUAR
batotalt
32
2312
11, 2
12
)/ln(2
)/ln(211
2323221
211
, 4111
4111
41
411
rhrrkrrkrhUAR
batotalt
conveccinexterna
conveccininterna
conduccinmaterial a
conduccinmaterial b
Rt,1 Rt,a Rt,b Rt,2
1,fT 2,fT
Res. Trmicas: otras redes CuandotenemosvariosmecanismosdeTdC simultneos podemos
combinarlosenredesderesistencias(enparalelo,agrupacionesserieparalelo).
Ejemplo1:redparalelo
Ejemplo2:conveccin+radiacinenelcontorno
Ej.3:combinacinserieparaleloenaislamiento
Ingenieratrmica.GradoIM.Tema1.1:Introduccinalaconduccin. 17
)(1 21 TTRq
total
itotal RR
112,1,
111condcondtotal RRR
2
2
1
11L
AkL
AkRtotal
radconvpar RRR111
parcondtotal RRR )(1 0 TTRq total
)(1 2,1, TTRq total543
1111RRRRpar
oparitotal RRRRRRR 621
Rt dominantes Es muy interesante conocer si hay resistencias trmicas dominantes, de cara a
realizar clculos simplificados ms sencillos. Considerando un circuito en serie: Si una Rt,i es mucho ms pequea que el conjunto (Rt,i > 1 Rt,cond >> Rt,conv Diferencia de temperaturas mayor en el slido. Si Bi
Resistencia de contacto Hastaahorasehabaconsideradolamismatemperaturaenlaentrecara dedos
materialesdeunmaterialmulticapa,demaneraque:
Engeneralestaaproximacinpuedesertolerable,perorealmentenoexisteuncontactoperfecto nuncaentredosmateriales,porque: Losmaterialestienenrugosidad ElreadecontactoesdistintaalreatotalAc_real
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