Ejercicio 1. Los dos primeros términos de una progresión geométrica son 2501 =a y 3002 =a . Calcular r , 6a y na .
Solución:
2,125030025030012 ==→⋅=→⋅= rrraa
2501 =a , 3002 =a , 3603 =a , 4324 =a , 4,5185 =a ; 08,6226 =a TÉRMINO GENERAL: 12,1250 −⋅= n
na - Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 1.
Figura 2.
Figura 3.
Tema 3: Progresiones.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
2
Figura 4.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 2.
En una progresión geométrica, 6251 =a y 4003 =a . Hallar sus primeros términos.
Solución:
Lo primero es calcular la razón:
8,064,0625/400625400 22213 ±=→==→⋅=→⋅= rrrraa
Hay dos progresiones geométricas que cumplen las condiciones impuestas. Sus razones son 8,0=r y 8,0´ −=r .
• →= 8,0r 625, 500, 400, 320, 256, ... • →−= 8,0´r 625, -500, 400, -320, 256, ...
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 5.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 3. Progresiones.
3
Figura 6.
Figura 7.
Figura 8.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 3.
En una progresión geométrica de términos positivos, 31 =a y 63 =a . Hallar na , 20a y 21a .
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
4
Solución:
223/663 22213 ±=→==→=→⋅= rrrraa
Como los términos son positivos, la razón también lo es: 2=r
( ) 123
−⋅=
n
na
( ) ( ) 2153622322323 91819
20 ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=a ( ) 3072215362215362021 =⋅=⋅=⋅= raa
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 9.
Figura 10.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 4.
Un centurión le pidió al César que le recompensara por su valentía. El César, mostrándole grandes montones de monedas, le dijo: "Puedes tomar un denario; mañana, 2; al día siguiente, 4; al otro, 8. Así, sucesivamente, cada día duplicarás lo del anterior. Pero lo de cada día deberás llevártelo tú solo y de una sola vez. Te permito usar un carro". Suponiendo que un denario pesara 20 g y que lo máximo que consiguiera llevar en un carro fuera una tonelada, ¿cuántos días duró la recompensa? ¿Cuál fue el número de denarios de la última carretada?
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 3. Progresiones.
5
Solución:
Denarios que hay en una tonelada 5000020:1000000 =→ Denarios que se lleva cada día 11 221 −− =⋅=→ nn
na ¿Cuál será el mayor valor de n para que 12 −n sea menor que 50000? Utilizando el factor constante obtenemos que 32768215 = y 65536216 = . Así, 16151 =→=− nn La recompensa duró 16 días, y el último día se llevó 32768 denarios.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 11.
Figura 12.
Figura 13.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
6
Ejercicio 5. Construye una progresión geométrica cuyo primer término es 125 y cuya razón es 0,4. Solución:
.4,0;1251 == ra Una progresión geométrica tiene como término general: 11
−⋅= nn raa por tanto:
504,01252 =⋅=a
204,0125 23 =⋅=a La progresión geométrica con 4,01251 == rya es:
84,0125 34 =⋅=a ( )...8,20,50,125
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 14.
Figura 15.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 6.
De una progresión geométrica conocemos 625,01 =a y 9,03 =a . Halla r y los seis primeros términos.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 3. Progresiones.
7
Solución:
.9,0;625,0 31 == aa Sabiendo que 213 raa ⋅= , calculamos
:r ;625,09,0;
625,09,0;625,09,0 22 ==⋅= rrr
−+
=2,12,1
r Existen pues 2 progresiones que cumplen los requisitos: ( )( )
−⋅=+⋅=
−
−
1
1
2,1625,022,1625,01
nn
nn
aa
Calculamos
los 6 primeros términos de cada progresión: ( ) 12,1625,0 −+⋅= n
na ( ) 12,1625,0 −−⋅= nna
( ) 625,02,1625,0 11
1 =+⋅= −a ( ) 08,12,1625,0 144 =+⋅= −a ( ) 625,02,1625,0 11
1 =−⋅= −a ( ) 08,12,1625,0 144 −=−⋅= −a
( ) 75,02,1625,0 12
2 =+⋅= −a ( ) 29,12,1625,0 155 =+⋅= −a ( ) 75,02,1625,0 12
2 −=−⋅= −a ( ) 29,12,1625,0 155 =−⋅= −a
( ) 9,02,1625,0 13
3 =+⋅= −a ( ) 555,12,1625,0 166 =+⋅= −a ( ) 9,02,1625,0 13
3 =−⋅= −a ( ) 555,12,1625,0 166 −=−⋅= −a
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 16.
Figura 17.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
8
Figura 18.
Figura 19.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 7.
En una progresión geométrica de términos positivos, 21 =a y 63 =a . Halla na , 11a y 12a .
Solución:
.326;;;6;2
1
3
1
3223131 ====⋅===
aa
raa
rraaaa Ya podemos hallar na , 11a y 12a :
Término general: Término 11a : Término 12a :
( ) 132
−⋅=
n
na ( ) 48632111
11 =⋅=−
a ( ) 78,84132112
12 =⋅=−
a
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 3. Progresiones.
9
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 20.
Figura 21.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 8.
En una progresión geométrica, el primer término es 51 =a y la razón es 4,1=r . Averigua, con ayuda de la calculadora, cuál es el término más avanzado cuyo valor es inferior a 1000000. Solución:
:4,1;21 == ra ;6508104,15...8,94,15;74,15 3536
232
11 =⋅==⋅==⋅=→⋅= − aaaraa n
n
.12756004,15;9111304,15 3738
3637 =⋅==⋅= aa
Luego el término buscado es .37a
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
10
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 22.
Figura 23.
Figura 24.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 9.
En una progresión geométrica, 10001 =a y 8,0=r . Averigua, con la calculadora, cuál es el término más avanzado cuyo valor es mayor que 1. Solución:
:8,0;10001 == ra ;5474,18,01000...6408,01000;8008,01000 2930
222
11 =⋅==⋅==⋅=→⋅= − aaaraa n
n
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 3. Progresiones.
11
.99,08,01000;2379,18,01000 3132
3031 =⋅==⋅= aa Luego el término buscado es .31a
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 25.
Figura 26.
Figura 27.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 10.
Calcular la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica en la que:
101 =a 32
=r
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
12
Solución:
Puesto que 32
=r es menor que 1, podemos aplicar la fórmula:
( ) 303/1
103/21
101
1 ==−
=−
=∞ raS
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 28.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 11.
Hallar los siete primeros términos, su suma y la suma de los infinitos términos de una progresión
geométrica en la que 161 =a y 21
−=r .
Solución:
161 =a 21
−=r
161 =a , 82 −=a , 43 =a , 24 −=a , 15 =a , 21
6 −=a , 41
7 =a
( ) ( )
( ) 75,10443
12/1162/14/1
141
21124816 17
7 ==−−−−⋅
=−−⋅
=+−+−+−=r
araS
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 3. Progresiones.
13
( ) 6,103
322/3
162/11
16 ===
−−=∞S
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 29.
Figura 30.
Figura 31.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
14
Ejercicio 12.
Identifica las progresiones aritméticas, las geométricas y las que no son progresiones. Obtén el término general de cada una:
a) 1, 89
, 45
, 8
11, ...
b) ,...4,3,2,1
c) 0,2; 0,02; 0,002; ...
d) 2, 23
, 34
, 45
, ...
Solución:
a) Se trata de una progresión aritmética ( )( )dnaan 11 −+= donde a cada término se le suma 81
.
Comprobamos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )811
81141;
45
810
81131;
89
81121;1
81111;
8111 4321 =⋅−+===⋅−+==⋅−+==⋅−+=⋅−+= aaaanan
b) Es una progresión, no geométrica ni aritmética, sino polinomial y no pertenece a este bloque temático. c) Se trata de una progresión geométrica ( )1
1−⋅= n
n raa donde cada término es resultado de multiplicar el anterior por .1,0 Comprobamos:
0002,01,02,0;002,01,02,0;02,01,02,0;2,01,02,0; 144
133
122
111
11 =⋅==⋅==⋅==⋅=⋅= −−−−− aaaaraa n
n d) Es una progresión, no geométrica ni aritmética, sino polinomial y no pertenece a este bloque temático. - Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 32.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 3. Progresiones.
15
Figura 33.
Figura 34.
Figura 35.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 13.
Halla el primer término y el término general de las siguientes progresiones aritméticas:
a) 5=d ; 378 =a b) 1711 =a ; 2=d Recuerde que daa 718 += ; sustituye y halla 1a
Solución:
a) ( ) ( ) 512;1235377;7 18118 ⋅−+=−+=→=−=−=+= nadnaadaadaa nn
b) ( ) ( ) 213;13201710;10 1111111 ⋅−+−=−+=→−=−=−=+= nadnaadaadaa nn
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
16
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 36.
Figura 37.
Figura 38.
Figura 39.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 14.
Halla la diferencia y el primer término de las progresiones aritméticas siguientes:
a) 182 =a ; 177 −=a b) 154 =a ; 3912 =a
Ten en cuenta que daa 527 += .
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 3. Progresiones.
17
Solución:
a) ( ) 25718;1275
18175
;5 211227
27 =+=−=−+=→−=−−
=−
=+= daadaaaa
ddaa
b) ( ) 6153;1338
15398
;8 4114412
124 =−=−=−+=→=−
=−
=+= daadaaaaddaa
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 40.
Figura 41.
Figura 42.
Figura 43.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
18
Ejercicio 15.
Halla el primer término y escribe el término general de las siguientes progresiones:
a) 33 =a ; 101
=r
b) 25,204 =a ; 5,1−=r Solución:
a) ( )1
21
13
11
1 1013003001003
1013;
1013;
−−−
⋅=→=⋅=
=
⋅=⋅=
n
nn
n aaaraa
b) ( ) ( )( )
( ) 1331
141
11 5,166
5,125,20
5,125,20;5,125,20; −−− −⋅−=→−=
−=
−=−⋅=⋅= n
nn
n aaaraa
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 44.
Figura 45.
Figura 46.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 3. Progresiones.
19
Figura 47.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 16.
Calcular la fracción generatriz de 8,3
utilizando las progresiones geométricas.
Solución:
...008,008,08,03...8888,38,3 ++++=→
Hallamos la suma de los infinitos términos de la progresión 108
, 100
8 ... de razón
101 :
98
10/910/8
10/1110/8
==−
=∞S
935
9838,3 =+=
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 48.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
20
Figura 49.
Figura 50.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 17.
Depositamos en un banco 1000 € al 4% anual al comienzo de un cierto año. Averiguar el capital disponible al final de cada año, durante 5 años, si no sacamos nada. Solución:
En la unidad 1 vimos que un capital C, puesto al %r durante n años se transforma en ( )nrC 100/1+ .
Los valores de esta expresión para ,...3,2,1=n forman una progresión geométrica de razón (1 + r/100)
[= 1,04 en este problema].
Comprueba que sus primeros términos son: 1000 €; 1040 €; 1081,60 €; 1124,86 €; 1169,86 €; 1216,65 €
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 3. Progresiones.
21
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 51.
Figura 52.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 18.
Durante cinco años, al inicio de cada año, ingresamos 1000 € en un banco, a un interés de un 4% anual. ¿Cuánto dinero tendremos al final del quinto año? Solución:
Al cabo de 5 años, el primer ingreso se convierte en 504,11000 ⋅ . El segundo, después de 4 años, se convierte en ...04,11000 4⋅
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
22
El último ingreso se convierte en 1000 · 1,04. El capital disponible al final del quinto año es la suma de
cinco términos de una progresión geométrica de razón 1,04:
€32,5416104,1
100004,110001
515
5 =−−⋅
=−−
=r
araS
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 53.
Figura 54.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
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