Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Proceso de Bernoulli 2. Distribución Binomial 3. Distribución Geométrica 4. Distribución Binomial Negativa. 5. Distribución de Poisson
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Proceso de Bernoulli 2. Distribución Binomial 3. Distribución Geométrica 4. Distribución Binomial Negativa. 5. Distribución de Poisson
Probabilidades y Estadística I
1. Proceso de Bernoulli
DEFINICIÓN
El experimento aleatorio más sencillo (binario). Sólo tiene dos resultados:
A A
1 si ocurre 0 si ocurre
AX
A
=
[ ] [ ]1 0 1P X p P X q p= = = = = −
Variable aleatoria asociada Función de probabilidad
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Proceso de Bernoulli 2. Distribución Binomial 3. Distribución Geométrica 4. Distribución Binomial Negativa. 5. Distribución de Poisson
Probabilidades y Estadística I
2. Distribución Binomial (1/6)
• Proceso generador (experimento aleatorio)
Realizar n pruebas de Bernoulli independientes.
GÉNESIS
• Variable aleatoria
X ≡ “nº de veces que aparece A en las n pruebas” Rango de X ={0,1,2….,n}.
Probabilidades y Estadística I
2. Distribución Binomial (2/6)
GÉNESIS
• Espacio probabilístico asociado
1 1 2 1 1 1
1 2 1 1 1 1 2
1 1
[ ] [( ) ( ) ][ ] [ ]
..
x x x n x x x n
k x n x x x x n
x n x x n x x n x
x n xx n x
P X x P A A A A A A A A A AP A A A A A P A A A A A A
npp p qq q p p qp q q p q p q p qx
+ + − +
+ − + +
− − −
− − −−
= = =
= + + =
= ⋅ + + = + + =
Probabilidades y Estadística I
2. Distribución Binomial (3/6)
FICHA TÉCNICA ( , )X n pβ
0,1,2, ,( )
0 en el resto
x n xnp q x n
p x x−
= =
a) Función de probabilidad
b) Función de distribución 0
0 0
( ) 1 ( 0,..., 1)
1
ki n i
i
xn
F x p q k x k k ni
x n
−
=
<
= ≤ < + = −
≥
∑
c) Esperanza [ ]E X n p= × d) Varianza [ ]Var X n p q= × ×
Probabilidades y Estadística I
2. Distribución Binomial (4/6)
X
p(x) p(x)
X
n=50 p=0.1
p(x)
X
p(x)
X n=50 p=0.5
n=10 p=0.1 n=10 p=0.5
GRÁFICAS
Probabilidades y Estadística I
2. Distribución Binomial (6/6)
EJEMPLO
Un club automovilístico comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar el número de socios adscritos al club. En base a la experiencia previa, se sabe que una de cada 20 personas que recibe la llamada se suma al club. En un día cualquiera de trabajo se realizan 25 llamadas de forma independiente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se una ese día dos personas al club? b) Determinar el número de persona que se espera que se sumen al club un día cualquiera.
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Proceso de Bernoulli 2. Distribución Binomial 3. Distribución Geométrica 4. Distribución Binomial Negativa. 5. Distribución de Poisson
Probabilidades y Estadística I
3. Distribución Geométrica (1/4)
GÉNESIS
• Proceso generador (experimento aleatorio)
Realizar pruebas de Bernoulli independientes hasta que aparezca A
• Variable aleatoria
X ≡ “nº de pruebas hasta que aparezca A” Rango de X ={1,2,3….}. • Espacio probabilístico asociado
11 2 1[ ] [ ] x
xP X x P A A A A q p−−= = =
Probabilidades y Estadística I
3. Distribución Geométrica (2/4)
FICHA TÉCNICA ( )X Ge p
a) Función de probabilidad
b) Función de distribución
c) Esperanza d) Varianza
1 1, 2,( )
0 en el resto
xpq xp x
− ==
0 1( )
1 1 ( 1,2,....)j
si xF x
q si j x j j<
= − ≤ < + =
[ ] 1E Xp
= [ ] 2
qVar Xp
=
Probabilidades y Estadística I
3. Distribución Geométrica (4/4)
EJEMPLO
Un club automovilístico comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar el número de socios adscritos al club. En base a la experiencia previa, se sabe que una de cada 20 personas que recibe la llamada se suma al club. En un día cualquiera de trabajo se realizan 25 llamadas de forma independiente. c) ¿Cuántas llamadas hay que realizar hasta captar el primer socio?
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Proceso de Bernoulli 2. Distribución Binomial 3. Distribución Geométrica 4. Distribución Binomial Negativa 5. Distribución de Poisson
Probabilidades y Estadística I
4. Distribución Binomial Negativa (1/4)
GÉNESIS
• Proceso generador (experimento aleatorio)
Realizar pruebas de Bernoulli independientes hasta que aparezca n veces A
• Variable aleatoria
X ≡ “nº de veces que aparece A hasta que aparezca n veces A” RgX = {0, 1, 2,….}.
X’ ≡ “nº de pruebas hasta que aparezca n veces A” Rg X’ = {n, n+1, n+2,…}
Probabilidades y Estadística I
4. Distribución Binomial Negativa (2/4)
GÉNESIS
• Espacio probabilístico asociado
[ ] ( ) , 11 2 1 2 1... .. .............
1 11
x n n xx x x x n n x
reordenaciones
n x n x
P X x P A A A A A A PR p q
n x n xp q p q
x n
−+ + + + −
= = ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∪ = =
+ − + −
= −
[ ] ( ) , 11 2 1 1 1 1' ... .. .............
11
x n n n x nn n n x x x
reordenaciones
n x n
P X x P A A A A A A A PR p q
xp q
n
− − −− + − −
−
= = ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∪ = =
−
−
Probabilidades y Estadística I
4. Distribución Binomial Negativa (3/4)
FICHA TÉCNICA
a) Función de probabilidad
b) Función de distribución
c) Esperanza d) Varianza
10,1,2,
( )0 en el resto
n xn xp q x
p x x + −
= =
0
0 0( ) 1
1 ( 0,1,...)k
n i
i
xF x n i
p q k x k ki=
<= + − ≤ < + =
∑
[ ] nqE Xp
= [ ] 2
nqVar Xp
=
( , )X N n pβ
Probabilidades y Estadística I
4. Distribución Binomial Negativa (4/4)
EJEMPLO
Un club automovilístico comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar el número de socios adscritos al club. En base a la experiencia previa, se sabe que una de cada 20 personas que recibe la llamada se suma al club. En un día cualquiera de trabajo se realizan 25 llamadas de forma independiente. d) ¿Cuántas personas se van a negar hasta recibir la primera respuesta afirmativa? e) ¿Cuántas llamadas se deben realizar para captar cuatro socios?
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Proceso de Bernoulli 2. Distribución Binomial 3. Distribución Geométrica 4. Distribución Binomial Negativa 5. Distribución de Poisson
Probabilidades y Estadística I
5. Distribución de Poisson (1/5)
GÉNESIS
• Proceso generador (experimento aleatorio)
Comportamiento asintótico de una Binomial: n→∞, p→0
• Variable aleatoria
X ≡ “nº de veces que aparece A en la unidad u” RgX = {0, 1, 2,….}.
Probabilidades y Estadística I
5. Distribución de Poisson (2/5)
GÉNESIS
• Espacio probabilístico asociado
[ ]1
! ( 1)....( 1)1!( )! !
1
1! !
n
x n x xx n x
xxn n np 0 p 0 p 0
nx x
np 0
n n n n n x nP X x lim p q lim limx x n x n n x n
n
lim ex n x
λ
λλ λ λ
λ
λ λ λ
−−
→∞ →∞ →∞→ → →
−
→∞→
− − − + = = = − = = − −
− =
Probabilidades y Estadística I
5. Distribución de Poisson (3/5)
FICHA TÉCNICA ( )X P λ
a) Función de probabilidad
b) Función de distribución
c) Esperanza d) Varianza
0,1,2,( ) !0 en el resto
x
e xp x xλ λ−
==
0
0 0( )
1 ( 0,1,...)!
ik
i
xF x
e k x k ki
λ λ−
=
<= ≤ < + =∑
[ ]E X λ= [ ]Var X λ=