TEMA 10: CÁLCULO DE PROBABILIDADES
1. EXPERIMENTO ALEATORIO. SUCESO
Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado depende del azar.
Al conjunto E (o ) de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio
se llama espacio muestral.
Un suceso, A, es un conjunto de resultados del espacio muestral, o con otras
palabras un subconjunto del espacio muestral. Se llama suceso elemental a cada
uno de los elementos del espacio muestral.
Se dice que un suceso se verifica, o que ocurre, cuando al realizar la experiencia
aleatoria, el resultado es uno de los elementos de ese suceso.
El conjunto vacío ∅ y E mismo son subconjunto de E por lo tanto son sucesos. A
∅ se le llama suceso imposible (nunca se presenta) y al propio E suceso seguro
(siempre se presenta).
Proposición: Si E tiene n elementos, el número de sucesos de E es 2ⁿ.
Ejemplo:
Sea el experimento "tirar un dado y observar el número que sale".
a) Describe el espacio muestral.
𝐸 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) Describe los sucesos: A=" Salir un número par"; B="Salir un número impar";
C="Salir un número primo".
𝐴 = {2, 4, 6} 𝐵 = {1, 3, 5} 𝐶 = {2, 3, 5}
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c) Describe los sucesos:
- Salir par o número primo: {2, 3, 5, 6}
- Salir impar y primo: {3, 5}
- No salir primo: {1, 4, 6}
- Salir par y no primo: {1, 4, 6}
2. OPERACIONES CON SUCESOS
Como un suceso es un conjunto, podemos combinar sucesos para formar otros
nuevos usando las operaciones con conjuntos:
2.1 Operaciones
Dados dos sucesos A y B, de un espacio muestral.
a) UNIÓN: 𝐴 ∪ 𝐵, es el suceso que ocurre si A ocurre u ocurre B (o ambos). Es
el suceso formado por todos los elementos de A y B.
b) INTERSECCIÓN: 𝐴 ∩ 𝐵, es el suceso que ocurre si A ocurre y ocurre B. Es el
suceso formado por todos los elementos de A y de B.
c) COMPLEMENTARIO O CONTRARIO DE A: �̅� = 𝐴′ = 𝐴𝑐, es el suceso que
ocurre si A no ocurre.
d) DIFERENCIA: 𝐴 − 𝐵, se verifica cuando lo hace A y no B. Es el suceso
formado por todos los elementos de A que no son de B.
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Dos sucesos se dicen incompatibles, cuando no tienen ningún elemento en
común. Es decir, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.
Los sucesos incompatibles no se pueden verificar simultáneamente.
Ejemplo:
Sea el experimento "tirar una moneda tres veces y observar la secuencia de caras
(C) y cruces (+) que aparecen".
a) Describe el espacio muestral.
𝐸 = {𝑐𝑐𝑐, 𝑐𝑐+, 𝑐 + 𝑐, +𝑐𝑐, 𝑐 + +, +𝑐+, + + 𝑐, + + +}
b) Describe los sucesos: 𝐴 = "Dos o más caras aparecen consecutivamente"; 𝐵 =
“Todas las tiradas sean iguales".
𝐴 = {𝑐𝑐𝑐, 𝑐𝑐+, +𝑐𝑐} 𝐵 = {𝑐𝑐𝑐, + + +}
c) Describe los sucesos: 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 − 𝐵, 𝐵 − 𝐴, �̅� .
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑐𝑐𝑐, 𝑐𝑐+, +𝑐𝑐, + + +} 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑐𝑐𝑐} 𝐴 − 𝐵 = { 𝑐𝑐+, +𝑐𝑐} 𝐵 − 𝐴 = {+ + +} �̅� = {𝑐 + 𝑐, 𝑐 + +, +𝑐+, + + 𝑐, + + +}
2. 2 Propiedades de las operaciones con sucesos
a) DISTRIBUTIVAS: 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
b) SIMPLIFICACIÓN: 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴
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c) COMPLEMENTARIO DEL COMPLEMENTARIO: (𝐴𝑐)𝑐 = 𝐴
d) cA B A B
e) LEYES DE MORGAN: (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐
(𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐
3. FRECUENCIA Y PROBABILIDAD
Realizamos N veces una experiencia.
Se llama frecuencia absoluta de un suceso S, 𝐹𝑎, al número de veces que ocurre
S.
Se llama frecuencia relativa de S, Fr, a la proporción de veces que ocurre S.
a
r
F SF S
N
3.1 Ley de los grandes números
Al realizar reiteradamente una experiencia aleatoria, la frecuencia relativa de
cierto suceso, Fr, va tomando distintos valores. Estos valores al principio sufren
grandes oscilaciones, pero poco a poco, se van estabilizando (oscilan cada vez
menos). Cuando N crece mucho, se aproximan a un cierto valor que es la
probabilidad de S, P(S).
P S lim rN
F S
3.2 Propiedades de la probabilidad
Axiomas: La probabilidad de un suceso es un número, que cumple los siguientes
axiomas:
i) 𝑃(𝑆) ≥ 0
ii) Si dos sucesos son incompatibles, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, entonces:
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𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵).
iii) 𝑃(𝐸) = 1.
Teoremas: La probabilidad cumple las siguientes propiedades:
1. 𝑃(𝐴𝑐) = 1 − 𝑃(𝐴).
2. 𝑃(∅) = 0.
3. Si 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵). Se tiene por tanto que la probabilidad es un número
entre 0 y 1.
4. Si 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵 − 𝐴).
5. Si 𝐴₁, 𝐴₂, … , 𝐴𝑘, son incompatibles dos a dos, 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, entonces:
𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑘) = 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐴2) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑘)
6. 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).
7. Si el espacio muestral es finito y un suceso es 𝑆 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘} entonces:
𝑃(𝑆) = 𝑃(𝑥1) + 𝑃(𝑥2) + ⋯ + 𝑃(𝑥𝑘)
8. 𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).
9. 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑐) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).
Ejemplo:
Teniendo en cuenta que 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0.9, 𝑃(𝐵𝑐) = 0.4 y 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.3. Calcula
𝑃(𝐴) y 𝑃(𝐴𝑐 ∩ 𝐵).
𝑃(𝐵) = 1 − 𝑃(𝐵𝑐) = 1 − 0.4 = 0.6 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵), Por lo que, 0.9 = 𝑃(𝐴) + 0.6 − 0.3 ⇒ 𝑃(𝐴) = 0.6 𝑃(𝐴𝑐 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴⋂𝐵) = 0.6 − 0.3 = 0.3
4. LEY DE LAPLACE
La propiedad 7 permite calcular la probabilidad de un suceso S, conociendo la
probabilidad de los sucesos elementales que lo componen.
Pero, si el espacio muestral consta de n sucesos elementales equiprobables, 1
n,
entonces la probabilidad de S solo depende del número de sucesos elementales
que lo componen:
Tantos sumandos como elementos tiene S
1 1 1 1P S
n n n n
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Ley de Laplace: Si 𝐸 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} con 𝑃(𝑥1) = 𝑃(𝑥2) = ⋯ = 𝑃(𝑥𝑛), entonces:
Número de elementos de S Número de "casos favorables"
Número de "casos posibles"P S
n
Esto es, la probabilidad de un suceso S, de un espacio muestral E, formado por
sucesos elementales equiprobables, es igual al número de "casos favorables" entre
el número de "casos posibles".
La Regla de Laplace solo se puede usar para instrumentos regulares y
equiprobables.
Ejemplo:
En una baraja de 40 cartas, hallar:
a) 𝑃(𝐴𝑠) =4
40=
1
10= 0.1
b) 𝑃(𝑂𝑟𝑜) =10
40=
1
4= 0.25
5. DIAGRAMAS
5.1 Diagrama cartesiano
Un diagrama cartesiano es una tabla de doble entrada, que tiene la utilidad en
algunos experimentos compuestos formados por dos simples. En la fila superior
se colocan los sucesos elementales de un experimento simple, y en la columna de
la izquierda, los sucesos elementales del otro experimento simple.
𝑥1 𝑥2 𝑥3 ⋯ 𝑥𝑛
𝑠1
𝑠2
𝑠3
⋮
𝑠𝑘
Ejemplo:
María y Laura idean el siguiente juego: Cada una lanza un dado, si en los dos
dados sale el mismo número, gana Laura; si la suma de ambos es 7, gana María;
y en cualquier otro caso hay empate.
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a) Calcule la probabilidad de que gane Laura. 𝑃(𝐺𝑎𝑛𝑎 𝐿𝑎𝑢𝑟𝑎) =6
36=
1
6
b) Calcule la probabilidad de que gane María. 𝑃(𝐺𝑎𝑛𝑎 𝑀𝑎𝑟í𝑎) =6
36=
1
6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
5. 2 Diagrama en árbol
Un diagrama en árbol es un gráfico que nace de un tronco, cuyos trazos se van
ramificando como un árbol. Se llama así porque está formado de ramas.
Una rama es cada una de las flechas del diagrama. Siempre se debe escribir en
ellas la probabilidad que corresponde a un experimento simple.
Un camino es el conjunto de ramas que van desde el principio al fin.
Ejemplo:
Calcula la probabilidad de que al lanzar dos monedas se obtengan dos caras.
Helado
Chocolate
Vainilla
Fresa
Barquillo
Vaso
Barquillo
Vaso
Barquillo
Vaso
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𝑃(𝑐𝑐) = 0.5 · 0.5 = 0.25
5.3 Tabla de contingencia
Una tabla de contingencia es una tabla que permite organizar los elementos de
una población según dos características. Se llama tabla de contingencia porque
permite calcular todas las posibilidades o contingencias.
Se construye una tabla de contingencia escribiendo en primer lugar los datos
conocidos, y luego se completa el resto.
Ejemplo:
En una universidad española el 30% de los estudiantes son extranjeros y, de estos,
el 15% están becados. De los estudiantes españoles, sólo el 8% tienen beca. Si se
elige al azar un alumno de esa universidad:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea español y no tenga beca?
b) Calcule la probabilidad de que sea extranjero, sabiendo que no tiene beca.
EXTRANJERO ESPAÑOL TOTAL
BECADO 15 8 23
NO BECADO 25 52 77
TOTAL 30 60 100
𝑃(𝐸𝑠𝑝𝑎ñ𝑜𝑙 𝑦 𝑁𝑜 𝑏𝑒𝑐𝑎) =52
100= 0.52
𝑃(𝐸𝑥𝑡𝑟𝑎𝑛𝑗𝑒𝑟𝑜/𝑏𝑒𝑐𝑎) =15
23≃ 0.65
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
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6. PROBABILIDAD CONDICIONADA. SUCESOS INDEPENDIENTES
Ejemplo introductorio:
Supongamos que un candidato A obtiene un 52% de todos los votos, pero sólo el
46% del voto femenino.
𝑃(𝐴) = 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎 𝑣𝑜𝑡𝑒 𝑎 𝐴 = 0.52 𝑃(𝐴/𝑀) = 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 𝑣𝑜𝑡𝑒 𝑎 𝐴 = 0.46
A 𝑃(𝐴/𝑀) se le llama probabilidad de 𝐴 condicionada a 𝑀. 𝑃(𝐴/𝑀) sólo se fija
en el espacio muestral reducido que se compone de mujeres.
El hecho de que 𝑃(𝐴) ≠ 𝑃(𝐴/𝑀) se denomina "la diferencia de género" en
política. Por otra parte, si 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴/𝑀), entonces diremos que votar a A es
independiente del género del votante.
Los sucesos A y B se llaman independientes si la probabilidad de uno de ellos
no depende de que se haya verificado el otro. En otro caso se llaman
dependientes.
Dados los sucesos A y B se llama probabilidad de A condicionada a B y se
escribe 𝑃(𝐴/𝐵) a:
𝑃(𝐴/𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
Consecuencia: De aquí se deduce que 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) ⋅ 𝑃(𝐴/𝐵).
Si dos suceso A y B son independientes 𝑷(𝑨) = 𝑷(𝑨/𝑩) y 𝑷(𝑩/𝑨) = 𝑷(𝑩).
Observación: Las probabilidades condicionadas son las segundas ramas y
sucesivas de los árboles
Teorema: Cuando dos sucesos son independientes la probabilidad de la
intersección es igual al producto de las probabilidades.
A y B independientes ⇒ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵)
Ejemplo:
Sean A y B dos sucesos independientes tales que 𝑃(𝐴) = 0.4 y 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.05.
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a) Calcule P(B).
Como son independientes, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵) por lo que
0.05 = 0.4 · 𝑃(𝐵) ⇒ 𝑃(𝐵) = 0.125
b) Calcule 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑐).
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑐) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.4 − 0.05 = 0.35
c) Calcule Sabiendo que no ha sucedido B, calcule la probabilidad de que suceda
A.
𝑃(𝐴/𝐵𝑐) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑐)
𝑃(𝐵𝑐)=
0.35
1 − 0.125= 0.4
7. EXTRACCIONES
En los experimentos de extracciones sucesivas de objetos de un montón, se suelen
dar dos posibilidades.
7.1 Extracciones con reemplazamiento o "con devolución" o independientes
Se da este tipo de extracción cuando el objeto extraído se devuelve al montón
antes de hacer cada extracción. En este caso, el resultado de cada experimento
es independiente de los resultados anteriores.
7.2 Extracciones sin reemplazamiento o "sin devolución" o dependientes
Se consideran estas extracciones cuando el objeto extraído se mantiene fuera del
montón al hacer las restantes extracciones. En este caso, el resultado de cada
experimento es dependiente de los resultados anteriores
8. REGLA DEL PRODUCTO O DE LA PROBABILIDAD COMPUESTA
Si 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 son sucesos dependientes, entonces:
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𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴𝑛) =
= 𝑃(𝐴1) · 𝑃(𝐴2/𝐴1) · 𝑃(𝐴3/𝐴1 ∩ 𝐴2) · ⋯ · 𝑃(𝐴𝑛/𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴𝑛−1)
En la práctica la regla del producto o de la probabilidad compuesta dice que la
probabilidad de un camino es igual al producto de las probabilidades de las
ramas que lo forman.
9. PROBABILIDAD TOTAL
Teorema: Tenemos n sucesos 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 incompatibles dos a dos, y tales que
𝐸 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑛. Entonces para cualquier suceso S se cumple que:
= / / /
n
n n
P S P A S P A S P A S
P A P S A P A P S A P A P S A
₁ ₂
₁ ₁ ₂ ₂
Demostración:
1 2 3 1 2 3
Disjuntos dos a dos
n n
S E
S S E S A A A A S A S A S A S A
Entonces:
1 2 3 nP S P S A P S A P S A P S A
Como, · / k k k kP S A P A S P A P S A , llegamos al resultado pedido.
Este resultado es especialmente útil para experiencias compuestas que suceden
en el tiempo. En la práctica la regla de la probabilidad total dice que la
probabilidad de varios caminos es igual a la suma de las probabilidades de
cada una de los caminos.
Se aplica la regla cuando se pregunta por la probabilidad total de un suceso, S,
de la última experiencia y se conocen las probabilidades condicionadas de este
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suceso a los sucesos de la primera experiencia. Es decir, se debe calcular la
probabilidad de un suceso al que se puede llegar por varios caminos del árbol.
Los sucesos 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛son de la primera etapa e incompatibles dos a dos. S es
un suceso de la segunda etapa. Se puede llegar a S pasando por 𝐴1, 𝐴2, … ó 𝐴𝑛.
Ejemplo:
Entre las 7 bolas de una máquina de futbolín hay 2 rojas y 5 blancas; en cada
partida, la máquina va sacando las bolas de una en una, de forma aleatoria, sin
reemplazamiento. Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:
a) "La primera bola es roja"
b) "Las dos primeras bolas son blancas"
c) "Las dos primeras bolas son de colores distintos"
a) 𝑃(𝑅) =
2
7.
b) Por la regla de la probabilidad compuesta o regla del producto:
𝑃(𝐵 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) · 𝑃 (𝐵
𝐵) =
5
7·
4
6=
10
21
c) Por el teorema de la probabilidad total:
𝑃(𝐷𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟) = 𝑃(𝑅 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐵 ∩ 𝑅) =
=2
7·
5
6+
5
7·
2
6=
10
21
10. PROBABILIDADES "A POSTERIORI". FÓRMULA DE BAYES
RojaRoja
Blanca
BlancaRoja
Blanca
𝑃(𝑅) = 2/7
𝑃(𝑅/𝑅) = 1/6
𝑃(𝐵) = 5/7
𝑃(𝐵/𝑅) = 5/6
𝑃(𝑅/𝐵) = 2/6
𝑃(𝐵/𝐵) = 4/6
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En una experiencia compuesta de dos, si A es un suceso correspondiente a la
primera y S es un suceso correspondiente a la segunda, el resultado P(A/S) es
interesante. Se puede llegar a S pasando por A o por otros sucesos. Si sabemos
que finalmente ha ocurrido S, ¿Cuál es la probabilidad de que haya pasado por
A?
Es decir, de las distintas formas en que se puede llegar a S, ¿en qué proporción
de ellas se pasa por A?
Teorema (Fórmula de Bayes) Tenemos n sucesos 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 incompatibles dos
a dos, y tales que 𝐸 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑛 y un suceso S para el que se conocen las
𝑃(𝑆/𝐴𝑖) entonces:
P A SP A / S
i
iP S
desarrollándola
//
/ / /
i i
i
n n
P A P S AP A S
P A P S A P A P S A P A P S A
₁ ₁ ₂ ₂
Las 𝑃(𝐴𝑖) se llaman "probabilidad a priori" porque se conocen.
Las 𝑃(𝑆/𝐴𝑖) se llaman "verosimilitudes" porque se comprenden fácilmente.
Las 𝑃(𝐴𝑖/𝑆) se llaman "probabilidades a porsteriori" porque son las que hay que
calcular.
En la práctica se aplica Bayes cuando se pregunta por la probabilidad de haber
recorrido un determinado camino del árbol para llegar a un suceso, S, de la
segunda experiencia en todos los caminos posibles que llevan al mismo suceso.
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Ejemplo:
De los 150 coches de un concesionario, 90 tienen motor diésel y el resto gasolina.
De los coches con motor diésel, 72 son nuevos y el resto usados; mientras que de
los coches con motor de gasolina hay el mismo número de coches nuevos que de
usados. Se elige, al azar, un coche de dicho concesionario; Calcule la probabilidad
de que:
a) Sea nuevo.
b) Tenga motor diésel, sabiendo que es usado.
a) Teorema de la probabilidad total
90 72 60 30 17
· · 0.68150 90 150 60 25
P N P D N P G N
b) Teorema de Bayes
90 18·
3150 90/ 0.08690 18 60 30 35
· ·150 90 150 60
P D UP D U
P U
DiéselNuevo
Usado
GasolinaNuevo
Usado
𝑃(𝐷) = 90/150
𝑃(𝑁/𝐷) = 72/90
𝑃(𝐺) = 60/150
𝑃(𝑈/𝐷) = 18/90
𝑃(𝑁/𝐺) = 30/60
𝑃(𝑈/𝐺) = 30/60
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