Universidad Mayor de San Andrés
Facultad de Ciencias Puras y Naturales
Carrera de Matemática
Teorema de Gelfand - Naimark paraÁlgebras de Banach Conmutativas
(Análisis Funcional)
Proyecto de Grado presentado para la obtención
del Título de Licenciatura en Matemática
Autor: Jhonny Mamani Ramos
Tutor: M. Sc. Camilo D. Moreira Dorado
La Paz - Bolivia
2018
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad de Ciencias Puras y Naturales
Carrera de Matemática
Teorema de Gelfand - Naimark paraÁlgebras de Banach Conmutativas
(Análisis Funcional)
Proyecto de Grado presentado para la obtención
del Título de Licenciatura en Matemática
Autor: Jhonny Mamani Ramos
Tutor: M. Sc. Camilo D. Moreira Dorado
La Paz - Bolivia
2018
Agradecimientos
Agradezco principalmente a mis padres Alejandro y Marcela por acompañarme durante todo
mi trayecto estudiantil, quien con sus consejos han sabido guiarme para culminar mi carrera
profesional.
A mis hermanos Rogelio y Alex de quienes recibí apoyo cuando mas lo necesité.
A la Universidad Mayor de San Andrés y en especial a la Carrera de Matemática que me
formó profesionalmente.
A los Profesores Efrain Cruz, Porfirio Suñagua, Camilo Moreira, Javier Guachalla y Ramiro
Choque quienes me apoyaron brindándome su tiempo y conocimiento, en el desarrollo de mi
formación profesional.
A mis amigos, por sus palabras de ánimo que siempre confiaron en mí: Juan Ramiro Ticona,
Edwin Ticona, Jose Luis Laura, Tanit Aneu, Adalberto Roque y Wilber Apaza.
Y gracias a los que me brindaron ayuda en este proyecto.
Jhonny Mamani Ramos
i
Resumen
Este trabajo consiste en la demostración del Teorema de Gelfand-Naimark (Corach & Andru-
chov, 1997) en el contexto de las Álgebras de Banach conmutativas.
La idea de Gelfand fue el de extender la teoría espectral de Riesz a un álgebra normada ar-
bitraria con unidad, imitando la definición de Riesz para el álgebra L(E) de los endomorfismos
continuos de un espacio de Banach. Gelfand define el espectro de un elemento en un álgebra
de Banach y recupera los resultados principales de la teoría de Riesz, y con la colaboración de
M. Naimark comenzó el estudio de lo que hoy se conoce como C∗− álgebras.
En este trabajo se utilizará el método teórico: Hipotético-Deductivo para mostrar los resul-
tados, ya que la matemática es una ciencia que ha alcanzado determinado desarrollo teórico-
metodológico, en donde la hipótesis cumple una función importante.
Se estudiará con mucho detalle las demostraciones de diferentes resultados de álgebras de
Banach, álgebras de Banach conmutativas y C∗− álgebras. Las principales definiciones y re-
sultados que serán de mucha utilidad en la demostración del teorema central son: el espectro
de un elemento en un álgebra de Banach, el espectro de un álgebra de Banach, los elementos
hermitianos, la transformada de Gelfand, las topologías débiles; si ∆ es el espectro de un ál-
gebra de Banach, entonces ∆ es un espacio de Hausdorff compacto y C(∆) es una subálgebra
cerrada con unidad que separa puntos.
ii
Índice general
Agradecimientos i
Resumen ii
1. INTRODUCCIÓN 1
2. ÁLGEBRAS DE BANACH 6
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Ejemplos de álgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Homomorfismos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. Elementos regulares y singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5. Espectro de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. ÁLGEBRAS DE BANACH CONMUTATIVAS 23
3.1. Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Álgebra cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4. El espectro de caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5. La transformada de Gelfand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4. C∗−ÁLGEBRAS Y TEOREMA DE GELFAND-NAIMARK 37
4.1. Involuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2. C∗−álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3. Distintas clases de elementos en un C∗−álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4. Teorema de Gelfand-Naimark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
iii
iv
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 49
A. Teorema de Stone-Weierstrass 51
A.1. El Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
A.2. El Teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1INTRODUCCIÓN
En este trabajo se tratará la teoría de Gelfand para álgebras de Banach conmutativas; se con-
siderarán las C∗− álgebras y se estudiará con mucho detalle el Teorema de Gelfand-Naimark
que básicamente establece que cualquier C∗− álgebra conmutativa con unidad puede verse
como el C∗− álgebra que consta de las funciones continuas con valores en el campo complejo
C definidas en un espacio compacto.
Según (Varela, s. f.) la teoría de la álgebras de Banach es más o menos reciente; a su pe-
riodo de gestación están vinculados los nombres de A. D. Michal, R. S. Martin, M. Nagumo,
K. Yosida, J. von Neumann, N. Wiener, M. H. Stone y otros.
El nacimiento de las teorías se localiza en 1941 con la aparición del famoso artículo de I.
M. Gelfand Normierte Ringe donde se empieza a hacer uso sistemático de la teoría elemental
de ideales en el estudio de estas álgebras.
Antes de Gelfand, que es el fundador de la teoría de álgebras de Banach, había algunos do-
cumentos que tratan con el estudio de una multiplicación adicional en un espacio de Banach
(Nayumo, Yosida, von Neumann y otros) sin desarrollar a través de una teoría general.
Tras sus trabajos en Teoría Espectral, von Neuman se mostró sumamente interesado en
continuar el estudio de las subálgebras involutivas de L(E), dotadas de ciertas restricciones
topológicas. En una serie de artículos (uno de los más importantes es: Fundamentos Mate-
máticos de la Mecánica Cuántica) que, con la colaboración parcial de F. Murray, publicó a
partir de 1935, desarrolló gran parte de su programa, estableciendo las base y muchos de los
resultados fundamentales de lo que hoy conocemos como álgebras de von Neumann.
Sorprendentemente, según (Bombal, 2003) los resultados de von Neumann aparecieron cin-
co años antes de que se definieran los conceptos elementales de la teoría general de álgebras
normadas, creación del matemático ruso I. Gelfand en 1941. La idea general de Gelfand fue
extender la teoría espectral de Riesz a un álgebra normada arbitraria A, con unidad e: imitan-
do la definición de Riesz para el álgebra L(E) de los endomorfismos continuos de un espacio de
1
2
Banach. Gelfand define el espectro de un elemento x ∈ A. Si A es completa, se recupera los
resultados principales de la teoría de Riesz. Gelfand consideró también el conjunto de todos
los caractéres de A, que con la topología inducida por la topología débil del dual de A, es un
conjunto compacto (el espectro de A) y lo identificó con el conjunto de ideales maximales de
A. Un poco más tarde, en colaboración con M. Naimark, comenzó el estudio de lo que hoy se
conoce como C∗− álgebras; las álgebras unitarias y conmutativas de este tipo resultan ser iso-
métricas al álgebra de funciones continuas sobre su espectro (teorema de Gelfand - Naimark).
Este resultado permitió dar una nueva interpretación de la teoría espectral de Hilbert, Riesz
y von Neumann para operadores normados N sobre un espacio de Hilbert E.
Según (Cabra, 2014) durante las últimas décadas ha existido un gran interés en el estudio
de las álgebra de Banach, una de las estructuras subyacentes del análisis funcional, en la cual
relacionamos dos de los conceptos más fuertes de la matemática, los espacios de Banach y las
álgebra de Banach.
La teoría de álgebras de Banach, es una nueva teoría general notable, ya que une zonas
distintas de las matemáticas, proporcionando nuevas conexiones entre el análisis funcional y el
análisis clásico, tiene una expansión como también en unas pocas lineas, atrayendo la atención
de la comunidad matemática.
El nombre de álgebra de Banach según (Rudin, 1991) se da actualmente a toda álgebra
normada completa (sobre C) que verifica la desigualdad ‖xy‖ 6 ‖x‖ ‖y‖ (es decir, el producto
es continuo), y donde se supone la existencia de un elemento identidad e, tal que xe = ex = x
y ‖e‖ = 1. Ejemplos de álgebras de Banach son el espacio L(H) y el espacio de las funciones
continuas con valores complejos sobre un espacio topológico compacto X con la norma del
supremo. La relación entre estos dos ejemplos es la parte de la teoría de álgebras de Banach
que se dedica a la teoría espectral.
La teoría de Gelfand sobre álgebras de Banach conmutativas depende de tres conceptos
fundamentales: homomorfismos complejos, ideales maximales y espectros. Un homomorfismo
complejo es una funcional lineal multiplicativo no nulo. En completa analogía con la teoría
espectral en espacios de Hilbert, Gelfand define el espectro σ(x) de un elemento x ∈ A en un
álgebra de Banach A como el conjunto {λ ∈ C : x− λe no es inversible}.
Gelfand y Naimark (Averson, 2002) probaron que el álgebra de Banach conmutativa C(∆)
se caracteriza por la presencia de una involución (la conjugación compleja). En general una
involución en un álgebra A es una aplicación ∗ : A→ A que verifica
(i) (x∗)∗ = x
(ii) (λx)∗ = λx∗
(iii) (xy)∗ = y∗x∗
(iv) (x+ y)∗ = x∗ + y∗
3
El Teorema de Gelfand-Naimark básicamente establece que cualquier C∗− álgebra conmu-
tativa con unidad puede verse como el C∗− álgebra que consta de las funciones continuas con
valores en C definidas en un espacio topológico compacto ∆.
Para el planteamiento del Teorema Central (Teorema de Gelfand-Naimark) se recurrirá de
varias definiciones y resultados que se pueden encontrar en (Rudin, 1991) de entre los más
destacados se cita los siguientes:
Sea A un álgebra de Banach conmutativo con elemento unidad. Se llama caracter de A
toda forma lineal h sobre A tal que para todo x, y ∈ A, h(xy) = h(x)h(y). El conjunto de
todos los caracteres de A se llama espectro de A y se denota por SpectA = ∆.
Por otro lado el espectro de un elemento en un álgebra de Banach A está definido como
σ(x) = {λ : x − λe es singular}, x ∈ A. Si A es conmutativa, cada λ ∈ σ(x) es de la forma
λ = h(x) para algún h ∈ ∆.
Todo núcleo de un caracter h es un ideal maximal, ya que A/ker (h) es isomorfo a C y
recíprocamente si A es conmutativa, A/M es isomorfo a C y por lo tanto M es el núcleo de
un caracter de A.
Por otro lado, según (Varela, s.f.), se tiene lo siguiente: sea A un álgebra de Banach
conmutativa con elemento unidad, se define la siguiente aplicación:
: A→ C(∆)
x 7→ x =(h(x)
)h∈∆
Considerando a C(∆) provista de su estructura de álgebra producto, la aplicación es un
homomorfismo de álgebras cuyo núcleo es la intersección de todos los ideales maximales de A.
Ahora se caracteriza la imagen A ⊂ C(∆) de A por esta aplicación.
Al conjunto ∆ se dota de la topología débil∗ para la cual la función
x : ∆→ C
h 7→ x(h) = h(x)
es continua, cualquiera que sea x ∈ A. Con esta topología una vecindad de h0 ∈ ∆ es la
intersección finita de conjuntos de la forma
{h ∈ ∆/ |h(a) − h0(a)| < ǫ}
para algún a ∈ A y ǫ > 0.
Dicha topología sobre ∆ es la inducida por la topología débil∗ del dual de A.
4
El espacio vectorial complejo C(∆) tiene estructura de C∗− álgebra. Con el producto usual
de funciones complejas
xy(h) = x(h)y(h)
como producto algebraico es un álgebra asociativa, compleja, unital y conmutativa. La opera-
ción ∗ está dada por la operación de conjugación compleja
x∗(h) = x(h)
con la norma del supremo.
Por tanto el teorema de Gelfand-Naimark establece lo siguiente:
Teorema de Gelfand-Naimark. Si A es un C∗−álgebra conmutativa con unidad, la trans-
formada de Gelfand es un isomorfismo isométrico de A en C(∆) con ∆ compacto en C, que
tiene la propiedad adicional de que
h(x∗) = h(x), para todo x ∈ A, h ∈ ∆
o equivalentemente (x∗) = x, para todo x ∈ A.
El contexto en el que será presentado el teorema de Gelfand-Naimark son C∗−álgebras.
El objetivo del presente trabajo es el estudio riguroso de la demostración del Teorema de
Gelfand-Naimark en el contexto de las álgebras de Banach conmutativas con unidad.
La demostración del Teorema de Gelfand-Naimark consta de dos partes. En la primera parte
se demostrará que la transformada de Gelfand es una isometría y en la segunda parte se
demostrará que la transformada de Gelfand es un isomorfismo.
La demostración de la isometría se llevará a cabo en cuatro etapas: en la primera etapa
se mostrará que si x ∈ A y x = x∗, entonces σ(x) ∈ R. En la segunda etapa se mostrará que
cualquier elemento x ∈ A tiene una descomposición única en parte real y parte imaginaria.
En la tercera etapa se mostrará que la transformada de Gelfand conserva la involución y en
la cuarta etapa se mostrará que la transformada de Gelfand es una isometría.
La demostración del isomorfismo consta de dos etapas, la sobreyectividad y la inyectavidad
de la transformada de Gelfand teniendo en cuenta que la transformada de Gelfand es un
homomorfismo. La demostración que requiere muchos resultados matemáticos es la etapa de
la sobreyectividad.
Este trabajo es destinado principalmente a los que poseen gran familiaridad con el análisis
funcional, y algunas nociones básicas de Topología General y conocimientos de los principales
resultados de Análisis Complejo como el Teorema de Liouville, homomorfismos complejos y
otros.
5
En el capítulo 2 se verá las principales definiciones y resultados de álgebras de Banach
junto con algunos ejemplos generalmente más utilizados. Luego se verá una introducción al
estudio de los homomorfismos complejos. Además de eso se estudiará los elementos regulares
y singulares en un álgebra de Banach. En el capítulo 2, se verá una sección destinada a la
teoría espectral en álgebras de Banach, que posee resultados bastante enriquecedores, como el
Teorema de Gelfand-Mazur, y el Teorema de la Fórmula de Radio Espectral.
En el capítulo 3 se abordará el estudio a las álgebras de Banach conmutativas. Haciendo
un breve estudio sobre lo que son Ideales y el álgebra cociente. En este capítulo se continuará
estudiando los homomorfismos complejos en este caso en las álgebras cociente. También se
verá la Teoría de Gelfand y sus principales resultados.
En el capítulo 4 se abordará el estudio de las C∗− álgebras. Introduciendo el capítulo con
la teoría de involuciones. Se verá las distintas clases de elementos en un C∗− álgebra y muchos
resultados. Para la sección 4.4, en donde se demuestra el Teorema de Gelfand-Naimark, se
aconseja al lector estar familiarizado o al menos leer el Teorema de Stone-Weiertrass que se
encuentra en el apéndice de este trabajo.
2ÁLGEBRAS DE BANACH
2.1. Introducción
En este capítulo se estudiará las definiciones y principales resultados en álgebras de Banach
que formarán la base fundamental para los siguientes capítulos. Se considerarán álgebras sobre
el campo complejo C, hay varias razones para restringir nuestra atención a álgebras de Banach
sobre el campo complejo, a pesar de las álgebras de Banach reales; una de las razones es que
las funciones holomorfas juegan un papel importante en los fundamentos del análisis funcional,
estos serán observados en el Teorema 2.5.1 y se hace aún más evidente en el cálculo simbólico.
En este capítulo se demostrará un resultado clave que es el Teorema Gelfand-Mazur, que
será fundamental en teorías posteriores.
Definición 2.1.1. Un álgebra compleja A (o simplemente álgebra) es un C−espacio vectorial
dotado de un producto algebraico · : A × A → A para el cual dados x, y, z ∈ A y α ∈ C se
cumplen las siguientes propiedades:
1. (xy)z = x(yz)
2. x(y + z) = xy+ xz
3. (x+ y)z = xz + yz
4. (αx)y = α(xy) = x(αy)
Definición 2.1.2. Un álgebra con unidad, es un álgebra A, que satisface la propiedad: existe
un elemento diferente de cero en el álgebra A, denotado por e y llamado elemento identidad,
tal que:
ex = xe = x, para todo x ∈ A (2.1)
Definición 2.1.3. V es un espacio vectorial normado si existe una función ‖ ‖ : V → R que
cumple:
6
2.1. INTRODUCCIÓN 7
1. ‖x‖ > 0
2. ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0
3. ‖x+ y‖ 6 ‖x‖ + ‖y‖
4. ‖λx‖ = |λ| ‖x‖
para cada x, y ∈ V y λ ∈ C.
Definición 2.1.4. Se dice que A es un álgebra normada si existe una función ‖ ‖ : A → R
que cumple las mismas propiedades de un espacio vectorial normado, y además la desigualdad
multiplicativa.
1. ‖xy‖ 6 ‖x‖ ‖y‖ 2. ‖e‖ = 1
para cada x, y ∈ A y e ∈ A.
Nota.- A veces la propiedad 2. es excluida. Un álgebra normada que satisface esta propiedad es llamada unital.
Definición 2.1.5. Un espacio vectorial normado V es completo si cada sucesión de Cauchy
en V converge a un elemento de V. Estos espacios se llaman espacios de Banach.
Definición 2.1.6. Se dice que A es un álgebra de Banach, si es un espacio de Banach que
además es un álgebra compleja con unidad e, y en donde la estructura multiplicativa está
relacionada con la norma por:
(i) ‖xy‖ 6 ‖x‖ ‖y‖, para todo x, y ∈ A
(ii) ‖e‖ = 1, para e ∈ A.
Equivalentemente se dice que un álgebra de Banach es un espacio de Banach que además
es un álgebra normada con unidad.
Está claro que existe a lo mucho un e ∈ A que satisface (2.1). En efecto, si existiese algún
e ′ ∈ A que satisfaga (2.1), entonces e ′ = e ′e = e.
En la definición de un álgebra de Banach se cumple ‖e‖ = 1 cuando el álgebra tiene unidad.
Supóngase que B verifica las condiciones de un álgebra de Banach, pero no tiene elemento
unidad. Sea B1 el conjunto de todos los pares ordenados (α, b), donde α ∈ C y b ∈ B.
Es decir:
B1 ={(α, b) : α ∈ C, b ∈ B
}
Definiendo las operaciones en B1 por:
(α, b) + (β, c) := (α+ β, b+ c),
(α, b) · (β, c) := (αβ, αc+ βb+ bc)
y ‖(α, b)‖ := |α|+ ‖b‖,
2.1. INTRODUCCIÓN 8
para todo b, c ∈ B y α, β ∈ C.
Entonces B1 es un álgebra de Banach con unidad.
Veamos que B1 es un álgebra compleja.
Sean x, y, z ∈ B1 y λ ∈ C
x = (α, b), y = (β, c), z = (γ, d) con α, β, γ ∈ C y b, c, d ∈ B
1.
(xy)z =((α, b)(β, c)
)(γ, d)
= (αβ, αc+ βb+ bc)(γ, d)
=(αβγ, αβd+ γ(αc+ βb+ cd) + (αc+ βb+ bc)d
)
= (αβγ, αβd+ γαc+ γβb+ γbc+ αcd+ βbd+ bcd)
= (αβγ, αβd+ αγc+ αcd+ βγb+ bβd+ bγc+ bcd)
=(αβγ, α(βd+ γc+ cd) + βγb+ b(βd+ γc+ cd)
)
= (α, b)(βγ, βd+ γc+ cd)
= (α, b)((β, c)(γ, d)
)
= x(yz),
luego (xy)z = x(yz).
2.
x(y + z) = (α, b)((β, c) + (γ, d)
)
= (α, b)(β+ γ, c+ d)
=(α(β+ γ), α(c+ d) + (β+ γ)b+ b(c+ d)
)
= (αβ+ αγ, αc+ αd+ βb+ γb+ bc+ bd)
= (αβ+ αγ, αc+ βb+ bc+ αd+ γb+ bd)
= (αβ, αc+ βd+ bc) + (αγ, αd+ γb+ bd)
= (α, b)(β, c) + (α, b)(γ, d)
= xy + xz,
luego x(y+ z) = xy + xz.
2.1. INTRODUCCIÓN 9
3.
(x+ y)z =((α, b) + (β, c)
)(γ, d)
= (α+ β, b+ c)(γ, d)
=((α+ β)γ, (α+ β)d+ γ(b+ c) + (b+ c)d
)
= (αγ+ βγ, αd+ βd + γb+ γc+ bd+ cd)
= (αγ, αd+ γb+ bd) + (βγ, βd+ γc+ cd)
= (α, b)(γ, d) + (β, c)(γ, d)
= xz + yz,
luego (x+ y)z = xz + yz.
4.
(λx)y =(λ(α, b)
)(β, c)
= (λα, λb)(β, c)
= (λαβ, λαc+ λβb+ λbc)
= (αλβ, αλc+ λβb+ λbc)
= (α, b)(λβ, λc)
= (α, b)(λ(β, c)
)
= x(λy),
por otro lado,
λ(xy) = λ((α, b)(β, c)
)
= λ(αβ, αc+ βb+ bc)
= (λαβ, λαc+ λβc+ λbc)
= (λαβ, λαc+ βλb+ λbc)
= (λα, λb)(β, c)
=(λ(α, b)
)(β, c)
= (λx)y,
luego (λx)y = λ(xy) = x(λy).
Por tanto B1 es un álgebra compleja.
2.1. INTRODUCCIÓN 10
Falta ver la estructura multiplicativa, es decir, (i) ‖xy‖ 6 ‖x‖ ‖y‖ y (ii) ‖e‖ = 1.
Sean x, y ∈ B1, x = (α, b), y = (β, c), α, β ∈ C y b, c ∈ B.
(i)
‖xy‖ = ‖(α, b)(β, c)‖
= ‖(αβ, αc+ βb+ bc)‖
= |αβ|+ ‖αc+ βb+ bc‖
6 |α| |β|+ ‖αc‖+ ‖βb‖+ ‖bc‖
= |α| |β|+ |α| ‖c‖+ |β| ‖b‖+ ‖b‖ ‖c‖
= (|α|+ ‖b‖)(|β|+ ‖c‖)
= ‖(α, b)‖ ‖(β, c)‖
= ‖x‖ ‖y‖,
luego ‖xy‖ 6 ‖x‖ ‖y‖.
(ii) Sea e = (1, 0), entonces para todo x = (α, b) ∈ B1
ex = (1, 0)(α, b)
= (1 · α, 1 · b+ 0 · α+ 0 · b)
= (α, b)
= x.
De forma análoga se obtiene xe = x, además
‖e‖ = ‖(1, 0)‖ = |1| + ‖0‖ = 1 .
Por lo tanto B1 así definida es un álgebra de Banach con unidad (1, 0). Además la aplicación
x 7→ (0, x) es un isomorfismo isométrico de B sobre un subespacio de B1.
Este resultado nos permite en la mayoría de los casos trabajar con álgebras con unidad.
Proposición 2.1.1. La multiplicación en un álgebra de Banach es continua.
Demostración. Sea A un álgebra de Banach, en A supongamos que xn → x y yn → y
veamos que xnyn → xy. Como xn → x en A, entonces dado ǫ1 > 0, existe n1 ∈ N tal que
n > n1 ⇒ ‖xn − x‖ < ǫ1.
De la misma manera si yn → y en A, entonces, dado ǫ2 > 0, existe n2 ∈ N tal que
2.1. INTRODUCCIÓN 11
n > n2 ⇒ ‖yn − y‖ < ǫ2.
Veamos lo siguiente:
‖xnyn − xy‖ = ‖xn(yn − y) + (xn − x)y‖
6 ‖xn‖ ‖yn − y‖+ ‖xn − x‖ ‖y‖
La desigualdad anterior es una consecuencia directa de la desigualdad triangular. Además
como xn es convergente, entonces está acotada, es decir, ‖xn‖ 6 c, donde c es un número
positivo, luego podemos controlar ‖yn − y‖ tomando por ejemplo ǫ2 = ǫ/2c, pues yn es
convergente. Así mismo podemos controlar ‖xn − x‖ tomando por ejemplo ǫ1 = ǫ/2c, pues
xn es convergente, y por último ‖y‖ es una constante que es menor o igual que c con lo que
finalmente se concluye que
‖xnyn − xy‖ < c · (ǫ/2c) + (ǫ/2c) · c = ǫ
luego la multiplicación en A es continua.
Proposición 2.1.2. Si A es un álgebra de Banach con unidad e. Entonces existe una norma
||| · ||| en A, equivalente a la norma original, tal que (A, ||| · |||) es un álgebra de Banach con
unidad |||e||| = 1.
Demostración. Para cada x ∈ A, si Lx denota el operador lineal Lx : A→ A tal que
Lx(y) = xy, y ∈ A.
Si Lx = Lx ′ se sigue que Lxe = Lx ′e, entonces x = x ′. De ahí x 7→ Lx es una aplicación
inyectiva de A en el conjunto de operadores lineales en A.
Ahora,
‖Lx(y)‖ = ‖xy‖ 6 ‖x‖ ‖y‖, para y ∈ A
que implica que Lx es acotado, y ‖Lx‖ 6 ‖x‖. Se define |||x||| = ‖Lx‖. Entonces,
|||x||| 6 ‖x‖, para cualquier x ∈ A.
Por otro lado:
|||x||| = ‖Lx‖
= sup{‖Lx(y)‖ : ‖y‖ 6 1
}
= sup{‖xy‖ : ‖y‖ 6 1
}
> ‖xy ′‖, donde y ′ =e
‖e‖
=‖x‖
‖e‖.
2.2. EJEMPLOS DE ÁLGEBRAS DE BANACH 12
De ahí, ‖x‖/‖e‖ 6 |||x||| 6 ‖x‖, para todo x ∈ A, que muestran que las dos normas ||| · ||| y ‖ · ‖
son equivalentes.
Además, para cualquier x, y ∈ A.
|||xy||| = ‖Lxy‖
= ‖LxLy‖
6 ‖Lx‖ ‖Ly‖
= |||x||| |||y||| .
Además |||e||| = ‖Le‖ = 1.
Así, A con la norma ||| · ||| es un álgebra de Banach.
2.2. Ejemplos de álgebras de Banach
En esta sección se menciona algunos ejemplos de álgebras de Banach, en donde todos estos
espacios son espacios de Banach. En cada caso se muestra la operación producto y el elemento
unidad.
Ejemplo 2.2.1. Sea X un espacio topológico compacto. Se define
C(X) :={f : X→ C; f continua
}
con las operaciones clásicas de adición y multiplicación por escalar, C(X) es un espacio de
Banach con la norma definida por
‖ · ‖ : C(X) → R
f 7→ supx∈X
∣∣f(x)∣∣ .
Se define en C(X) la siguiente operación:
(f · g
)(x) = f(x) · g(x)
que está bien definida con lo que C(X) es un álgebra compleja, que posee la unidad 1 ∈ C(X)
donde 1(x) = 1 para todo x ∈ X. Como
‖f · g‖ = supx∈X
∣∣f(x)g(x)∣∣
= supx∈X
|f(x)| · |g(x)|
6 supx∈X
|f(x)| · supx∈X
|g(x)|
= ‖f‖ · ‖g‖.
2.2. EJEMPLOS DE ÁLGEBRAS DE BANACH 13
Y además ‖1‖ = 1.
Por tanto C(X) es un álgebra de Banach.
Ejemplo 2.2.2. Sea B un espacio de Banach, entonces el conjunto β(B) de todos los opera-
dores en B, es decir, lineales y continuos, es un álgebra de Banach, con la norma usual.
En efecto, el Teorema de Completitud según (Corach & Andruchov, 1997) afirma que si B
es un espacio normado con B 6= 0, entonces el espacio β(B) es un espacio de Banach si y solo
si B es un espacio de Banach.
Por el teorema de completitud β(B) es un espacio de Banach. β(B) es un álgebra compleja
con identidad ya que cumple con los axiomas de un espacio vectorial y el operador identidad
(I(x) = x) es continuo y lineal.
Falta ver la estructura multiplicativa, es decir: (i) ‖TS‖ 6 ‖T‖ ‖S‖ y (ii) ‖I‖ = 1, donde
T y S son operadores en β(B), I es el operador identidad en β(B).
‖T‖ = sup{‖T(x)‖ : ‖x‖ 6 1
}.
Veamos,
(i)
‖TS‖ = sup{‖(TS)(x)‖ : ‖x‖ 6 1
}
= sup{‖T(S(x))‖ : ‖x‖ 6 1
}
6 sup{‖T‖ ‖S(x)‖ : ‖x‖ 6 1
}
= ‖T‖ sup{‖S(x)‖ : ‖x‖ 6 1
}
= ‖T‖ ‖S‖,
(ii)
‖I‖ = sup{‖I(x)‖ : ‖x‖ 6 1
}
= sup{‖x‖ : ‖x‖ 6 1
}
= 1 .
Así, β(B) es un álgebra de Banach.
Ejemplo 2.2.3. Sea C(K) el espacio de Banach de todas las funciones complejas continuas
en un espacio no vacío de Hausdorff compacto K, con la norma del supremo. Se define la
multiplicación en la forma habitual: (fg)(p) = f(p)g(p). Esto hace que C(K) sea un álgebra
de Banach, la función constante 1 es el elemento unidad. Si K es un conjunto finito, que
consiste de n puntos, entonces C(K) es simplemente Cn. En particular, cuando n = 1, se
obtiene la más simple álgebra de Banach, a saber C con el valor absoluto como norma.
2.3. HOMOMORFISMOS COMPLEJOS 14
Ejemplo 2.2.4. L1(R) =
{
f : R → C tal que∫
R
|f| <∞
}
el producto en este espacio se lla-
mará convolución y se denotará por ∗. Se define de la siguiente manera:
(f ∗ g)(s) =
∫
R
f(s− t)g(t)dt .
La operación es simétrica, asociativa y distributiva con respecto a la suma.
Veamos la estructura multiplicativa.
‖f ∗ g‖L ′ =
∫
R
|(f ∗ g)(s)|ds
=
∫
R
∣∣∣∣∫
R
f(s− t)g(t)dt
∣∣∣∣ ds
6
∫
R
∫
R
|f(s− t)g(t)|dt ds
=
∫
R
∫
R
|f(s− t)| |g(t)|dsdt
=
∫
R
|g(t)|
∫
R
|f(s− t)|dsdt
=
∫
R
|g(t)| ‖f‖L ′dt
= ‖g‖L ′‖f‖L ′ .
Por lo que L1(R) es un álgebra de Banach.
2.3. Homomorfismos complejos
Esta sección está dedicado al estudio de los homomorfismos complejos y a los elementos in-
versibles en un álgebra de Banach. Dichos conceptos serán fundamentales en lo que sigue. Se
mostrarán importantes propiedades sobre lo que son los homomorfismos complejos y elementos
inversibles en un álgebra de Banach.
Definición 2.3.1. Sea A un álgebra compleja y φ : A→ C una funcional lineal en A que no
es identicamente 0. Si
φ(xy) = φ(x)φ(y)
para todo x ∈ A e y ∈ A, entonces φ se llama un homomorfismo complejo en A.
Definición 2.3.2. Un elemento x ∈ A se dice que es inversible si tiene una inversa en A, es
decir, si existe un elemento x−1 ∈ A tal que:
x−1x = xx−1 = e
2.3. HOMOMORFISMOS COMPLEJOS 15
donde e es el elemento unidad de A.
No existe x ∈ A que tenga más de una inversa, ya que yx = e = xz, entonces
y = ye = y(xz) = (yx)z = ez = z .
Lema 2.3.1. Sea A un álgebra de Banach, x ∈ A y ‖x− 1‖ < 1, entonces x es inversible.
Demostración. La serie∞∑
i=0
(1− x)i converge (es de Cauchy por la hipótesis) y además
∞∑
i=0
(1− x)i − x
∞∑
i=0
(1− x)i = (1− x)
∞∑
i=0
(1− x)i
= lımn→∞
n∑
i=0
(1− x)(1− x)i
= lımn→∞
n∑
i=1
(1− x)i
=
∞∑
i=0
(1− x)i − 1
entonces x∞∑
i=0
(1− x)i = 1 y análogamente
(∞∑
i=0
(1− x)ix = 1
).
Luego∞∑
i=0
(1− x)i es inversa de x.
Además se puede acotar ‖x−1‖ 61
1− ‖x − 1‖, pues
‖x−1‖ = lımn→∞
∥∥∥∥∥n∑
i=0
(1− x)i
∥∥∥∥∥
6 lımn→∞
n∑
i=0
‖1− x‖i
=1
1− ‖1− x‖.
Lema 2.3.2. En un álgebra de Banach A, si x, y ∈ A, x es inversible y ‖x − y‖ <1
‖x−1‖;
entonces y es inversible.
Demostración. Si x es inversible y ‖x− y‖ <1
‖x−1‖, entonces
‖1− x−1y‖ = ‖x−1(x− y)‖ 6 ‖x−1‖ ‖x− y‖ < 1
entonces por el lema 2.3.1 x−1y es inversible con lo cual y tiene que ser inversible.
2.3. HOMOMORFISMOS COMPLEJOS 16
Proposición 2.3.1. Si φ es un homomorfismo complejo en un álgebra compleja A con unidad
e, entonces φ(e) = 1 y φ(x) 6= 0 para cada x ∈ A inversible.
Demostración. Para algunos y ∈ A, φ(y) 6= 0
φ(y) = φ(ye) = φ(y)φ(e)
resulta que φ(e) = 1.
Si x es inversible, entonces
φ(x)φ(x−1) = φ(xx−1) = φ(e) = 1
luego φ(x) 6= 0.
Teorema 2.3.1. Sea A un álgebra de Banach con unidad, x ∈ A y ‖x‖ < 1, entonces:
(a) e− x es inversible
(b) ‖(e− x)−1 − e− x‖ 6‖x‖2
1− ‖x‖
(c) |φ(x)| < 1 para cada homomorfismo complejo φ en A.
Demostración. (a) Como ‖x‖ < 1, los elementos
sn = e+ x + x2 + · · ·+ xn
forman una sucesión de Cauchy en A, como A es completo, existe s ∈ A tal que sn → s,
además xn → 0 y
sn(e− x) = sn − snx = e+ x + x2 + · · ·− x− x2 − x3 − · · ·− xn+1 = e− xn+1
de forma similar (e− x)sn = e− xn+1, luego sn(e− x) = e− xn+1 = (e− x)sn.
Si sn(e− x) = e− xn+1 y aplicando el límite cuando n→ ∞, se tiene
lımn→∞
sn(e− x) = lımn→∞
(e− xn+1)
(lımn→∞
sn
)(e− x) = lım
n→∞e− lım
n→∞xn+1
s(e − x) = e− 0
s(e − x) = e
la continuidad de la multiplicación implica que s es la inversa de e− x.
2.4. ELEMENTOS REGULARES Y SINGULARES 17
(b)
‖(e− x)−1 − e− x‖ = ‖s− e− x‖
=
∥∥∥∥∥∞∑
n=0
xn − e− x
∥∥∥∥∥
=
∥∥∥∥∥∞∑
n=2
xn
∥∥∥∥∥
6
∞∑
n=2
‖x‖n + ‖e‖+ ‖x‖ − ‖e‖− ‖x‖, pues ‖xn‖ 6 ‖x‖n
=
∞∑
n=0
‖x‖n − ‖e‖− ‖x‖
=1
1− ‖x‖− (1+ ‖x‖)
=1− (1+ ‖x‖)(1− ‖x‖)
1− ‖x‖
=1− (1− ‖x‖2)
1− ‖x‖
=‖x‖2
1− ‖x‖.
(c) Sea λ ∈ C, |λ| > 1, luego ‖λ−1x‖ < 1 por (a) se tiene que e − λ−1x es inversible, por la
Proposición 2.3.1 con e− λ−1x inversible, se tiene que:
1− λ−1φ(x) = φ(e− λ−1x) 6= 0
de ahí φ(x) 6= λ, luego |φ(x)| < 1.
Las partes (a) y (c) del teorema anterior son quizá los más ampliamente utilizados en la
teoría de álgebras de Banach, (c) implica que todo homomorfismo complejo de álgebras de
Banach son continuas.
2.4. Elementos regulares y singulares
Definición 2.4.1. Sea A un álgebra de Banach con elemento unidad y x ∈ A. Si x tiene
inverso en A, se dice que x es regular en caso contrario x es singular.
Definición 2.4.2. Sea A un álgebra de Banach, se denotará por G = G(A) el conjunto de los
elementos regulares de A.
2.5. ESPECTRO DE UN ELEMENTO 18
Sea G el conjunto de los elementos regulares de A, entonces la aplicación G → G tal que
x 7→ x−1 es continua, en efecto,
‖x−1 − a−1‖ = ‖x−1(a− x)a−1‖ 6 ‖x−1‖ ‖a− x‖ ‖a−1‖
además x = a− b = a(1− a−1b) donde b = a− x, así que si ‖b‖ < ‖a−1‖−1 entonces
x−1 = (1− a−1b)−1a−1,
la existencia de (1− a−1b)−1 está asegurada por ‖b‖ < ‖a−1‖−1, mas aún
‖x−1‖ 6∥∥(1− a−1b)−1
∥∥ ∥∥a−1∥∥ 6
(1− ‖a−1‖ ‖b‖
)−1‖a−1‖
con esto queda establecido que ‖x−1 − a−1‖ es arbitrariamente pequeño cuando ‖x − a‖ es
suficientemente pequeño.
Proposición 2.4.1. El conjunto G(A) de los elementos regulares en A es abierto.
Demostración. Si x ∈ G(A), h ∈ A y ‖x− h‖ <1
‖x−1‖, entonces
1 > ‖x−1‖ ‖x− h‖ > ‖1− x−1h‖
luego x−1h está en G(A), de ahí h = x(x−1h) está en G(A), entonces la bola de radio 1/‖x−1‖
con centro en x está contenida en G(A).
2.5. Espectro de un elemento
Esta sección está dedicado al estudio del espectro y el radio espectral de un elemento en un
álgebra de Banach. Se demostrarán varios resultados. El Teorema que destaca en esta sección
es el Teorema de Gelfand - Mazur que básicamente relaciona un álgebra de Banach y el álgebra
compleja, dicho Teorema será fundamental para la demostración del Teorema 3.4.1.
Definición 2.5.1. Sea x un elemento de un álgebra de Banach A, se define el espectro de x,
por el siguiente subconjunto del plano complejo
σ(x) ={λ : x − λe es singular
}.
El complemento de σ(x) es el conjunto resolvente de x que consiste de todos los λ ∈ C para
los que x− λe es regular.
Proposición 2.5.1. Si A es un álgebra de Banach, para λ ∈ σ(x) se tiene |λ| 6 ‖x‖.
2.5. ESPECTRO DE UN ELEMENTO 19
Demostración. Supongamos que |λ| > ‖x‖, luego∥∥∥xλ
∥∥∥ < 1 lo cual aseguraría que
x − λe = −λ(e−
x
λ
)
es regular, contraria a la hipótesis. Por tanto |λ| 6 ‖x‖.
Sea A un álgebra de Banach, entonces σ(xn) =(σ(x)
)npara todo x ∈ A.
En efecto, dado un número complejo se consideran sus n raíces n−ésimas λ1, λ2, . . . , λn,
entonces
xn − λe = (x− λ1e)(x− λ2e) · · · (x− λne) .
De manera que xn−λe es singular si y solo si x−λie es singular para algún i, de donde resulta
la identidad propuesta. Más generalmente se tiene σ(p(x)
)= p
(σ(x)
)para todo polinomio p
con coeficientes complejos, es decir µ pertenece a σ(p(x)
)si y solo si µ es de la forma µ = p(λ)
para algún λ ∈ σ(x). En efecto, sea λ ∈ σ(x). Consideramos el siguiente polinomio q en la
indeterminada t, q(t) = p(t) − p(λ).
Como q(λ) = 0, entonces q es de la forma
q(t) = α(t− λ)(t− λ1) · · · (t− λn)
donde α, λ1, λ2, . . . , λn ∈ C.
Por hipótesis x − λe es singular, por consiguiente
q(x) = α(x− λe)(x− λ1e) · · · (x − λne) = p(x) − p(λ)e
es singular, es decir, p(λ) ∈ σ(p(x)
).
Recíprocamente, sea µ ∈ σ(p(x)
).
Considerando el polinomio q(t) = p(t) − µ en la indeterminada t y denotando por
C1,C2, . . . ,Cm sus raíces, entonces
p(x) − µ = q(x) = β(x − C1e)(x− C2e) · · · (x− Cme) para algún β ∈ C
y por consiguiente existe λi, 1 6 i 6 m, tal que x− Cie es singular, esto es, µ de la forma
µ = p(Ci) con Ci ∈ σ(x) .
Definición 2.5.2. Sea A un álgebra de Banach y x ∈ A. Se define el radio espectral ρ(x) de
x mediante la fórmula
ρ(x) = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)
}.
En virtud de la Proposición 2.5.1, si A es un álgebra de Banach, ρ(x) 6 ‖x‖ para todo x ∈ A.
2.5. ESPECTRO DE UN ELEMENTO 20
Teorema 2.5.1. Para todo elemento x de un álgebra de Banach A con elemento unidad se
tiene:
(i) σ(x) es un subconjunto compacto y no vacío.
(ii) El radio espectral ρ(x) satisface
ρ(x) = lımn→∞
‖xn‖1/n .
Demostración. (i) σ(x) es compacto, debido a que está acotado por ‖x‖ y es cerrado, pues
el conjunto de los elementos regulares es abierto en A.
Ahora supongamos que σ(x) fuera vacío, en este caso x − λe sería regular para todo
λ ∈ C.
Sea L una forma lineal acotada sobre A, se define
f(λ) = L((x − λe)−1
).
Esta es una función compleja de variable compleja analítica en todo punto del plano.
Para ver que f es analítica se verifica quedf
dλ= L
((x − λe)−2
)haciendo uso de la
continuidad de la inversa de x. Además lım|λ|→∞ f(λ) = 0, así por el Teorema de Liouville
f es idénticamente igual a 0. En particular 0 = f(0) = L(x−1). Esto es absurdo puesto
que existe una forma lineal acotada L sobre A tal que L(x−1) 6= 0. Por consiguiente
σ(x) es no vacío.
(ii) Supongamos que λ ∈ σ(x). Entonces λn ∈ σ(xn) por lo tanto |λn| 6 ‖xn‖.
Esto demuestra que ρ(x) 6 lım ınf ‖xn‖1/n.
Falta demostrar que ρ(x) > lım sup ‖xn‖1/n.
Para cada forma lineal acotada L sobre A se define de nuevo
f(λ) = L((x − λe)−1
)
esta función es analítica en C\σ(x). Por otra parte si |λ| > ‖x‖, esto es si∥∥∥xλ
∥∥∥ < 1,
entonces
(x− λe)−1 = −1
λ−
∞∑
n=1
xn
λn+1, de donde f(λ) = −
L(1)
λ−
∞∑
n=1
L(xn)
λn+1.
Pero{λ : |λ| > ρ(x)
}⊂ C\σ(x), por consiguiente la serie que representa a f(λ) para
|λ| > ‖x‖ también la representa para |λ| > ρ(x). En particular la sucesión
{L(xn)
λn+1
}
es
acotada para cualquier L que se haya tomado. Por el Teorema de Banach-Steinhaus se
2.5. ESPECTRO DE UN ELEMENTO 21
deduce que la sucesión
{xn
λn+1
}
es también acotada para todo λ tal que |λ| > ρ(x). Se ha
demostrado que si |λ| > ρ(x), entonces existe una constante K tal que ‖xn‖ 6 Kλn+1 para
todo n. Se concluye que lım sup ‖xn‖1/n 6 ρ(x). Por lo tanto ρ(x) = lımn→∞ ‖xn‖1/n .
Teorema 2.5.2 (Gelfand - Mazur). Si A es un álgebra de Banach y además es un álgebra de
división, entonces A es isométricamente isomorfa al álgebra C de los números complejos.
Demostración. Dado x ∈ A, por el teorema anterior σ(x) es no vacío. Si λx ∈ σ(x), por
definición x− λxe es singular. Ya que A es un álgebra de división, se tiene que x− λxe = 0 de
ahí x = λxe, además para λ 6= λx se tiene x− λe = λxe− λe que es regular. Así, σ(x) consiste
de exactamente de un número complejo λx para cada x en A.
La aplicación ψ : A→ C definida por x 7→ ψ(x) = λx es un isomorfismo.
En efecto, sean x, y ∈ A y α ∈ C
(i)
λxe = x
αλxe = αx, α ∈ C
αλxe = λαxe
αλx = λαx
αψ(x) = ψ(αx) .
(ii)
λx+ye = x+ y
(λx + λy)e = λx+ye
λx + λy = λx+y
ψ(x) +ψ(y) = ψ(x+ y) .
(iii)
λxye = xy
⇒ λxλye = λxye
λxλy = λxy
ψ(x)ψ(y) = ψ(xy) .
luego ψ es un homomorfismo.
2.5. ESPECTRO DE UN ELEMENTO 22
Inyectividad. Sean x, y ∈ A.
Si ψ(x) = ψ(y) ⇒ λx = λy ⇒ λxe = λye⇒ x = y.
Sobreyectividad. ∀λ ∈ C, ∃x ∈ A.
Sea x = λe, entonces ψ(x) = ψ(λe) = λψ(e) = λ · 1 = λ.
Luego ψ(x) = λ.
Por tanto ψ : A→ C definido por ψ(x) = λx es un isomorfismo, que también es una isometría,
ya que ‖λx‖ = ‖λxe‖ = ‖x‖ para cada x ∈ A.
3ÁLGEBRAS DE BANACH CONMUTATIVAS
Este capítulo está dedicado al estudio de las álgebras de Banach conmutativas. Se verá que
hay una correspondencia biunívoca entre ideales maximales y caracteres. Siempre el núcleo de
un carácter es un ideal maximal, puesto que si h(x) 6= 0, x ∈ A y h ∈ ∆; entonces e − xh(x)
pertenece al núcleo de h, y e =(e − x
h(x)
)+ e
h(x)x. Además, como los caracteres son en
particular funciones lineales, su núcleo es un ideal maximal.
Teniendo un ideal propio cerrado, se construirá el espacio cociente y con esto la función
cociente provista de una estructura de espacio normado. También se tratará el estudio de las
transformadas de Gelfand.
3.1. Ideales
Definición 3.1.1. Un álgebra de Banach conmutativa es un álgebra de Banach A que cumple:
xy = yx, para todo x, y ∈ A.
Definición 3.1.2. Un subconjunto J de un álgebra compleja conmutativa A es un ideal si
(a) J es un subespacio vectorial de A
(b) xy ∈ J para todo x ∈ A, y ∈ J.
Un ideal J se llama propio si J 6= A.
Si A tiene elemento unidad e, J es un ideal propio de A si y solo si e /∈ J.
Definición 3.1.3. Un ideal maximal de A es un ideal propio de A que no está contenido en
ningún ideal distinto de sí mismo. Es decir, un ideal M en un álgebra de Banach conmutativa
A se llama maximal si M 6= A y si J es cualquier ideal tal que M ⊂ J ⊂ A, entonces M = J
o J = A.
23
3.1. IDEALES 24
Definición 3.1.4. Una subálgebra de Banach de un álgebra de Banach A es una subálgebra
cerrada de A que contiene la unidad.
Proposición 3.1.1. Ningún ideal propio de A contiene elementos inversibles de A.
Demostración. Sea J un ideal propio de A y x ∈ A, con x inversible. Supongamos que x ∈ J,
entonces xx−1 = e ∈ J (⇒⇐).
Por tanto un ideal propio no contiene elementos inversibles.
Proposición 3.1.2. Si J es un ideal de A, entonces J (la clausura métrica) es también un
ideal de A.
Demostración. Dado x ∈ J, existe una sucesión (xn)n∈N ⊂ J tal que x = lımn→∞ xn, entonces
ax = lımn→∞ axn ∈ J, ∀a ∈ A.
Por otra parte, como la clausura de un subespacio es un subespacio, solo basta ver que
J 6= A.
Dado a ∈ J, ‖e − a‖ > 1, pues sino, a sería inversible y entonces ‖e − b‖ > 1, ∀b ∈ J,
entonces e /∈ J.
Para la demostración del siguiente Teorema, se utiliza el Lema de Zorn, que indica: todo
conjunto ordenado no vacío e inductivo tiene un elemento maximal.
Teorema 3.1.1. Si A es un álgebra de Banach conmutativa con unidad, entonces todo ideal
propio de A está contenido en un ideal maximal de A.
Demostración. Sea J un ideal propio de A. Sea X el conjunto de los ideales propios de A que
contienen a J, ordenado por inclusión. Como X no es vacío (J es un elemento suyo), al ver que
es inductivo el lema de Zorn nos dirá que X posee un elemento maximal, que claramente será
el ideal postulado en el enunciado. Sea pues {It}t∈T una cadena de X, y sea I =⋃
t∈T It, se
demostrará que I está en X, lo que acabará la demostración ya que I es claramente una cota
superior del conjunto {It}t∈T . Se trata pues de ver que I es un ideal propio de A que contiene
a J. Es obvio que I contiene a J, y también es claro que e /∈ I pues los It son ideales propios.
Solo queda ver que I es un ideal.
Claramente I 6= φ, y si a, a ′ ∈ I, entonces existen t, t ′ ∈ T tales que a ∈ It y a ′ ∈ It ′.
Como {It}t∈T está linealmente ordenado, podemos suponer que It ′ ⊂ It y entonces cualquier
combinación lineal de a y a ′ está en It y por lo tanto en I. Esto prueba que I es un ideal y
termina la demostración.
Teorema 3.1.2. Sea A un álgebra de Banach conmutativo con unidad y J un ideal maximal
de A, entonces J es cerrado.
3.2. ÁLGEBRA COCIENTE 25
Demostración. Como J es un ideal maximal de A, entonces J no contiene elementos inversibles,
luego J 6= A.
Ya que J ⊆ A\G(A). Ahora, G(A) es abierto, luego A\G(A) es cerrado, entonces
J ⊆ J ⊆ A\G(A)
en particular J 6= A. J es un ideal que contiene a J, y J = J, ya que J es un ideal maximal.
Por lo tanto J es cerrado.
3.2. Álgebra cociente
La idea principal de esta sección es obtener a partir de un álgebra de Banach dada, otras
álgebras factorizando por ideales propios. La razón por la que no se trabaja con subálgebras
en lugar de ideales propios, es porque factorizando un álgebra por subálgebras ya no cumpliría
la estructura de un álgebra de Banach, es por esta razón que se trabaja con ideales propios
cerrados, que sea cerrado en el siguiente sentido: sea A un álgebra de Banach y J un ideal en
A, dado x ∈ A, si existe una sucesión (xn) en J tal que xn → x, entonces x ∈ J.
Sea A un álgebra de Banach conmutativo, J un ideal propio cerrado en A y π : A→ A/J
la función cociente, provista de una estructura de espacio normado para la norma
‖π(x)‖ = ınf{‖x + y‖ : y ∈ J
}.
Teorema 3.2.1. Si X es un espacio normado y V un subespacio cerrado de X, entonces el
espacio cociente X/V es un espacio normado con respecto a la norma cociente definido por:
‖π(x)‖ = ınf{‖x+ v‖ : v ∈ V
}.
Demostración. (i) Si π(x) = 0 en X/V, para x ∈ V y v = −x ∈ V, se tiene
‖π(x)‖ = ınf{‖x+ v‖ : v ∈ V
}= 0 .
Si ‖π(x)‖ = 0, entonces existe una sucesión {vn} en V tal que ‖x + vn‖ → 0 cuando
n→ ∞, luego −vn → x en X, ya que V es cerrado x ∈ V y π(x) = 0 en X/V.
Por lo tanto ‖π(x)‖ = 0 si y solo si π(x) = 0.
(ii) Para λ ∈ C, λ 6= 0 y x ∈ X se tiene
‖π(λx)‖ = ınf{‖λx+ v‖ : v ∈ V
}
= ınf{‖λx+ λv ′‖ : v ′ ∈ V
}
= |λ| ınf{‖x+ v ′‖ : v ′ ∈ V
}
= |λ| ‖π(x)‖ .
3.2. ÁLGEBRA COCIENTE 26
(iii) Para cualquier x, y ∈ X se tiene
‖π(x) + π(y)‖ = ınf{‖x + y + v‖ : v ∈ V
}
= ınf{‖x + y + v+w‖ : v,w ∈ V
}
6 ınf{‖x + v‖ + ‖y+w‖ : v,w ∈ V
}
= ‖π(x)‖+ ‖π(y)‖ .
Así el espacio cociente X/V es un espacio normado.
Teorema 3.2.2. Si X es un espacio de Banach y V es un subespacio cerrado de X, entonces
el espacio cociente X/V es un espacio de Banach.
Demostración. Sea {π(xn)}∞n=1 una sucesión de Cauchy en X/V, se puede extraer una subsu-
cesión {π(xnk)}∞k=1 de ella tal que
∥∥π(xnk) − π(xnk+1
)∥∥ =
∥∥π(xnk− xnk+1
)∥∥ < 1
2k.
Se construirá una sucesión de Cauchy en X de la siguiente manera: sea v1 = 0, por la definición
de la norma cociente existe v2 ∈ V tal que
∥∥xn1− xn2
+ v2∥∥ 6
∥∥π(xn1− xn2
)∥∥+ 1
2< 1 .
Se puede elegir v ∈ V tal que
∥∥xn2− xn3
+ v∥∥ 6
∥∥π(xn2− xn3
)∥∥+ 1
22,
si v3 = v2 − v se obtiene
∥∥(xn2+ v2) − (xn3
+ v3)∥∥ 6
∥∥π(xn2− xn3
)∥∥+ 1
22<1
2.
Continuando de esta manera se construye una sucesión {vn}∞n=1 ⊂ V tal que
∥∥(xnk+ vk) − (xnk+1
+ vk+1)∥∥ 6
∥∥π(xnk− xnk+1
)∥∥ + 1
2k<
1
2k−1.
Entonces {xnk+ vk}
∞n=1 es una sucesión de Cauchy en X, y como X es completo, converge a
algún punto x0 ∈ X.
Por otra parte, π(xnk) = π(xnk
+ vk) converge a π(x0). Como {π(xn)}∞n=1 es de Cauchy,
converge al mismo límite que su subsucesión y luego X/V es completo.
3.3. HOMOMORFISMOS 27
3.3. Homomorfismos
Teorema 3.3.1. Sea A un álgebra de Banach conmutativa, J un ideal propio cerrado en A y
π : A→ A/J la función cociente. Entonces A/J es un álgebra de Banach.
Demostración. De los Teoremas 3.2.1 y 3.2.2 se tiene que A/J es un espacio de Banach, para
completar la demostración solo falta mostrar que A/J es un álgebra compleja y la desigualdad
multiplicativa.
Definamos las operaciones en A/J por:
(i) π(x+ y) = π(x) + π(y)
(ii) π(αx) = απ(x)
(iii) π(xy) = π(x)π(y)
con x, y ∈ A y α ∈ C.
Sean π(x) = π(x ′) y π(y) = π(y ′) esto es x ′ − x ∈ J, y ′ − y ∈ J. Y las identidades:
Si x ′ + y ′ − (x+ y) = (x ′ − x) + (y ′ − y) ∈ J, entonces π(x ′ + y ′) = π(x+ y).
Si αx ′ − αx = α(x ′ − x) ∈ J, entonces π(αx ′) = π(αx).
Si x ′y ′ − xy = x ′y ′ − xy ′ + xy ′ − xy = (x ′ − x)y ′ + x(y ′ −y) ∈ J, entonces π(x ′y ′) = π(xy).
Por lo tanto las operaciones están bien definidas.
Con las operaciones definidas en A/J, A/J es un álgebra compleja.
Definamos la norma cociente por:
‖π(x)‖ = ınf{‖x + y‖ : y ∈ J
}.
Afirmación, ‖π(x)‖ 6 ‖x‖. En efecto
‖π(x)‖ = ınf{‖x+ y‖ : y ∈ J
}6 ‖x+ y‖; ∀y ∈ J,
en particular (puesto que J es un subespacio), tomando y = 0 resulta ‖π(x)‖ 6 ‖x‖, luego π
es continua.
Supongamos que xi ∈ A (i = 1, 2) y δ > 0, entonces
‖xi + yi‖ 6 ‖π(xi)‖+ δ, (i = 1, 2) (1)
para algún yi ∈ J, por la definición de la norma cociente, ya que (x1+y1)(x2+y2) ∈ x1x2+J,
3.3. HOMOMORFISMOS 28
se tiene
‖π(x1x2)‖ = ınf{‖x1x2 + y‖ : y ∈ J
}
6 ınf{‖x1x2 + x1y2 + y1x2 + y1y2‖ : y1, y2 ∈ J
}
= ınf{‖(x1 + y1)(x2 + y2)‖ : y1, y2 ∈ J
}
6 ınf{‖x1 + y1‖ ‖x2 + y2‖ : y1, y2 ∈ J
}
6 ‖x1 + y1‖ ‖x2 + y2‖
de manera que (1) implica la desigualdad multiplicativa.
‖π(x1)π(x2)‖ 6 ‖π(x1)‖ ‖π(x2)‖ (2)
Por último, si e es el elemento unidad de A, entonces π(x)π(e) = π(xe) = π(x), luego π(e)
es la unidad de A/J.
Si A es conmutativa y x ∈ A no pertenece a ningún ideal maximal de A, entonces x es
inversible, en efecto, xA = A, pues de otra manera J = xA contiene a x y está contenido en
un ideal maximal de A, lo cual es absurdo.
Ahora, para x ∈ A existen dos casos, el primero x ∈ J y el segundo x /∈ J.
Si x ∈ J, entonces π(x) = 0⇔ ‖π(x)‖ = 0.
Si x /∈ J, entonces x es inversible,
luego existe x−1 ∈ A tal que π(x)π(x−1) = π(xx−1) = π(e) = 1, entonces π(x) 6= 0 y como el
espacio cociente es un espacio normado, π(x) 6= 0⇔ ‖π(x)‖ 6= 0.
Luego por (2) se tiene:
‖π(x)π(e)‖ 6 ‖π(x)‖ ‖π(e)‖
‖π(x)‖ 6 ‖π(x)‖ ‖π(e)‖
⇒ ‖e‖ = 1 6 ‖π(e)‖ .
Por otro lado ‖π(x)‖ 6 ‖x‖, para cada x ∈ A (‖π(e)‖ 6 ‖e‖), por lo tanto ‖π(e)‖ = 1, luego
A/J es un álgebra de Banach.
Teorema 3.3.2. Sea f : A→ B un homomorfismo de álgebras y sea K ={r ∈ A/f(r) = 0B
}.
Entonces K es un ideal en el álgebra A.
Demostración. K 6= ∅, pues 0A ∈ K.
Si a, b ∈ K, entonces f(a− b) = f(a) − f(b) = 0B − 0B = 0B. Por tanto a− b ∈ K.
Si r ∈ A y a ∈ K⇒ f(ra) = f(r)f(a) = f(r) · 0B = 0B. Por tanto ra ∈ K.
3.4. EL ESPECTRO DE CARACTERES 29
De modo similar ar ∈ K. Por lo tanto K es un ideal en A.
El ideal del teorema anterior se llama núcleo del homomorfismo.
Teorema 3.3.3. Sea f : A→ B un homomorfismo de álgebras con núcleo K, entonces K = {0A}
si y solo si f es inyectiva.
Demostración. Suponiendo que K = {0A}. Sea f(a) = f(b), como f es homomorfismo
f(a− b) = f(a) − f(b) = 0B.
Por tanto a− b ∈ K = {0A}. Luego a− b = 0A, así a = b, entonces f es 1 − 1.
Recíprocamente, si f es 1 − 1. Sea c ∈ K ⇒ f(c) = 0B también f(0A) = 0B por tanto
f(c) = f(0A), como f es 1 − 1, entonces c = 0A. Por lo tanto K = {0A}.
Teorema 3.3.4. Sea I un ideal en el álgebra A. Entonces la aplicación π : A→ A/I dada por
π(r) = r+ I, r ∈ A es un homomorfismo sobreyectivo con (módulo) Núcleo I.
NOTA. π es llamado “homomorfismo natural” de A en A/I.
Demostración. π es sobreyectiva, ya que dada cualquier clase r+ I en A/I, π(r) = r+ I.
Además
π(r+ s) = (r+ s) + I = (r+ I) + (s+ I) = π(r) + π(s)
π(rs) = rs+ I = (r+ I)(s+ I) = π(r)π(s)
y
kerπ ={r ∈ A/π(r) = 0A + I
}
={r ∈ A/r+ I = 0A + I
}
={r ∈ A/r ≡ 0A (mod I)
}
={r ∈ A/r− 0A ∈ I
}
={r ∈ A/r ∈ I
}
= I. �
3.4. El espectro de caracteres
Definición 3.4.1. Si A es un álgebra de Banach conmutativa (es decir, el producto es con-
mutativo) se llamará espectro de A (ahora se denotará por ∆) al siguiente conjunto de A∗ (A∗
es el dual de A).
∆ ={h : A→ C es un homomorfismo de álgebras; h(e) = 1
}.
3.4. EL ESPECTRO DE CARACTERES 30
A sus elementos los denominamos caracteres.
La parte (a) del siguiente teorema es uno de los hechos fundamentales de este capítulo.
En el conjunto ∆ que aparece más adelante se dará una topología. El estudio de las álgebras
de Banach conmutativas, entonces en gran medida se deducirá al estudio de la más familiar
(y más especial) objeto, es decir, álgebras de funciones complejas continuas en ∆ con suma
y multiplicación puntuales. Sin embargo la definición 3.4.1 tiene interesantes consecuencias
concretas, incluso sin la introducción de esta topología.
Teorema 3.4.1. Si A es un álgebra de Banach conmutativo con unidad, y si ∆ es el conjunto
de todo homomorfismo complejo de A, entonces:
(a) Cada ideal maximal de A es el núcleo de algún h ∈ ∆.
(b) Si h ∈ ∆, el núcleo de h es un ideal maximal de A.
(c) Un elemento x ∈ A es inversible en A si y solo si h(x) 6= 0 para cada h ∈ ∆.
(d) Un elemento x ∈ A es inversible en A si y solo si x no radica en un ideal propio de A.
(e) λ ∈ σ(x) si y solo si h(x) = λ para algún h ∈ ∆.
Demostración. (a) Si M es un ideal maximal de A. Entonces M es cerrado (Teorema 3.1.2)
y A/M es por consiguiente un álgebra de Banach. Escogiendo x ∈ A, x /∈M, y
J ={ax+ y : a ∈ A, y ∈M
}. (3.1)
Entonces J es un ideal en A que es más grande que M, ya que x ∈ J (con a = e, y = 0).
Así, J = A, y ax + y = e para algunos a ∈ A, y ∈ M. Si π : A → A/M es la función
cociente, se deduce que
π(ax+ y) = π(e)
π(ax) + π(y) = π(e)
π(a)π(x) + 0 = π(e)
π(a)π(x) = π(e)
para cada elemento distinto de cero π(x) del álgebra de Banach A/M es por lo tanto
invesible en A/M. Por el teorema de Gelfand - Mazur existe un isomorfismo j de A/M
en C con h = j ◦ π, entonces h ∈ ∆ y M = ker (h).
(b) Si h ∈ ∆, entonces h−1(0) = kerh ={x : h(x) = 0
}es un ideal en A que es maximal,
porque este tiene codimensión 1.
3.5. LA TRANSFORMADA DE GELFAND 31
(c) Si x es inversible en A y h ∈ ∆, entonces
h(x)h(x−1) = h(xx−1) = h(e) = 1
por lo que h(x) 6= 0. Si x no es inversible, entonces el conjunto{ax : a ∈ A
}no contiene
a e, por lo tanto es un ideal propio que se encuentra en un maximal (Teorema 3.1.1) y
por lo que h(x) = 0 para algunos h ∈ ∆, debido a (a).
(d) Supongamos que x radica en un ideal propio I de A, luego como x es inversible, existe
y tal que xy = e, xy ∈ I⇒ e ∈ I (⇒⇐).
Recíprocamente, por la proposición 3.1.1 ningún ideal propio contiene elemento inversi-
ble.
(e) Aplicaremos (c), λ ∈ σ(x), entonces λe− x no es inversible
h(λe− x) = 0
λh(e) − h(x) = 0
λ = h(x).
Recíprocamente, h(x) = λ para algunos h ∈ ∆
λ− h(x) = 0
λh(e) − h(x) = 0
h(λe− x) = 0
por (c) λe− x no es inversible. Luego λ ∈ σ(x).
3.5. La transformada de Gelfand
Para un álgebra cualquiera A, si h es un carácter de A y x un elemento cualquiera de A,
entonces x−h(x)e resulta no inversible, pues pertenece al núcleo de h y entonces h(x) ∈ σ(x).
Recíprocamente, si λ ∈ σ(x), entonces x−λe no es inversible y por lo tanto pertenece al núcleo
de algún h, de ahí sigue que λ = h(x).
Podemos encontrar exactamente quien es ‖x‖∞:
‖x‖∞ = sup{|x(h)| : h ∈ ∆
}
= sup{|h(x)| : h ∈ ∆
}
= sup{|λ| : λ ∈ σ(x)
}
3.5. LA TRANSFORMADA DE GELFAND 32
esta cantidad se conoce como radio espectral del elemento x que viene definido
ρ(x) := sup{|λ| : λ ∈ σ(x)
}
Antes de definir la transformada de Gelfand, se definirá un espacio dual, una topología
débil y una topología débil∗.
Definición 3.5.1 (Espacio dual). Sea (A, ‖ ‖A) un espacio normado. Entonces el espacio
vectorial de todas las funciones lineales continuas f : A → C tiene una estructura natural de
espacio normado, con la norma definida como
‖f‖ = supx∈A
‖x‖A=1
|f(x)| .
Este espacio se denomina A∗, el espacio dual de A.
Definición 3.5.2. Sea A un espacio normado y A∗ su dual. La topología débil en A denotada
por σ(A,A∗) o simplemente por w, es la topología que tiene como base local de x0 ∈ A a los
conjuntos de la forma
V(x0, f1, f2, . . . , fk, ǫ) =
k⋂
i=1
{x ∈ A : |fi(x) − fi(x0)| < ǫ
}
con f1, f2, . . . , fk ∈ A∗ y ǫ > 0.
Entonces un conjunto U ⊂ A es débilmente abierto, o w abierto, si y solo si para todo
x0 ∈ U existen f1, f2, . . . , fk ∈ A∗ y ǫ > 0 tales que
V(x0, f1, f2, . . . , fk, ǫ) ⊂ U .
Definición 3.5.3. Sean A un espacio normado y A∗ su dual. La topología débil estrella en
A∗, denotado por σ(A∗, A) o simplemente por w∗ es la topología que tiene como base local de
f0 ∈ A∗ a los conjuntos de la forma
V(f0, x1, x2, . . . , xk, ǫ) =
k⋂
i=1
{f ∈ A∗ : |f0(xi) − f(xi)| < ǫ
}
con x1, x2, . . . , xk ∈ A y ǫ > 0.
Definición 3.5.4. Sea A un álgebra de Banach conmutativo con unidad. Sea ∆ el espectro de
A, la fórmula:
x(h) = h(x), (h ∈ ∆)
que asigna a cada x ∈ A una función
x : ∆→ C
llamamos a x la transformada de Gelfand de x.
3.5. LA TRANSFORMADA DE GELFAND 33
Al conjunto ∆ se dota de la topología débil∗ para la cual la función
x : ∆→ C
h 7→ x(h) = h(x), con x ∈ A y h ∈ ∆
es continua, cualquiera que sea x ∈ A. Con esta topología una vecindad de h0 ∈ ∆ es la
intersección de conjuntos de la forma
{h ∈ ∆ : |h(x) − h0(x)| < ǫ
}
para algún x ∈ A y ǫ > 0.
Sea A el conjunto de todo x, A ⊂ C(∆) el álgebra de todas las funciones complejas
continuas en ∆.
La función x es continua (tomando a ∆ con la topología σ(A∗, A) de A∗).
∆ equipado con su toplogía de Gelfand, generalmente se llama el espacio de los ideales
maximales del espacio A.
Definición 3.5.5. Sea A un álgebra de Banach conmutativa con unidad. El radical de A,
denotado por radA, es la intersección de todos los ideales maximales de A.
Definición 3.5.6. Sea A un álgebra de Banach conmutativa con unidad. Si radA = {0}, A se
llama semisimple.
Teorema 3.5.1. Sea A un álgebra de Banach conmutativa con unidad e:
(i) e es la función identidad (e(h) = 1, ∀h ∈ ∆).
(ii) x = 0 si y solo x ∈ ∩{h−1(0) : h ∈ ∆
}= ∩
{ideales maximales de A
}.
(iii) Si h1 6= h2 ⇒ ∃x ∈ A : x(h1) 6= x(h2).
Demostración. (i) ∀h ∈ ∆ se da: e(h) = h(e) = 1.
(ii)
x = 0⇔ x(h) = 0, ∀h ∈ ∆
⇔ h(x) = 0, ∀h ∈ ∆
⇔ x ∈ h−1(0), ∀h ∈ ∆ .
(iii) Si h1 6= h2, entonces para cualquier x ∈ A se cumple h1(x) 6= h2(x), luego existe x ∈ A
tal que x(h1) 6= x(h2).
3.5. LA TRANSFORMADA DE GELFAND 34
Teorema 3.5.2. Sea ∆ el espacio de los ideales maximales de un álgebra de Banach A con-
mutativo con unidad.
(i) La transformada de Gelfand es un homomorfismo de A sobre un subálgebra A de C(∆)
y además es continua.
(ii) Para cada x ∈ A, el rango de x es el espectro σ(x). De ahí ‖x‖∞ = ρ(x) 6 ‖x‖.
Demostración. (i) Supongamos x ∈ A, y ∈ A, α ∈ C y h ∈ ∆, entonces
➀ (αx)(h) = h(αx) = αh(x) = αx(h).
➁ (x+ y)(h) = h(x+ y) = h(x) + h(y) = x(h) + y(h) = (x+ y)(h).
➂ (xy)(h) = h(xy) = h(x)h(y) = x(h)y(h) = (xy)(h).
Así, la transformada de Gelfand es un homomorfismo.
Es continua, ya que
‖x‖∞ = sup{|x(h)| : h ∈ ∆
}
= sup{|h(x)| : h ∈ ∆
}
= sup{|λ| : λ ∈ σ(x)
}
6 ‖x‖ .
Por tanto ‖x‖∞ 6 ‖x‖.
Luego x es continua.
(ii) Decir que λ está en el rango de x significa que λ = x(h) = h(x) para algunos h ∈ ∆. Por
(e) del teorema 3.4.1, esto ocurre si y solo si λ ∈ σ(x).
Además, como ρ(x) := sup{|λ| : λ ∈ σ(x)
}, tenemos que ρ(x) 6 ‖x‖, por otro lado
‖x‖∞ 6 ‖x‖ y ‖x‖∞ = ρ(x).
Por tanto, ‖x‖∞ = ρ(x) 6 ‖x‖.
Teorema 3.5.3. Sea A un álgebra de Banach conmutativo con unidad y sea x ∈ A. Entonces
son equivalentes los siguientes:
(i) σ(x) = {0}.
(ii) x está contenido en algún ideal maximal de A.
(iii) x = 0.
3.5. LA TRANSFORMADA DE GELFAND 35
(iv) lımn→∞
‖xn‖1/n = 0.
Demostración. (i) ⇒ (ii). Por hipótesis σ(x) = {h(x) : h ∈ ∆} = 0. Cuando ∀h ∈ ∆, x ∈ kerh
y por tanto x está contenido en algún ideal maximal de A.
(ii) ⇒ (iii). Sea J un ideal maximal de A, se tiene J es el núcleo de algún carácter, luego existe
h ∈ ∆ tal que J = kerh. Si x está contenido en algún ideal maximal de A, ahora
x ∈ kerh, h ∈ ∆⇒ h(x) = 0, h ∈ ∆
⇒ x(h) = h(x) = 0, h ∈ ∆
⇒ x = 0.
(iii) ⇒ (iv). Por hipótesis x = 0, entonces h(x) = 0, h ∈ ∆; además σ(x) = {h(x) : h ∈ ∆}.
⇒ sup{|λ| : λ ∈ σ(x)
}= 0
⇒ lımn→∞
‖xn‖1/n = 0 .
(iv) ⇒ (i). Por hipótesis lımn→∞ ‖xn‖1/n = 0.
⇒ sup{|λ| : λ ∈ σ(x)
}= 0
⇒ σ(x) ={h(x) : h ∈ ∆
}= {0}
⇒ σ(x) = 0 .
Lema 3.5.1. Si A es un álgebra de Banach conmutativo con unidad y
r = ınf‖x2‖
‖x‖2, s = ınf
‖x‖∞‖x‖
(x ∈ A, x 6= 0), (1)
entonces s2 6 r 6 s.
Demostración. Ya que‖x‖∞‖x‖
> ınf‖x‖∞‖x‖
= s, entonces ‖x‖∞ > s‖x‖.
Como
‖x‖ > ‖x‖∞ (2)
se tiene que ‖x2‖ > ‖x2‖∞ = ‖x‖2∞ > s2‖x‖2, para cada x ∈ A. Así, s2 6 r.
Ya que ‖x2‖ > r‖x‖2 para cada x ∈ A. Por inducción sobre n se puede mostrar que
‖xm‖ > rm−1‖x‖m (m = 2n, n = 1, 2, 3, . . .) (3)
extrayendo raíz m− ésima en (3) y haciendo m → ∞ y por la fórmula de radio espectral se
tiene:
‖xm‖1/m > r(m−1) 1m‖x‖m( 1
m ) .
3.5. LA TRANSFORMADA DE GELFAND 36
ρ(x) = lımm→∞
‖xm‖1/m > lımm→∞
r1−1m‖x‖ = r‖x‖
Por tanto ‖x‖∞ = ρ(x) > r‖x‖, de ahí r 6 s.
Luego s2 6 r 6 s.
Teorema 3.5.4. Sea A un álgebra de Banach conmutativo con unidad, y x ∈ A. La transfor-
mada de Gelfand es una isometría si y solo si ‖x2‖ = ‖x‖2 para cada x ∈ A.
Demostración. En la terminología de lema 3.5.1 si la transformada de Gelfand es una isome-
tría, entonces s = 1 por lo que r tiene que ser 1, por tanto se cumple ‖x2‖ = ‖x‖2.
Recíprocamente, si ‖x2‖ = ‖x‖2 ∀x ∈ A ⇒ ‖x2k
‖ = ‖x‖2k
∀x ∈ A ⇒ ‖x2k
‖1
2k = ‖x‖ ⇒
ρ(x) = ‖x‖.
Por lo que ‖x‖∞ = ρ(x) = ‖x‖.
4C∗−ÁLGEBRAS Y TEOREMA DE
GELFAND-NAIMARK
4.1. Involuciones
Definición 4.1.1. Dada un álgebra A sobre C se llama involución de A a una aplicación de
A en A que lleva cada elemento x ∈ A en x∗ ∈ A, tal que para todo x ∈ A, y ∈ A y λ ∈ C se
cumple:
(i) (x∗)∗ = x
(ii) (x + y)∗ = x∗ + y∗
(iii) (λx)∗ = λx∗
(iv) (xy)∗ = y∗x∗
Observe que si A tiene elemento unidad e, entonces e∗ = e, ya que xe∗ = (ex∗)∗ = (x∗)∗ = x
para todo x ∈ A. De forma análoga e∗x = x para todo x ∈ A.
4.2. C∗−álgebras
Definición 4.2.1. Un álgebra de Banach A provista de una involución que satisface:
‖x∗x‖ = ‖x‖2, para todo x ∈ A.
A recibe el nombre de C∗−álgebra.
Si A es un C∗−álgebra, entonces para cada x ∈ A, se tiene ‖x∗‖ = ‖x‖.
En efecto, ‖x∗‖ ‖x‖ > ‖x∗x‖ = ‖x‖2, por lo tanto ‖x∗‖ > ‖x‖, de igual manera
‖x‖ = ‖(x∗)∗‖ > ‖x∗‖ .
37
4.3. DISTINTAS CLASES DE ELEMENTOS EN UN C∗−ÁLGEBRA 38
En razón de que (x− λe)∗ = x∗ − λe para cada que λ ∈ C, se deduce σ(x∗) = σ(x).
Si X es un espacio compacto y C(X) el álgebra de todas las funciones continuas de X en el
campo complejo C. Tal espacio dotado de la norma:
‖f‖ = sup{|f(x)| /x ∈ X
}
para todo f ∈ C(X).
Se define la multiplicación en tal espacio como:
(f · g)(x) = f(x) · g(x), para todo f, g ∈ C(X)
cuya involución viene dada por f∗(x) = f(x).
Luego C(X) es un C∗− álgebra.
Veamos, para todo f, g ∈ C(X), x ∈ X y λ ∈ C se tiene:
(i) f∗∗(x) = f∗(x) = f(x) = f(x).
(ii) (f+ g)∗(x) = (f+ g)(x) = f(x) + g(x) = f∗(x) + g∗(x).
(iii) (λf)∗(x) = (λf)(x) = λf∗(x).
(iv)(f(x) g(x)
)∗=(f(x) g(x)
)= f(x)g(x) = g(x) f(x) = g∗(x) f∗(x).
Además,
‖f∗ f‖ = sup{|(f∗ f)(x)| / x ∈ X
}
= sup{|f∗(x) f(x)| / x ∈ X
}
= sup{|f(x) f(x)| / x ∈ X
}
= sup{|f(x)|2/ x ∈ X
}
=(sup{|f(x)|/x ∈ X}
)2
= ‖f‖2 .
4.3. Distintas clases de elementos en un C∗−álgebra
Las distintas clases de elementos que se describen a continuación definen aspectos geométricos
y topológicos del espacio asociado al C∗−álgebra, por sus propiedades algebraicas juegan un
papel importante en esta teoría.
4.3. DISTINTAS CLASES DE ELEMENTOS EN UN C∗−ÁLGEBRA 39
1. Elementos normales. Sean A un C∗− álgebra y x ∈ A. El elemento x es normal si
x∗x = xx∗ .
2. Elementos hermitianos o auto-adjunto. Sean A un C∗− álgebra y x ∈ A. El elemento x
es hermitiano si
x = x∗ .
Los elementos hermitianos algebraicamente son un caso particular de elementos nor-
males. Más adelante se verá que cualquier elemento x del C∗−álgebra puede escribirse
como
x = u+ iv con u y v hermitianos.
3. Elementos unitarios. Sean A un C∗− álgebra y x ∈ A. El elemento x es unitario si
cumple
x−1 = x∗ .
4. Proyectores. Sea A un C∗− álgebra. El elemento p ∈ A es un proyector si cumple
p2 = p∗ = p .
Teorema 4.3.1. Sean A un álgebra de Banach con una involución y x ∈ A, entonces:
(a) x + x∗, i(x − x∗) y xx∗ son hermitianos.
(b) La unidad e es hermitiano.
(c) x es inversible en A si y solo si x∗ es inversible en A, en ese caso (x∗)−1 = (x−1)∗.
(d) λ ∈ σ(x) si y solo si λ ∈ σ(x∗).
Demostración. (a) (x+ x∗)∗ = x∗ + (x∗)∗ = x∗ + x = x + x∗.(i(x− x∗)
)∗= −i(x− x∗)∗ = −i(x∗ − (x∗)∗) = −i(x∗ − x) = i(x− x∗)
(xx∗)∗ = (x∗)∗x∗ = xx∗.
Por tanto x+ x∗, x+ x∗, i(x− x∗) y xx∗ son hermitianos.
(b) Por (a), ya que e∗ = ee∗, luego e es hermitiano.
4.3. DISTINTAS CLASES DE ELEMENTOS EN UN C∗−ÁLGEBRA 40
(c) Si x es inversible, entonces
(xx−1)∗ = e∗ = e
⇒ (x−1)∗x∗ = e
⇒ (x−1)∗ = (x∗)−1 .
Si x∗ es inversible, entonces(x∗(x∗)−1
)∗= e
((x∗)−1
)∗(x∗)∗ = e
((x∗)−1
)∗x = e
(((x∗)−1
)∗)−1x−1 = e
((((x∗)−1
)∗)−1x−1)∗
= e
(x−1)∗((
((x∗)−1)∗)−1)∗
= e .
Por otro lado(((x∗)−1
)∗)−1= x . . . . . . (1).
Luego por (1), (x−1)∗x∗ = e⇒ (x−1)∗ = (x∗)−1.
(d) Si λ ∈ σ(x) ⇒ x − λe no es inversible.
⇒ (x− λe)∗ = x∗ − λe∗
= x∗ − λe no es inversible (por (c))
entonces λ ∈ σ(x∗).
Recíprocamente, si λ ∈ σ(x∗) ⇒ x∗ − λe no es inversible.
⇒ (x∗ − λe)∗ = (x∗)∗ − λ(e∗)∗
= x− λe no es inversible
entonces λ ∈ σ(x).
Teorema 4.3.2. Si x es un elemento auto-adjunto de un C∗−álgebra A, entonces
‖x‖∞ = ρ(x) = ‖x‖ .
En ese caso, significa que la transformada de Gelfand es un homomorfismo isométrico.
Demostración. Sea x un elemento auto-adjunto de A (x = x∗).
De hecho, ‖x‖2 = ‖x∗x‖ = ‖x2‖, resulta que ‖x‖2n
= ‖x2n
‖.
Usando la fórmula del radio espectral, se tiene
ρ(x) = lımn→∞
‖x2n
‖1/2n
= ‖x‖
como ‖x‖∞ = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)
}= ρ(x), entonces ‖x‖∞ = ρ(x) = ‖x‖.
4.4. TEOREMA DE GELFAND-NAIMARK 41
4.4. Teorema de Gelfand-Naimark
El Teorema de Gelfand-Naimark, básicamente establece que cualquier C∗− álgebra conmuta-
tiva puede verse como el C∗− álgebra que consta de las funciones continuas con valores en C
definidas en un espacio topológico, cuando el C∗− álgebra tiene una unidad, este espacio to-
pológico es compacto. A continuación se detalla la estructura de esta C∗− álgebra que consta
de las funciones continuas con valores en C.
Considerando un espacio topológico compacto ∆, sea C(∆) el espacio de las funciones
continuas x : ∆ → C. En particular cualquier función constante es una función continua, de
modo que C(∆) siempre es no vacío. Además dados h1, h2 ∈ ∆, existe una función x tal que
x(h1) 6= x(h2), es decir, hay suficientes funciones continuas, esto nos permite distinguir los
puntos de ∆.
El espacio vectorial complejo C(∆) tiene estructura de C∗− álgebra. Con el producto usual
de funciones complejas
(xy)(h) = x(h)y(h)
como producto algebraico es un álgebra asociativa, compleja, con unidad (e(h) = 1 es la
unidad) y conmutativa.
La operación ∗ está dada por la operación de conjugación compleja
(x∗)(h) = (x)(h) .
Con la norma del supremo, es un álgebra de Banach.
Definición 4.4.1. Se define la bola unitaria cerrada del dual de A como:
BA∗ ={f ∈ A∗ : ‖f‖ 6 1
}con A un álgebra de Banach.
Teorema 4.4.1. Sea A un álgebra de Banach y h : A → C un homomorfismo no nulo.
Entonces h es continua.
Demostración. Primero notemos que h(eAb) = h(beA) = h(b) = h(b)h(eA) = h(eA)h(b) y
como tal h(eA) = eC.
Dado x ∈ A, x − h(x)eA ∈ ker (h) y como ker (h) es un ideal, está claro que x − h(x)eA
no es inversible (caso contrario e ∈ ker (h) de este modo, h = 0).
Así, h(x) ∈ σ(x), y como tal |h(x)| 6 ‖x‖. De este modo |h(x) − h(y)| 6 ‖x− y‖, luego h
es continua.
Nótese que por el teorema anterior ∆ ⊂ BA∗ = {f ∈ A∗ : ‖f‖ 6 1}. Así, el espectro
de un álgebra es un subconjunto de la bola unitaria cerrada del dual A∗. Por el teorema
Banach-Alaoglu, BA∗ es compacta con la topología débil ∗.
4.4. TEOREMA DE GELFAND-NAIMARK 42
Teorema 4.4.2 (Teorema de Gelfand-Naimark). Si A es un C∗−álgebra conmutativa con uni-
dad, la transformada de Gelfand es un isomorfismo isométrico de A en C(∆) con ∆ compacto
en C, que tiene la propiedad adicional de que
h(x∗) = h(x), para todo x ∈ A, h ∈ ∆
o equivalentemente
(x∗) = x, x ∈ A
Demostración. La demostración del teorema consta de dos partes. En la primera parte se
demostrará que la transformada de Gelfand es una isometría, la demostración de la isometría
se llevará a cabo en cuatro etapas: en la primera etapa se mostrará que si x ∈ A y x = x∗,
entonces σ(x) ∈ R. En la segunda etapa se mostrará que cualquier elemento x de A tiene una
descomposición única en parte real y parte imaginaria, es decir, x = u + iv con u = u∗ y
v = v∗. En la tercera etapa se mostrará que la transformada de Gelfand conserva la involución
y en la cuarta etapa ya con los resultados de las etapas anteriores se mostrará que la trans-
formada de Gelfand es una isometría.
En la segunda parte se mostrará que la transformada de Gelfand es un isomorfismo, para
la demostración del isomorfismo se requiere ver que la transformada de Gelfand es un homo-
morfismo biyectivo; en el capítulo 3, sección 3.5, Teorema 3.5.2 se mostró que la transformada
de Gelfand es un homomorfismo. Por tanto, se completará la demostración en dos etapas: en
la primera etapa se mostrará que la transformada de Gelfand es sobreyectiva y en la segunda
etapa se mostrará que la tranformada de Gelfand es inyectiva. De esa manera se concluirá con
la demostración del Teorema de Gelfand-Naimark.
PRIMERA PARTE
Etapa 1. Si x ∈ A y x = x∗, entonces σ(x) ∈ R.
En efecto, sea λ0 = h(x) = α+ iβ ∈ σ(x) con α, β ∈ R.
Sea k un número real cualquiera y y = x+ ike, entonces y∗ = x − ike.
Luego, se tiene que
λ = h(y) = h(x+ ike), h ∈ ∆
= h(x) + ikh(e)
= α+ iβ+ ik
= α+ i(β+ k)
entonces λ = α+ i(β+ k) ∈ σ(y) y λ = α− i(β+ k) ∈ σ(y∗).
Por otro lado, se tiene y · y∗ = x2 + k2e.
4.4. TEOREMA DE GELFAND-NAIMARK 43
Por lo que ‖yy∗‖ = ‖x2 + k2e‖ 6 ‖x2‖+ ‖k2‖ = ‖x‖2 + k2, por otro lado
λλ = |λλ| = |λ|2 = α2 + β2 + k2 + 2kβ 6 ‖y‖2 = ‖yy∗‖ 6 ‖x‖2 + k2 .
Por lo tanto,
α2 + β2 + k2 + 2kβ 6 ‖x‖2 + k2
α2 + β2 + 2kβ 6 ‖x‖2
para todo número real k, lo cual es absurdo si β 6= 0, pues, α2 + β2 = |λ|2 6 ‖x‖2, entonces
β = 0⇒ λ0 = h(x) = α+ iβ = α ∈ R .
Etapa 2. Veamos que x ∈ A puede escribirse de manera única en la forma x = u+ iv, con u
y v hermitianos.
En efecto, definiendo
u =1
2(x+ x∗) y v =
1
2i(x− x∗)
se tiene que u y v son hermitianos y,
u+ iv =1
2(x+ x∗) + i
(1
2i(x− x∗)
)
=1
2x +
1
2x∗ +
1
2x−
1
2x∗
= x
entonces x = u+ iv.
Recíprocamente si x = u+ iv donde u y v son hermitianos, entonces x∗ = u− iv, de donde
x + x∗ = 2u⇒ u =1
2(x+ x∗)
x − x∗ = 2iv⇒ v =1
2i(x− x∗)
Veamos la unicidad. Suponiendo que x = u ′ + iv ′ es otra representación de x, si w = v − v ′,
entonces w y iw son hermitianos, pues w∗ = (v − v ′)∗ = v∗ − (v ′)∗ = v− v ′ = w con v y v ′
hermitianos por otro lado,
(iw)∗ = i(v− v ′)∗ = −iv∗ + i(v ′)∗ = −iv+ iv ′ = u − u ′ .
son hermitianos.
De modo que iw = (iw)∗ = −iw∗ = −iw, entonces
iw = −iw⇒ 2iw = 0⇒ w = 0⇒ v− v ′ = 0 .
4.4. TEOREMA DE GELFAND-NAIMARK 44
De forma análoga se concluye que u− u ′ = 0.
Ahora, como x = u + iv y x = u ′ + iv ′, entonces
x − x = u + iv− u ′ − iv ′
0 = (u− u ′) + i(v− v ′) = 0+ i0
esto sucede si y solo si u = u ′ y v = v ′.
Etapa 3. La transformada de Gelfand conserva la involución.
En efecto, considerando x = u + iv, con u y v hermitianos.
Luego,
h(x∗) = h(u− iv) = h(u) − ih(v) = h(u) + ih(v) = h(x) .
Por lo tanto, h(x∗) = h(x).
Además, x(h) = h(x) = h(x∗) = (x∗)(h).
Entonces x = (x∗).
Etapa 4. La transformada de Gelfand es una isometría.
En efecto,
‖x‖2 = ‖x∗x‖
= ρ(x∗x), con x∗x hermitiano
= sup{|h(x∗x)|, h ∈ ∆
}, por definición de radio espectral
= sup{|(x∗x)(h)|, h ∈ ∆
}, fórmula de la transformada de Gelfand
= ‖x∗x‖∞, definición de la norma del supremo
= ‖x∗x‖∞, la transformada de Gelfand es un homomorfismo
= ‖xx‖∞, etapa 3
= ‖x‖2∞, x ∈ C .
Por tanto la transformada de Gelfand es una isometría.
SEGUNDA PARTE
Etapa 1. La transformada de Gelfand es sobreyectiva.
Para la demostración de esta etapa, se requiere los conocimientos del Teorema de Stone-
Weierstrass versión compleja que se describe en el apéndice de este trabajo, ya con los resul-
tados del Teorema de Stone-Weierstrass se probará la sobreyectividad.
Por lo que para la demostración de la sobreyectividad de la transformada de Gelfand:
K : A→ C(∆)
x 7→ K(x) = x
4.4. TEOREMA DE GELFAND-NAIMARK 45
se mostrará que K(A) = C(∆), y con esto se estaría probando la sobreyectividad.
Por lo tanto de acuerdo al teorema de Stone-Weierstrass, se requiere ver los siguientes:
(i) ∆ es un espacio de Hausdorff,
(ii) ∆ es un espacio compacto,
(iii) K(A) ⊂ C(∆) es una subálgebra cerrada con 1,
(iv) K(A) ⊂ C(∆) separa puntos,
(v) La propiedad de que si f ∈ K(A), entonces f ∈ K(A).
Veamos:
(i) ∆ es un espacio de Hausdorff.
En efecto, una vecindad de h0 ∈ ∆ es la intersección de conjuntos de la forma
{h ∈ ∆ : |h(xi) − h0(xi)| < ǫ, i = 1, 2, . . . , n
}
con x1, x2, . . . , xn ∈ A, ǫ > 0.
Ahora, sean h1, h2 ∈ ∆.
Si h1 6= h2, entonces existe x ∈ A tal que h1(x) 6= h2(x).
Si tomamos δ =1
2|h1(x) − h2(x)|, ahora
N1 ={h ∈ ∆ : |h(x) − h1(x)| < δ
}
y
N2 ={h ∈ ∆ : |h(x) − h2(x)| < δ
}
son entornos de h1 y h2 respectivamente que son disjuntos.
Veamos que N1 y N2 son disjuntos.
En efecto, supongamos que ∃h ′ ∈ N1 ∩N2, entonces h ′ ∈ N1 ∧ h ′ ∈ N2.
Por lo que:
Si h ′ ∈ N1 ⇒∣∣h ′(x) − h1(x)
∣∣ < δ
y
si h ′ ∈ N2 ⇒∣∣h ′(x) − h2(x)
∣∣ < δ
4.4. TEOREMA DE GELFAND-NAIMARK 46
Ahora, por otro lado
∣∣h1(x) − h2(x)∣∣ =
∣∣h1(x) + h′(x) − h ′(x) − h2(x)
∣∣
=∣∣(h1(x) − h
′(x))+(h ′(x) − h2(x)
)∣∣
6∣∣h1(x) − h
′(x)∣∣ +∣∣h ′(x) − h2(x)
∣∣
< δ+ δ = 2δ,
entonces∣∣h1(x) − h2(x)
∣∣ < 2δ (⇒⇐).
Por consiguiente, N1 y N2 son disjuntos.
Por tanto ∆ es de Hausdorff.
(ii) ∆ es un espacio compacto.
En efecto, por el teorema 3.4.1 f ∈ ∆ es continuo, entonces
∆ ⊂ BA∗ ={f ∈ A∗ : ‖f‖ 6 1
}.
Así, el espectro de un álgebra de Banach es un subconjunto de la bola unitaria cerrada
del dual A∗ de A.
Para la demostración se requiere del siguiente teorema:
Teorema. (Banach-Alouglu) Para todo espacio normado X, la bola BX∗ es w∗ compacta
y en consecuencia todo subconjunto norma cerrado y acotado de X∗ es w∗ compacto.
Fetter, H. y Gamboa de Buen, B. [8]
Por el teorema de Banach-Alauglu BA∗ es w∗ compacta, es decir, es compacta con la
topología débil∗.
Por (i) A∗ con la topología débil∗ es de Hausdorff, solo basta probar que ∆ es un subes-
pacio cerrado de BA∗ para concluir que ∆ es compacto.
Sea f un elemento de la adherencia de ∆. Por demostrar:
(1) f(xy) = f(x)f(y), x ∈ A, y ∈ A.
(2) f(e) = 1.
Obsérvese que (2) es necesario; en otro caso f podría ser el homomorfismo nulo, que no
pertenece a ∆.
Dada una sucesión {fn}n∈N en ∆ tal que fn → f con f ∈ A∗, se tiene que ∀x, y ∈ A,
fn(xy) → f(xy) o sea lımn→∞ fn(xy) = f(xy).
Por otro lado,
lımn→∞
fn(xy) = lımn→∞
(fn(x)fn(y)
)= lım
n→∞fn(x) lım
n→∞fn(y) = f(x) f(y)
4.4. TEOREMA DE GELFAND-NAIMARK 47
Por la unicidad del límite
f(xy) = f(x)f(y)
esto prueba (1).
Para (2) es suficiente observar que
f(e) = lımn→∞
fn(e) = 1 .
Por tanto ∆ es compacto.
(iii) K(A) ⊂ C(∆) es una subálgebra cerrada con 1.
En efecto,
K : A→ C(∆)
x 7→ K(x) = x.
Sea {fn}nN ∈ K(A) tal que fn → f con(fn = K(gn)
), gn ∈ A
{fn}N es de Cauchy
{gn}N es de Cauchy
entonces gn → g con A un álgebra de Banach
⇒ f = lım fn = lımK(gn) = K(g) .
entonces f ∈ K(A).
Luego K(A) es cerrada.
Por otro lado K(e) = e es la función identidad.
Veamos, ∀h ∈ ∆ se da: e(h) = h(e) = 1.
(iv) K(A) ⊂ C(∆) separa puntos.
En efecto, si h1 6= h2 en ∆, entonces existe x ∈ A tal que
h1(x) 6= h2(x) ⇔ x(h1) 6= x(h2) .
Por tanto K(A) separa puntos.
(v) Si f ∈ K(A), entonces f ∈ K(A).
En efecto, sea
f = K(x) ∈ K(A), x ∈ A
f = K(x) = K(x∗) ∈ K(A), x∗ ∈ A
Luego por todo lo demostrado concluimos que K(A) = C(∆).
Por lo tanto queda demostrado la sobreyectividad.
4.4. TEOREMA DE GELFAND-NAIMARK 48
Etapa 2. La transformada de Gelfand es inyectiva.
K : A→ C(∆)
x 7→ K(x) = x.
En efecto, por isometría se tiene la propiedad ‖x‖ = ‖x‖∞, x ∈ A.
Sea K(x) = K(y) con x, y ∈ A, entonces
K(x) − K(y) = 0
K(x− y) = 0.
Luego,
‖K(x) − K(y)‖∞ = ‖K(x− y)‖∞
= ‖x− y‖,
de donde ‖x− y‖ = 0, esto es x = y.
Por tanto, K es inyectiva.
Por todo lo demostrado en ambas partes concluimos que la transformada de Gelfand es un
isomorfismo isométrico de A en C(∆).
5CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
El objetivo del presente trabajo es el estudio riguroso de la demostración del Teorema de
Gelfand-Naimark en álgebras de Banach conmutativas. Con el propósito de llevar a su fin
tal objetivo se ha analizado la demostración minuciosamente, de forma que cada concepto o
razonamiento no se ha pasado por alto sin antes haberlo comprendido y así se ha conseguido
justificar adecuadamente cada detalle de la demostración.
Además de eso se han estudiado con detalle las demostraciones de otros resultados en
los capítulos anteriores, de entre los más sobresalientes podemos mencionar el teorema de
Gelfand-Mazur que nos dice que un álgebra de Banach que además es un álgebra de división
es isométricamente isomorfa al álgebra C de los números complejos.
En el segundo capítulo resalta el teorema 3.4.1. en este teorema ya se utiliza muchos
conceptos, sobre lo que son: un ideal maximal, el espectro de un álgebra de Banach, el espectro
de un elemento de un álgebra de Banach y los homomorfimos. Los resultados más sobresalientes
del teorema 3.4.1 son: cada ideal maximal de A es el núcleo de algún h ∈ ∆ y λ ∈ σ(x) si y
solo so h(x) = λ para algún h ∈ ∆.
En el capítulo cuatro un resultado importante que aportó mucho para la demostración del
teorema de Gelfand-Naimark es el teorema 4.3.2 que indica que si x ∈ A es hermitiano con A
un C∗− álgebra, se tiene que ‖x‖∞ = ρ(x) = ‖x‖.
Sobra decir que el análisis funcional y sobre todo que la teoría de espacios de Banach,
ha estado presente continuamente a lo largo del trabajo y de la prueba. El estudio de dicha
prueba ha ayudado sin duda a consolidar todos esos conceptos. Por otro lado cabe destacar que
gracias a este trabajo he descubierto el importante papel que desempeña el Análisis Funcional
en las álgebras de Banach.
Para poder probar muchos aspectos del Teorema de Gelfand-Naimark se ha recurrido a
teoremas muy importantes del Análisis funcional como ser el teorema de Stone-Weiertrass y
el teorema de Banach-Alouglu.
49
50
Por otro lado, para poder desarrollar algunos resultados en las álgebras de Banach se
recurrió a conceptos muy importantes de la topología, como son las topologías débil y débil∗.
El resultado del Teorema de Gelfand-Naimark en el contexto de las álgebras de Banach
conmutativas (Rudin, 1991), se recomienda para un nuevo proyecto de grado la demostración
del teorema espectral en donde se aplica el teorema de Gelfand-Naimark, en el cual se tendrá
que abordar temas como los operadores de un espacio de Hilbert.
ATeorema de Stone-Weierstrass
A.1. El Teorema de Weierstrass
El Teorema de Weierstrass establece que cada función continua sobre un intervalo [a, b] de R
puede ser aproximada uniformemente por polinomios o, dicho de otro modo, que los polinomios
constituyen una familia uniformemente densa de C[a, b].
Teorema A.1.1 (Weierstrass). Si [a, b] es cualquier intervalo finito, entonces los polinomios
son densos en CR[a, b].
Demostración. Por cambio de variable, supongamos que [a, b] =[− 1
4, 14
]. Sea f ∈ C
([− 1
4, 14
])
y consideremos la siguiente extensión de f a todo R:
g(x) =
f(x) |x| 6 14
0 |x| > 14
lineal si −126 x 6 −1
4o bien 1
46 x 6 1
2
Evidentemente, g : R → C es continua y acotada, y entonces Sn ∗ g → g uniformemente en
cualquier intervalo finito, en particular en[− 1
4, 14
].
Pero además
Sn ∗ g(x) = αn
∫ 12
− 12
[1− (x − t)2
]n· g(t)dt
es un polinomio de grado 6 2n en x, y el cambio de variable inicial (claramente lineal) no
afecta este hecho.
Definición A.1.1. Sea X un espacio compacto Hausdorff, y C(X) el álgebra de todas las
funciones continuas f : X → C, dotada con la norma del supremo. Una subálgebra compleja
B ⊂ C(X) es un subespacio de C(X) cerrado con respecto al producto
(fg)(x) = f(x)g(x), (A.1)
51
A.1. EL TEOREMA DE WEIERSTRASS 52
es decir, que si f, g ∈ B entonces fg ∈ B.
Llamaremos CR(X) al R− subespacio de las funciones a valores reales. Una subálgebra real
B ⊂ CR(X) es un R− subespacio cerrado con respecto (A.1).
En cualquier caso, una subálgebra cerrada es una subálgebra (real o compleja) cerrada con
respecto a la norma supremo (resp. de C(X) o CR(X))
Notar que todo ideal de la C− álgebra C(X) es una subálgebra compleja, pero la recíproca
no es necesariamente cierta, y lo mismo vale para subálgebras reales, con respecto a la R−
álgebra CR(X).
Definición A.1.2. Un subconjunto S ⊂ CR(X) es un reticulado si para toda f, g ∈ S, f∧ g =
mın{f, g} y f∨ g = max{f, g} están en S.
Llamando 1 a la función de X en C que vale idénticamente uno, claramente 1 ∈ CR(X).
Lema A.1.1. Cualquier subálgebra cerrada B ⊂ CR(X) con 1 ∈ B es un reticulado.
Demostración. Como f∨ g = 12|f− g|+ 1
2(f+ g), f∧ g = −
[(−f)∨ (−g)
], basta probar que
si f ∈ B, entonces |f| ∈ B. Podemos suponer que ‖f‖∞ 6 1 sin pérdida de generalidad, y por
el Teorema A.1.1 existe una sucesión Pn ∈ C[−1, 1] de polinomios de manera que Pn(t) → |t|
uniformemente en [−1, 1]. Consideremos la composición Pn(f): como B es un álgebra con
1 ∈ B, Pn(f) ∈ B para todo n ∈ N. Pero entonces, como X es compacto e im (f) ⊂ [−1, 1]
∥∥Pn(f) − |f|∥∥∞= sup
x∈X
∥∥Pn(f)(x) − |f|(x)∥∥
= maxx∈X
∣∣Pn(f)(x) − |f|(x)∣∣
= maxx∈X
∣∣(Pn ◦ f)(x) − (|t| ◦ f)(x)∣∣
6 maxt∈[−1,1]
∣∣Pn(t) − |t|∣∣
=∥∥Pn(t) − |t|
∥∥[−1,1]
→n→∞ 0.
Como B es cerrado, se deduce que |f| ∈ B.
Definición A.1.3. Diremos que un álgebra B ⊂ CR(X) (o B ⊂ C(X)) separa puntos si, dados
x 6= y en X, existe f ∈ B con f(x) 6= f(y).
El siguiente es el último paso en la demostración de Stone Weierstrass para álgebra con
unidad:
A.2. EL TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS 53
Teorema A.1.2 (Kakutani-Krein). Sea X un espacio compacto Hausdorff. El único reticualdo
S ⊂ CR(X) que es un subespacio cerrado, contiene al elemento 1 y separa puntos de X es todo
CR(X).
Demostración. Como S es cerrado, basta probar que es denso en CR(X). Para ello, dada
h ∈ CR(X) y ǫ > 0, debemos entontrar f ∈ S tal que ‖h− f‖∞ < ǫ. Supongamos que podemos
mostrar, para cada x ∈ X, una función fx ∈ S tal que fx(x) = h(x) y h 6 fx + ǫ. Entonces
para cada x ∈ X, existe por la continuidad de h− fx un entorno Ux de x tal que
h(y) > fx(y) − ǫ ∀y ∈ Ux .
Como {Ux}x∈X es un cubrimiento abierto de X, y X es compacto, existe un subcubrimiento
finito {Ux}i=1,...,n. Entonces f = fx1∧ fx2
∧ · · ·∧ fxncumple automáticamente
f(y) + ǫ = mıni{fxi
+ ǫ} 6 h(y) ∀y ∈ X
y además, como cada y ∈ Uxipara algún i, entonces vale
f(y) − ǫ 6 fxi(y) − ǫ 6 h(y),
lo que termina de probar que ‖h− f‖∞ǫ.
Falta entonces encontrar una fx con las propiedades mencionadas. Dados x 6= y en X, como
S separa puntos, existe f ′xy ∈ S tal que f ′xy(x) 6= f′xy(y) (o sea f ′xy(x) − f
′xy(y) 6= 0).
Consideramos la función
fxy =
(h(x) + h(y)
)f ′xy − h(x)f ′xy(y) + h(y)f
′xy(x)
f ′xy(x) − f′xy(y)
Como 1 ∈ S, fxy ∈ B. Además, fxy(x) = h(x), y fxy(y) = h(y). De ésta última condición se
deduce que para cada y ∈ X existe una entorno Vy de y tal que |h(z) − fxy(z)| 6 ǫ si z ∈ Vy.
En particular, fxy(z) + ǫ > h(z) para z en Vy. Un argumento similar al del párrafo anterior
nos permite hallar un cubrimiento {Vyj}j=1,...,m de X de manera que fxyj(z) + ǫ > h(z) para
todo j = 1, . . . ,m si z ∈ Vyj. Si tomamos fx = fxy1
∨ fxy2∨ · · ·∨ fxym
, entonces claramente
fx(x) = h(x), y además, para todo z ∈ X, z ∈ Vyjpara algún j y entonces
fx(z) + ǫ = maxj
{fxyj(z) + ǫ} > h(z) .
A.2. El Teorema de Stone-Weierstrass
Teorema A.2.1 (Stone-Weierstrass versión real). Sea X un espacio compacto Hausdorff, y
B una subálgebra cerrada de CR(X), que separa puntos y contiene a la función 1. Entonces
B = CR(X).
A.2. EL TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS 54
Demostración. Por el Lema A.1.1, B es un reticulado. Por el Teorema A.1.2, B es todo CR(X).
Teorema A.2.2 (S-W versión compleja). Sea X un espacio compacto Hasudorff, y B ⊂ C(X)
una subálgebra (compleja) cerrada con 1, que separa puntos, y con la propiedad de que si f ∈ B,
entonces f ∈ B. Entonces B = C(X).
Demostración. Toda función g ∈ C(X) puede escribirse en forma única como
g = Re(g) + iIm(g), (A.2)
donde Re(g) = g+g2
e Im(g) = g−g2
son dos funciones a valores reales. La desigualdad
∣∣Re(g)(x) − Re(g)(y)∣∣2 6
∣∣Re(g)(x) − Re(g)(y)∣∣2 +
∣∣Im(g)(x) − Im(g)(y)∣∣2
6∣∣g(x) − g(y)
∣∣
prueba que Re(g) ∈ CR(X). Lo mismo vale para Im(g). Como B es un C− espacio vectorial,
basta probar la inclusión CR(X) ⊂ B para deducir que g ∈ B.
Para ello, tomemos f ∈ B, y escribámosla como en la ecuación A.2. La condición (f ∈ B ⇒
f ∈ B) nos dice que necesariamente Re(f), Im(f) ∈ B. Consideremos el subconjunto de B
definido por
B ={g : g = Re(f) ó g = Im(f) para alguna f ∈ B
},
y tomemos A = R(B) la subálgebra (real) generada por B; como B es un subálgebra compleja
(en particular real), se deduce que A ⊂ B: probaremos que A = CR(X).
Evidentemente, A es un R− espacio vectorial, y de su definición se deduce trivialmente que
A es en realidad una subálgebra de CR(X). Obviamente, 1 ∈ A, y además dados x 6= y en X,
como B separa puntos, existe f ∈ B tal que f(x) 6= f(y). Entonces necesariamente Re(f)(x) 6=
Re(f)(y) o bien Im(f)(x) 6= Im(f)(y), es decir, que A separa puntos. Si probamos que A es
un subespacio cerrado de CR(X), por el Teorema A.2.1 podremos concluir que A = CR(X).
Para ello tomemos un punto límite f0 ∈ A, y veamos que está en A. Como existe una
sucesión de funciones {fn} ⊂ A tal que ‖fn − f0‖∞ →n 0, si Im(f0) 6= 0, entonces el límite en
‖fn − f0‖2∞ = sup
x∈X
∣∣fn(x) − f0(x)∣∣2
= supx∈X
{|Re(fn)(x) − Re(f0)(x)|
2 + |Im(f0)(x)|2}
= supx∈X
{|Re(fn)(x) − Re(f0)(x)|
2}+ sup
x∈X
{|Im(f0)(x)|
2}
> ‖Im(f0)‖2∞
A.2. EL TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS 55
no puede ser nunca nulo (notar que hemos utilizado que el supremo de la suma es la suma
de los supremos, ya que todos los términos son positivos). Entonces Im(f0) ≡ 0, y por ende
f0 ∈ A.
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