IntroduccionTeoremas basicos
ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Tema 1Preliminares
Departamento de Matematica Aplicada. Calculo Numerico
E.T.S.I. Informatica
Departamento de Matematica Aplicada. Calculo Numerico Tema 1 Preliminares
IntroduccionTeoremas basicos
ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Indice
1 Introduccion
2 Teoremas basicos
3 ErroresFuentes usuales de errorRepresentacion de numerosTipos de errores
4 Propagacion del error
5 Condicionamiento y Estabilidad
6 Normas de computacion para el curso
Departamento de Matematica Aplicada. Calculo Numerico Tema 1 Preliminares
IntroduccionTeoremas basicos
ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Calculo numerico (Analisis Numerico, Metodos Numericos):
Nace con el hombre, pero se desarrolla junto con las maquinasde calculo.Estudia metodos numericos para resolver problemasmatematicos de las ciencias, tecnicas e ingenierıa.
Problemas que aborda:
Finito-dimensionalesResolucion de ecuaciones y sistemas de ecuacionesInterpolacion y AproximacionCalculo de valores y vectores propios
Infinito-dimensionalesDerivacion numerica.Integracion numerica.Resolucion numerica de E.D.O. y E.D.P.
Departamento de Matematica Aplicada. Calculo Numerico Tema 1 Preliminares
IntroduccionTeoremas basicos
ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Calculo numerico (Analisis Numerico, Metodos Numericos):
Nace con el hombre, pero se desarrolla junto con las maquinasde calculo.
Estudia metodos numericos para resolver problemasmatematicos de las ciencias, tecnicas e ingenierıa.
Problemas que aborda:
Finito-dimensionalesResolucion de ecuaciones y sistemas de ecuacionesInterpolacion y AproximacionCalculo de valores y vectores propios
Infinito-dimensionalesDerivacion numerica.Integracion numerica.Resolucion numerica de E.D.O. y E.D.P.
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Calculo numerico (Analisis Numerico, Metodos Numericos):
Nace con el hombre, pero se desarrolla junto con las maquinasde calculo.Estudia metodos numericos para resolver problemasmatematicos de las ciencias, tecnicas e ingenierıa.
Problemas que aborda:
Finito-dimensionalesResolucion de ecuaciones y sistemas de ecuacionesInterpolacion y AproximacionCalculo de valores y vectores propios
Infinito-dimensionalesDerivacion numerica.Integracion numerica.Resolucion numerica de E.D.O. y E.D.P.
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ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Calculo numerico (Analisis Numerico, Metodos Numericos):
Nace con el hombre, pero se desarrolla junto con las maquinasde calculo.Estudia metodos numericos para resolver problemasmatematicos de las ciencias, tecnicas e ingenierıa.
Problemas que aborda:
Finito-dimensionalesResolucion de ecuaciones y sistemas de ecuacionesInterpolacion y AproximacionCalculo de valores y vectores propios
Infinito-dimensionalesDerivacion numerica.Integracion numerica.Resolucion numerica de E.D.O. y E.D.P.
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Calculo numerico (Analisis Numerico, Metodos Numericos):
Nace con el hombre, pero se desarrolla junto con las maquinasde calculo.Estudia metodos numericos para resolver problemasmatematicos de las ciencias, tecnicas e ingenierıa.
Problemas que aborda:
Finito-dimensionales
Resolucion de ecuaciones y sistemas de ecuacionesInterpolacion y AproximacionCalculo de valores y vectores propios
Infinito-dimensionalesDerivacion numerica.Integracion numerica.Resolucion numerica de E.D.O. y E.D.P.
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ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Calculo numerico (Analisis Numerico, Metodos Numericos):
Nace con el hombre, pero se desarrolla junto con las maquinasde calculo.Estudia metodos numericos para resolver problemasmatematicos de las ciencias, tecnicas e ingenierıa.
Problemas que aborda:
Finito-dimensionalesResolucion de ecuaciones y sistemas de ecuaciones
Interpolacion y AproximacionCalculo de valores y vectores propios
Infinito-dimensionalesDerivacion numerica.Integracion numerica.Resolucion numerica de E.D.O. y E.D.P.
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
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Calculo numerico (Analisis Numerico, Metodos Numericos):
Nace con el hombre, pero se desarrolla junto con las maquinasde calculo.Estudia metodos numericos para resolver problemasmatematicos de las ciencias, tecnicas e ingenierıa.
Problemas que aborda:
Finito-dimensionalesResolucion de ecuaciones y sistemas de ecuacionesInterpolacion y Aproximacion
Calculo de valores y vectores propiosInfinito-dimensionales
Derivacion numerica.Integracion numerica.Resolucion numerica de E.D.O. y E.D.P.
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Calculo numerico (Analisis Numerico, Metodos Numericos):
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Problemas que aborda:
Finito-dimensionalesResolucion de ecuaciones y sistemas de ecuacionesInterpolacion y AproximacionCalculo de valores y vectores propios
Infinito-dimensionalesDerivacion numerica.Integracion numerica.Resolucion numerica de E.D.O. y E.D.P.
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Calculo numerico (Analisis Numerico, Metodos Numericos):
Nace con el hombre, pero se desarrolla junto con las maquinasde calculo.Estudia metodos numericos para resolver problemasmatematicos de las ciencias, tecnicas e ingenierıa.
Problemas que aborda:
Finito-dimensionalesResolucion de ecuaciones y sistemas de ecuacionesInterpolacion y AproximacionCalculo de valores y vectores propios
Infinito-dimensionales
Derivacion numerica.Integracion numerica.Resolucion numerica de E.D.O. y E.D.P.
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Calculo numerico (Analisis Numerico, Metodos Numericos):
Nace con el hombre, pero se desarrolla junto con las maquinasde calculo.Estudia metodos numericos para resolver problemasmatematicos de las ciencias, tecnicas e ingenierıa.
Problemas que aborda:
Finito-dimensionalesResolucion de ecuaciones y sistemas de ecuacionesInterpolacion y AproximacionCalculo de valores y vectores propios
Infinito-dimensionalesDerivacion numerica.
Integracion numerica.Resolucion numerica de E.D.O. y E.D.P.
Departamento de Matematica Aplicada. Calculo Numerico Tema 1 Preliminares
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ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
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Calculo numerico (Analisis Numerico, Metodos Numericos):
Nace con el hombre, pero se desarrolla junto con las maquinasde calculo.Estudia metodos numericos para resolver problemasmatematicos de las ciencias, tecnicas e ingenierıa.
Problemas que aborda:
Finito-dimensionalesResolucion de ecuaciones y sistemas de ecuacionesInterpolacion y AproximacionCalculo de valores y vectores propios
Infinito-dimensionalesDerivacion numerica.Integracion numerica.
Resolucion numerica de E.D.O. y E.D.P.
Departamento de Matematica Aplicada. Calculo Numerico Tema 1 Preliminares
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ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Calculo numerico (Analisis Numerico, Metodos Numericos):
Nace con el hombre, pero se desarrolla junto con las maquinasde calculo.Estudia metodos numericos para resolver problemasmatematicos de las ciencias, tecnicas e ingenierıa.
Problemas que aborda:
Finito-dimensionalesResolucion de ecuaciones y sistemas de ecuacionesInterpolacion y AproximacionCalculo de valores y vectores propios
Infinito-dimensionalesDerivacion numerica.Integracion numerica.Resolucion numerica de E.D.O. y E.D.P.
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IntroduccionTeoremas basicos
ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Calculo numerico (Analisis Numerico, Metodos Numericos):
Nace con el hombre, pero se desarrolla junto con las maquinasde calculo.Estudia metodos numericos para resolver problemasmatematicos de las ciencias, tecnicas e ingenierıa.
Problemas que aborda:
Finito-dimensionalesResolucion de ecuaciones y sistemas de ecuacionesInterpolacion y AproximacionCalculo de valores y vectores propios
Infinito-dimensionalesDerivacion numerica.Integracion numerica.Resolucion numerica de E.D.O. y E.D.P.
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ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Objetivo
Obtener la solucion, exacta o con aceptable aproximacion, con elmenor esfuerzo/tiempo posible.
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Introduccion
Objetivo
Obtener la solucion, exacta o con aceptable aproximacion, con elmenor esfuerzo/tiempo posible.
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IntroduccionTeoremas basicos
ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Ejemplo1
Metodo numerico (metodo iterativo) para calcular√
5:
xn+1 =1
2
(xn +
5
xn
).
Aplicacion: (con 10 cifras)x0 = 2,x1 = 2.25,x2 = 2.236111111,x3 = 2.236067978,x4 = 2.236067977.
El valor exacto de√
5 es 2.2360679774997896964..
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Ejemplo1
Metodo numerico (metodo iterativo) para calcular√
5:
xn+1 =1
2
(xn +
5
xn
).
Aplicacion: (con 10 cifras)x0 = 2,x1 = 2.25,x2 = 2.236111111,x3 = 2.236067978,x4 = 2.236067977.
El valor exacto de√
5 es 2.2360679774997896964..
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Ejemplo1
Metodo numerico (metodo iterativo) para calcular√
5:
xn+1 =1
2
(xn +
5
xn
).
Aplicacion: (con 10 cifras)
x0 = 2,x1 = 2.25,x2 = 2.236111111,x3 = 2.236067978,x4 = 2.236067977.
El valor exacto de√
5 es 2.2360679774997896964..
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Ejemplo1
Metodo numerico (metodo iterativo) para calcular√
5:
xn+1 =1
2
(xn +
5
xn
).
Aplicacion: (con 10 cifras)x0 = 2,
x1 = 2.25,x2 = 2.236111111,x3 = 2.236067978,x4 = 2.236067977.
El valor exacto de√
5 es 2.2360679774997896964..
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Ejemplo1
Metodo numerico (metodo iterativo) para calcular√
5:
xn+1 =1
2
(xn +
5
xn
).
Aplicacion: (con 10 cifras)x0 = 2,x1 = 2.25,
x2 = 2.236111111,x3 = 2.236067978,x4 = 2.236067977.
El valor exacto de√
5 es 2.2360679774997896964..
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Ejemplo1
Metodo numerico (metodo iterativo) para calcular√
5:
xn+1 =1
2
(xn +
5
xn
).
Aplicacion: (con 10 cifras)x0 = 2,x1 = 2.25,x2 = 2.236111111,
x3 = 2.236067978,x4 = 2.236067977.
El valor exacto de√
5 es 2.2360679774997896964..
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Metodo numerico (metodo iterativo) para calcular√
5:
xn+1 =1
2
(xn +
5
xn
).
Aplicacion: (con 10 cifras)x0 = 2,x1 = 2.25,x2 = 2.236111111,x3 = 2.236067978,
x4 = 2.236067977.
El valor exacto de√
5 es 2.2360679774997896964..
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Metodo numerico (metodo iterativo) para calcular√
5:
xn+1 =1
2
(xn +
5
xn
).
Aplicacion: (con 10 cifras)x0 = 2,x1 = 2.25,x2 = 2.236111111,x3 = 2.236067978,x4 = 2.236067977.
El valor exacto de√
5 es 2.2360679774997896964..
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ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Ejemplo1
Metodo numerico (metodo iterativo) para calcular√
5:
xn+1 =1
2
(xn +
5
xn
).
Aplicacion: (con 10 cifras)x0 = 2,x1 = 2.25,x2 = 2.236111111,x3 = 2.236067978,x4 = 2.236067977.
El valor exacto de√
5 es 2.2360679774997896964..
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Prerrequisitos de la materia:
Algebra lineal: espacios vectoriales, base, dimension,dependencia lineal, matrices, sistemas de ecuaciones lineales,valores propios.
Calculo infinitesimal e integral en una y dos variables
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
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Prerrequisitos de la materia:
Algebra lineal:
espacios vectoriales, base, dimension,dependencia lineal, matrices, sistemas de ecuaciones lineales,valores propios.
Calculo infinitesimal e integral en una y dos variables
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Prerrequisitos de la materia:
Algebra lineal: espacios vectoriales,
base, dimension,dependencia lineal, matrices, sistemas de ecuaciones lineales,valores propios.
Calculo infinitesimal e integral en una y dos variables
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Prerrequisitos de la materia:
Algebra lineal: espacios vectoriales, base,
dimension,dependencia lineal, matrices, sistemas de ecuaciones lineales,valores propios.
Calculo infinitesimal e integral en una y dos variables
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
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Prerrequisitos de la materia:
Algebra lineal: espacios vectoriales, base, dimension,
dependencia lineal, matrices, sistemas de ecuaciones lineales,valores propios.
Calculo infinitesimal e integral en una y dos variables
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IntroduccionTeoremas basicos
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Prerrequisitos de la materia:
Algebra lineal: espacios vectoriales, base, dimension,dependencia lineal,
matrices, sistemas de ecuaciones lineales,valores propios.
Calculo infinitesimal e integral en una y dos variables
Departamento de Matematica Aplicada. Calculo Numerico Tema 1 Preliminares
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ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Prerrequisitos de la materia:
Algebra lineal: espacios vectoriales, base, dimension,dependencia lineal, matrices,
sistemas de ecuaciones lineales,valores propios.
Calculo infinitesimal e integral en una y dos variables
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Prerrequisitos de la materia:
Algebra lineal: espacios vectoriales, base, dimension,dependencia lineal, matrices, sistemas de ecuaciones lineales,
valores propios.
Calculo infinitesimal e integral en una y dos variables
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Prerrequisitos de la materia:
Algebra lineal: espacios vectoriales, base, dimension,dependencia lineal, matrices, sistemas de ecuaciones lineales,valores propios.
Calculo infinitesimal e integral en una y dos variables
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ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Prerrequisitos de la materia:
Algebra lineal: espacios vectoriales, base, dimension,dependencia lineal, matrices, sistemas de ecuaciones lineales,valores propios.
Calculo infinitesimal e integral en una y dos variables
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IntroduccionTeoremas basicos
ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Introduccion
Prerrequisitos de la materia:
Algebra lineal: espacios vectoriales, base, dimension,dependencia lineal, matrices, sistemas de ecuaciones lineales,valores propios.
Calculo infinitesimal e integral en una y dos variables
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Teoremas basicos
Teorema de Bolzano
Sea f ∈ C [a, b] tal que f (a)f (b) < 0 entonces existe c ∈ (a, b) talque f (c) = 0.
Teorema del valor intermedio
Sea f ∈ C [a, b] y L un real comprendido entre f (a) y f (b).Entonces existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = L.
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ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Teoremas basicos
Teorema de Bolzano
Sea f ∈ C [a, b] tal que f (a)f (b) < 0 entonces existe c ∈ (a, b) talque f (c) = 0.
Teorema del valor intermedio
Sea f ∈ C [a, b] y L un real comprendido entre f (a) y f (b).Entonces existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = L.
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Teoremas basicos
Teorema de Rolle
Sea f ∈ C 1[a, b] tal que f (a) = f (b). Entonces existe c ∈ [a, b]tal que f ′(c) = 0.
Teorema del valor medio
Sea f ∈ C 1[a, b]. Entonces existe c ∈ [a, b] tal que
f ′(c) =f (b)− f (a)
b − a.
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ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Teoremas basicos
Teorema de Rolle
Sea f ∈ C 1[a, b] tal que f (a) = f (b). Entonces existe c ∈ [a, b]tal que f ′(c) = 0.
Teorema del valor medio
Sea f ∈ C 1[a, b]. Entonces existe c ∈ [a, b] tal que
f ′(c) =f (b)− f (a)
b − a.
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Teoremas basicos
Primer Teorema del valor medio del calculo integral
Sea f ∈ C [a, b] entonces existe c ∈ (a, b) tal que
f (c) =1
b − a
∫ b
af (x)dx .
Segundo Teorema del valor medio del calculo integral
Sean f , g ∈ C [a, b] tal que g(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b].Entonces existe c ∈ (a, b) tal que∫ b
af (x)g(x)dx = f (c)
∫ b
ag(x)dx .
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Teoremas basicos
Primer Teorema del valor medio del calculo integral
Sea f ∈ C [a, b] entonces existe c ∈ (a, b) tal que
f (c) =1
b − a
∫ b
af (x)dx .
Segundo Teorema del valor medio del calculo integral
Sean f , g ∈ C [a, b] tal que g(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b].Entonces existe c ∈ (a, b) tal que∫ b
af (x)g(x)dx = f (c)
∫ b
ag(x)dx .
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Teoremas basicos
Teorema de Taylor (formula de Taylor)
Sean f ∈ Cn+1[a, b] y x0 ∈ [a, b] fijo. Entonces para todox ∈ [a, b] existe c = c(x) comprendido entre x0 y x , tal quef (x) = Pn(x) + Rn(x), donde
Pn(x) =n∑
k=0
f k(x0)
k!(x − x0)k , Rn(x) =
f (n+1)
(n + 1)!(x − x0)n+1.
Suma de series geometricas
Si r < 1 entonces∞∑
n=0
crn =c
1− r, siendo divergente en caso
contrario.
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Teoremas basicos
Teorema de Taylor (formula de Taylor)
Sean f ∈ Cn+1[a, b] y x0 ∈ [a, b] fijo. Entonces para todox ∈ [a, b] existe c = c(x) comprendido entre x0 y x , tal quef (x) = Pn(x) + Rn(x), donde
Pn(x) =n∑
k=0
f k(x0)
k!(x − x0)k , Rn(x) =
f (n+1)
(n + 1)!(x − x0)n+1.
Suma de series geometricas
Si r < 1 entonces∞∑
n=0
crn =c
1− r, siendo divergente en caso
contrario.
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ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Fuentes usuales de errorRepresentacion de numerosTipos de errores
Fuentes usuales de error en la resolucion de problemasmatematicos
Idealizacion:
rozamientos, vientos, atracciones, gravedad,relatividad, efectos ”despreciables”.
Experimental-incertidumbre: lectura aparatos, interferencias,estimaciones estadısticas.
Humano: equivocaciones aritmeticas o de propagacion.
Discretizacion: aproximacion de un proceso matematicoinfinito por uno finito.
Redondeo: las maquinas tienen una precision limitada.
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Fuentes usuales de errorRepresentacion de numerosTipos de errores
Fuentes usuales de error en la resolucion de problemasmatematicos
Idealizacion: rozamientos,
vientos, atracciones, gravedad,relatividad, efectos ”despreciables”.
Experimental-incertidumbre: lectura aparatos, interferencias,estimaciones estadısticas.
Humano: equivocaciones aritmeticas o de propagacion.
Discretizacion: aproximacion de un proceso matematicoinfinito por uno finito.
Redondeo: las maquinas tienen una precision limitada.
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ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Fuentes usuales de errorRepresentacion de numerosTipos de errores
Fuentes usuales de error en la resolucion de problemasmatematicos
Idealizacion: rozamientos, vientos,
atracciones, gravedad,relatividad, efectos ”despreciables”.
Experimental-incertidumbre: lectura aparatos, interferencias,estimaciones estadısticas.
Humano: equivocaciones aritmeticas o de propagacion.
Discretizacion: aproximacion de un proceso matematicoinfinito por uno finito.
Redondeo: las maquinas tienen una precision limitada.
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ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Fuentes usuales de errorRepresentacion de numerosTipos de errores
Fuentes usuales de error en la resolucion de problemasmatematicos
Idealizacion: rozamientos, vientos, atracciones,
gravedad,relatividad, efectos ”despreciables”.
Experimental-incertidumbre: lectura aparatos, interferencias,estimaciones estadısticas.
Humano: equivocaciones aritmeticas o de propagacion.
Discretizacion: aproximacion de un proceso matematicoinfinito por uno finito.
Redondeo: las maquinas tienen una precision limitada.
Departamento de Matematica Aplicada. Calculo Numerico Tema 1 Preliminares
IntroduccionTeoremas basicos
ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Fuentes usuales de errorRepresentacion de numerosTipos de errores
Fuentes usuales de error en la resolucion de problemasmatematicos
Idealizacion: rozamientos, vientos, atracciones, gravedad,
relatividad, efectos ”despreciables”.
Experimental-incertidumbre: lectura aparatos, interferencias,estimaciones estadısticas.
Humano: equivocaciones aritmeticas o de propagacion.
Discretizacion: aproximacion de un proceso matematicoinfinito por uno finito.
Redondeo: las maquinas tienen una precision limitada.
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Fuentes usuales de error en la resolucion de problemasmatematicos
Idealizacion: rozamientos, vientos, atracciones, gravedad,relatividad,
efectos ”despreciables”.
Experimental-incertidumbre: lectura aparatos, interferencias,estimaciones estadısticas.
Humano: equivocaciones aritmeticas o de propagacion.
Discretizacion: aproximacion de un proceso matematicoinfinito por uno finito.
Redondeo: las maquinas tienen una precision limitada.
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Fuentes usuales de error en la resolucion de problemasmatematicos
Idealizacion: rozamientos, vientos, atracciones, gravedad,relatividad, efectos ”despreciables”.
Experimental-incertidumbre: lectura aparatos, interferencias,estimaciones estadısticas.
Humano: equivocaciones aritmeticas o de propagacion.
Discretizacion: aproximacion de un proceso matematicoinfinito por uno finito.
Redondeo: las maquinas tienen una precision limitada.
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Fuentes usuales de error en la resolucion de problemasmatematicos
Idealizacion: rozamientos, vientos, atracciones, gravedad,relatividad, efectos ”despreciables”.
Experimental-incertidumbre:
lectura aparatos, interferencias,estimaciones estadısticas.
Humano: equivocaciones aritmeticas o de propagacion.
Discretizacion: aproximacion de un proceso matematicoinfinito por uno finito.
Redondeo: las maquinas tienen una precision limitada.
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Fuentes usuales de error en la resolucion de problemasmatematicos
Idealizacion: rozamientos, vientos, atracciones, gravedad,relatividad, efectos ”despreciables”.
Experimental-incertidumbre: lectura aparatos,
interferencias,estimaciones estadısticas.
Humano: equivocaciones aritmeticas o de propagacion.
Discretizacion: aproximacion de un proceso matematicoinfinito por uno finito.
Redondeo: las maquinas tienen una precision limitada.
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Idealizacion: rozamientos, vientos, atracciones, gravedad,relatividad, efectos ”despreciables”.
Experimental-incertidumbre: lectura aparatos, interferencias,
estimaciones estadısticas.
Humano: equivocaciones aritmeticas o de propagacion.
Discretizacion: aproximacion de un proceso matematicoinfinito por uno finito.
Redondeo: las maquinas tienen una precision limitada.
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Experimental-incertidumbre: lectura aparatos, interferencias,estimaciones estadısticas.
Humano: equivocaciones aritmeticas o de propagacion.
Discretizacion: aproximacion de un proceso matematicoinfinito por uno finito.
Redondeo: las maquinas tienen una precision limitada.
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Experimental-incertidumbre: lectura aparatos, interferencias,estimaciones estadısticas.
Humano:
equivocaciones aritmeticas o de propagacion.
Discretizacion: aproximacion de un proceso matematicoinfinito por uno finito.
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Experimental-incertidumbre: lectura aparatos, interferencias,estimaciones estadısticas.
Humano: equivocaciones aritmeticas o de propagacion.
Discretizacion:
aproximacion de un proceso matematicoinfinito por uno finito.
Redondeo: las maquinas tienen una precision limitada.
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Idealizacion: rozamientos, vientos, atracciones, gravedad,relatividad, efectos ”despreciables”.
Experimental-incertidumbre: lectura aparatos, interferencias,estimaciones estadısticas.
Humano: equivocaciones aritmeticas o de propagacion.
Discretizacion: aproximacion de un proceso matematicoinfinito por uno finito.
Redondeo: las maquinas tienen una precision limitada.
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Redondeo:
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Idealizacion: rozamientos, vientos, atracciones, gravedad,relatividad, efectos ”despreciables”.
Experimental-incertidumbre: lectura aparatos, interferencias,estimaciones estadısticas.
Humano: equivocaciones aritmeticas o de propagacion.
Discretizacion: aproximacion de un proceso matematicoinfinito por uno finito.
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Fuentes usuales de errorRepresentacion de numerosTipos de errores
Representacion de numeros
Numeros en notacion binaria
156310 = 1× 103 + 5× 102 + 6× 101 + 3× 100
= 1× 210 + 1× 29 + 1× 24 + 1× 23 + 1× 21 + 1× 20
= 110000110112.
Algoritmo de conversion decimal-binario
Invertase el orden de la sucesion de restos de dividir por 2reiteradamente.
Numeros no enteros
1563.2510 = 11000011011.012
0.710 = 0.101102 (periodico en binario).
Otras bases usuales: 8, 16.
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Representacion de numeros
Numeros en notacion binaria
156310 = 1× 103 + 5× 102 + 6× 101 + 3× 100
= 1× 210 + 1× 29 + 1× 24 + 1× 23 + 1× 21 + 1× 20
= 110000110112.
Algoritmo de conversion decimal-binario
Invertase el orden de la sucesion de restos de dividir por 2reiteradamente.
Numeros no enteros
1563.2510 = 11000011011.012
0.710 = 0.101102 (periodico en binario).
Otras bases usuales: 8, 16.
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Representacion de numeros
Numeros en notacion binaria
156310 = 1× 103 + 5× 102 + 6× 101 + 3× 100
= 1× 210 + 1× 29 + 1× 24 + 1× 23 + 1× 21 + 1× 20
= 110000110112.
Algoritmo de conversion decimal-binario
Invertase el orden de la sucesion de restos de dividir por 2reiteradamente.
Numeros no enteros
1563.2510 = 11000011011.012
0.710 = 0.101102 (periodico en binario).
Otras bases usuales: 8, 16.
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Representacion de numeros
Numeros en notacion binaria
156310 = 1× 103 + 5× 102 + 6× 101 + 3× 100
= 1× 210 + 1× 29 + 1× 24 + 1× 23 + 1× 21 + 1× 20
= 110000110112.
Algoritmo de conversion decimal-binario
Invertase el orden de la sucesion de restos de dividir por 2reiteradamente.
Numeros no enteros
1563.2510 = 11000011011.012
0.710 = 0.101102 (periodico en binario).
Otras bases usuales: 8, 16.
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Numeros en notacion binaria
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= 1× 210 + 1× 29 + 1× 24 + 1× 23 + 1× 21 + 1× 20
= 110000110112.
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Invertase el orden de la sucesion de restos de dividir por 2reiteradamente.
Numeros no enteros
1563.2510 = 11000011011.012
0.710 = 0.101102 (periodico en binario).
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Representacion de numeros
Numeros en notacion binaria
156310 = 1× 103 + 5× 102 + 6× 101 + 3× 100
= 1× 210 + 1× 29 + 1× 24 + 1× 23 + 1× 21 + 1× 20
= 110000110112.
Algoritmo de conversion decimal-binario
Invertase el orden de la sucesion de restos de dividir por 2reiteradamente.
Numeros no enteros
1563.2510 = 11000011011.012
0.710 = 0.101102 (periodico en binario).
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Representacion de numeros
Numeros en notacion binaria
156310 = 1× 103 + 5× 102 + 6× 101 + 3× 100
= 1× 210 + 1× 29 + 1× 24 + 1× 23 + 1× 21 + 1× 20
= 110000110112.
Algoritmo de conversion decimal-binario
Invertase el orden de la sucesion de restos de dividir por 2reiteradamente.
Numeros no enteros
1563.2510 = 11000011011.012
0.710 = 0.101102 (periodico en binario).
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Fuentes usuales de errorRepresentacion de numerosTipos de errores
Representacion de numeros
Notacion cientıfica (Representacion en punto flotante)
z = σ(0.d1d2 . . . dn)βe .
donde
σ = ±1 (signo),
β ∈ N− 0, 1 (base),
e ∈ Ω ⊂ Z,
0.d1d2 . . . dn =n∑
i=1
diβ−i , di ∈ N, 0 ≤ di < β (mantisa).
Normalizacion: d1 > 0.
β, n y Ω son caracterısticas de la maquina.
La precision depende de n y de β.
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Representacion de numeros
Notacion cientıfica (Representacion en punto flotante)
z = σ(0.d1d2 . . . dn)βe .
donde
σ = ±1 (signo),
β ∈ N− 0, 1 (base),
e ∈ Ω ⊂ Z,
0.d1d2 . . . dn =n∑
i=1
diβ−i , di ∈ N, 0 ≤ di < β (mantisa).
Normalizacion: d1 > 0.
β, n y Ω son caracterısticas de la maquina.
La precision depende de n y de β.
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Representacion de numeros
Notacion cientıfica (Representacion en punto flotante)
z = σ(0.d1d2 . . . dn)βe .
donde
σ = ±1 (signo),
β ∈ N− 0, 1 (base),
e ∈ Ω ⊂ Z,
0.d1d2 . . . dn =n∑
i=1
diβ−i , di ∈ N, 0 ≤ di < β (mantisa).
Normalizacion: d1 > 0.
β, n y Ω son caracterısticas de la maquina.
La precision depende de n y de β.
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Representacion de numeros
Notacion cientıfica (Representacion en punto flotante)
z = σ(0.d1d2 . . . dn)βe .
donde
σ = ±1 (signo),
β ∈ N− 0, 1 (base),
e ∈ Ω ⊂ Z,
0.d1d2 . . . dn =n∑
i=1
diβ−i , di ∈ N, 0 ≤ di < β (mantisa).
Normalizacion: d1 > 0.
β, n y Ω son caracterısticas de la maquina.
La precision depende de n y de β.
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Representacion de numeros
Notacion cientıfica (Representacion en punto flotante)
z = σ(0.d1d2 . . . dn)βe .
donde
σ = ±1 (signo),
β ∈ N− 0, 1 (base),
e ∈ Ω ⊂ Z,
0.d1d2 . . . dn =n∑
i=1
diβ−i , di ∈ N, 0 ≤ di < β (mantisa).
Normalizacion: d1 > 0.
β, n y Ω son caracterısticas de la maquina.
La precision depende de n y de β.
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Representacion de numeros
Notacion cientıfica (Representacion en punto flotante)
z = σ(0.d1d2 . . . dn)βe .
donde
σ = ±1 (signo),
β ∈ N− 0, 1 (base),
e ∈ Ω ⊂ Z,
0.d1d2 . . . dn =n∑
i=1
diβ−i , di ∈ N, 0 ≤ di < β (mantisa).
Normalizacion: d1 > 0.
β, n y Ω son caracterısticas de la maquina.
La precision depende de n y de β.
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z = σ(0.d1d2 . . . dn)βe .
donde
σ = ±1 (signo),
β ∈ N− 0, 1 (base),
e ∈ Ω ⊂ Z,
0.d1d2 . . . dn =n∑
i=1
diβ−i , di ∈ N, 0 ≤ di < β (mantisa).
Normalizacion: d1 > 0.
β, n y Ω son caracterısticas de la maquina.
La precision depende de n y de β.
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z = σ(0.d1d2 . . . dn)βe .
donde
σ = ±1 (signo),
β ∈ N− 0, 1 (base),
e ∈ Ω ⊂ Z,
0.d1d2 . . . dn =n∑
i=1
diβ−i , di ∈ N, 0 ≤ di < β (mantisa).
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β, n y Ω son caracterısticas de la maquina.
La precision depende de n y de β.
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Notacion cientıfica (Representacion en punto flotante)
z = σ(0.d1d2 . . . dn)βe .
donde
σ = ±1 (signo),
β ∈ N− 0, 1 (base),
e ∈ Ω ⊂ Z,
0.d1d2 . . . dn =n∑
i=1
diβ−i , di ∈ N, 0 ≤ di < β (mantisa).
Normalizacion: d1 > 0.
β, n y Ω son caracterısticas de la maquina.
La precision depende de n y de β.Departamento de Matematica Aplicada. Calculo Numerico Tema 1 Preliminares
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Fuentes usuales de errorRepresentacion de numerosTipos de errores
Representacion de numeros
Ejemplo 2
Sea una maquina con β = 2, n = 4, e ∈ −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3.
Los numeros representables serıan:
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Representacion de numeros
Ejemplo 2
Sea una maquina con β = 2, n = 4, e ∈ −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3.
Los numeros representables serıan:
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Tipos de errores
Definicion 1
Sea x∗ la representacion de x ∈ R en una maquina dada.
Se define el error absoluto de tal representacion como
ea = |x − x∗|
y el error relativo como
er =|x − x∗||x |
.
El error relativo es mas intuitivo y da mejor idea de la precision.
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Tipos de errores
Definicion 1
Sea x∗ la representacion de x ∈ R en una maquina dada.
Se define el error absoluto de tal representacion como
ea = |x − x∗|
y el error relativo como
er =|x − x∗||x |
.
El error relativo es mas intuitivo y da mejor idea de la precision.
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Tipos de errores
Definicion 1
Sea x∗ la representacion de x ∈ R en una maquina dada.
Se define el error absoluto de tal representacion como
ea = |x − x∗|
y el error relativo como
er =|x − x∗||x |
.
El error relativo es mas intuitivo y da mejor idea de la precision.
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Tipos de errores
Definicion 1
Sea x∗ la representacion de x ∈ R en una maquina dada.
Se define el error absoluto de tal representacion como
ea = |x − x∗|
y el error relativo como
er =|x − x∗||x |
.
El error relativo es mas intuitivo y da mejor idea de la precision.
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Tipos de errores
Definicion 1
Sea x∗ la representacion de x ∈ R en una maquina dada.
Se define el error absoluto de tal representacion como
ea = |x − x∗|
y el error relativo como
er =|x − x∗||x |
.
El error relativo es mas intuitivo y da mejor idea de la precision.
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Tipos de errores
Definicion 1
Sea x∗ la representacion de x ∈ R en una maquina dada.
Se define el error absoluto de tal representacion como
ea = |x − x∗|
y el error relativo como
er =|x − x∗||x |
.
El error relativo es mas intuitivo y da mejor idea de la precision.
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Tipos de errores
Definicion 2
Metodos de representacion/operacion:
El error de truncatura aparece cuando se prescinde de lascifras de la mantisa a partir de una dada.
(0.d1 . . . dndn+1 . . .)∗ = 0.d1 . . . dn.
El error de redondeo aparece cuando se corta la sucesion dedecimales de la mantisa mediante el redondeo de la ultimacifra:
(0.d1 . . . dndn+1 . . .)∗ =
0.d1 . . . dn si dn+1 <
β
2,
0.d1 . . . dn + β−n si dn+1 ≥β
2.
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IntroduccionTeoremas basicos
ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Fuentes usuales de errorRepresentacion de numerosTipos de errores
Tipos de errores
Definicion 2
Metodos de representacion/operacion:
El error de truncatura aparece cuando se prescinde de lascifras de la mantisa a partir de una dada.
(0.d1 . . . dndn+1 . . .)∗ = 0.d1 . . . dn.
El error de redondeo aparece cuando se corta la sucesion dedecimales de la mantisa mediante el redondeo de la ultimacifra:
(0.d1 . . . dndn+1 . . .)∗ =
0.d1 . . . dn si dn+1 <
β
2,
0.d1 . . . dn + β−n si dn+1 ≥β
2.
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Definicion 2
Metodos de representacion/operacion:
El error de truncatura aparece cuando se prescinde de lascifras de la mantisa a partir de una dada.
(0.d1 . . . dndn+1 . . .)∗ = 0.d1 . . . dn.
El error de redondeo aparece cuando se corta la sucesion dedecimales de la mantisa mediante el redondeo de la ultimacifra:
(0.d1 . . . dndn+1 . . .)∗ =
0.d1 . . . dn si dn+1 <
β
2,
0.d1 . . . dn + β−n si dn+1 ≥β
2.
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Tipos de errores
Definicion 2
Metodos de representacion/operacion:
El error de truncatura aparece cuando se prescinde de lascifras de la mantisa a partir de una dada.
(0.d1 . . . dndn+1 . . .)∗ = 0.d1 . . . dn.
El error de redondeo aparece cuando se corta la sucesion dedecimales de la mantisa mediante el redondeo de la ultimacifra:
(0.d1 . . . dndn+1 . . .)∗ =
0.d1 . . . dn si dn+1 <
β
2,
0.d1 . . . dn + β−n si dn+1 ≥β
2.
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Metodos de representacion/operacion:
El error de truncatura aparece cuando se prescinde de lascifras de la mantisa a partir de una dada.
(0.d1 . . . dndn+1 . . .)∗ = 0.d1 . . . dn.
El error de redondeo aparece cuando se corta la sucesion dedecimales de la mantisa mediante el redondeo de la ultimacifra:
(0.d1 . . . dndn+1 . . .)∗ =
0.d1 . . . dn si dn+1 <
β
2,
0.d1 . . . dn + β−n si dn+1 ≥β
2.
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Fuentes usuales de errorRepresentacion de numerosTipos de errores
Tipos de errores
Propiedad 1
El error relativo de repretacion esta acotado
por truncatura: por β−n+1,
por redondeo: porβ−n+1
2.
Ejemplo 3
Con β = 10 y n = 5,( π10
)∗= 0.31415 mediante truncatura, con error < 0.0001,( π
10
)∗= 0.31416 mediante redondeo, con error < 0.00005.
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Propiedad 1
El error relativo de repretacion esta acotado
por truncatura:
por β−n+1,
por redondeo: porβ−n+1
2.
Ejemplo 3
Con β = 10 y n = 5,( π10
)∗= 0.31415 mediante truncatura, con error < 0.0001,( π
10
)∗= 0.31416 mediante redondeo, con error < 0.00005.
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Propiedad 1
El error relativo de repretacion esta acotado
por truncatura: por β−n+1,
por redondeo: porβ−n+1
2.
Ejemplo 3
Con β = 10 y n = 5,( π10
)∗= 0.31415 mediante truncatura, con error < 0.0001,( π
10
)∗= 0.31416 mediante redondeo, con error < 0.00005.
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El error relativo de repretacion esta acotado
por truncatura: por β−n+1,
por redondeo:
porβ−n+1
2.
Ejemplo 3
Con β = 10 y n = 5,( π10
)∗= 0.31415 mediante truncatura, con error < 0.0001,( π
10
)∗= 0.31416 mediante redondeo, con error < 0.00005.
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Propiedad 1
El error relativo de repretacion esta acotado
por truncatura: por β−n+1,
por redondeo: porβ−n+1
2.
Ejemplo 3
Con β = 10 y n = 5,( π10
)∗= 0.31415 mediante truncatura, con error < 0.0001,( π
10
)∗= 0.31416 mediante redondeo, con error < 0.00005.
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Propiedad 1
El error relativo de repretacion esta acotado
por truncatura: por β−n+1,
por redondeo: porβ−n+1
2.
Ejemplo 3
Con β = 10 y n = 5,
( π10
)∗= 0.31415 mediante truncatura, con error < 0.0001,( π
10
)∗= 0.31416 mediante redondeo, con error < 0.00005.
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Propiedad 1
El error relativo de repretacion esta acotado
por truncatura: por β−n+1,
por redondeo: porβ−n+1
2.
Ejemplo 3
Con β = 10 y n = 5,( π10
)∗= 0.31415 mediante truncatura, con error < 0.0001,
( π10
)∗= 0.31416 mediante redondeo, con error < 0.00005.
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Propiedad 1
El error relativo de repretacion esta acotado
por truncatura: por β−n+1,
por redondeo: porβ−n+1
2.
Ejemplo 3
Con β = 10 y n = 5,( π10
)∗= 0.31415 mediante truncatura, con error < 0.0001,( π
10
)∗= 0.31416 mediante redondeo, con error < 0.00005.
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Tipos de errores
Definicion 3
Si d es el mayor entero para el cual
|x − x∗||x |
<β−d+1
2
se dice que x∗ aproxima a x con d dıgitos significativos.
Ejemplos
1. β = 10, x = 3.141592, x∗ = 3.14,
|x − x∗||x |
≈ 0.000507 <10−2
2
luego x∗ aproxima a x con 3 dıgitos significativos.
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Definicion 3
Si d es el mayor entero para el cual
|x − x∗||x |
<β−d+1
2
se dice que x∗ aproxima a x con d dıgitos significativos.
Ejemplos
1. β = 10, x = 3.141592, x∗ = 3.14,
|x − x∗||x |
≈ 0.000507 <10−2
2
luego x∗ aproxima a x con 3 dıgitos significativos.
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Definicion 3
Si d es el mayor entero para el cual
|x − x∗||x |
<β−d+1
2
se dice que x∗ aproxima a x con d dıgitos significativos.
Ejemplos
1. β = 10, x = 3.141592, x∗ = 3.14,
|x − x∗||x |
≈ 0.000507 <10−2
2
luego x∗ aproxima a x con 3 dıgitos significativos.
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Definicion 3
Si d es el mayor entero para el cual
|x − x∗||x |
<β−d+1
2
se dice que x∗ aproxima a x con d dıgitos significativos.
Ejemplos
1. β = 10, x = 3.141592, x∗ = 3.14,
|x − x∗||x |
≈ 0.000507 <10−2
2
luego x∗ aproxima a x con 3 dıgitos significativos.
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Definicion 3
Si d es el mayor entero para el cual
|x − x∗||x |
<β−d+1
2
se dice que x∗ aproxima a x con d dıgitos significativos.
Ejemplos
1. β = 10, x = 3.141592, x∗ = 3.14,
|x − x∗||x |
≈ 0.000507 <10−2
2
luego x∗ aproxima a x con 3 dıgitos significativos.
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Tipos de errores
Definicion 3
Si d es el mayor entero para el cual
|x − x∗||x |
<β−d+1
2
se dice que x∗ aproxima a x con d dıgitos significativos.
Ejemplos
1. β = 10, x = 3.141592, x∗ = 3.14,
|x − x∗||x |
≈ 0.000507 <10−2
2
luego x∗ aproxima a x con 3 dıgitos significativos.
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Tipos de errores
...
2. β = 10, x = 106, x∗ = 999996,
|x − x∗||x |
≈ 0.000004 <10−5
2
luego x∗ aproxima a x con 6 dıgitos significativos.
3. β = 10, x = 0.000012, x∗ = 0.000009,
|x − x∗||x |
≈ 0.25 <10−0
2
luego x∗ aproxima a x con 1 dıgito significativo.
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...
2. β = 10, x = 106, x∗ = 999996,
|x − x∗||x |
≈ 0.000004 <10−5
2
luego x∗ aproxima a x con 6 dıgitos significativos.
3. β = 10, x = 0.000012, x∗ = 0.000009,
|x − x∗||x |
≈ 0.25 <10−0
2
luego x∗ aproxima a x con 1 dıgito significativo.
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Tipos de errores
...
2. β = 10, x = 106, x∗ = 999996,
|x − x∗||x |
≈ 0.000004 <10−5
2
luego x∗ aproxima a x con 6 dıgitos significativos.
3. β = 10, x = 0.000012, x∗ = 0.000009,
|x − x∗||x |
≈ 0.25 <10−0
2
luego x∗ aproxima a x con 1 dıgito significativo.
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Fuentes usuales de errorRepresentacion de numerosTipos de errores
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...
2. β = 10, x = 106, x∗ = 999996,
|x − x∗||x |
≈ 0.000004 <10−5
2
luego x∗ aproxima a x con 6 dıgitos significativos.
3. β = 10, x = 0.000012, x∗ = 0.000009,
|x − x∗||x |
≈ 0.25 <10−0
2
luego x∗ aproxima a x con 1 dıgito significativo.
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Tipos de errores
...
2. β = 10, x = 106, x∗ = 999996,
|x − x∗||x |
≈ 0.000004 <10−5
2
luego x∗ aproxima a x con 6 dıgitos significativos.
3. β = 10, x = 0.000012, x∗ = 0.000009,
|x − x∗||x |
≈ 0.25 <10−0
2
luego x∗ aproxima a x con 1 dıgito significativo.
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Fuentes usuales de errorRepresentacion de numerosTipos de errores
Tipos de errores
...
2. β = 10, x = 106, x∗ = 999996,
|x − x∗||x |
≈ 0.000004 <10−5
2
luego x∗ aproxima a x con 6 dıgitos significativos.
3. β = 10, x = 0.000012, x∗ = 0.000009,
|x − x∗||x |
≈ 0.25 <10−0
2
luego x∗ aproxima a x con 1 dıgito significativo.
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Fuentes usuales de errorRepresentacion de numerosTipos de errores
Tipos de errores
Definicion 4
Si d es el mayor entero para el cual |x − x∗| < β−d
2se dice que x∗
aproxima a x con d decimales.
¿Con cuantos decimales se realizan las aproximaciones de losejemplos anteriores?
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Tipos de errores
Definicion 4
Si d es el mayor entero para el cual |x − x∗| < β−d
2se dice que x∗
aproxima a x con d decimales.
¿Con cuantos decimales se realizan las aproximaciones de losejemplos anteriores?
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IntroduccionTeoremas basicos
ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Propagacion del error
Consideremos una maquina en la que β = 10, n = 6, medianteerror de truncatura.
Por tanto, el error relativo caracterıstico derepresentacion es de 10−6+1 = 10−5.
Sean a = 1001 y b = 1000. Entonces
a2 − b2 ≈ 1002000− 1000000 = 2000,
con error2001− 2000
20001≈ 5× 10−4.
Peroa2 − b2 = (a− b)(a + b) = a + b = 2001,
con error 0.Luego procesos matematicos equivalentes pueden no sercomputacionalmente equivalentes.
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ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Propagacion del error
Consideremos una maquina en la que β = 10, n = 6, medianteerror de truncatura. Por tanto, el error relativo caracterıstico derepresentacion es de 10−6+1 = 10−5.
Sean a = 1001 y b = 1000. Entonces
a2 − b2 ≈ 1002000− 1000000 = 2000,
con error2001− 2000
20001≈ 5× 10−4.
Peroa2 − b2 = (a− b)(a + b) = a + b = 2001,
con error 0.Luego procesos matematicos equivalentes pueden no sercomputacionalmente equivalentes.
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ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Propagacion del error
Consideremos una maquina en la que β = 10, n = 6, medianteerror de truncatura. Por tanto, el error relativo caracterıstico derepresentacion es de 10−6+1 = 10−5.
Sean a = 1001 y b = 1000. Entonces
a2 − b2 ≈ 1002000− 1000000 = 2000,
con error2001− 2000
20001≈ 5× 10−4.
Peroa2 − b2 = (a− b)(a + b) = a + b = 2001,
con error 0.Luego procesos matematicos equivalentes pueden no sercomputacionalmente equivalentes.
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Propagacion del error
Consideremos una maquina en la que β = 10, n = 6, medianteerror de truncatura. Por tanto, el error relativo caracterıstico derepresentacion es de 10−6+1 = 10−5.
Sean a = 1001 y b = 1000. Entonces
a2 − b2 ≈ 1002000− 1000000 = 2000,
con error2001− 2000
20001≈ 5× 10−4.
Peroa2 − b2 = (a− b)(a + b) = a + b = 2001,
con error 0.Luego procesos matematicos equivalentes pueden no sercomputacionalmente equivalentes.
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Propagacion del error
Consideremos una maquina en la que β = 10, n = 6, medianteerror de truncatura. Por tanto, el error relativo caracterıstico derepresentacion es de 10−6+1 = 10−5.
Sean a = 1001 y b = 1000. Entonces
a2 − b2 ≈ 1002000− 1000000 = 2000,
con error2001− 2000
20001≈ 5× 10−4.
Peroa2 − b2 = (a− b)(a + b) = a + b = 2001,
con error 0.Luego procesos matematicos equivalentes pueden no sercomputacionalmente equivalentes.
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Propagacion del error
Consideremos una maquina en la que β = 10, n = 6, medianteerror de truncatura. Por tanto, el error relativo caracterıstico derepresentacion es de 10−6+1 = 10−5.
Sean a = 1001 y b = 1000. Entonces
a2 − b2 ≈ 1002000− 1000000 = 2000,
con error2001− 2000
20001≈ 5× 10−4.
Peroa2 − b2 = (a− b)(a + b) = a + b = 2001,
con error 0.
Luego procesos matematicos equivalentes pueden no sercomputacionalmente equivalentes.
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Propagacion del error
Consideremos una maquina en la que β = 10, n = 6, medianteerror de truncatura. Por tanto, el error relativo caracterıstico derepresentacion es de 10−6+1 = 10−5.
Sean a = 1001 y b = 1000. Entonces
a2 − b2 ≈ 1002000− 1000000 = 2000,
con error2001− 2000
20001≈ 5× 10−4.
Peroa2 − b2 = (a− b)(a + b) = a + b = 2001,
con error 0.Luego procesos matematicos equivalentes pueden no sercomputacionalmente equivalentes.
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Propagacion del error
Otro ejemplo:
Si a = 1, b = 108 y c = −108, entonces
a + (b + c) = 1,
(a + b) + c = 0.
Por otro lado a + b = b, luego ¿es a = 0?.
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Otro ejemplo:
Si a = 1, b = 108 y c = −108, entonces
a + (b + c) = 1,
(a + b) + c = 0.
Por otro lado a + b = b, luego ¿es a = 0?.
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Otro ejemplo:
Si a = 1, b = 108 y c = −108, entonces
a + (b + c) = 1,
(a + b) + c = 0.
Por otro lado a + b = b, luego ¿es a = 0?.
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Otro ejemplo:
Si a = 1, b = 108 y c = −108, entonces
a + (b + c) = 1,
(a + b) + c = 0.
Por otro lado a + b = b, luego ¿es a = 0?.
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Otro ejemplo:
Si a = 1, b = 108 y c = −108, entonces
a + (b + c) = 1,
(a + b) + c = 0.
Por otro lado a + b = b, luego ¿es a = 0?.
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Ejercicio
Se desea obtenern∑
i=1
ai con n muy grande (miles de millones).
¿Cual es la mejor forma de ordenar los calculos?
1. Si los ai son todos del mismo signo y magnitudes parecidas,
2. Si los ai son todos del mismo signo y magnitudes muydiversas,
3. Si los ai son de cualquier signo y magnitudes parecidas,
4. Si los ai son de cualquier signo y magnitudes muy diversas?
Departamento de Matematica Aplicada. Calculo Numerico Tema 1 Preliminares
IntroduccionTeoremas basicos
ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Propagacion del error
Ejercicio
Se desea obtenern∑
i=1
ai con n muy grande (miles de millones).
¿Cual es la mejor forma de ordenar los calculos?
1. Si los ai son todos del mismo signo y magnitudes parecidas,
2. Si los ai son todos del mismo signo y magnitudes muydiversas,
3. Si los ai son de cualquier signo y magnitudes parecidas,
4. Si los ai son de cualquier signo y magnitudes muy diversas?
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ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Propagacion del error
Ejercicio
Se desea obtenern∑
i=1
ai con n muy grande (miles de millones).
¿Cual es la mejor forma de ordenar los calculos?
1. Si los ai son todos del mismo signo y magnitudes parecidas,
2. Si los ai son todos del mismo signo y magnitudes muydiversas,
3. Si los ai son de cualquier signo y magnitudes parecidas,
4. Si los ai son de cualquier signo y magnitudes muy diversas?
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IntroduccionTeoremas basicos
ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Propagacion del error
Advertencia
Las operaciones de sumar (absoluta), multiplicar y dividirintroducen error relativo de magnitud igual al de representacion,pero la resta (absoluta) puede introducir un error relativogigantesco.
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IntroduccionTeoremas basicos
ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Condicionamiento y Estabilidad
Definicion 5
Un proceso esta bien condicionado si pequenas variaciones en susdatos de entrada provocan pequenas variaciones en la solucion, ymal condicionado si las mismas condiciones provocan grandesvariaciones en la solucion.
Un proceso de calculo es estable si los errores de representacion yredondeo introducidos tanto a la entrada como durante lasoperaciones intermedias no provocan perturbacion importante enlos resultados; e inestable en caso contrario.
Solo si se tiene un problema bien condicionado y se resuelve con unproceso estable se puede tener garantıa de precision en el resultado.
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IntroduccionTeoremas basicos
ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Condicionamiento y Estabilidad
Definicion 5
Un proceso esta bien condicionado si pequenas variaciones en susdatos de entrada provocan pequenas variaciones en la solucion, ymal condicionado si las mismas condiciones provocan grandesvariaciones en la solucion.
Un proceso de calculo es estable si los errores de representacion yredondeo introducidos tanto a la entrada como durante lasoperaciones intermedias no provocan perturbacion importante enlos resultados; e inestable en caso contrario.
Solo si se tiene un problema bien condicionado y se resuelve con unproceso estable se puede tener garantıa de precision en el resultado.
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Condicionamiento y Estabilidad
Definicion 5
Un proceso esta bien condicionado si pequenas variaciones en susdatos de entrada provocan pequenas variaciones en la solucion, ymal condicionado si las mismas condiciones provocan grandesvariaciones en la solucion.
Un proceso de calculo es estable si los errores de representacion yredondeo introducidos tanto a la entrada como durante lasoperaciones intermedias no provocan perturbacion importante enlos resultados; e inestable en caso contrario.
Solo si se tiene un problema bien condicionado y se resuelve con unproceso estable se puede tener garantıa de precision en el resultado.
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IntroduccionTeoremas basicos
ErroresPropagacion del error
Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Condicionamiento y Estabilidad
Por ejemplo, es facil demostrar por induccion que la sucesion devalores
12n
n≥0
puede generarse indistintamente a partir de lossiguientes algoritmos:
(I) s0 = 1, sn = 12sn−1, n ≥ 1.
(II) s0 = 1, s1 = 12 , sn = 23
2 sn−1 − 112 sn−2, n ≥ 2.
Sin embargo, con el segundo (operando con 6 cifras de precision) eldecimosexto termino es s15 = −113, frente al valor 1
215 ' 0.00031.
Analogamente, la sucesion
13n
n≥0
puede generarse a partir delalgoritmo
s0 = 1, s1 =1
3, sn =
10
3sn−1 − sn−2,
n ≥ 2, que tambien es inestable.
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Condicionamiento y EstabilidadNormas de computacion para el curso
Condicionamiento y Estabilidad
Por ejemplo, es facil demostrar por induccion que la sucesion devalores
12n
n≥0
puede generarse indistintamente a partir de lossiguientes algoritmos:
(I) s0 = 1, sn = 12sn−1, n ≥ 1.
(II) s0 = 1, s1 = 12 , sn = 23
2 sn−1 − 112 sn−2, n ≥ 2.
Sin embargo, con el segundo (operando con 6 cifras de precision) eldecimosexto termino es s15 = −113, frente al valor 1
215 ' 0.00031.
Analogamente, la sucesion
13n
n≥0
puede generarse a partir delalgoritmo
s0 = 1, s1 =1
3, sn =
10
3sn−1 − sn−2,
n ≥ 2, que tambien es inestable.
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Condicionamiento y Estabilidad
Por ejemplo, es facil demostrar por induccion que la sucesion devalores
12n
n≥0
puede generarse indistintamente a partir de lossiguientes algoritmos:
(I) s0 = 1, sn = 12sn−1, n ≥ 1.
(II) s0 = 1, s1 = 12 , sn = 23
2 sn−1 − 112 sn−2, n ≥ 2.
Sin embargo, con el segundo (operando con 6 cifras de precision) eldecimosexto termino es s15 = −113, frente al valor 1
215 ' 0.00031.
Analogamente, la sucesion
13n
n≥0
puede generarse a partir delalgoritmo
s0 = 1, s1 =1
3, sn =
10
3sn−1 − sn−2,
n ≥ 2, que tambien es inestable.
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Condicionamiento y Estabilidad
Por ejemplo, es facil demostrar por induccion que la sucesion devalores
12n
n≥0
puede generarse indistintamente a partir de lossiguientes algoritmos:
(I) s0 = 1, sn = 12sn−1, n ≥ 1.
(II) s0 = 1, s1 = 12 , sn = 23
2 sn−1 − 112 sn−2, n ≥ 2.
Sin embargo, con el segundo (operando con 6 cifras de precision) eldecimosexto termino es s15 = −113, frente al valor 1
215 ' 0.00031.
Analogamente, la sucesion
13n
n≥0
puede generarse a partir delalgoritmo
s0 = 1, s1 =1
3, sn =
10
3sn−1 − sn−2,
n ≥ 2, que tambien es inestable.Departamento de Matematica Aplicada. Calculo Numerico Tema 1 Preliminares
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Normas de computacion para el curso
Salvo indicacion contraria, se debe trabajar con todas las cifras de lacalculadora, incluso si se pide poca precision.
En particular, si se pide un resultado con 5 cifras decimales deprecision, NO se deben redondear los calculos intermedios a 5decimales.
Para procesos iterativos de aproximaciones sucesivas, se detendra elproceso cuando se repitan:
Tantas cifras como la precision requerida, si el proceso tieneasegurada una convergencia rapida (velocidad superior a lalineal, que ya se vera).Tantas cifras como la precision requerida MAS DOS, si elproceso converge lentamente (velocidad lineal).
Ojo a las funciones trigonomtricas: hay que poner siempre lacalculadora en modo radianes.
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Normas de computacion para el curso
Salvo indicacion contraria, se debe trabajar con todas las cifras de lacalculadora, incluso si se pide poca precision.
En particular, si se pide un resultado con 5 cifras decimales deprecision, NO se deben redondear los calculos intermedios a 5decimales.
Para procesos iterativos de aproximaciones sucesivas, se detendra elproceso cuando se repitan:
Tantas cifras como la precision requerida, si el proceso tieneasegurada una convergencia rapida (velocidad superior a lalineal, que ya se vera).Tantas cifras como la precision requerida MAS DOS, si elproceso converge lentamente (velocidad lineal).
Ojo a las funciones trigonomtricas: hay que poner siempre lacalculadora en modo radianes.
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Salvo indicacion contraria, se debe trabajar con todas las cifras de lacalculadora, incluso si se pide poca precision.
En particular, si se pide un resultado con 5 cifras decimales deprecision, NO se deben redondear los calculos intermedios a 5decimales.
Para procesos iterativos de aproximaciones sucesivas, se detendra elproceso cuando se repitan:
Tantas cifras como la precision requerida, si el proceso tieneasegurada una convergencia rapida (velocidad superior a lalineal, que ya se vera).Tantas cifras como la precision requerida MAS DOS, si elproceso converge lentamente (velocidad lineal).
Ojo a las funciones trigonomtricas: hay que poner siempre lacalculadora en modo radianes.
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En particular, si se pide un resultado con 5 cifras decimales deprecision, NO se deben redondear los calculos intermedios a 5decimales.
Para procesos iterativos de aproximaciones sucesivas, se detendra elproceso cuando se repitan:
Tantas cifras como la precision requerida, si el proceso tieneasegurada una convergencia rapida (velocidad superior a lalineal, que ya se vera).
Tantas cifras como la precision requerida MAS DOS, si elproceso converge lentamente (velocidad lineal).
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En particular, si se pide un resultado con 5 cifras decimales deprecision, NO se deben redondear los calculos intermedios a 5decimales.
Para procesos iterativos de aproximaciones sucesivas, se detendra elproceso cuando se repitan:
Tantas cifras como la precision requerida, si el proceso tieneasegurada una convergencia rapida (velocidad superior a lalineal, que ya se vera).Tantas cifras como la precision requerida MAS DOS, si elproceso converge lentamente (velocidad lineal).
Ojo a las funciones trigonomtricas: hay que poner siempre lacalculadora en modo radianes.
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Salvo indicacion contraria, se debe trabajar con todas las cifras de lacalculadora, incluso si se pide poca precision.
En particular, si se pide un resultado con 5 cifras decimales deprecision, NO se deben redondear los calculos intermedios a 5decimales.
Para procesos iterativos de aproximaciones sucesivas, se detendra elproceso cuando se repitan:
Tantas cifras como la precision requerida, si el proceso tieneasegurada una convergencia rapida (velocidad superior a lalineal, que ya se vera).Tantas cifras como la precision requerida MAS DOS, si elproceso converge lentamente (velocidad lineal).
Ojo a las funciones trigonomtricas: hay que poner siempre lacalculadora en modo radianes.
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