TOPICOS DE ECONOMETRIA APLICADA
Demanda de Factores de Producción: Estimacion e Inferencia en Sistemas de
Ecuaciones (cont.)Ref: *Berndt Cap. 9
FUNCION CES CON RCESupongamos que estimamos alguna de las ecuaciones ln Y/K = a1 + 1 ln PK/P + u1 ln Y/L = a1 + 2 ln PL/P + u2
con datos agregados de la economía. En este caso puede ser apropiado suponer que los precios (mas que las cantidades) son endogenos y que las cantidades son exógenas. Entonces (ignorando problemas potenciales de simultaneidad) es posible estimar las reciprocas de estas ecuaciones por OLS. ln PK/P = a4 + 1/4 ln Y/K + u4 ln PL/P = a5+ 1/5 ln Y/L + u5
ln PK/PL = a6+ 1/6 ln K/L + u6 Y recuperar el sigma implicito invirtiendo el coeficiente de la pendiente en cada ecuación.
Recordar que en una regresion simple de x contra y el R2 es equivalente al R2 de y contra x. Si las variables están en desvíos: y = x x = y La relación con el R2 es R2 = ´́ (donde los ´ representan los estimadores) Como el R2 es siempre menor a uno, entonces la forma de estimacion afecta el valor de la elasticidad calculada.
R entonces,
Lo mismo ocurre con las otras ecuaciones. La estimación del sigma difiere dependiendo de la ecuacion estimada.
Esto tambien es frecuente en la estimacion de funciones de demanda y demandas inversas.
Enfoque primal y el dual
• Función de producción: estimación a partir de las CPO (prod. Marg) – primal
• Producto endógeno, cantidades de insumos exógenas,.
• Función de costos: enfoque dual• Costos de producción y cantidades de
insumos son endógenas. • El nivel de producto y precios son
exógenos.
Enfoque primal y el dual
• Cuando los datos son desagregados es mas factible suponer que precios mas que el producto son exógenos
• Un enfoque alternativo es estimar vía dualidad.
• Minimizacion de costos dados precios, producto y tecnología
• En algunos casos es posible resolver la forma funcional de costos dual (ej. C-D)
Dualidad en producción
• Diewert (1971)
• Formas funcionales flexibles: sin restricciones sobre la elasticidad de sustitución.
• Leontieff generalizada
• Laurits, Christensen, Jorgenson y Lau
• Translog
Función de Costos de Leontieff Generalizada
Suponemos n insumos con precios Pi n cantidades de insumos, Xi Costos totales, C Producto, Y Var. Exógenas: P, Y Var. Endógenas: X, C Con retornos constantes a escala (RCE)
2/1
11
)( j
n
jiij
n
i
PPdYC
Donde dij = dji
Función de Costos de Leontieff Generalizada
Utilizando el Lema de Shephard se obtienen las demandas de factores:
2/1
1
)/(/ i
n
jjijii PPdYXPC
Para la estimación se pueden expresar las demandas en términos relativos al producto
2/1
1
)/(/ i
n
jjijii PPdYXa
Cuando i=j entonces (Pj/Pi)1/2 = 1, y entonces el dij es un término constante en la iésima ecuación.
Supongamos cuatro insumos : capital (K), trabajo (L) , energía (E) y materias primas intermedias (M).
Cada una de las cuatro ecuaciones tiene cuatro parámetros pero las restricciones de simetría (6) reducen el número de parámetros a estimar de 16 a 10.
Estimación• Se adiciona un termino de error a las ecuaciones• Se suponen iid ~ N(0,)• Pueden ser errores de optimización o efectos
individuales no observables• OLS : no por las cross restrictions• Además: correlación e/errores contemporáneos• Sistemas: Seemingly Unrelated Regression
Estimator (SURE) – Zellner – Mejor eficiencia-
Estimación
• El método usa OLS ecuación por ecuación para obtener una estimación de la matriz
• Luego usa Generalized Least Squares (GLS)
• El proceso es iterativo hasta que los cambios en parámetros estimados y son arbitrariamente pequeños
• Iterative Zellner Efficient Estimator (IZEF)
• Equivalente a ML
Las elasticidades parciales de sustitución Hicks-Allen entre los insumos i y j para una función de costos son ij = (C . Cij ) / (Ci . Cj) Donde los subindices representan derivadas parciales con respecto a precios de insumos En el caso de la Leontieff para i distinto de j
Las elasticidades propias son:
Si se quiere calcular las elasticidades precio usuales ij = Sj. ij Donde Sj es el cost share del insumo j en los costos totales de producción Para la función Leontieff las elasticidades cruzadas y directas son:
Consideraciones
• 1.Las elasticidades varian por observación• 2. Las elast. Hicks-Allen son simétricas, las elast. Precio
no lo son• 3.Los dij muestran si los insumos son sustitutos,
independientes o complementos: + , 0 , - , respectivamente
• 4.• • 5. Los valores estimados deben ser positivos para que la
funcion de costos sea cuasi concava en precios y estrictamente creciente. Además la matriz nxn de las Hicks-Allen debe ser negativa semidefinida en cada observación.
Especificación Translogarítmica
s no homotética: las demandas relativas de insumos dependen del nivel de producto.
La homogeneidad de grado uno en precios implica:
• La homoteticidad puede imponerseiY = 0 para todo i• Homogeneidad de grado constante en el
producto si YY = 0 y el grado de homogeneidad es 1/Y
• RCE si Y = 1
• Si ij = 0; i,j=1, …..n se convierte en una C-D
• Utilizando el Lema de Shephard
Si se imponen las restricciones de simetria y homogeneidad y se elimina la cuarta ecuación para evitar singularidad en la estimación el sistema resulta:
Y se recuperan los parámetros faltantes a partir de:
Las elasticidades de sustitucion son
Las elasticidades precio son: