Xosé Manuel Besteiro Colexio Apostólico Mercedario VERÍN
Números Reais
NÚMEROS REAIS(R)
NÚMEROS RACIONAIS Nº
I RRAC I ONA I S
Nº ENTEIROS(Z) Nº FRACCIONARIOS
NATURAIS(N)
ENTEIROSNEGATIVOS
DECIMAISLIMITADOS
ILIMITADOSPERIÓDICOS
PERIÓDICOSPUROS
PERIÓDICOS MIXTOS
Este conxunto está composto polos seguintes elementos:
R = Q I , ademáis N Z Q .
Conxunto de números reais
inicio
Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
Q={ p:q / p,q є Z e q≠ 0 }
N={1,2,3,4,5,6,7,8,...}
Números Naturais(NN) Un número natural é calquera dos números
0, 1, 2, 3... que se poden usar para contar os elementos dun conxunto finito.
Denominaremos N ao conxunto de tódolos números naturais.
O conxunto dos nº naturais é un conxunto ordenado e polo tanto pode representarse sobre unha recta
Operacións de números naturais A suma de dous números naturais é
sempre outro nº natural O produto de dous nº naturais é
sempre outro nº natural A resta non sempre é posible entre
números naturais.
a-b é natural só se ba
Números enteiros negativos A cada número natural b distinto
de cero asignouselle como correspondente un número negativo –b, chamado o oposto de b, que ten a propiedade
b + (-b) = 0
Números enteiros Ao conxunto dos números enteiros
represéntase co símbolo Z, aos enteiros negativos con Z- e aos enteiros positivos con Z+.
ZZZ 0
Os nº enteiros pódense sumar, restar e multiplicar. O seu resultado sempre será un
enteiro.
Número Enteiros (ZZ) Aos números naturais e os seus
opostos chámaselle NUMEROS ENTEIROS
Representación na recta real
VALOR ABSOLUTO DUN Nº ENTEIRO
Números enteiros
Se X é un número enteiro, o seu valor absoluto represéntase por e defínese así:
X
0XX =
X se X é positivo
-X se X é negativo
0X
Propiedades do valor absoluto
27
6
5
4
3
2
1
XX)...
aX...ou...aXaX)...
aXaaX)...
YXYX)...
YXYX)...
Y
X
Y
X)...
YXYX)....
Números fraccionarios Se a unha unidade a fraccionamos en n
partes iguais, cada parte é a n–ésima parte da unidade e simbolízase por
Se tomamos m das n-ésimas partes, decimos que esa cantidade é
e representa unha proporción da unidade
n1
nm
Números fraccionarios
A estos números denomínaselles fraccionarios
Números fraccionarios En xeral, se r é un número enteiro
distinto de cero
representan a mesma cantidade* Pode ser multiplicación ou división
díse que estas
fraccións son equivalentesn
my
rnrm**
e
Ao conxunto formado por tódolos enteiros e tódolos fraccionarios denomínase números racionais
a é o numerador e b o denominador
Números racionais(QQ)
e e
Expresión decimal dos números racionais
Para escribir un número fraccionario en decimal basta con dividir o numerador polo denominador
Expresión decimal limitada (exacta) Ex: 7/4 = 1,75. Ao facer a división o resto é cero Expresión decimal ilimitada periódica
pura Ex: 8/3 = 2,666…= No cociente aparece ,inmediatamente despois da coma ,
unha cifra ou grupo de cifras (6)que se repite indefinidamente (período)
Expresión decimal ilimitada periódica mixta
EX: 23/6 = 3,8333…= No cociente aparece unha cifra ou grupo de cifras(3)
que se repite indefinidamente, pero entre a coma e o período hai outra cifra ou cifras(8) chamada anteperíodo
Expresión decimal ilimitada non periódica = nº irracional
Ex Л = 3,141592… ;
Tipos de expresións decimais
62,
383,
...,414213512
É unha fracción que ten por numerador o nº sen a coma, e por denominador a unidade seguida de tantos ceros como cifras decimais ten o nºdecimal
Simplificamos a fracción obtida Demostración:X = 2,25.100 X = 225
Expresión fraccionaria dun nº decimal limitado
4
9
100
225X
Expresión fraccionaria dun nº decimal ilimitado periódico puro É unha fracción que ten por numerador a parte enteira
seguida da parte periódica menos a parte enteira, e por denominador tantos noves como cifras teña o período
Demostración: X = 2,43 43 43….100 X = 243,43 43 43…. ( multiplicamos pola unidade
seguida dos ceros necesarios para pasar o período para a parte enteira)
Restamos membro a membro para eliminar a parte decimal100 X = 243,43 43 43…. X = 2,43 43 43…. 99 X = 243-2 X = 99
241
99
2243
Se podemos simplificamos
Expresión fraccionaria dun nº decimal ilimitado periódico mixto
É unha fracción que ten por numerador a parte enteira seguida do anteperíodo e da parte periódica menos, a parte enteira seguida do anteperíodo, e por denominador tantos noves como cifras teña o período seguidos de tantos ceros como cifras teña a anteperíodo.
Demostración: X = 2,4 56 56 56…. 10 X = 24,56 56 56…. ( multiplicamos pola unidade seguida dos
ceros necesarios para pasar a periódica pura)Multiplicamos a expresión anterior pola unidade seguida dos ceros
necesarios para pasar o período para a parte enteira1000 X = 2456,56 56 56…. 10X = 24, 56 56 56… 990 X =2456-24 990
2432
990
242456
Se podemos simplificamos
Os números irracionais son aqueles equivalentes a unha expresión decimal ilimitada non periódica
Non se poden escribir en forma de fracción Para traballar cos nº irracionais hai que aproximar Redondeo:
Se a primeira cifra eliminada é menor ca 5 deixamos a anterior tal como está
Se a primeira cifra eliminada é maior ou igual ca 5 engadimos unha unidade a anterior
Ex: = 1,7320508…
Redondeo ás décimas 1,7 (3 é menor ca 5)Redondeo ás dez milésimas: 1,7321(A primeira eliminada é 5)
Números Irracionais(II)
3
Determinación de nº irracionais por intervalos encaixados Ex: = 1,25992105…
3 2
APROXIMACIÓN
POTENCIAS INTERVALO
Enteira 13=1; 23=8 1 < <2
Decimal1,13=1,3311,23=1,7281,33=2,197
1,2 < <1,3
centesimal1,243=1,9071,253=1,9531,263 =2,0004
1,25 < < 1,26
3 2
3 2
3 2
1 2
Determinación de intervalos encaixados
1.2
1.3
1 2.1 .2 .9.3 .8.4 .7.6.5
3 2
Obtemos unha sucesión de intervalos que cumple: Cada intervalo está contido no anterior A diferenza entre os extremos tende a 0
“Toda sucesión de intervalos encaixados determina un único nº real”
Determinación de nº irracionais por intervalos encaixados(Cont)
Ordenación dos nº Reais
Os número reais poden ser positivos, negativos ou igual a cero. Ademáis están ordenados a través de ser “menor que/ca” denotada por < ; e definida a continuación:
Para dous números reais a e b,a<b b-a>0
Propiedades asociadas a relación de orde
1) Se a<b, entonces a+c<b+c a-c<b-c2) Se a<b e c>0 entonces ac<bc3) Se a<b e c<0 entonces ac>bc
inicio
“Ao multiplicar ou dividir aos dous membros dunha desigualdade por un nº negativo cambia o seu sentido”
Cada punto da recta correspóndese cun número real.Para representar os números enteiros necesitamos fixar o cero e a lonxitude da unidade.
0 1-2 -1 32
Despois basta con levar a unidade de lonxitude tantas veces como queiramos cara a dereita do cero para os positivos,
e cara a esquerda para os negativos.
Representación dos nº reais na recta real
Racionais comprendidos entre 0 e 1Racionais comprendidos entre 0 e 1
Nos números racionais comprendidos entre 0 e 1 o denominador é maior co numerador.
Representaremos:
1ba
0 ba 53
•Partindo de cero trazamos unha recta inclinada cara a dereita.
0-1 21
•Divídese en tantas partes iguais como indica o denominador.
5
3
53
•Trazamos unha recta dende o 1 ata a última división.
•Debúxase unha paralela a esta última recta pola división que sinale o numerador.•O número que queremos representar é o punto de corte desta recta coa recta real.
Para fixar ben este procedemento, que se basa no teorema de Thales, vexamos outro exemplo:
Racionais comprendidos entre 0 e 1.Racionais comprendidos entre 0 e 1.
114
Representaremos:
0-1 21
11
4
•Debuxamos unha líña dende o cero con inclinación dereita.
•Dividímola en 11 partes.
•Unimos a última división co punto 1.
•Trazamos unha paralela a esta última recta pola división 4.
114
Racionais maiores co 1Racionais maiores co 1Nos números racionais maiores co 1 o denominador é menor co numerador.
1ba
ba Representamos:725
•Efectuamos a división enteira (sen decimales).
25 7
3214
74
3725
•Representamos 7
4
32 54
7
4
725
a partir de 3.
Faise todo igual que para os positivos, pero cara a esquerda.
Racionais negativosRacionais negativos
•Efectuamos a división enteira (sen decimais).
25 7
3214
74
3725
•Representamos 7
4
-3 -2-5 -4
7
4
725
a partir de
Representamos:725
3
Irracionais co teorema de Pitágoras 1Irracionais co teorema de Pitágoras 1
•Trátase de representar números radicais do tipo:
13
ab
c
222 cba
Debemos encontrar dous números tales que a suma dos seus cadrados sexa 13. No noso caso son 2 e 3.
22 cba
22 3213
0 3
2
13
•Debúxase a recta real. •Márcase un dos números (3) e
trazamos unha perpendicular, marcamos o outro número (2) sobre esta última recta.
•O número que estamos buscando é a hipotenusa do triángulo rectángulo
•Coa axuda dun compás trasladamos este número á recta. 13
a
•Neste caso debemos encontrar dous números cuxa diferenza de cadrados sexa o número que estamos buscando.Por
ejemplo:
Usando o teorema de Pitágoras 2Usando o teorema de Pitágoras 2 a b
c
222 cba
22 cab
21 22 25
0 2
21
215 •Prestade atención á
construción do debuxoc
a
2225221
IntervalosIntervalos
Intervalo aberto de extremos a e b é o conxunto de números reais comprendidos entre a e b.
}bxa/Rx{)b,a(
•A este conxunto non pertenecen os extremos.
a b
Intervalo cerrado de extremos a e b é o conxunto de números reais comprendidos entre a e b. }bxa/Rx{b,a
•A este conxunto si pertenecen os extremos.
a b
Intervalos semiabertos ou semicerrados.
}bxa/Rx{b,a }bxa/Rx{b,a
a b a b
Aberto pola esquerda
Aberto pola dereita
EntornosEntornos Entorno de centro c e raio r é o intervalo aberto
É o conxunto de números reais cuxa distancia ao centro é menor co raio.
Exemplo: Escribe de varias formas e representa o entorno E(3,5)
)rc,rc(
rcx/Rx)r,c(E
crc rc
r r
8,253,5353x/Rx)5,3(E
-2 0 83
5 5
FinFin
Top Related