8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
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Temas 3 y 4Diseño y análisis de experimentos
4.1 Algunos Principios Generales
Varios de los múltiples aspectos del diseño experimental pueden ilustrarse por medio de
un ejemplo proveniente del importante tema de las mediciones en ingeniería.
Supóngase que una fundidora de acero surte de lámina de hojalata a tres fabricantes de
latas la especificación principal es que el peso del revestimiento de estaño deberá ser almenos de !."# libras en el fondo del envase de hojalata. $a fundidora % cada uno de los
fabricantes de latas tienen laboratorios donde se reali&an mediciones de los pesos de los
revestimientos de estaño tomando muestras de cada cargamento. Supongamos tambi'n
que han surgido algunos desacuerdos sobre los pesos reales de los revestimientos de
estaño de los cargamentos de lámina % se decide planear un experimento para
determinar si los cuatro laboratorios están reali&ando mediciones consistentes. (n factor
que complica las cosas es que parte del proceso de medidas consiste en eliminar con
productos químicos el estaño de la superficie del metal en la base) de manera que es
imposible tener las mismas mediciones en las muestras de cada laboratorio para
determinar qu' tan aproximadas son las mediciones.
(na posibilidad consiste en enviar varias muestras *con forma de discos circulares de
igual área+ a cada uno de los laboratorios. ,un cuando los discos en realidad pueden no
tener pesos id'nticos del revestimiento de estaño se confía en que tales diferencias sean
mu% pequeñas % que más o menos -alcancen un promedio. /n otras palabras se
supondrá que si bien pueden existir diferencias entre las medias de las cuatro
muestras podrán ser atribuidas sólo a diferencias sistemáticas en las t'cnicas de
medición % a variabilidad aleatoria. /sto abre la posibilidad de averiguar si los
resultados obtenidos en los laboratorios son consistentes comparando la variabilidad de
las medias de las cuatro muestras con una medida apropiada de la variación aleatoria.
Ahora queda el problema de decidir cuántos discos deben enviarse a cada laboratorio y cuántos en realidad deben seleccionarse. Supóngase que se toma la decisión de
enviar una muestra de 0" discos a cada laboratorio.
/l problema de seleccionar los 12 discos requeridos % asignar 0" a cada laboratorio no
es tan simple como podría parecer a primera vista. 3ara empe&ar supóngase que una
lámina de hojalata de las dimensiones apropiadas se selecciona % que los 12 discos se
cortan de ella como se aprecia en la Figura 4.1. $os 0" discos cortados de la tira 0 se
envían al primer laboratorio los 0" obtenidos de la tira " se mandan al segundo
laboratorio etc. Si se descubre que las medias de los pesos de los cuatro revestimientos
subsecuentemente obtenidos varían significativamente 4nos permitiría esto concluir que
las diferencias pueden atribuirse a falta de consistencia en las t'cnicas de medición5
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Si bien identificamos % contrarrestamos un posible patrón de variación sistemática no
ha% seguridad de que lo podamos hacer con los otros. 3or ejemplo pueden existir
diferencias sistemáticas en las áreas de los discos causadas por un desgastamiento
progresivo del instrumento de corte o pueden presentarse ra%aduras u otras
imperfecciones en una parte de la lámina lo que podría afectar a las mediciones. /n
consecuencia siempre existe la posibilidad de que las diferencias en las mediasatribuidas a inconsistencias entre los laboratorios sean en realidad causadas por alguna
otra variable incontrolable % el propósito de la aleatori&ación es evitar confundir la
variable sujeta a investigación con otras.
8istribu%endo totalmente al a&ar los 12 discos entre los cuatro laboratorios no tenemos
otra opción que incluir cualquier variación atribuible a causas extrañas bajo la etiqueta
de -variación aleatoria . /sto puede darnos una estimación demasiado grande de la
variación aleatoria lo cual a su ve& puede dificultar detectar diferencias entre las medias
reales de laboratorio. 9on el propósito de evitar esto podríamos qui&ás sólo usar
discos cortados de la misma tira *o de alguna otra región homog'nea+. 3or desgracia
esta clase de experimentación controlada nos presenta nuevas complicaciones. 48e qu'serviría por ejemplo efectuar un experimento que nos permitiera concluir que los
laboratorios son consistentes *o inconsistentes+ si tal conclusión se limita a mediciones
reali&adas a una distancia fija a partir de un extremo de la lámina5 3ara ofrecer un
ejemplo más realista supóngase que un fabricante de artículos de plomería desea
comparar el rendimiento de varias clases de materiales que se usarán en tuberías
subterráneas de agua. Si condiciones como la acide& del suelo la profundidad del tubo %
el contenido de minerales del agua que transportará pudieran mantenerse fijas las
conclusiones sobre qu' material es mejor serian válidas sólo para el conjunto de
condiciones dadas. $o que el fabricante quiere saber es cuál material es mejor en una
amplia variedad de condiciones) el diseñar un experimento adecuado sería aconsejable
*en realidad necesario+ especificar que el tubo de cada material será enterrado a
diferentes profundidades en diversos tipos de suelos % lugares en donde el agua tiene
diferente dure&a.
/ste ejemplo sirve para ilustrar que rara ve& se desean mantener fijos todos o la ma%oría
de los factores extraños a lo largo de un experimento) se consigue así una estimación de
la variación aleatoria que no est' -inflada por variaciones debidas a otras causas. */n
realidad es mu% raro sino imposible ejercer un control tan estricto esto es mantener
fijas todas las variables extrañas+. /n la práctica los experimentos deberán planearse de
tal manera que las fuentes conocidas de variabilidad sean deliberadamente consideradas
sobre un rango tan amplio como sea necesario) más aún deberán variarse en tal formaque su variabilidad pueda eliminarse en la estimación de la variación aleatoria. (na
manera de lograrlo es repetir el experimento en varios bloques en los que fuentes
conocidas de variabilidad *esto es variables extrañas+ se mantienen fijas en cada
bloque pero variando de bloque a bloque.
/n el problema del revestimiento de estaño podríamos explicar así las variaciones a
trav's de la lámina de acero asignando aleatoriamente tres discos de cada tira a cada
uno de los laboratorios como en el siguiente arreglo7
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TABLA 1. ,signación aleatoria de tres discos de cada tira a cada uno de los laboratorios
Laboratorio Tira 1 Tira 2 Tira 3 Tira 4
, 2 1 0! ": "1 0; "
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Aedia global o gran media ´ y
/n relación con el esquema experimental de la Figura 4.1
yij (i=1,2,3,4 ; j=1,2,… ,12 ) la j−ésima medición del peso del revestimiento de
estaño del i−ésimo laboratorio ´ yi es la media de las mediciones obtenidas en el
i−ésimo laboratorio % ´ y es la media global *o gran media+ de las 12
observaciones.
3ara probar la hipótesis de que las muestras se obtuvieron dek
poblaciones con
medias iguales haremos varias suposiciones. 9on más precisión supondremos estar
trabajando con poblaciones normales que tienen variancias iguales.
Si μi denota la media de las
i−ésima población % σ 2
indica la variancia
común de las k poblaciones podemos expresar cada observación yij como
μi más el valor de un componente aleatorio) es decir podemos escribir7
yij= μi+εij para i=1,2, . . . , k ; j=1,2, … , n .
8e acuerdo con las suposiciones anteriores los εij son valores de variables
aleatorias independientes distribuidas normalmente con medias cero % la variancia
común σ 2
.
3ara lograr uniformidad en las ecuaciones correspondientes a clases de diseño más
complicados se acostumbra reempla&ar μi por
μ+α i donde μ es la media
de las μi %
α i es el efecto deli−ésimo tratamiento) de ahí que7
∑i=1
k
α i=0 .
9on estos nuevos parámetros podemos escribir la ecuación modelo para el criterio de
clasificación7
y ij= μ+α i+ε ij para i=1,2,. . . , k ; j=1,2,… , n
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% la hipótesis nula de que las medias de las k poblaciones son iguales puede
reempla&arse con la hipótesis nula de queα
1=α
2=…=α k =0 . $a hipótesis alterna de
que al menos dos de las medias son distintas equivale a queα i ≠ 0
para algunai
.
3ara probar la hipótesis nula de que las medias de las k poblaciones son iguales
compararemos dos estimaciones de σ 2
*una con base en la variación entre las medias
muestrales % la otra con la variación dentro de las muestras+. 8ado que como se ha
supuesto cada muestra proviene de una población que tiene la variancia σ 2
la
variancia puede estimarse por cualquiera de las variancias muestrales7
si2=∑
j=1
n ( yij−´ yi )2
n−1
% entonces tambi'n por su media7
si2
k =¿∑
i=1
k
∑ j=1
n ( yij−´ y i )2
k (n−1)
σ̂ W 2 =
∑i=1
k
¿
?bs'rvese que cada una de las variancias muestrales s i2
está basada enn−1
grados de libertad * n−1 desviaciones independientes de ´ y i + % entonces σ̂ W
2
está basada en k (n−1) grados de libertad. ,hora bien la variancia de las k
medias muestrales está dada por7
s ´ x2=∑
i=1
k
( ́yi−´ y )2
k −1
% si la hipótesis nula es verdadera esta expresión nos da una estimación de σ 2/n . ,sí
una estimación de σ 2
basada en las diferencias entre las medias muestrales está dada
por7
^σ B
2
=n ∙ s ´ x2
=n∙∑i=1
k ( ´ yi−´ y )2
k −1
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% está basada enk −1 grados de libertad.
Si la hipótesis nula es cierta puede demostrarse que σ̂ W 2
% σ̂ B2
son estimaciones
independientes de σ 2
% se sigue de ello que7
F = σ̂ B
2
σ̂ W 2
es un valor de una variable aleatoria que tiene la distribución F con k −1 %
k (n−1) grados de libertad. 9abe esperar que la variancia entre muestras σ̂ B2
exceda a la variancia dentro de las muestras σ̂ W 2
cuando la hipótesis nula es falsa)
por eso la hipótesis nula será rechazada si F
excede a F α donde
F α se
obtuvo de la Tabla 4.1 con k −1 % k (n−1) grados de libertad.
/l argumento anterior ha indicado cómo la prueba de la igualdad de las k medias
puede fundamentarse en la comparación de dos estimaciones de variancias. Aás
notable qui&ás. es el hecho de que las dos estimaciones en cuestión Bexcepto por los
divisores k −1 % n−¿k ¿ 0+C pueden obtenerse -partiendo o anali&ando la variancia
total de las nk observaciones en dos partes. $a variancia muestral de las nk
observaciones está dada por7
s2=∑
i=1
k
∑ j=1
n ( y ij−´ y )2
nk −1
D con respecto a su numerador llamado suma de cuadrados total probaremos ahora elsiguiente teorema.
Teorema 4.1 Identidad para el análisis con un criterio de clasificación.
∑i=1
k
∑ j=1
ni
( y ij− ́y )2
⏟
SST
=∑i=1
k
∑ j=1
ni
( y ij− ́y i)2
⏟
SSE
+n∙∑i=1
k
( ´ y i−´ y )2
⏟
SS(Tr)
$a demostración de este teorema se basa en la identidad7
7
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se hicieron en la agricultura dondek
poblaciones representaban distintos
tratamientos tales como fertili&antes aplicados a parcelas agrícolas+. ?bs'rvese que
con esta notación la ra&ón F puede escribirse así7
azón F
para tratamientos7
F = σ̂ B
2
σ̂ W 2 =
SS (Tr)/(k −1)SSE /k (n−1)
$as sumas requeridas para calcular esta última fórmula suelen obtenerse por medio de
las siguientes expresiones que ahorran bastante trabajo. /n primer t'rmino calculamos
!!T % !!%Tr& por medio de las fórmulas7
!uma de cuadrados en muestras de i"ual tama#o$
SST =∑i=1
k
∑ j=1
ni
yij2−C
SS (Tr )=1
n∑i=1
k
T i2
−C
8onde 9 denominado t'rmino de corrección está dado por7
C =T
2
kn
/n estas expresiones
T i es el número total de
n
observaciones en la
i−ésima
muestra mientras que T es el gran total de las kn observaciones. $a suma de
cuadrados del error SS/ se obtiene entonces por sustracción) de acuerdo con el
Teorema 4.1 podemos escribir
!uma de cuadrados del error 7
SSE=SST −SS (Tr)
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$os resultados obtenidos al anali&ar la suma total de cuadrados %!!T& en sus
componentes son resumidos de manera conveniente por medio de la siguiente tabla de
análisis de variancia7
%uente de
variación
&rados de
libertad
!uma de
cuadrados 'edia cuadrada %
Eratamientos k −1 SS (Tr) MS (Tr )=SS (Tr)/(k −1)
MS(Tr ) MSE
/rror k (n−1) SSE MSE=SSE /k (n−1)
Eotal nk −1 SST
6ótese que cada cuadrado medio %'!+ *media cuadrada+ se obtuvo dividiendo la suma
de cuadrados correspondiente entre su número de grados de libertad.
EJEMPLO
, fin de ilustrar el an(lisis de variancia *nombre que apropiadamente se da a esta
t'cnica+ para un criterio de clasificación supongamos que según el esquema de la
Figura 4.1 cada laboratorio mide los pesos de los revestimientos de estaño de 0"
discos % que los resultados son los siguientes7
Laboratorio A Laboratorio B Laboratorio C Laboratorio D
!."# !.02 !.0; !.":
!."= !."2 !."# !.:!
!."" !."0 !."= !."2
!.:! !.": !."1 !."2
!."= !."# !.02 !."1
!."2 !."! !."< !.:1
!.:" !."= !."2 !."!
!."1 !.0; !."1 !.02
!.:0 !."1 !."# !."1
!."< !."" !."! !."2
!."0 !."; !."0 !.""
!."2 !.0< !.0; !."0
Totales :."0 ".=" ".=< :.!!
Gran total 00.
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Solución:
$os totales para las cuatro muestras son respectivamente :."0 ".=" ".=< % :.!! el
gran total es 00.
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/rror
k (n−1)
@ 1*0"−0+
@ 11
SSE
@ !.!
corresponde al valor de F
0.05 con : % 11 grados de libertad la hipótesis nula no
puede recha&arse con un nivel de significancia de !.!#) concluimos que los laboratorios
están logrando resultados consistentes.
3ara estimar los parámetros μ , α
1, α
2, α
3 %α
4 o * μ
1, μ
2, μ
3 % μ
4 +
podemos emplear el m'todo de mínimos cuadrados minimi&ando
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∑i=1
k
∑ j=1
n
( y ij− μ−α i )2
con respecto a μ % a lasα i sujetas a la restricción de que
∑i=1
k
α i=0 .
/sto puede reali&arse eliminando una de lasα
o mejor aún utili&ando el m'todo de
los multiplicadores de $agrange. /n cualquier caso obtenemos las estimaciones
-intuitivamente obvias7
^ μ=´ y
%α̂ i=´ y i−´ y
para i=1,2,… , k % las estimaciones correspondientes para las μi dadas por
^ μi=´ yi .
EJEMPLO
/stima los parámetros del modelo con un criterio de clasificación para los pesos de los
revestimientos de estaño del ejemplo anterior.
Solución:
3ara los datos de los cuatro laboratorios obtenemos7
^ μ=´ y=11.69
48=0.244,
α̂ A=´ y A−´ y=3.21
12−0.244=0.0235,
α̂ B= ́yB−´ y=2.72
12−0.244=−0.0173,
α̂ C =´ yC −´ y=2.76
12−0.244=−0.014,
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α̂ =´ y −´ y=3.00
12−0.244=0.006 .
α i=α A+¿α B+α C +α =0.024−0.017−0.014+0.006=−0.001≅0
∑i= A
k =
¿
/l análisis de variancia descrito en esta sección se aplica a criterios de clasificación en
que cada muestra tiene el mismo número de observaciones. /n caso contrario % si los
tamaños muestrales son7n1
, n2
, … , nk sólo tenemos que sustituir7
! =∑i=1
k
ni
por nk en todo lo anterior % escribir las expresiones para calcular SST %
SS (Tr) en la forma7
!uma de cuadrados para muestras de tama#os distintos
SST =∑i=1
k
∑ j=1
ni
y ij2−C,SS (Tr )=∑
i=1
k T i2
ni−C
/n lo demás el procedimiento es el mismo que antes.
EJEMPLO
9omo parte de la investigación del derrumbe del techo de un edificio un laboratorio
prueba todos los pernos disponibles que conectaban la estructura de acero en tres
distintas posiciones del techo. $as fuer&as requeridas para -cortar cada uno de los
pernos *valores codificados+ son las siguientes7
Posición 1 ;! 2" =; ;2 2: ;0
Posición ! 0!# 2; ;: 0!1 2; ;# 2<
Posición " 2: 2; 2! ;1
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/fectúa el análisis de variancia para probar con un nivel de significancia de !.!# si las
diferencias entre las medias muestrales en las tres posiciones son significativas.
Solución:
(tili&ando las etapas para pruebas de hipótesis obtenemos7
0. Hipótesis nula7 μ
1= μ
2= μ
3 .
Hipótesis alterna7 las μ no son iguales.
". 6ivel de significancia7 α =0.05 .
:. Criterio7 Se recha&a la hipótesis nula si F >3.74 el valor de F 0.05 para7
k −1=3−1=2 %
! −k =17−3=14 grados de libertad
donde F es determinado por un análisis de variancia) de lo contrario lo
aceptamos. 3ara ello hacemos uso de la Tabla 4.1 * p#$ina %&+.
1. C#lculos7
Posición 1 Posición ! Posición "
;! 0!# 2:
2" 2; 2;
=; ;: 2!;2 0!1 ;1
2: 2;
;0 ;#
2<
T 1=523 T
2=661 T
3=346
T =∑i=1
3
T i=T 1+T 2+T 3=523+661+346=1,530
n1=6 n2=7 n3=4
! =∑i=1
k =3
ni=n1+n2+n3=6+7+4=17
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y2 j
2 +¿∑ j=1
4
y3 j
2
y1 j
2 +¿∑ j=1
7
¿
∑ j=1
ni
yij2=¿∑
j=1
6
¿
∑i=1
k =3
¿
¿ ( y112 + y
12
2 + y13
2 + y14
2 + y15
2 + y16
2 )
+( y212 + y
22
2 + y23
2 + y24
2 + y25
2 + y26
2 + y27
2 )
+( y312 + y
32
2 + y33
2 + y44
2 )
(tili&ando /xcel7
Posición 1 y1 j
2,
j=1,…, 6 Posición !
y2 j2
,
j=1,… , 7 Posición "
y3 j2
,
j=1,… , 4
;! 20!! 0!# 00!"# 2:
;0 2"20 ;# ;!"#
2< =:;<
S(A,7 1#2:;
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∑ j=1
ni
y ij2−C =138,638−¿137,700=938
SST =∑i=1
k
¿
SS (Tr )=∑i=1
k T i2
ni−C =[ T 1
2
n1
+T
2
2
n2
+T
3
2
n3 ]−C =[ 52326 + 661
2
7+346
2
4 ]−137,700
¿ [45,588+62,417+29,929 ]−137,700=137,934−137,700=234.
% tambi'n
SSE=SST −SS (Tr )=938−234=704.
/l resto del trabajo se advierte en la siguiente tabla de análisis de variancia.
'uente de
variación
Grados de
libertad
(u)a de
cuadrados Media cuadrada '
Eratamientos
k −1
@ : F 0@ "
SS (Tr )
@ ":1
MS (Tr )=SS (Tr)k −1
¿ 234
3−1=117
MS (Tr ) MSE
¿ 117
50.3
¿2.33
/rror
! −k
¿17−3
¿14
SSE
@ =!1
MSE= SSE
! −k
¿ 704
17−3=50.3
Eotal
! −1
¿17−1
¿16
SST
@ ;:2
#. Decisión7 8ado que G @ ".:: no sobrepasa :.=1 o sea el valor de
F 0.05
para " %01 grados de libertad la hipótesis nula no puede recha&arse) en otras palabras no
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podemos concluir que existe una diferencia en las resistencias medias a los
esfuer&os desli&antes de los pernos en las tres posiciones sobre el techo.
4.3 Diseños en lo!ues Aleatorios
9omo observamos en la sección 4.1 la estimación de la variación aleatoria *el error experimental+ a menudo puede reducirse esto es liberarse de la variabilidad debida a
causas extrañas dividiendo las observaciones de cada clasificación en bloques. /sto se
logra cuando fuentes conocidas de variabilidad *es decir variables extrañas+ se
mantienen fijas dentro de cada bloque pero varían de bloque en bloque.
/n la presente sección supondremos que el experimentador tiene a su disposición
mediciones relativas aa
tratamientos distribuidos sobre " bloques. /n primer
t'rmino consideraremos el caso en que ha% exactamente una observación de cada
tratamiento en cada bloque) en relación con la Tabla 1 de la página 1 este caso
aparecería si cada laboratorio probara un disco de cada tira. 9onveniendo en que yij
denote la observación relativa el i*+si)o tratamiento % al ,*+si)o bloque´ y i la media
de las " observaciones para el i*+si)o tratamiento´ y j la media de las a
observaciones en el ,*+si)o bloque %´ y .. la gran media de las " observaciones
empleamos el siguiente esquema en esta clase de clasificación con dos criterios7
B#o$%&s
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puede recha&arse. /n cualquier caso la hipótesis alterna establece que al menos uno de
los efectos no es cero.
9omo en el análisis de variancia con un criterio de clasificación fundamentaremos esta
prueba de significancia mediante comparaciones de σ 2
*una basada en la variación
entre tratamientos otra basada en la variación entre bloques % la última que mide el
error experimental+. 6ótese que sólo el último es una estimación de σ 2
cuando
cualquiera *o ambas+ de las hipótesis nulas no son válidas. $as sumas de cuadrados
requeridas son dadas por las tres componentes en que la suma de cuadrados total se
divide por medio del siguiente teorema7
Teorema 4. Identidad para el análisis de una clasificación con dos criterios
∑ j=1"
( y ij−´ y i .−´ y . j+ ´ y .. )2+"∑i=1a
( ´ yi .− ́y ..)2+¿a∑i=1"
( ´ y . j−´ y .. )2
∑ j=1
"
( y ij−´ y .. )2=¿∑
i=1
a
¿
∑i=1
a
¿
/l lado i&quierdo de esta identidad representa la suma de cuadrados totalSST
% los
t'rminos del lado derecho son respectivamente la suma de cuadrados del error SSE
la suma de cuadrados entre tratamientos SS (Tr ) % la suma de cuadrados en bloque
SS (B#) . 3ara probar este teorema empleamos la identidad7
yij−´ y ..=( yij−´ y i .−´ y . j+ ́y ..)+ ( ´ yi .−´ y .. )+( ́y . j−´ y .. )
% seguimos en esencia el mismo argumento de la demostración del Teorema 4.1.
/n la práctica calculamos las sumas necesarias por medio de fórmulas que ahorran
trabajo en lugar de usar las expresiones que definen estas sumas de cuadrados en el
Teorema 4.2. Inicialmente calcularemos SST ,SS (Tr) % SS (B#) por medio de las
fórmulas7
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!umas de cuadrados para el análisis de variancia de una clasificación con dos
criterios
SST =∑i=1
a
∑ j=1
"
yij2−C
SS (Tr )=1
"∑i=1
a
T i .2−C
SS (B# )=1a∑ j=1
"
T . j2 −C
donde C es el t+r)ino de corrección dado por
C =T ..
2
a"
/n estas fórmulasT i . es la suma de las " observaciones para el i*+si)o
tratamientoT . j es la suma de las
a observaciones en el ,*+si)o bloque %
T ..
es el gran total de todas las observaciones. 6otemos que los divisores de SS (Tr) % de
SS (B#) son el número de observaciones en los totales respectivos T i . % T . j .
$a suma de cuadrados del error se obtiene entonces por sustracción) de acuerdo con el
Teorema 4.2 podemos escribir7
!uma de cuadrados del error
SSE=SST −SS (Tr )−SS (B#)
/mpleando estas sumas de cuadrados podemos recha&ar la hipótesis nula de que lasα i son todas iguales a cero con un nivel de significación
α si la7
azón % para tratamientos
F Tr= MS (Tr )
MSE =
SS (Tr )/(a−1)SSE /(a−1)("−1)
22
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23/112
excede F α con a−1 % (a−1 ) ("−1 ) grados de libertad. $a hipótesis nula de
que todas las ) j son iguales a cero puede recha&arse con un nivel de significancia
α si7
azón % para bloques
F B#= MS (B#)
MSE =
SS(B#)/(a−1)SSE /(a−1)("−1)
excede F α con a−1 % (a−1) ("−1 ) grados de libertad. 6ótese que las
medias de los cuadrados MS (Tr ) , MS(B# ) % MSE se definen otra ve& como
las correspondientes sumas de cuadrados divididas entre sus grados de libertad.
$os resultados de este análisis se resumen en la siguiente tabla de análisis de variancia7
'uente de
variación
Grados de
libertad
(u)a de
cuadradosCuadrado )edio '
Eratamientos a−1 SS (Tr ) MS (Tr )=
SS(Tr )(a−1)
F Tr= MS(Tr )
MSE
>loques "−1 SS (B#) MS ( B# )=SS (B# )
("−1) F B#= MS(B#)
MSE
/rror (a−1)("−1) SSE MSE= SSE
(a−1)("−1)
Eotal a"−1 SST
EJEMPLO
Se diseñó un experimento para estudiar el rendimiento de cuatro detergentes diferentes.$as siguientes lecturas de -blancura se obtuvieron con un equipo especialmente
diseñado para 0" cargas de lavado distribuidas en tres modelos de lavadoras7
Lavadora 1 Lavadora ! Lavadora " Totales
Deter$ente A 1# 1: #0 0:;
Deter$ente B 1= 1< #" 01#
Deter$ente C 12 #! ## 0#:
23
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Deter$ente D 1" := 1; 0"2
Totales 02" 0=< "!= #10.90, el valor de
F 0.01 para "−1=3−1=2 % (a−1 ) ("−1 )=(4−1 ) (3−1 )=6 grados de
libertad.
1. C#lculos7 sustitu%endo7
a=4,"=3,T 1.=139,T 2.=145,T 3.=153,T 4.=128,T .1=182,T .2=176,T .3=207,T ..=565.
Se debe calcular7
¿(¿¿ y Aj
2 + yBj2 + yCj
2 + y j2 )
yij2=∑
j=1
"
¿
∑ j=1
"
¿
∑i=1
a
¿
y A12 + y A2
2 + y A32 +¿
¿¿¿
+( yC 12 + yC 2
2 + yC 32 )+( y 1
2 + y 22 + y 3
2 )
24
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¿ (452+432+512 )+(472+462+522 )
+(482+502+552 ) +(422+372+492 )
¿ (2,025+1,849+2,601 )+(2,209+2,116+2,704)
+(2,304+2,500+3,025 )+ (1,764+1,369+2,401 )
¿6,475+7,029+7,829+5,534=26,867.
C =T ..
2
a"= (565 )2
(3)(4 )=26,602
SST =∑i=1
a
∑ j=1
"
yij2−C =26,867−26,602=265
SS (Tr )=1"∑i=1
a
T i .2−C =
1
3(1392+1452+1532+1282)−26,602
¿26,713−26,602=111.
SS (B# )=1a∑ j=1
"
T . j2 −C =
1
4(1822+1762+2072 )=26,737−26,602=135
SSE=SST −SS (Tr )−SS ( B# )=265−111−135=19
8espu's dividimos las sumas de cuadrados entre sus respectivos grados de libertad para
obtener las sumas de cuadrados adecuadas los resultados finales se indican en la
siguiente tabla de análisis de varian&a7
'uente de
variaciónGrados de libertad
(u)a de
cuadradosCuadrado )edio '
Eratamientos7
Deter$entes
a−1=¿
¿4−1=3
SS (Tr )=1 MS (Tr )=
SS (Tr )(a−1 )
F Tr= MS (Tr )
MSE
25
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¿ 111
(4−1)=37 ¿
37
3.2=11.6
>loques7
Lavadoras7
"−1
¿3−1=2SS (B# )=1
MS ( B# )= SS ( B# )("−1 )
¿ 135
(3−1)=67.5
F B#= MS ( B#)
MSE
¿67.5
3.2=21.1
/rror
(a−1 ) ("−1 )
¿ (4−1 ) (3−1 )=
SSE=19
MSE= SSE
( a−1 ) ("−1 )
¿ 19
(4−1)(3−1)=3.2
Eotal a"−1=(3) (4 )−1 SST =26
Decisiones7 8ado que F Tr=11.6 sobrepasa a ;.=2 el valor de F 0.01 con : % <
grados de libertad concluimos que existen diferencias en la eficacia de los cuatro
detergentes. Eambi'n puesto que
F B#=21.1 excede a 0!.; el valor de
F 0.01
con "% < grados de libertad concluimos que las diferencias entre los resultados obtenidos por
las tres lavadoras son significativos es decir que la división en bloques fue efica&. 9on
el fin de hacer resaltar aún más el efecto de estos bloques.
/l efecto del i−ésimo detergente puede estimarse por medio de la fórmula7
α̂ i=´ yi .− ́y ..
α̂ 1=´ y1.−´ y ..=
139
3
−565
12
=46.3−47.1=−0.08,
α̂ 2=´ y2.− ́y..=
145
3−
565
12=48.3−47.1=1.2,
α̂ 3=´ y3.− ́y..=
153
3−
565
12=51.0−47.1=3.9,
^α 4=´ y 4.−´ y ..=
128
3 −565
12 =42.7−47.1=−4.4 .
26
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27/112
9álculos similares nos llevan a que7
^ ) i=´ y .i− ́y ..
^ )1=´ y
.1− ́y
..=
182
4−
565
12=45.5−47.1=−1.6,
^ )2=´ y
.2− ́y
..=
176
4−
565
12=44−47.1=−3.1,
^ )3=´ y .3− ́y ..=
207
4−
565
12=51.75−47.1=4.65 .
para los efectos estimados de las lavadoras.
8ebería observarse que la clasificación con dos criterios de manera automática nos
permite repetir las condiciones experimentales) por ejemplo en el experimento anterior
cada detergente fue probado tres veces. (n número ma%or de repeticiones pueden
manejarse en varias formas % debemos tener presente que el modelo debe describir de
manera aproximada la situación considerada. (na forma de considerar más repeticiones
en la clasificación con dos criterios es incluir un número ma%or de bloques *por
ejemplo probar cada detergente usando más lavadoras aleatori&ando el orden de prueba
de cada máquina+. ?bs'rvese que el modelo en esencia es el mismo que antes) la únicadiferencia es que se ha aumentado " % un correspondiente incremento en los grados
de libertad de los bloques % del error. /ste último detalle es importante debido a que un
incremento en los grados de libertad del error hace que la prueba de la hipótesis nulaα i=0 para cada i sea )#s sensible a pequeñas diferencias entre las medias de los
tratamientos. /n realidad el objetivo real de esta clase de repetición es aumentar los
grados de libertad del error % por ende incrementar la sensibilidad de las pruebas F .
(n segundo m'todo consiste en repetir el experimento por completo empleando un
nuevo patrón de aleatori&ación para obtener a ∙ " nuevas observaciones. /sto es
posible sólo si los bloques son identificables esto es si las condiciones que definen a
cada bloque pueden repetirse. 3or ejemplo en el experimento descrito en la sección 4.1
en que se pesaba el recubrimiento de estaño los bloques son tiras transversales a la
dirección en que una lámina de hojalata se despla&a hacia los rodillos) % dada una nueva
lámina es posible reconocer que se trata de la tira 0 de la tira " etc. /n el ejemplo de
esta sección este tipo de repetición *denominado por lo general duplicación+ requeriría
que la operación de las lavadoras sea exactamente duplicada. /ste tipo de repetición
será usado en relación con los diseños de cuadros latinos de la sección 4..
27
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
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(n tercer m'todo de repetición es incluirn
observaciones para cada tratamiento en
cada bloque. 9uando se diseña un experimento en esta forma las n observaciones en
cada -celda se consideran como duplicados % se espera que su variabilidad sea algo
menor que el error experimental. 3ara ilustrar este punto supongamos que los pesos de
los recubrimientos de estaño de los tres discos de posiciones ad%acentes en una tira semiden sucesivamente en uno de los laboratorios empleando las mismas soluciones
químicas. $a variabilidad de estas mediciones probablemente sea considerada menor
que la de tres discos de la misma tira medidos en esos laboratorios en distintas
ocasiones usando diferentes soluciones químicas % qui&ás distintos laboratoristas. /l
análisis de variancia adecuado para este tipo de repetición se reduce en esencia a un
análisis de variancia con dos criterios aplicado a las medias de losn
duplicados en
las a ∙ " celdas) así no habra $anancia en los $rados de libertad del error % en
consecuencia ninguna ganancia en la sensibilidad de las pruebas G. 3uede esperarse sin
embargo que halla alguna reducción en el error de la media cuadrada dado que ahoramide la variancia residual de las medias de varias observaciones.
4.4 Comparaciones "#ltiples
$as pruebas F
utili&adas hasta ahora en este capítulo han indicado si las diferencias
entre varias medias son significativas pero no nos informaron si una media dada *o
grupo de medias+ difieren en forma significativa de otra media considerada *o grupo de
medias+. /n la práctica esto último es la clase de información que un investigador en
realidad desea) por ejemplo habiendo determinado las medias de los pesos de losrecubrimientos de estaño obtenidos por los cuatro laboratoristas difieren de manera
significativa puede ser importante determinar qu' laboratorio *o laboratoristas+ difieren
de los otros.
Si un experimentador tiene ante sí k medias parece ra&onable en primer t'rmino
probar diferencias significativas entre todos los pares posibles esto es efectuar
(k 2)=k (k −1)
2
pruebas(
bimuestrales. ,parte de que esto requeriría un gran número de pruebas aun
cuando k sea relativamente pequeño estas pruebas no serían independientes % sería
casi imposible asignar un nivel de significancia global a este procedimiento.
Se han propuesto varias pruebas de comparaciones m/ltiples para salvar estas
dificultades entre ellas la prueba del rango m/ltiple de 0uncan. $as suposiciones
básicas de las pruebas del rango múltiple de 8uncan son en esencia las del análisis de
variancia en una dimensión para tamaños muestrales iguales. $a prueba compara el
28
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
29/112
rango de cualquier conjunto de *
medias con un apropiado rango de mnima
significancia + * dado por7
an"o de m/nima si"nificancia
+ *=s´ x ∙ r *
,quís ´ x es una estimación de σ ́ x=σ /√ n % puede calcularse mediante la fórmula7
-rror estándar de la media
s ´ x=√ MSEndonde AS/ es la media de los cuadrados del error en el análisis de variancia. /l valor
der * depende del nivel deseado de significancia % del número de grados de libertad
correspondientes a la AS/ que se obtienen de Tablas 4.2 %a& % %b& para α =0.05 %
α =0.01 para *=2,3, … , 10 % para varios grados de libertad entre 0 % 0"!.
EJEMPLO
9on respecto a los datos de los pesos de los recubrimientos de estaño de la sección %.!
p#$ina 2 se aplica una prueba de rango múltiple de 8uncan para probar cuáles medias
de los laboratorios difieren de las otras empleando un nivel de significancia de !.!#.
Solución:
´ y A=3.21
12=0.268, ´ yB=
2.72
12=0.227, ´ yC =
2.76
12=0.230, ´ y =
3.00
12=0.250
/n primer t'rmino ordenamos en un orden creciente de magnitud las cuatro medias
muestrales como sigue7
$aboratorio > 9 8 ,
Aedia !.""= !.":! !."#! !."
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
30/112
s ´ x=√ MSEn =√ 0.001512 =0.011./ntonces obtenemos *por interpolación lineal+ de la Tabla 4.2%a& los siguientes valores
de r * para α =0.05 % k (n−1 )=4 (12−1 )=44 grados de libertad7
ara *=2, r *=2.85 .
60−4044−40
=2.83−2.86
x−2.86
x=2.86+(−0.03)(4 )
20=2.86−0.006=2.854
ara *=3, r *=3.004 .
60−4044−40
=2.98−3.01
x−3.01
x=3.01+(−0.03)(4)
20=3.01−0.006=3.004
ara *=4, r *=3.004 .
30
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60−4044−40
=3.07−3.10
x−3.10
x=3.10+(−0.03)(4 )
20=3.10−0.006=3.094
* " : 1
r * ".2#1 :.!!1 :.!;1
Aultiplicando cada valor der * por
s ´ x=0.011 obtenemos finalmente7
* " : 1
r * ".2#1 :.!!1 :.!;1
r * ∙ s´ x !.!:0 !.!:: !.!:1
/l ran$o de las cuatro )edias es !."
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
32/112
9oncluimos así en nuestro ejemplo que el laboratorio , obtiene pesos medios del
recubrimiento de estaño más altos que los laboratorios > % 9.
4.$ Algunos otros diseños experimentales
/l diseño en bloques aleatorios de la !ección 4.4 es adecuado cuando una fuente de
variabilidad extraña se elimina comparando un conjunto de medias muestrales. (na
característica importante de este tipo de diseño es su balance que se logra asignando el
mismo número de observaciones a cada tratamiento de cada bloque.
$a misma clase de balance puede lograrse en otros tipos de diseño más complicados en
los cuales es conveniente eliminar el efecto de varias fuentes extrañas de variabilidad.
/n esta sección explicaremos otros dos diseños balanceados7 el dise,o de cuadros
latinos % el dise,o de cuadros grecolatinos -ue se usar(n para eliminar los efectos
de dos tres fuentes e5tra,as de variabilidad respectivamente.
Cuadro latino
9on el fin de presentar el dise,o de cuadro latino supongamos que es necesario
comparar tres tratamientos , > % 9 en presencia de otras dos fuentes de variabilidad.
3or ejemplo los tres tratamientos pueden ser tres m'todos de soldadura para
conductores el'ctricos % las dos fuentes extrañas de variabilidad pueden ser *0+
diferentes operadores aplicando la soldadura % *"+ la utili&ación de diversos fundentes
para soldar. Si tres operadores % tres fundentes son considerados el experimento podríadisponerse según el patrón siguiente7
'undente 1 'undente ! 'undente "
4perador 1 , > 9
4perador ! 9 , >
4perador " > 9 ,
,quí cada m'todo de soldadura se aplica una sola ve& por cada operador junto con cadafundente % si existiesen efectos sistemáticos debidos a diferencias entre los operadores
o entre los fundentes dichos efectos estarían presentes de igual manera en cada
tratamiento esto es en cada m'todo de soldadura.
(n arreglo experimental como el que se describió se denomina cuadro latino. (n
cuadro latino n n es un arreglo cuadrado de n letras distintas las cuales
aparecen sólo una ve& en cada renglón % en cada columna. /jemplos de cuadros latinos
conn=4 % n=5 aparecen en la Figura 4.3. 6ótese que en un experimento de
cuadro latino que requieran
tratamientos es necesario incluirn2
observaciones n por cada tratamiento.
32
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
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(n experimento de cuadro latino sin repetición da sólo (n−1)(n−2) grados de
libertad para estimar el error experimental. ,sí tales experimentos son efectuados en
contadas ocasiones sin repetición cuando n es pequeña esto es sin repetir el patrón
completo de cuadro latino varias veces. Si existe un total de r repeticiones el
análisis de los datos presupone el siguiente modelo donde y
ij( k ) # es la observación en
el i−ésimo renglón en la j−ésima columna de la #−ésima repetición % el
subindicek
entre par'ntesis indica que corresponde alk −ésimo tratamiento7
-cuación del modelo para cuadro latino
yij
(k
)#
= μ+α i+ ) j+- k + #+ϵ ij
(k
)#
parai , j , k =1,2,… , n % #=1,2, … , r , sujeta a las restricciones de que7
∑i=1
n
α i=0,∑ j=1
n
) j=0,∑k =1
n
- k =0, y∑#=1
r
#=0,
,quí μ es la gran mediaα i es el efecto del i−ésimo r'nglon ) j es el
efecto de la j−ésima columna - k es el efecto del k −ésimo tratamiento #
es el efecto de la #−ésima repetición % losϵ
ij ( k ) # son valores de variables
aleatorias independientes normalmente distribuidas con medias cero % la variancia
común σ 2
. ?bs'rvese que por -los efectos de los renglones % -los efectos de las
columnas entenderemos los efectos de las dos variables extrañas % que estamos
inclu%endo los efectos de repetición pues como veremos la repetición puede introducir
una tercera variable extraña. 6ótese tambi'n que el subíndicek
está entre par'ntesis
en y
ij( k ) # debido a que para un diseno de cuadro latino dado k es
automáticamente determinado cuando i % j se conocen.
4 4 , > 9 8 /
, > 9 8 > , / 9 8
> 9 8 , 9 8 , / >
9 8 , > 8 / > , 9
33
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
34/112
8 , > 9 / 9 8 > ,
Figura 4.3. 9uadros latinos.
$a hipótesis principal que desearemos probar es la hipótesis nula- k =0 para toda
k es decir la hipótesis nula de que no existe diferencia en la eficacia de los n
tratamientos. Sin embargo podemos probar tambi'n si el -bloqueo cru&ado del diseño
en cuadro latino ha sido efica&) esto es podemos probar las dos hipótesis nulasα i=0 para toda i % ) j=0 para toda j *contra las alternativas adecuadas+ con el
fin de comprobar si las dos variables extrañas en realidad tienen algún efecto sobre el
fenómeno que se está considerando. Aás aún podemos probar la hipótesis nula #=0 para toda # contra la alternativa de que no todas las # son iguales a cero
% esta prueba de los efectos de las repeticiones puede ser importante si las partes del
experimento que representan los cuadros latinos individuales fueron reali&adas en
distintos días por varios t'cnicos a diferentes temperaturas etc.
$as sumas de cuadrados requeridas para efectuar estas pruebas suelen obtenerse por
medio de las siguientes fórmulas abreviadas dondeT i .. es el total de las
r ∙n
observaciones en todos los i−ésimos renglones T . j . es el total de las r ∙n
observaciones en todas las j−ésimas columnas T .. # es el total de las n2
observaciones en la#−ésima repetición
T (k ) es el total de todas r ∙n
observaciones relativas al k −ésimo tratamiento % T … es el gran total de todas las
r ∙n2
observaciones7
!uma de cuadrados 0 cuadro latino
C =¿ ( T … )
2
r ∙n2
SS (Tr )=¿ 1r ∙ n
∑k =1
n
T (k )2 −C
SS+=¿ 1r ∙ n
∑i=1
n
T i ..2 −C *para renglones+
SSC =¿ 1
r ∙ n∑ j=1
n
T . j .2 −C *para columnas+
34
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SS ( +&*)=¿ 1
n2∑
i=1
r
T ..#
2 −C *para repeticiones+
SST =¿ ∑i=1
n
∑ j=1
n
∑#=1
r
yij (k ) #2
−C
SSE=¿ SST −SS (Tr )−SS+−SSC −SS( +&*)
?bs'rvese de nuevo que cada divisor es igual al número de observaciones en los
correspondientes totales cuadrados. 3or último los resultados del análisis son los que
aparecen en la siguiente tabla de análisis de variancia7
'uente de
variación Grados de libertad
(u)a de
cuadrado s
Cuadrado )edio '
Eratamiento
sn−1 SS (Tr ) MS (Tr )=
SS(Tr)n−1
F Tr= MS(Tr )
MSE
Jenglón n−1 SS+ MS+=
SS+
n−1 F +=
MS+
MSE
9olumna n−1 SSC MSC =
SSC
n−1 F C =
MSC
MSE
Jepeticiones r−1 SS ( +&* MS ( +&* )=
SS( +&*)r−1
F +&*= MS ( +&
MSE
/rror (n−1)(rn+r−3) SSE MSE=
SSE
(n−1)(rn+r−3)
Eotal r n2−1 SST
9omo antes los $rados de libertad para la su)a de cuadrados total es igual a la su)ade los $rados de libertad de los co)ponentes individuales7
(n−1 )+ (n−1 )+(n−1 )+(r−1)+(n−1 ) (rn+r−3)
¿3n+r−4+r n2+rn−3n−rn−r+3=r n2−1.
,sí en definitiva los grados de libertad del error se encuentran por sustracción.
EJEMPLO. Supón que se efectúan dos repeticiones del %a mencionado experimentode soldadura empleando el siguiente arreglo7
35
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
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5epetición 6
fundente
5epetición 66
fundente
0 " : 0 " :
4perador 1 , > 9 9 > ,
4perador ! 9 , > , 9 >
4perador " > 9 , > , 9
$os resultados que señalan el número de Kilogramos de fuer&a de tensión requerida
para reparar los puntos soldados fueron como se indica a continuación7
5epetición 6
fundente
5epetición 66
fundente0 " : 0 " :
4perador 1 01.! 0
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
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(n−1 ) (rn+r−3)=(3−1 ) (2∙3+2−3 )=10 grados de libertad. 3ara repeticiones se
recha&a la hipótesis nula si F >10.0 el valor de F 0.01 para r−1=2−1=1
% 0! grados de libertad.
1. C#lculos7 Se tiene que n=3,r=2.
arai=1:
T 1. .=∑
j=1
n=3
∑#=1
r=2
y1 j#=∑
#=1
r=2
y11#+∑
#=1
r=2
y12 #+∑
#=1
r=2
y13#
¿ y111+ y
112+ y
121+ y
122+ y
131+ y
132
¿14.0+10.0+16.5+16.5+11.0+13.0=81.0
arai=2 :
∑#=1
r=2
y2 j#=∑
#=1
r=2
y21#+¿∑
#=1
r=2
y22 #+∑
#=1
r=2
y23#
T 2. .=∑
j=1
n=3
¿
¿ y211+ y
212+ y
221+ y
222+ y
231+ y
232
¿9.5+12.0+17.0+12.0+15.0+14.0=79.5
ara i=3 :
∑#=1
r=2
y3 j#=∑
#=1
r=2
y31#+¿∑
#=1
r=2
y32 #+∑
#=1
r=2
y33#
T 3. .=∑
j=1
n=3
¿
¿ y311+ y
312+ y
321+ y
322+ y
331+ y
332
¿11.0+13.5+12.0+18.0+13.5+11.5=79.5
ara j=1:
37
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
38/112
T .1 .=∑
i=1
n=3
∑#=1
r=2
y i1 #=∑#=1
r=2
y11#+∑
#=1
r=2
y21 #+∑
#=1
r=2
y31#
¿ y111+ y
112+ y
211+ y
212+ y
311+ y
312
¿14.0+10.0+9.5+12.0+11.0+13.5=70.0
ara j=2:
T .2 .=∑
i=1
n=3
∑#=1
r=2
y i2 #=∑#=1
r=2
y12#+∑
#=1
r=2
y22 #+∑
#=1
r=2
y32#
¿ y121+ y
122+ y
221+ y
222+ y
321+ y
322
¿16.5+16.5+17.0+12.0+12.0+18.0=92.0
ara j=3:
T .3 .=∑
i=1
n=3
∑#=1
r=2
y i 3#=∑#=1
r=2
y13 #+∑
#=1
r=2
y23#+∑
#=1
r=2
y33 #
¿ y 131+ y132+ y231+ y232+ y331+ y332
¿11.0+13.0+15.0+14.0+13.5+11.5=78.0
ara #=1 :
∑ j=1
n=3
yij 1=¿∑ j=1
n=3
y1 j1+∑
j=1
n=3
y2 j1+∑
j=1
n=3
y3 j 1
T ..1=∑
i=1
n=3
¿
¿ y
111+ y
121+ y
131+ y
211+ y
221+ y
231+ y
311+ y
321+ y
331
¿14.0+16.5+11.0+9.5+17.0+15.0+11.0+12.0+13.5=119.5
ara#=2 :
38
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
39/112
∑ j=1
n=3
yij 2=¿∑ j=1
n=3
y1 j2+∑
j=1
n=3
y2 j2+∑
j=1
n=3
y3 j2
T ..2=∑
i=1
n=3
¿
¿ y
112+ y
122+ y
132+ y
212+ y
222+ y
232+ y
312+ y
322+ y
332
¿10.0+16.5+13.0+12.0+12.0+14.0+13.5+18.0+11.5=120.5
T ( A )=14.0+13.0+17.0+12.0+13.5+18.0=87.5
T ( B )=16.5+16.5+15.0+14.0+11.0+13.5=86.5
T ( C )=11.0+10.0+9.5+12.0+12.0+11.5=66.0
/l gran total se puede calcular de varias maneras7
T …=T ( A )+T (B )+T ( C )=87.5+86.5+66=240
T i ..=¿T 1. .+T 2. .+T 3. .=81.0+79.5+79.5=240
T …=∑i=1
n=3
¿
T . j .=¿T .1 .+T .2.+T .3.=70+92+78=240
T …=∑ j=1
n=3
¿
T .. #=¿T ..1+T ..2=119.5+120.5=240
T …=∑#=1
r=2
¿
Sumas al cuadrado7
∑i=1
n=3
∑ j=1
n=3
∑#=1
r=2
yij (k ) #2 =∑
j=1
n=3
∑#=1
r=2
y1 j ( k ) #2 +∑
j=1
n=3
∑#=1
r=2
y2 j ( k ) #2 +∑
j=1
n=3
∑#=1
r=2
y3 j ( k ) #2
¿∑#=1
r=2
y11 ( k ) #2 +∑
#=1
r=2
y12 ( k ) #2 +∑
#=1
r=2
y13 (k )#2 +∑
#=1
r=2
y21 (k )#2 +∑
#=1
r=2
y22( k ) #2 +∑
#=1
r=2
y23 (k ) #2
39
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
40/112
+∑#=1
r=2
y31 (k ) #2 +∑
#=1
r=2
y32 (k )#2 +∑
#=1
r=2
y33 ( k ) #2
¿ y11(k ) 12 + y
11 (k )22 + y
12 (k )12 + y
12( k ) 22 + y
13 (k )12 + y
13 (k )22 + y
21 (k )12 + y
21 (k )22
+ y22( k )12 + y
22( k ) 22 + y
23 (k )12 + y
23 (k )22 + y
31 (k )12 + y
31 (k )22 + y
32 (k )12 + y
32 (k ) 22
+ y33 (k )12 + y
33 (k )22
¿14.02+10.02+16.52+16.52+11.02+13.02+9.52+12.02+17.02+12.02
+15.02+14.02+11.02+13.52+12.02+18.02+13.52+11.52
¿3,304.5
/n las fórmulas de las sumas de cuadrados obtenemos7
C =( T … )
2
r ∙n2 =
2402
2∙32=3,200.0
SS (Tr )= 1r ∙ n
∑k =1
n
T ( k )2 −C =
1
r ∙n (T ( A )2 +T ( B )2 +T (C )2 )−C
¿ 1
2 ∙3(87.52+86.52+66.02)−3,2000=3,249.1−3,200.0=49.1
SS+= 1
r ∙ n∑i=1n
T i ..2
−C = 1
r ∙n (T 1. .
2
+T 2. .2
+T 3. .2
)−C
¿ 1
2 ∙3(81.02+79.52+79.52 )−3,200=3,200.25−3,200=0.25
SSC = 1
r ∙ n∑ j=1
n
T . j .2 −C =
1
r ∙ n (T .1 .
2 +T .2 .
2 +T .3.
2 )−C
¿ 12 ∙3 (702+922+782 )−3,200=3,241.33−3,200=41.33
40
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
41/112
SS ( +&* )= 1n2∑
i=1
r
T ..#
2 −C = 1
n2 (T ..1
2 +T ..22 )−C = 1
32 (119.52+120.52 )−3,200
¿3,200.05−3,200=0.055
SST =∑i=1
n
∑ j=1
n
∑#=1
r
y ij ( k ) #2 −C =3,304.5−3,200=104.5
SSE=SST −SS (Tr )−SS+−SSC −SS ( +&* )
¿104.5−49.1−0.25−41.33−0.055=13.765
D los resultados son como se indica en la tabla siguiente del análisis de variancia7
'uente de
variaciónGrados de libertad
(u)a de
cuadrado
s
Cuadrado )edio '
Eratamiento
s
*A'todos+
n−1=3−1=2 SS (Tr )
MS (Tr )=SS (Tr )n−1
¿ 49.1
2
=24.6
F Tr= MS (Tr )
MSE
¿24.6
1.4
=17.6
Jenglones
*operador+n−1=3−1=2 SS+=0.
MS+=SS+
n−1
¿0.25
2=0.125
F += MS+
MSE
¿0.125
1.4=0.1
9olumnas*fundentes+
n−1=3−1=2 SSC =4
MSC =SSC
n−1
¿ 41.33
2=20.6
F C = MSC
MSE
¿20.6
1.4=14.7
Jepeticiones r−1=2−1=1 SS ( +&* )
MS ( +&* )= SS ( +&* )
r−1
¿0.055
1=0.055
F +&*= MS ( +&
MSE
¿0.055
1.4=0.04
41
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
42/112
/rror (n−1 ) (rn+r−3)= SSE=1
MSE= SSE
(n−1) (rn+r−3 )
¿13.765
10=1.4
Eotal r n2−1=2∙32−1 SST =1
#. Decisión 3or lo que respecta a tratamientos *m'todos+ % a columnas *fundentes+ dado
que F =17.6 % 14.7 sobrepasan =.# ,
Aedia 00.! 01.1 01.<
, continuación calculamoss ´ x usando la media del error cuadrado MSE=1.4
que se obtuvo en el análisis de la variancia % tenemos así7
s ´ x=√ MSEn =√ 1.43 =0.677687 .
42
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
43/112
8e la Tabla 4.2%b& se obtienen los siguientes valores der * para un nivel de
significancia α =0.01 % (n−1)(rn+r−3)=(3−1)(2 ∙ 3+2−3)=10 grados de
libertad7
* " :
r * 1.12 1.
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
44/112
Aα B) C- /
B/ A- ) Cα
C) α A/ B-
- C/ Bα A)
$a construcción de cuadros grecolatinos tambi'n denominados cuadros latinos
ortogonales da lugar a interesantes problemas matemáticos.
9on el objeto de dar un ejemplo en el cual podría ser adecuado el uso de un cuadrado
latino supóngase que en el ejemplo de la soldadura la temperatura de 'sta es otra fuente
de variabilidad. Si tres temperaturas de soldado denotadas por α , ) % - se
utili&an junto con los tres m'todos *, > % 9+ tres operadores *renglones+ % tres
fundentes *columnas+ la repetición de un experimento apropiado de cuadrado
grecolatino puede establecerse de la siguiente manera7
'undente 1 'undente ! 'undente "
4perador 1 Aα B- C)
4perador ! C- A) Bα
4perador " B) Cα A-
,sí pues el m6todo A sería utili&ado por el operador 1 usando fundente 0 a
temperaturaα
por el operador ! con fundente " a temperatura )
% por el
operador " empleando fundente : a temperatura - . /n forma similar el m6todo B lo
aplicaría el operador 1 usando fundente " % temperatura-
etc.
/n un cuadro grecolatino cada variable *representada por renglones columnas letras
latinas o letras griegas+ está -distribuida equitativamente respecto a las otras variables.
,sí al comparar las medias obtenidas de una variable los efectos de las otras son
promediados por completo. /l análisis de un cuadro grecolatino es similar al de un
cuadro latino sólo que se agrega una fuente extra de variabilidad correspondiente a las
letras griegas.
/xiste una gran variedad de diseños experimentales. /ntre los más utili&ados están los
dise,os en blo-ues incompletos que se caracteri&an por el hecho de que cada
tratamiento no está representado en cada bloque. Si el número de tratamientos que se
44
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
45/112
investiga en un experimento es grande a menudo es imposible encontrar bloques
homog'neos tales que todos los tratamientos puedan acomodarse en cada bloque.
3or ejemplo sin
pinturas son comparadas aplicando cada una de ellas a una hoja de
metal e introduci'ndolas en un horno qui&á sea imposible poner todas las hojas almismo tiempo dentro del horno. /n consecuencia es necesario valernos de un diseño
experimental en que k
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
46/112
/l m'todo mediante el cual anali&amos los datos de este tipo es una combinación del
m'todo de regresión lineal % del análisis de variancia de la !ección 4.2. /l modelo
fundamental está dado por7
-cuación modelo para el cálculo de covariancia
yij= μ+α i+/xij+ϵ ij
3ara i=1,2,… , k ; j=1,2, … , n . 8onde μ es la gran media α i es el efecto
i−ésimo % las ϵ ij son valores de variables aleatorias independientes distribuidas
normalmente con medias cero % la variancia común σ 2
)/
es la pendiente de la
ecuación de regresión lineal.
/n el análisis de tales datos los valores de la variable concomitante x ij son
eliminados por m'todos de regresión es decir estimando / con el m'todo de
mínimos cuadrados % despu's efectuando un análisis de variancia sobre las y
ajustadas esto es las cantidades y ij0 = y ij−/̂ x ij . /ste procedimiento recibe el nombre
de análisis de covariancia cuando requiere una partición de la suma de productos
S1T =∑i=1
k
∑ j=1
n
( y ij− ́y .) ( x ij−´ x. )
en la misma forma que un análisis de variancia ordinario requiere la partición de la
suma total de cuadrados. /n la práctica los cálculos se reali&an de la siguiente manera7
0. /l total el tratamiento % la suma de cuadrados del error se calculan para las x
por medio de las fórmulas de un criterio de clasificación) serán denotados por7
SST x , SS (Tr) x % SSE x
3ara las x el t'rmino de corrección es7
C x= T x
2
k ∙ n
". /l total el tratamiento % la suma de cuadrados del error se calculan para las y
mediante las fórmulas de un criterio de clasificación) serán denotados por7
SST y , SS (Tr) y % SSE y
46
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
47/112
3ara las y
el t'rmino de corrección es7
C y= T y
2
k ∙ n
:. /l total el tratamiento % la suma de productos del error se calculan por medio de las
fórmulas7
!uma de productos análisis de covariancia
S1T =∑i=1
k
∑ j=1
n
xij ∙ y ij−C
S1 (Tr )=1n∑i=1
k
T xi ∙T yi−C
S1E=S1T −S1(Tr )
donde el t+r)ino de corrección C est# dado por
C =T
x∙T
y
k ∙ n
% dondeT xi es el total de las
x para el i*+si)o tratamiento
T yi es el total
de las y para el i−ésimo tratamiento T x es el total de todas las x %
T y es el total de todas las 3.
1. /l total el error % las sumas de cuadrados de tratamientos se calculan para las y
ajustadas mediante las fórmulas7
47
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
48/112
!umas de cuadrados austadas 0 análisis de covariancia
SS T y 0 =SS T y−( S1T )2
SS T x
SS E y 0 =SS E y−(S1E )2
SS E x
SS (Tr ) y0 =SS T y 0 −SS E y 0
$os resultados en estos cálculos se resumen de manera conveniente en el siguiente
tipo de tabla de an(lisis de covariancia.
'uente de
variación
(u)a de
cuadrado
s para
x
(u)a de
cuadrado
s para
y
(u)a de
productos
Grados de
libertad
para
y .
(u)a de
cuadrados
Cuadro
)edio
Trata)ient
o
SS (Tr ) x SS (Tr ) y S1 (Tr) SS (Tr ) y0 k −1
MS (Tr ) y
0
¿ SS (Tr ) y 0
k −1
9rror SS E x SS E y S1E SS E y 0 nk −k −1
MS E y0
¿ SS E y0
nk −k −1
Total SS T x SS T y S1T SS T y 0 nk −2
6ótese que cada media de cuadrados se obtiene dividiendo la suma de cuadrados
correspondiente entre sus grados de libertad.
3or último la hipótesis nulaα
1=α
2=…=α k =0 se prueba contra la hipótesis
alterna de que no todas lasα i son iguales a cero con base en el estadístico7
azón % para tratamientos austados
F = MS (Tr ) y 0
MS E y 0
48
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
49/112
Se recha&a con un nivel de significanciaα
si el valor obtenido de F excede a
F α conk −1 % nk −k −1 grados de libertad.
EJEMPLO. Supón que un investigador tiene tres sustancias limpiadoras diferentes A
1, A
2 % A
3 que desea seleccionar la más eficiente para limpiar una superficie
metálica. $a limpie&a de una superficie se mide por su poder de reflexión expresado en
unidades arbitrarias como la ra&ón del poder de reflexión observado con respecto al de
un espejo común. /l análisis de covariancia debe utili&arse debido a que el efecto de la
sustancia limpiadora sobre el poder de reflexión dependerá de la limpie&a original es
decir del poder de reflexión original de la superficie. /l investigador obtuvo los
siguientes resultados7
A1
3oder de reflexión original x
!.#! !.## !.
3oder de reflexión final y
0.!! 0."! !.2! 0.1!
A2
3oder de reflexión original x
!.=# 0. A3
3oder de reflexión original x
!.
3oder de reflexión final y
0.!! !.=! !.2! !.;!
8etermina mediante un análisis de covariancia *con un nivel de significancia de !.!#+ siexisten diferencias en las mejoras del poder de reflexión producidas por los tres agentes
limpiadores.
Solución
0. /ipótesis nula7α
1=α
2=α
3=0.
/ipótesis alterna7 no todas lasα i son iguales a cero.
". 0ivel de si$nificancia :α =0.05
:. Criterio se recha&a la hipótesis nula si F >4.46 el valor de F 0.05 para
k −1=3−1=2 % nk −k −1=4 x 3−3−1=8 grados de libertad.
1. C#lculos7 los totales son7
T x 1=0.50+0.55+0.60+0.35=2.00
T x 2=0.75+1.65+1.00+1.10=4.50
49
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T x 3=0.60+0.90+0.80+0.70=3.00
T y1=1.00+1.20+0.80+1.40=4.40
T y2=0.75+0.60+0.55+0.50=2.40
T y3=1.00+0.70+0.80+0.90=3.40
T x=∑i=1
3
T xi=T x 1+T x 2+T x 3=2.00+4.50+3.00=9.50
T y=∑i=1
3
T yi=T y 1+T y 2+T y3=4.40+2.40+3.40=10.20
3ara las x el t'rmino de corrección es7
C x= T x
2
k ∙ n=
(9.50 )2
3∙4=7.52
% las sumas de cuadrados son7
0.50¿¿
x i2−C x=¿
SS T x=∑i=1
i=12
¿
+1.102
+0.602
+0.902
+0.802
+0.702
¿−7.52
¿8.83−7.52=1.31
SS (Tr ) x=1
n∑i=1
k =3
T xi2 −C x=
(T x 12 +T x 2
2 +T x32 )
n −C x
¿ (2.00 )
2
+( 4.50 )
2
+ (3.00 )
2
4 −7.52=8.31−7.52=0.79
50
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SS E x=SS T x−SS (Tr ) x=1.31−0.79=0.52
3ara las y el t'rmino de corrección es7
C y= T y
2
k ∙ n=
(10.20 )2
3 ∙4=8.67
% las sumas de cuadrados son7
1.00¿¿
y i2−C y=¿
SS T y=∑i=1
i=12
¿
+0.502+1.002+0.702+0.802+0.902¿−8.67
¿9.45−8.67=0.78
SS (Tr ) y=1
n∑i=1
k =3
T yi2 −C y= (T
y1
2 +T y
2
2 +T y
3
2
)n −C y
¿(4.40 )2+ (2.40 )2+ (3.40 )2
4−8.67=9.17−8.67=0.50
SS E y=SS T y−SS (Tr ) y=0.78−0.50=0.28
3ara las sumas de los productos el t'rmino de corrección es7
C =T x ∙T y
k ∙ n =
(9.50 ) (10.20 )(3)(4)
=8.08
% obtenemos
∑ j=1
n
xij ∙ y ij−C =¿
S1T =∑i=
1
k
¿
51
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S1 (Tr )=1n∑i=1
k
T xi ∙T yi−C =¿
S1E=S1T −S1 (Tr )=¿
&. Decisión 8ado que F =
0.035
0.026=1.34
no sobrepasa 1.1
0= :.1# :.#; :."! ".;< ".20 ".=! ".
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
53/112
"0 1.:" :.1= :.!= ".21 ".
0"! :.;" :.!= ".
0 1!#" #!!! #1!: #
0; 2.0; #.;: #.!0 1.#! 1.0= :.;1 :.== :.
0"!
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
54/112
< :.1< :.#; :.
0"! ".2! ".;# :.!1 :.0" :.0= :."" :."# :."; :.:0
∞ ".== ".;" :.!" :.!; :.0# :.0; :.": :."= :.";
M /sta tabla se tomó de H. $. Harter -9ritical values for 8uncanNs neO multiple range test.
TABLA 4.2%b& 7alores der * para α =0.01 9
p
$. l." : 1 # < = 2 ; 0!
0 ;!.!"
" 01.!1 01.!1
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1
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0" 1.:" 1.#! 1.
1! :.2" :.;; 1.0! 1.02 1."1 1."; 1.:: 1.:2 1.10
0"! :.=! :.2< :.;= 1.!1 1.00 1.0< 1."! 1."1 1."=
∞ :..
c+ 3ara acelerar la prueba se emplean en el experimento agua mu% caliente % tiempos
de lavado de :! segundos.
55
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
56/112
d+ $as mediciones de -blancura de todas las muestras lavadas con el detergente , se
hacen primero.
Respuesta:
a+ Si el experimento se reali&a con agua suave los resultados solo pueden ser validosen agua blanda. Eambi'n deben utili&arse otros tipos de agua.
b+ 9on 0# resultados para el detergente , % solo # para el detergente > la variabilidad
para el detergente , se conoce con ma%or precisión que para el detergente >. 8eben
usarse muestras del mismo tamaño.
c+ Se emplea en el experimento agua mu% caliente % un tiempo de lavado mu% corto.
6o se consideran las circunstancias normales de lavado usando una baja
temperatura del agua % un ma%or tiempo de lavado.
d+ 3uede haber un efecto del tiempo para el proceso de medición de la determinaciónde la -blancura. 3or ejemplo el instrumento de medición puede requerir de la
calibración despu's de unas cuantas lecturas. $os resultados de la prueba pueden
estar sesgados en este caso.
Problema 4.2. (n bebedor desea averiguar la causa de sus frecuentes malestaresdespu's de las borracheras % reali&a el siguiente experimento. $a primera noche sólo
ingiere OhisKe% % agua) la segunda toma vodKa % agua) la tercera ginebra % agua % en la
cuarta ron % agua. 9ada una de las mañanas siguientes sentía el malestar % conclu%ó
que el factor común el agua era la causa de sus malestares.
a+ /sta conclusión obviamente carece de fundamentos 4pero puedes citar qu'
principios de un diseño experimental firme se han violado5
b+ 8a un ejemplo menos obvio de un experimento que tenga el mismo inconveniente.
c+ Supón que nuestro amigo modificó su experimento de tal forma que ingirió cada
una de las cuatro bebidas alcohólicas con agua % sin ella) así que el experimento
duro ocho noches. 43odrían servir los resultados de este experimento modificado
para apo%ar o refutar la hipótesis de que el agua fue la causa de los malestares5
/xplica tu respuesta.
Respuesta:
a+ /l problema es que el efecto del agua se confunde con el efecto del alcohol.
b+ Auchas veces los experimentos con humanos se reali&an solo con voluntarios % los
resultados se comparan con los resultados observados de la población en general.
/stos resultados se confunden con un efecto de -voluntariado. $a gente de
voluntariado para experimentos particularmente experimentos m'dicos son mu%
diferentes al resto de la población son educados.
c+ /sto elimina al agua como la única causa de los malestares. 6uestro bebedor podría
concluir que amanecerá con resaca independientemente de lo que tome.
Problema 4.3. 3ara comparar la eficiencia de tres m'todos de enseñan&a de programación de cierta computadora *el m'todo , consiste en instrucción directa con la
56
8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
57/112
computadora el m'todo > requiere la intervención de un instructor % de algunas
prácticas directas con la computadora % el m'todo 9 que tan sólo exige atención
personal de un instructor+ se extraen de grandes grupos de personas instruidas por los
tres m'todos muestras de tamaño cuatro. $as calificaciones que se obtuvieron en una
prueba de aprovechamiento adecuada son las siguientes7
A'todo , A'todo > A'todo 9
=: ;0 ="
== 20 ==
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yBj+¿∑ j=1
n=4
yCj
∑ j=1
n= 4
y Aj+∑ j=1
n=4
¿
¿´ y=
1
n∙∑
i= A
k =C
∑ j=1
n=12
yij=1
n∙ ¿
1
n∙ [ ( y A1+ y A2+ y A 3+ y A 4 )+( y B1+ yB2+ yB 3+ yB4 )+( y C 1+ yC 2+ yC 3+ yC 4 ) ]
¿ 1
12∙ [ (73+77+67+71)+ (91+81+87+85 )+ (72+77+76+79 ) ]
¿ 112
[288+344+304 ]=78.
$as desviaciones con respecto a la media son7
A'todo , y¿
Ai−¿ ´ y¿¿
A'todo > y¿
Bi−¿ ´ y¿¿
A'todo 9 y¿
Ci−¿ ´ y¿¿
=: −# ;0 0: =" −<
== −0 20 : == −0
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SST =∑i=1
k
∑ j=1
n
( y ij−´ y )2=546
$as medias para las tres muestras son7
'6todo A
´ y A=1
n ∙∑
j=1
n=4
y Aj= y A 1+ y A 2+ y A 3+ y A 4
n =
73+77+67+714
=288
4=72 '6todo B
´ yB=1
n∙∑
j=1
n=4
yBj= y B1+ y B2+ yB3+ y B4
n =
91+81+87+854
=344
4=86
'6todo :
´ yC =1
n∙∑
j=1
n=4
yCj= y C 1+ y C 2+ yC 3+ yC 4
n =
72+77+76+794
=304
4=76
/n resumen las medias para las tres muestras son7
A'todo , A'todo > A'todo 9
´ y A=72 ´ yB=86 ´ yC =76
$as desviaciones de cada media con respecto a su propia media son7
A'todo , y¿
Ai−¿ ´ y A¿¿
A'todo > y¿
Bi−¿ ´ y B¿¿
A'todo 9 y¿
Ci−¿ ́yC ¿¿
=: 0 ;0 # =" −1
== # 20 −# == 0
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A'todo , y¿
Ai−¿ ´ y A¿¿¿¿
¿
A'todo > y¿
Bi−¿ ´ y B¿¿¿¿
¿
A'todo 9 y¿
Ci−¿ ́yC ¿¿¿¿
¿=: 0 ;0 "# =" 0<
== "# 20 "# == 0
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T =288+344+304=936.
∑i=1
k T i2
ni=
T A2
n A+
T B2
nB+
T C 2
nC =
(288 )2
4+
(344 )2
4+
(304 )2
4
¿20,736+29,584+23,104=73,424
C =T
2
! =
(936)2
12=73,008.
SS (Tr )=∑i=1
k T i2
ni
−C =73,424−73,008=416
$a suma de los cuadrados de todas las observaciones es =:##17
yij y ij2
A'todo , =: #:";
== #;";
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SSE=SST −SS (Tr )=546−416=130 .
/stas cifras concuerdan con las del inciso *a+.
Problema 4.4. Aediante las sumas de cuadrados obtenidas en el roblema 4.3
prueba con un nivel de significancia α =0.05 si las diferencias obtenidas para las tres
muestras son significativas.
Solución:
$a tabla del análisis de variancia es7
'uente de
variación
Grados de
libertad
(u)a de
cuadrados Media cuadrada '
Eratamientos
k −1
@ : F 0@ "
SS (Tr )
@ 10<
MS (Tr )=SS (Tr )k −1
¿ 416
3−1=208
MS (Tr ) MSE
¿ 208
14.44
¿14.40
/rror ! −k =12−3
SSE
@ 0:!
MSE= SSE
! −k
¿ 130
12−3=14.44
Eotal ! −1=12−1
SST
@ #1<
3uesto que el valor crítico se encuentra en el nivel !.!# para una distribución G con " %
; grados de libertad. 8e la Tabla 4.1 se obtiene el valor de 1."
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T+cnico 6 T+cnico 66 T+cnico 666 T+cnico 6:
< 01 0! ;
01 ; 0" 0"
0! 0" = 22 0! 0# 0!
00 01 00 00
3rueba con un nivel de significancia α =0.01 si las diferencias entre las cuatro
muestras pueden atribuirse al a&ar.
Solución:
$a hipótesis nula es que la media del número de errores es la misma para los cuatrot'cnicos. $a hipótesis alternativa es que las medias no son iguales.
(tili&ando las etapas para pruebas de hipótesis obtenemos7
0. Hipótesis nula7 μ 2 = μ 22 = μ 222 = μ 23 .
Hipótesis alterna7 las μ
no son iguales.
". 6ivel de significancia7 α =0.01 .
:. Criterio7 Se recha&a la hipótesis nula si F >5.29 el valor de F 0.01 para7
k −1=4−1=3 % ! −k =20−4=16 grados de libertad
donde F es determinado por un análisis de variancia) de lo contrario lo
aceptamos.
3ara ello hacemos uso de la Tabla 4.1.
1. C#lculos7
T+cnico 6 T+cnico 66 T+cnico 666 T+cnico 6:
< 01 0! ;
01 ; 0" 0"
0! 0" = 2
2 0! 0# 0!
00 01 00 00
T 2
=49 T 22
=59 T 222
=55 T 23
=50
63
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T =∑i= 2
23
T i=T 2 +T 22 +T 222 +T 222 =49+59+55+50=213
n 2 =5 n 22 =5 n 222 =5 n 23 =5
! =∑i= 2
k = 23 ni=n 2 +n 22 +n 222 +n 23 =5+5+5+5=20
y 22j2 +¿∑
j=1
5
y 222j2 +∑
j=1
5
y 23j2
y 2j2+¿∑
j=1
5
¿
∑ j=1
ni
y ij2
=¿∑ j=15
¿
∑i= 2
k = 23
¿
¿ ( y 2 12 + y 2 2
2 + y 2 32 + y 2 4
2 + y 2 52 )+( y 22 1
2 + y 22 22 + y 22 3
2 + y 22 42 + y 22 5
2 )
+( y 222 12 + y 222 2
2 + y 222 32 + y 222 4
2 + y 222 52 )+( y 23 1
2 + y 23 22 + y 23 3
2 + y 23 42 + y 23 5
2 )
(tili&ando /xcel7
T+cnico
6
y 2j2
,
j=1,… ,T+cnico
66
y 22j2
,
j=1,… , 5T+cnico
666
y 222j2
,
j=1,… ,T+cnico
6:
y 23j2
,
j=1,… , 5
< :< 01 0;< 0! 0!! ; 20
01 0;< ; 20 0" 011 0" 011
0! 0!! 0" 011 = 1; 2
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/n las expresiones para calcular las sumas de cuadrados obtenemos7
SST =∑i=1
k
∑ j=1
ni
yij2−C =2,383−2,268.45=114.55
SS (Tr )=∑i= 2
k = 23 T i2
ni−C =[T 2
2
n 2 +
T 22 2
n 22 +
T 222 2
n 222 +
T 23 2
n 23 ]−C ¿[ 4925 + 59
2
5+55
2
5+50
2
5 ]−2,268.45
¿ [480.2+696.2+605+500 ]−2,268.45=2,281.40−2,268.45=12.95 .
% tambi'n
SSE=SST −SS (Tr )=114.55−12.95=101.60 .
/l resto del trabajo se advierte en la siguiente tabla de análisis de variancia.
'uente de
variación
Grados de
libertad
(u)a de
cuadrados Media cuadrada '
Eratamientos
k −1
@ 1 F 0@ :
SS (Tr)
@ 0".;#
MS (Tr )=SS (Tr)k −1
¿12.95
4−1=4.3167
MS (Tr ) MSE
¿ 4.3167
6.3500
¿0.68
/rror
! −k
¿20−4
¿16
SSE
@ 0!0.
MSE= SSE
! −k
¿101.60
20−4=6.3500
Eotal
! −1
¿20−1
¿19
SST
@ 001.##
65
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#. Decisión7 8ado que el valor crítico en el nivel de significancia de !.!0 para una
distribución G con : % 0< grados de libertad es #.";. G @ !.5.78 el valor de F 0.01 para7
k −1=3−1=2 % ! −k =24−3=21 grados de libertad
donde F
es determinado por un análisis de variancia) de lo contrario lo
aceptamos.
3ara ello hacemos uso de la Tabla 4.1.
1. C#lculos7
Lubricante A Lubricante B Lubricante C
0"." 0!.; 0".=
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00.2 #.= 0;.;
0:.0 0:.# 0:.<
00.! ;.1 00.=
:.; 00.1 02.:
1.0 0#.= 01.:0!.: 0!.2 "".2
2.1 01.! "!.1
T A=74.8 T B=91.4 T C =133.7
T =∑i= A
C
T i=T A+T B+T C =74.8+91.4+133.7=299.90
n A=8 nB=8 nC =8
! =∑i= A
k =C ni=n A+nB+nC =8+8+8=24
yBj2 +¿∑
j=1
5
yCj2
y Aj2 +¿∑
j=1
8
¿
∑ j=1
ni
yij2=¿∑
j=1
8
¿
∑i= A
k =C
¿
¿ ( y A12 + y A 2
2 + y A 32 + y A4
2 + y A 52 + y A6
2 + y A72 + y A 8
2 )+¿
( y B12 + yB2
2 + yB32 + y B4
2 + yB52 + y B6
2 + yB72 + y B8
2 )+¿
( yC 1
2 + yC 22 + y C 3
2 + y C 42 + yC 5
2 + yC 62 + yC 7
2 + yC 82 )+¿
(tili&ando /xcel7
Lubricante
A
y Aj2
,
j=1,… ,5 Lubricante
B
yBj2
,
j=1,… ,5 Lubricante
C
yCj2
,
j=1,… ,5
0"." 012.21 0!.; 002.20 0".= 0
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:.; 0#."0 00.1 0";.;< 02.: ::1.2;
1.0 0
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α i=α A+¿α B+α C =−3.146−1.071+4.2165=−0.0005≅0
∑i= A
k =C
¿
Problema 4.! 3ara encontrar el efecto de la carga de polvo en la salida de unsistema con un precipitante se efectuaron las siguientes mediciones7
'lu,o total
*)" ;hora+
Car$a del polvo de salida
* $ra)os por )" en el tubo de $as+
"!! 0.# 0.= 0.< 0.; 0.;
:!! 0.# 0.2 "." 0.; "."
1!! 0.1 0.< 0.= 0.# 0.2
#!! 0.0 0.# 0.1 0.1 ".!
/mplea un nivel de significanciaα =0.05 para probar si el flujo a trav's del
precipitante tiene algún efecto sobre la carga del polvo de salida.
Solución:
Problema 4.". 9on objeto de estudiar el rendimiento de un motor fuera de bordarecientemente diseñado se cronometró sobre un tra%ecto determinado en diversas
condiciones acuáticas % del viento7
9ondiciones de calma7 "! 0= 01 "1
9ondiciones moderadas7 "0 ": 0
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8isposición "70!
0"
; = 00 ;
0"
;
0!
0:
; 0!
8isposición :7 00 # ;0!
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T 1=100 T
2=120 T
3=64
T =∑i= 1
3
T i=T 1+T 2+T 3=100+120+64=284
n1=8 n
2=12 n
3=8
! =∑i=1
k =3
ni=n1+n2+n3=8+12+8=28
y2 j
2 +¿∑ j=1
8
y3 j
2
y1 j
2 +¿∑ j=1
12
¿
∑ j=1
ni
yij2=¿∑
j=1
8
¿
∑i=1
k =3
¿
¿ ( y11
2 + y12
2 + y13
2 + y14
2 + y15
2 + y16
2 + y17
2 + y18
2 )+¿
¿ ( y212 + y
22
2 + y23
2 + y24
2 + y25
2 + y26
2 + y27
2 + y28
2 + y29
2 + y210
2 + y211
2 + y212
2 )
¿ ( y312 + y
32
2 + y33
2 + y34
2 + y35
2 + y36
2 + y37
2 + y38
2 )+¿
(tili&ando /xcel7
Disposición
1
y1 j2
,
j=1,… , 8 Disposición
!
y2 j2
,
j=1,… , 12 Disposición
"
y3 j2
,
j=1,… , 8
01 0;< 0! 0!! 00 0"0
0: 0
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8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos
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'uente de
variación
Grados de
libertad
(u)a de
cuadrados Media cuadrada '
Eratamientosk −1
@ : F 0@ "
SS (Tr)
@ 20.1:
MS (Tr )=SS (Tr )k −1
¿81.43
3−1=40.715
MS (Tr )
MSE
¿ 40.715
3.600
¿11.31
/rror
! −k
¿