Tema 1Preliminares de Cálculo
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
1. La Recta Real
2. Números Reales, Racionales e Irracionales
3. Orden y desigualdades
4. Conjuntos
5. Intervalos de la recta real
6. Intervalos acotados
7. Intervalos no acotados
8. Valor absoluto
9. Distancia entre dos puntos
10. El plano cartesiano
11. Distancia entre dos puntos del plano
12. La gráfica de una ecuación
13. Modelos matemáticos
14. Función real de una variable real
15. Gráfica de una función
16. Gráficas de funciones básicas
17. Clasificación de las funciones. Funciones elementales
18. Función compuesta
19. Funciones pares, impares y ceros de funciones
20. Función inversa
La Recta Real
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 1
-1 0 1 2 3 4-2-3-4
origen
números
enteros
números
naturales
Coordenada: nº real que corresponde a un punto de la recta real
Números Reales, Racionales e Irracionales
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 2
Recta Real
Números RacionalesPueden expresarse como cociente de dos enteros
Números IrracionalesNo pueden expresarse como decimales finitos ni periódicos-2,6 -2/3 5/4 2,5
-3 -2 -1 0 1 2 3
Decimales finitos
2
5
=0,4
Periódicos
1
3
=0,333...=0,3
0 1 2 3 4
2 e
2 1,414213562
3,141592654
e 2,718281828
Orden y desigualdades
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 3
a , b IR a es menor que b si b-a es positivo
Este orden se denota por la desigualdad
a bAnálogamente mayor que
menor o igual que
mayor o igual que
Recordar que cuando se multiplica por un número negativo se invierte la desigualdad
x 3 -4 x -12
Conjuntos
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 4
Un conjunto es una colección de elementos
Conjunto de los números Reales IR
Conjunto de los números reales positivos xIR : x 0
Conjunto de los números reales no negativos x IR : x 0
El conjunto de todos los x que satisfacen una cierta condición x : condición sobre x
Nota
ció
n
Unión de dos conjuntos:
A B es el conjunto de elementos de A, de B o de ambos
Intersección de dos conjuntos:
A B es el conjunto de elementos de A y de B
Intervalos de la recta real
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 5
(a, b) = x : a x b Intervalo abierto
extremos
[a, b] = x : a x b Intervalo cerrado
Intervalos acotados
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 6
Intervalo acotado abierto (a, b) x : a x b ( ) a b
x
Intervalo acotado cerrado [a, b] x : a x b [ ] a b
x
Intervalos acotados [ a, b) x : a x b [ ) a b
x
ni abiertos ni cerrados (a, b] x : a x b ( ] a b
x
Notación de intervalos
Notación de conjuntos
Gráfica
Intervalos no acotados
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 7
Intervalos no acotados (-, b) x : x b ) b
x
abiertos (a, ) x : x a ( a
x
Notación de intervalos
Notación de conjuntos
Gráfica
Intervalos no acotados (-, b] x : x b ] b
x
cerrados [a, ) x : x a [ a
x
Recta real (-,) x : xIR xa b
Valor absoluto
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 8
Si a es un número real, el valor absoluto de a es
| a | = a si a 0
-a si a 0
Ejemplo: a = -4
| a | = | -4 | = - (-4) = 4
Distancia entre dos puntos
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 9
La distancia entre dos puntos a y b de la recta real es
d = | a - b | = | b - a |
| a - b |a b
Distancia entre a y b
El punto medio de un intervalo con extremos a y b es el valor medio de a y b
Punto medio de (a,b)= a + b 2
El plano cartesiano
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 10
Sistema de coordenadas rectangular utilizado para representar pares ordenados (x,y) de
números reales
Cuadrante II
Cuadrante I
Cuadrante IVCuadrante III
x
y
(x,y)y
xorigen
Eje x
Eje y
Distancia entre dos puntos del plano
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 11
distancia d entre dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) del plano
221212 yyxxd
| x2 - x1 |x1 x2
| y2 - y1 |
y1
y2
d
(x1,y2) (x2,y2)
(x1,y1)
La gráfica de una ecuación
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 12
Ecuació
n
3x + y =7 Solu
ción
(2,1) porque se satisface cunado
sustituímos x por 2 e y por 1
Despejamos y en la ecuación inicial y = 7 - 3x
Elaboramos una tabla numérica sustituyendo varios valores de x
x 0 1 2 3 4
y 7 4 1 -2 -5
Pers
pecti
vas e
n e
l C
álc
ulo
Analítica
Numérica
Gráfica El conjunto de todos los puntos solución constituye la gráfica de la ecuación
2 4
2
4
6
(2,1)
(3,-2)
(1,4)
(0,7)3x + y
=7
Modelos matemáticos
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 13
Descripción de un problema (frecuentemente de la vida real)
utilizando una formulación matemática (por ejemplo con una
ecuación) con precisión y sencillez
Ejem
plo:
Entre 1960 y 1990 se registró la concentración de dióxido de carbono y (en partes por millón) en la atmósfera terrestre
Solución:
Haciendo t=75
y = 313,6 + 1,24 (75)= 406,6
r2=0,984
y = 316,2 + 0,70 (75)+ 0,70 (75)2=469,95
r2=0,997
Es mejor el modelo cuadrático puesto que
la correlación r2 es más próxima a 1
¿Qué modelo es mejor?
¿Podríamos predecir en el año 2035 la cantidad de CO2 en la atmósfera?
Modelo lineal Modelo cuadrático
y = 313,6 + 1,24 t y = 316,2 + 0,70 t+ 0,70 t2
Cálculos realizados con el Método de ajuste por Mínimos Cuadrados
360
355
350
345
340
335
330
325
320
315
310
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
------
5 10 15 20 25 30
360
355
350
345
340
335
330
325
320
315
310
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-------
X X X
Función real de una variable real
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 14
Dominiox
Recorridoy=f(x)
f
x
y
: variable independiente
: variable dependiente
Sean X e Y dos conjuntos de números reales. Una función real f de una variable real x de X a Y es una correspondencia que asigna a cada número x de X exactamente un número y de Y.
• El conjunto X se llama dominio de f.
• El número y se denomina la imagen de x for f y se denota por f(x).
• El recorrido de f se define como el subconjunto de Y formado por todas las imágenes de los números de X.
X
Y
Notación de funcionesEcuación en forma explícita
Ecuación en forma implícita
)1(21 2xy 122 yx )1(
21
)( 2xxf
Gráfica de una función
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 15
La gráfica de una función está formada por todos los puntos ( x, f(x) ), donde x pertenece al dominio de f y se denota por f(x).
(x,f(x)) y =f(x)
x
f(x)
x = distancia desde el eje yf(x) = distancia desde el eje x.
Gráficas de funciones básicas
f(x) =x
1 2 3-3 -2 -1-1
-2
1
2 f(x) =x2
1 2 3-3 -2 -1-1
-2
1
2
4 f(x) = x3
1 2 3-3 -2 -1-1
-2
1
2
Gráficas de funciones básicas
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 16
f(x) =x
1 2 3
1
2 f(x) = | x |
1 2 3-3 -2 -1-1
-2
1
2
1 2 3
-3 -2 -1
-1
-2
1
2
33
4
f(x)=x 1
f(x) = sen x
-1
1
-1
1
f(x) = COS x
Clasificación de las funciones. Funciones elementales
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 17
Funciones algebraicas
Función polinómica
011
1)( axaxaxaxaxf ii
nn
nn
Coeficiente dominante
grado
Coeficientes
Término constante
Función racionalp(x), q(x) polinomios
0)( , )()(
)( xqxqxp
xf
Funciones radicales. Por ejemplo, 1)( xxf
Funciones trigonométricas
Funciones exponenciales y
logarítmicas
Seno, coseno, tangente,...
1 2-2 -1-1
-2
1
2
3
f(x) = ln x
f-1(x) = ex
Función compuesta
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 18
x
g(x)g
Dominio de g
Dominio def
f ( g(x) )
f
Sean f y g dos funciones.
La función dada por (f o g)(x)=f(g(x)) se llama función compuesta de f con g.
El dominio de es el conjunto de todos los x del dominio de g tales que g(x) pertenece al dominio de f
f o g
Ejemplo:
)32cos())(())((
3cos23)(2))(())((
cos)( 32)(
xxfgxfg
xxgxgfxgf
xxgxxf
Funciones pares, impares y ceros de funciones
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 19
•Si la gráfica de una función f, corta al eje x en el punto (a,0), entoces a se denomina un cero de f
•Los ceros de una función f son las soluciones de la ecuación f(x) =0
(a,0)
f(x) = 0
Criterio para funciones pares e impares
•La función y=f(x) par si f(-x) = f(x) •La función y=f(x) impar si f(-x) =-f(x)
Función inversa
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 20
f
f -1
•Dominio de f = Recorrido de f-1
•Dominio de f-1= Recorrido def
Una función g es la inversa de una función f si
f(g(x)) = x para todo x en el dominio de g
g(f(x)) = x para todo x en el dominio de f
La función g se denota por f-1
Ejemplo:Ejemplo:
33
2
1)( , 12)(
xxgxxf Son funciones inversas
Bibliografía
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 21
Cálculo y Geometría AnalíticaLarson, Hostetler, Edwards. Volumen 1, 1999 (6ª edición), Ed. McGraw-Hill
Ejercicios y problemas
Problemas de Matemáticaspara ingeniería técnica agrícola y veterinariaAlejandre, Allueva,González. Tomo 1, 2000Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2)
Top Related