TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 6
GRUPO Nº 448
FREDDY GIOVANNI CORTEZ CODIGO: 80062539
DANY VALENCIA BEDOYA CODIGO: 1113520845
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
301301- ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA
13-11-2015
INTRODUCCIÓN
Por medio del presente trabajo colaborativo pretendemos desarrollar habilidades matemáticas en la resolución de ejercicios de geometría analítica, trabajando con la recta y las figuras cónicas, analizando sus ecuaciones canónica y general, además de comprender el uso de estos conocimientos en el mundo real.
Con la resolución de algunos ejercicios propuestos trataremos de comprender los fundamentos y propiedades de sumatorias y productorias.
Buscamos también utilizar ayudas tecnológicas en la comprobación de los ejercicios, en nuestro caso el software geogebra, el cual resulta una herramienta valiosa para verificar nuestros conocimientos.
OBJETIVOS
Realizar el estudio analítico y compresivo de la unidad tres sumatorias, productorias y geometría analítica.
Aplicar los conocimientos adquiridos solucionando el taller correspondiente.
Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos:
Ejercicio 1
Desarrollado por: DANY VALENCIA
Enunciado:
De la siguiente elipse: x2+4 y2−4 x−8 y−92=0 determine:
a. Centrob. Fococ. Vértices
Elipse x2+4 y2−4 x−8 y−92=0
x2−4 x+4 y2−8 y=92
(x2−4 x )+(4 y2−8 y )=92
(x2−4 x )+4 ( y2−2 y )=92
(x2−4 x+4 )+4 ( y2−2 y+1 )=92+4+4
¿
¿¿
¿¿
Centro (2, 1)
c2=a2+b2
a2=4−a=2b2=1−b=1
c2=a2+b2
c2=4+1c2=5c=√5
c=2.2
Ejercicio 2
Desarrollado por: FREDY GEOVANNI CORTES
Enunciado:
De la siguiente ecuación canónica de la elipse, transformar la ecuación:
√(x−c)2+ y2+√(x+c )2+ y2=2a
En la ecuación
x 2
a2+ y
2
b2=1
Desarrollo
Despejamos uno de los 2 términos
√(x−c)2+¿¿
√(x−c)2+¿¿
Elevamos al cuadrado para eliminar raíces
¿¿
(x−c)2+¿
Desarrollando cuadrados
x2−2 xc+c2+ y2=4 a2−4 a√ ( x+c )2+( y )2+x2+2xc+ y2
Simplificando términos semejantes
−4 xc=4 a2−4a√ ( x+c )2+ ( y )2
Reorganizando términos
4 a√ ( x+c )2+( y )2=4a2+4 xc
Dividimos por 4 toda la expresión para eliminarlo
4 a√( x+c )2+( y )2
4=4a
2+4 xc4
a√ ( x+c )2+ ( y )2=a2+xc
Elevamos al cuadrado para eliminar raíces
a2 (√( x+c )2+( y )2 )2= (a2+xc )2
Desarrollando cuadrados
a2 (x2+2xc+c2+ y2 )=a4+2a2 xc+x2 c2
Multiplicando el primer término y simplificando
a2 x2+a2 c2+a2 y2=a4+x2c2
Reorganizamos para obtener trinomios cuadrados perfectos
a2 x2−x2 c2+a2 y2=a4−a2 c2 . entonces , x2(a2−c2)+a2 y2=a4(a2−c2)
−x24 y2−2 ( x+8 y )=−11
Completo cuadrados
Formulas
x2−ax=(x−a2 )2−a2
4
x2+ax=(x+ a2 ) 2−a2
4
Entonces:
−x2+2 y2=(x+ 22 ) 2−42
4
( x+1 )2−4
x+8 y=( y−82 ) 2−82
4
( y−4 )2−16
Entonces tenemos:
(x+1 )2−4−2 [ ( y−4 ) 2−16 ]=−11
( x+1 )2−4−2 ( y−4 ) 2−32=−11
( x+1 )2−2 ( y−4 )2=−11+32
( x+1 )2−2 ( y−4 )2=21
Divido todo entre 21
( x+1 )2
21−2 ( y−4 )2
21=2121
( x+1 )2
21−2 ( y−4 )2
0.09=1
Entonces deducimos que:
centro=(h ,k )
centro=1,4
Por lo tanto
a2=21
a=√21 a=4.58
b2=0.09
b=√0.09b=0.3
a2+b2=c2
21+0.09=c2
21.09=c2
√21.09=c4.59=c
Entonces tenemos que:
centro=(1,4 )
vertices=(±4.58 ,1 )
(4.58 ,1 ) (−4.58 ,1 )
(±0.3 ,4 )
(0.3 ,4 ) (−0.3,4 )
focos=(±4.59,1 )
(4.59,1 ) (−4.59,1 )
(±4.59,4 )
(4.59,4 ) (−4.59,4 )
Ejercicio 3
Desarrollado por: DANY VALENCIA
Enunciado: De la siguiente hipérbola:
−x2+4 y2−2x−16 y+11=0
Determine:
a. Centro
b. Focos
c. Vértices
Solución
Se necesita completar los trinomios cuadrados perfectos.
( x−h ) 2
a2−
( y−k ) 2
b2=1
( x−k ) 2
a2−
( y−h ) 2
b2=1
Factorizando:
−x24 y2−2 ( x+8 y )=−11
Completo cuadrados
Formulas
x2−ax=(x−a2 )2−a2
4
x2+ax=(x+ a2 ) 2−a2
4
Entonces:
−x2+2 y2=(x+ 22 ) 2−42
4
( x+1 )2−4
x+8 y=( y−82 ) 2−82
4
( y−4 )2−16
Entonces tenemos:
(x+1 )2−4−2 [ ( y−4 ) 2−16 ]=−11
( x+1 )2−4−2 ( y−4 ) 2−32=−11
( x+1 )2−2 ( y−4 )2=−11+32
( x+1 )2−2 ( y−4 )2=21
Divido todo entre 21
( x+1 )2
21−2 ( y−4 )2
21=2121
( x+1 )2
21−2 ( y−4 )2
0.09=1
Entonces deducimos que:
centro=(h ,k )
centro=1,4
Por lo tanto
a2=21
a=√21 a=4.58
b2=0.09
b=√0.09b=0.3
a2+b2=c2
21+0.09=c2
21.09=c2
√21.09=c4.59=c
Entonces tenemos que:
centro=(1,4 )
vertices=(±4.58 ,1 )
(4.58 ,1 ) (−4.58 ,1 )
(±0.3 ,4 )
(0.3 ,4 ) (−0.3,4 )
focos=(±4.59,1 )
(4.59,1 ) (−4.59,1 )
(±4.59,4 )
(4.59,4 ) (−4.59,4 )
Ejercicio 4
Desarrollado por: FREDY GEOVANNI CORTES
Enunciado:
Deducir la ecuación de la hipérbola
x2
a2− y2
b2=1
A partir de la ecuación √(x−c)2+ y2−√ ( x+c )2+ y2=±2a
Despejamos uno de los términos
√(x−c)2+ y2=±2a+√ ( x+c )2+ y2
Elevamos al cuadrado para eliminar radicales
(√(x−c )2+ y2 )2=(±2a+√( x+c )2+ y2 )2
Operando
(x−c)2+ y2=4 a2+4 a√ ( x+c )2+ y2+(x+c)2+ y2
El símbolo menos o más ± desaparece porque todo número multiplicado al cuadrado queda positivo
Se simplifica el primer término y se desarrolla producto notable en el segundo.
x2−2 xc2+c2+ y2=4a2+4a √( x+c )2+ y2+ x2+2 xc2+c2+ y2
Se simplifican términos semejantes
−2 xc2=4 a2+4 a√( x+c )2+ y2+2xc2
Se organiza la ecuación
−4 xc2−4 a2=4a√ ( x+c )2+ y2
Como todos los términos tienen coeficiente 4 simplificamos y elevamos al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada
(−xc2−a2 )2=(4 a√( x+c )2+ y2 )2
Desarrollamos la operación
x2 c2−2a2 xc+a4=a2 x2−2a2 xc+a2 c2+a2 y2
Simplificando
x2 c2+a4=a2 x2+a2c2+a2 y2
Reorganizando
x2 c2−a2 x2−a2 y2=a2 c2−a4
Factorizando
x2(c¿¿2−a2)−a2 y2=a2(c2−a2)¿
Dividimos toda la expresión por a2(c2−a2)
x2(c¿¿2−a2)a2 (c2−a2 )
− a2 y2
a2 (c2−a2)=a2 (c2−a2 )a2 (c2−a2 )
¿
Simplificando obtenemos
x2
a2− y2
(c2−a2 )=1
Como ya sabemos c2−a2=b2
Reemplazamos en nuestra formula
x2
a2− y2
b2=1
Ejercicio 5
Desarrollado por: DANY VALENCIA
Enunciado:
Demostrar que la ecuación
x2+ y2+6 x−2 y+6=0 Es una circunferencia.
Determinar:
a. Centro
b. Radio Solución
Lo haremos utilizando las formulas
x2+ y2+6 x−2 y+6=0
x2+ y2+Dx+Ey+F=0
Formulas centro:
h=−D2
h=−62
=−3
k=−E2
K=−(−2 )2
=22=1
centro=(−3,1 )
Formulas Radio:
√ D2+E2−4 F2
√ 62+ (−22 )−4 (0 )2
√ 12+4−02
√ 162√8=2.82radio=2.82
Ejercicio 6
Desarrollado por: DANY VALENCIA
Enunciado:
De la siguiente parábola y=2x2+4 x−6. Determine:
a. Vértice = (h , k )=(−1 ,−72)
b. Foco = (h , p )=(−1 , 18) abre hacia el eje (y)
c. Directriz =(k , p )=(−72,18)
y=2x2+4 x –6
y+6=2 x2+4 x
2 (x2+4 x+1 )= y+6+1
(x+1)2= y+72
(x+1)2=12y+ 72
h=−1
k=−72
4 p=12
p=18
Ejercicio 7
Desarrollado por: FREDY GEOVANNI CORTES
Enunciado:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3), y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2). Escribir la ecuación de la recta de forma general.
Primero hallamos la pendiente,
m=y2− y1x2−x1
= 2−1−2−4
m=−16
Ecuación Canónica
y=mx+b , reemplazando−3=−162+b
Despejamos para hallar b
−3+ 13=b
Operando,b=−83
Ecuación canónica,
y=−16x−83
Ecuación general
y−16x−83=0
Lo que es igual,
y−0,17 x−2,67=0
Ejercicio 8
Desarrollado por: DANY VALENCIA
Enunciado:
Calcular las siguientes sumatorias.
∑K=1
5
(−1 ) K−1 (2K−1 ) 2
∑K=1
5
(−1 ) 6 (7 )2
∑K=1
5
(1 ) (49 )
49
∑K=1
4 (−2 ) K+1
K
A.
∑K=1
4 (−2 )5
4
−83
Ejercicio 9
Desarrollado por: FREDY GEOVANNI CORTES
B.
Enunciado:
Calcular las siguientes productorias.
A.
∏i=−2
4
2 i+5
Desarrollo
∏i=−2
4
¿ (2.−2+5 )(2.−1+5) (2.0+5 ) (2.1+5 ) (2.2+5 ) (2.3+5 ) (2.4+5 )
Operando
∏i=−2
4
¿ (−4+5 )(−2+5)(0+5 ) (2+5 ) (4+5 ) (6+5 ) (8+5 )
Realizamos las sumas de los paréntesis
∏i=−2
4
¿ (1 )(3) (5 ) (7 ) (9 ) (11 ) (13 )
Multiplicamos para obtener el resultado
∏i=−2
4
¿135135
Comprobación en Geogebra
CONCLUSIÓN
Se aplicaron de forma satisfactoria los conocimientos adquiridos en temas como sumatorias, productorias y geometría analítica en la solución del taller propuesto.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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SWOKOSKI, Earl, Álgebra y Trigonometría, con Geometría Analítica. Grupo Editorial
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