TRABAJO FINAL
CARRERA DE ESPECIALIZACIÓN EN APLICACIONES TECNOLÓGICAS DE LA ENERGÍA NUCLEAR
CARACTERIZACIÓN DEL DAÑO PRODUCIDO SOBRE SUPERFICIES DE DISTINTOS MATERIALES
Ing. Héctor Damián Dellavale Clara
Directores: Dr. Nestor Fuentes - Dr. Eduardo A. Favret
Diciembre 2004
Comisión Nacional de Energía Atómica Universidad Nacional de Cuyo (Instituto Balseiro)
Universidad de Buenos Aires (Facultad de Ingeniería)
2
Abstract
In the present work the characterization techniques of surfaces ULOI and RIMAPS have been applied
on laboratory samples made from aluminium, stainless steel and material based on fiberglass. The
resultant surfaces of, chemical etching with corrosive agents Keller and Tucker, mechanic damage
from the wear and tear of abrasive paper and sandrubbing with alumina particles, are analized to
different level of damage.
The systematic application of the above mentioned techniques is carried out with the objetive of
finding information, which allows to characterize the superficial damage, both in its incipient state as
in the extreme situation revealed by the presence of etch pits.
Important results have been obtained, in the characterization of the incipient stage of the chemical
etching, using the curves of the normalized area. In addition, it was possible to verify the capacity of
the techniques in the early detection of the preferential directions generated by the etch pits.
3
Resumen
En el presente trabajo se aplican las técnicas de caracterización de superficies ULOI y RIMAPS, sobre
muestras de aluminio, acero inoxidable y material compuesto a base de fibra de vidrio. Las superficies
resultantes de, ataque con los agentes corrosivos Keller y Tucker, desbaste mecánico con papel
abrasivo y arenado mediante partículas de alúmina, son analizadas para distintos niveles de daño.
Se realiza la aplicación sistemática de las técnicas mencionadas con el objetivo de encontrar
información que permita caracterizar el daño superficial, tanto en su estado incipiente, como la
situación extrema revelada por la presencia de figuras de corrosión.
Importantes resultados han sido obtenidos, en la caracterización de la etapa incipiente del ataque
químico, utilizando las curvas del área normalizada. Además pudo verificarse la capacidad de las
técnicas, en la detección temprana de las direcciones preferenciales generadas por figuras de corrosión.
4
Indice:
- Abstract.
- Resumen.
- Indice.
1. Introducción ......................................................................................................................................... 6
2. Especificaciones experimentales correspondientes a la implementación de la Técnica ULOI........... 8
2.1 Sistema sensor de intensidad.......................................................................................................... 8
2.1 Determinación del ángulo de incidencia ....................................................................................... 9
2.2 Criterio aplicado en la determinación de los máximos de la curva de intensidad ...................... 10
3. Especificaciones experimentales correspondientes a la implementación de la Técnica RIMAPS .... 11
3.1 Especificaciones del sistema de adquisición de imágenes........................................................... 11
3.2 Criterio aplicado en la determinación de los máximos en las gráficas RIMAPS........................ 12
4. Descripción de las muestras y el proceso superficial implementado ............................................... 13
4.1 Daños mecánicos.......................................................................................................................... 13
4.1.1 Arenado sobre una superficie de aluminio con una sola dirección preferencial inicial ......... 13
4.1.2 Arenado sobre una superficie de aluminio con dos direcciones de desbaste inicial ................ 13
4.1.3 Arenado sobre una superficie de acero inoxidable con dos direcciones de desbaste inicial ... 14
4.1.4 Arenado sobre una superficie de material compuesto a base de fibra de vidrio...................... 15
4.1.5 Desbastes mecánicos con papel abrasivo sobre una superficie de aluminio ........................... 15
4.2 Ataques químicos.......................................................................................................................... 17
4.2.1 Ataque químico con compuesto Keller sobre una superficie de aluminio ................................ 17
4.2.2 Ataque químico con compuesto Tucker sobre una superficie de aluminio ............................... 17
5. Análisis de los resultados ................................................................................................................... 18
5.1 Resultados de los daños mecánicos ............................................................................................. 18
5.1.1 Resultados de la técnica ULOI para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.1 ............... 18
5.1.2 Resultados de la técnica RIMAPS para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.2 .......... 19
5.1.3 Resultados de la técnica ULOI para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.3 .............. 20
5.1.4 Resultados de la técnica RIMAPS para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.3 ......... 22
5.1.5 Resultados de la técnica ULOI para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.4 .............. 24
5.1.6 Resultados de la técnica RIMAPS para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.4 ......... 26
5.1.7 Resultados de la técnica ULOI para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.5 .............. 27
5.1.8 Resultados de la técnica RIMAPS para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.5 ......... 28
5.2 Resultados de los ataques químicos ............................................................................................. 29
5.2.1 Resultados de la técnica ULOI para las condiciones especificadas en el ítem 4.2.1 ............... 29
5.2.2 Resultados de la técnica RIMAPS para las condiciones especificadas en el ítem 4.2.1 .......... 41
5.2.3 Resultados de la técnica ULOI para las condiciones especificadas en el ítem 4.2.2 ............... 43
5
6. Proyección de los resultados obtenidos en la caracterización del daño químico ............................. 49
7. Conclusiones generales...................................................................................................................... 51
8. Referencias ......................................................................................................................................... 52
10. Agradecimientos............................................................................................................................... 53
- Apéndice 1: “Conceptos relacionados con la técnica ULOI”.
- Apéndice 2: “Conceptos relacionados con la técnica RIMAPS”.
6
1. Introducción
La cantidad de estructuras y objetos industriales y de la vida diaria, construidos empleando metales
como aluminio, aceros, cobre, cinc, titanio, etc, es realmente amplia. A estos se agrega la incidencia
cada vez mayor de los plásticos reforzados, polímeros, compuestos a base de fibra de vidrio y fibra de
carbono.
Todos estos materiales pueden presentar:
- Distintas terminaciones de la superficie que incluyen rugosidades y deformaciones
superficiales.
- Tensiones mecánicas.
y estar inmersos en ambientes con distintas condiciones de:
- Temperatura.
- Humedad.
- Concentración de O2.
- PH.
- Grado de salinidad (ambiente marino).
- Solventes y otros agentes corrosivos producidos artificialmente.
- Radiación ionizante, en el caso de todas aquellas piezas y estructuras sometidas a un entorno
nuclear o espacial.
El resultado de la interacción del material con su entorno, frecuentemente ocasiona el deterioro del
mismo, provocando en un determinado período de tiempo la alteración de sus propiedades físicas y
mecánicas. Aunque mucho antes de llegar a ese estado de deterioro, ocurre una variación en las
características superficiales del material.
Los mecanismos responsables de tal deterioro son distintos según se trate de metales, polímeros o
cerámicos, pero en todo caso provocan modificaciones en el patrón superficial, cuyas características
dependerán también del agente ambiental que haya actuado y su correspondiente evolución temporal.
Por otra parte, las naciones mas industrializadas gastan un considerable porcentaje de su producto
bruto en la prevención, mantenimiento o reemplazo de estructuras expuestas a diversos ambientes.
Todo esto constituye un gran estímulo para el estudio de procedimientos que permitan identificar las
alteraciones de los patrones superficiales en los materiales, provocadas por los distintos agentes, como
una forma de detección incipiente del daño que ocurrirá sobre el material, si continúa expuesto bajo
esas condiciones.
7
En el desarrollo de este trabajo se analiza el daño producido en forma controlada sobre distintos
materiales, aplicando dos técnicas de caracterización de superficies:
- ULOI (Unidirectional Laser Oblique Illumination) [1 – 4].
- RIMAPS (Rotated Image with Maximum Average Power Spectrum) [5 – 8].
Las experiencias realizadas incluyen dos tipos de daño:
- Daño mecánico: Implementado mediante arenado de las superficies de aluminio, acero
inoxidable y material compuesto de fibra de vidrio, con partículas de alúmina (Al2O3) de
diámetro medio 120µm. Se incluye además el desbaste mecánico, con papel abrasivo de
distintas granulometrías, sobre una probeta de aluminio.
- Ataque químico: Implementado mediante la exposición, de una probeta de aluminio, a los
compuestos Keller y Tucker. Además se analiza el daño extremo ocasionado por el compuesto
Tucker, lo que permite observar claramente las figuras de corrosión para la orientación
cristalina del grano estudiado.
2. Especificaciones experimentales correspondientes a la implementación de la Técnica ULOI
En la determinación de las curvas de intensidad de la técnica ULOI (Apéndice 1), la fuente propia de
iluminación del microscopio (lámpara halógena de 9V) se sustituye por el haz LASER con incidencia
oblicua, para el registro del patrón de difracción.
2.1 Sistema sensor de intensidad
Esquema circuital:
Interruptor con iluminación
Conexión directa al Voltímetro
Placa experimental
TIL78
470K
+9Vdc
470µF 50V
0,1µF
7809
12Vdc 500mA
Cable 2 x 0,8mm
Con la polarización del fototransistor TIL78, determinada por la alimentación de +9Vcc y la
resistencia de emisor Re = 470KΩ, se obtiene una transferencia lineal del sistema sensor, para el rango
de intensidades de luz captadas en las mediciones.
Esquema físico: Fototransistor (TIL78)
Placa experimental
Zona de componentes
Tubo de adaptación
Goma Opaca para aislamiento de luz exterior
Tubo soporte del ocular (Microscopio)
En el Apéndice 1 se presentan imágenes de este dispositivo.
La cadena de medición está compuesta por: Cañón LASER (He-Ne sin polarización, potencia
máxima = 30mW a λ = 632,8 nm.) incluyendo el sistema soporte de posicionamiento, superficie de la
muestra que actúa como sistema de difracción, objetivo (16x, epi) y sistema óptico del microscopio,
sistema sensor de intensidad y por último el voltímetro digital. La lectura obtenida es
[ ] )()( ϕϕ ImVV ∝=
8
En las experiencias realizadas se considera que el error en la medición de esta magnitud queda
determinado en forma predominante por el voltímetro digital. Se utilizaron dos escalas, que involucran
los siguientes errores:
Rango Resolución Error
20V 10mV ±0,5% of rdg ±2D
= 0,005*20000mV+20mV=120mV
2V 1mV ±0,5% of rdg ±2D
=0,005*2000mV+2mV=12mV
2.1 Determinación del ángulo de incidencia
El ángulo de incidencia α del haz LASER respecto de la superficie de la muestra se obtuvo midiendo
las longitudes “a” y “b” indicadas en la Fig. A1 del Apéndice 1.
Entonces se calculó:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=a2b
arctgα
La influencia del ángulo α sobre las curvas de intensidad se puede ver en la Fig. 1, en la que se
muestran las curvas )(ϕV para tres ángulos de incidencia del haz LASER sobre la misma superficie de
aluminio. Esta superficie presenta una dirección preferencial evidenciada por dos picos ubicados con
una diferencia angular de 0180=∆ϕ
9
0 45 90 135 180 225 270 315
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Fig. 1 - Curvas de intensidad, obtenidas para la misma superficiey tres ángulos de incidencia del haz LASER.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.
α3 = 10,19º (Vmax = 1560mV) α1 = 7,16º (Vmax = 770mV) α2 = 9,3º (Vmax = 1250mV)
V(ϕ)
[mV]
ϕ [grados]
donde:
01 16,7
81,5cm2
20,5cm
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= arctgα ; 02 3,9
81,5cm2
26,7cm
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= arctgα ; 03 19,10
81,5cm2
29,3cm
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= arctgα
En la figura se observa que una disminución de α produce:
- Una reducción en la amplitud de los picos.
- Una reducción en el ancho de la base de los picos.
- Una pequeña disminución de la línea de base u offset de ordenada.
- No se detectan modificaciones significativas en la ubicación de los máximos.
Esto señala la importancia de mantener el ángulo de incidencia α lo más constante posible en todas
las mediciones a realizar, para evitar introducir modificaciones indeseadas en las curvas de intensidad.
A menos que se indique lo contrario, el ángulo utilizado corresponde a . 02 3,9=α
2.2 Criterio aplicado en la determinación de los máximos de la curva de intensidad
Para un pico dado, se adopta como posición angular de su máximo Mϕ , a aquella que corresponde al
máximo valor de tensión perteneciente al pico que se analiza. Luego se toma como error en la posición
angular del máximo, al intervalo angular que abarca exactamente a todos los puntos que no posean
diferencia significativa de tensión, con el máximo identificado previamente.
ϕϕϕ ′−=∆ MM
Donde ⎪⎩
⎪⎨
⎧→′→
tensión.de valor máximo elcon iva,significat diferencia posea no que alejado mas punto delangular Posición
tensión.de valor máximo delangular Posición ϕϕM
10
Se recuerda que dos valores de ordenada no poseen diferencia significativa, cuando sus intervalos de
error en ordenada se solapan.
En todo caso se adopta como error angular mínimo al valor del paso angular utilizado en la medición.
A menos que se indique lo contrario, el paso angular entre mediciones sucesivas para conformar las
curvas de intensidad es de 5º.
3. Especificaciones experimentales correspondientes a la implementación de la Técnica RIMAPS
Esta técnica se aplica sobre la imagen digital de la superficie de interés, y combina la Rotación de la
imagen con la Transformada de Fourier en dos dimensiones. Su implementación consiste en obtener el
MAPS (Maximum Average Power Spectrum) de la imagen, para cada ángulo de rotación de la misma
entre 0º y 180º, tomando en general incrementos de 1º. Se obtienen así 181 valores de )(αM .
Se puede considerar que la gráfica RIMAPS para resulta simétrica a la ordenada ubicada
en .
03600 <≤ α0180=α
3.1 Especificaciones del sistema de adquisición de imágenes
El sistema de adquisición comprende una cámara CCD montada, a través de una óptica de adaptación
a un microscopio de reflexión para observaciones metalográficas. Las especificaciones son:
Microscopio Olympus BX60M.
Objetivos: 5x, 10x, 20x, 50x, 100x.
Ocular: 10x.
Cámara: 1/3” Color CCD, Sistema PAL.
En la adquisición de todas las imágenes se establecieron los mismos ajustes para el tipo (BF) y nivel de
iluminación. Dado que se utilizaron distintos objetivos, a los que se debe agregar la influencia del
sistema óptico de adaptación de la cámara CCD, se especifica para cada imagen el objetivo utilizado y
se incluye en las mismas la escala correspondiente.
A menos que se indique lo contrario, el tamaño de las imágenes utilizadas en la aplicación de la
técnica RIMAPS corresponde a: 567 x 743 pixels.
11
En la siguiente imagen se puede apreciar el sistema de adquisición utilizado:
La pantalla de TV es utilizada para la exploración rápida de la superficie. Luego, se ajusta
definitivamente el foco en el monitor de la PC para realizar la adquisición.
Todas las gráficas RIMAPS presentadas, se encuentran normalizadas respecto del máximo valor
obtenido para cada imagen.
3.2 Criterio aplicado en la determinación de los máximos en las gráficas RIMAPS
Para un pico dado, se adopta como posición angular de su máximo Mϕ , a aquella que corresponde al
máximo valor de ordenada perteneciente al pico que se está analizando. Luego se toma como error en
la posición, al intervalo angular que abarca exactamente desde el máximo hasta el punto que pertenece
al pico en cuestión, y que posee un valor de ordenada inmediato inferior, al máximo identificado
previamente.
ϕϕϕ ′−=∆ MM
Donde ⎪⎩
⎪⎨
⎧→′→
.analizando está se que pico al pertenezca que máximo, alinferior inmediato ordenada de valor delangular Posición
ordenada. de valor máximo delangular Posición ϕϕM
En todo caso se adopta como error angular mínimo al valor del paso angular utilizado en el cálculo. A
menos que se indique lo contrario, el paso angular entre valores sucesivos para conformar las gráficas
RIMAPS es de 1º.
12
4. Descripción de las muestras y el proceso superficial implementado
4.1 Daños mecánicos
4.1.1 Arenado sobre una superficie de aluminio con una sola dirección preferencial inicial
Para este ensayo se utilizó una probeta de aluminio cuya superficie inicial corresponde a una
terminación comercial.
Dimensiones de la probeta: 60mm x 40mm x 0,8mm.
La superficie inicial se muestra en las siguientes imágenes:
Sup
Sup
Se s
el de
desd
resp
Con
te= 2
4.1.2
En e
Prim
en d
Dim
Microscopio óptico, Objetivo: 10x erficie: Aluminio (terminación comercial)
Imagen 1
ometió la probeta a un arenado con partículas de alúmina
sarrollo de la experiencia se colocó la superficie de la pro
e la boca de salida del flujo de aire que arrastra las partícu
ecto al eje del flujo. La presión utilizada fue de 2Kg/cm2.
estas condiciones se analizaron los siguientes tiempos de
, 5, 15 seg.
Arenado sobre una superficie de aluminio con dos dire
ste caso se utilizó la superficie de aluminio con una termi
er pulido unidireccional con papel abrasivo ANSI 1500. L
os direcciones ortogonales, con papel abrasivo ANSI 600.
ensiones de la probeta: 60mm x 40mm x 0,8mm.
13
Microscopio electrónico de barrido Ancho: 117µm, Alto: 91µm
erficie: Aluminio (terminación comercial)Imagen 2
(Al2O3) de diámetro medio 120µm. Para
beta a una distancia de 11cm medida
las, con un ángulo de incidencia de 90º
exposición al flujo de partículas:
cciones de desbaste inicial
nación inicial definida por:
uego se practicó un desbaste mecánico
En la siguiente imagen se muestra la superficie resultante.
(d
Posteriormente se sometió la probet
medio 120µm. Para el desarrollo de
de 11cm medida desde la boca de sa
incidencia de 90º respecto al eje del
Con estas condiciones se analizó un
4.1.3 Arenado sobre una superficie
Para esta experiencia se utilizó una
inicial definida por:
Primer pulido unidireccional con pa
en dos direcciones ortogonales, con
Las dimensiones de la probeta son:
En la siguiente imagen se muestra la
(d
Microscopio óptico, Objetivo: 10x Superficie: Aluminio
esbaste ANSI 600 en dos direcciones)Imagen 3
a a un arenado con partículas de alúmina (Al2O3) de diámetro
la experiencia se colocó la superficie de la probeta a una distancia
lida del flujo de aire que arrastra las partículas, con un ángulo de
flujo. La presión utilizada fue de 2Kg/cm2.
tiempo de exposición al flujo de partículas de te = 2 seg.
de acero inoxidable con dos direcciones de desbaste inicial
superficie de acero inoxidable tipo 18 – 8, con una terminación
pel abrasivo ANSI 1500. Luego se practicó un desbaste mecánico
papel abrasivo ANSI 600.
60mm x 40mm x 1mm.
superficie resultante.
Microscopio óptico, Objetivo: 10x Superficie: Acero inoxidable 18 – 8 esbaste ANSI 600 en dos direcciones)
Imagen 4
14
Posteriormente se sometió la probeta a un arenado con partículas de alúmina (Al2O3) de diámetro
medio 120µm. Para el desarrollo de la experiencia se colocó la superficie de la probeta a una distancia
de 11cm medida desde la boca de salida del flujo de aire que arrastra las partículas, con un ángulo de
incidencia de 90º respecto al eje del flujo. La presión utilizada fue de 2Kg/cm2.
Con estas condiciones se analizaron los siguientes tiempos de exposición al flujo de partículas:
te= 2, 5, 10 seg.
4.1.4 Arenado sobre una superficie de material compuesto a base de fibra de vidrio
Para este ensayo se utilizó una probeta de material compuesto de fibra de vidrio y matriz epoxy,
recubierta por una película de teflón.
Dimensiones de la probeta: 60mm x 60mm x 5mm.
Posteriormente se sometió la superficie a un arenado con partículas de alúmina (Al2O3) de diámetro
medio 120µm. Para el desarrollo de la experiencia se colocó la superficie de la probeta a una distancia
de 11cm medida desde la boca de salida del flujo de aire que arrastra las partículas, con un ángulo de
incidencia de 30º respecto al eje del flujo. La presión utilizada fue de 2Kg/cm2.
Con estas condiciones se analizaron los siguientes tiempos de exposición al flujo de partículas:
te= 2, 5, 10, 15 seg.
4.1.5 Desbastes mecánicos con papel abrasivo sobre una superficie de aluminio
En el desarrollo de esta experiencia se analizan cuatro terminaciones superficiales diferentes, sobre la
probeta de aluminio que se muestra en la siguiente imagen.
Dimensiones: 27mm x 16mm x 2mm.
Imagen 5
15
Las terminaciones superficiales corresponden a los desbastes mecánicos con papel abrasivo ANSI 400,
600, 1000 y 1500.
La granulometría de los papeles abrasivos se muestra en la siguiente tabla:
Código ANSI Tamaño de las partículas [µm]
400 25
600 15
1000 6
1500 2
En todos los casos el desbaste se realizó en forma unidireccional y, con similar presión perpendicular a
la superficie de la probeta.
Todas las aplicaciones de las técnicas ULOI y RIMAPS se realizaron en la zona central del grano
cristalino que puede identificarse por la marca de referencia visible en la Imagen 5.
Las imágenes obtenidas de las superficies de aluminio desbastadas con los papeles abrasivos ANSI
600 y 1500 se muestran a continuación:
Microscopio óptico, Objetivo: 10x
Superficie: Aluminio (desbaste ANSI 600 en una dirección)
Imagen 6
Microscopio óptico, Objetivo: 10x Superficie: Aluminio
(desbaste ANSI 1500 en una dirección) Imagen 7
16
17
4.2 Ataques químicos
4.2.1 Ataque químico con compuesto Keller sobre una superficie de aluminio
En esta experiencia se analiza el daño ocasionado por el compuesto químico Keller, sobre la probeta
de aluminio que se muestra en la Imagen 5.
Las técnicas ULOI y RIMAPS también se aplicaron en la zona central del grano cristalino
identificadas por la marca de referencia visible en la imagen.
La composición química del compuesto utilizado como agente corrosivo se indica en la siguiente tabla:
Compuesto H2O HNO3 HCl HF Total
Keller 25ml 12,5ml 7,5ml 2,5ml 47,5ml
La condición superficial inicial de la probeta, tomada como referencia, corresponde a:
Primer desbaste unidireccional con papel abrasivo ANSI 1000 y posterior desbaste mecánico
unidireccional con papel abrasivo ANSI 1500, en dirección ortogonal al primero.
A partir de esta condición superficial de la probeta se analizaron los siguientes tiempos de exposición
al agente corrosivo Keller:
Primera medición:
te= 5, 14, 20, 26, 36, 40, 50, 65, 85, 105, 125, 155, 195, 255, 495, 1695, 1995, 2295, 2595, 3195, 3495,
4095 seg.
Segunda medición:
te= 3, 8, 15, 25, 40, 50, 70, 90, 110, 150, 200, seg.
En cada uno de estos intervalos se obtuvo la curva de intensidad con la técnica ULOI, realizándose
además la adquisición de la imagen en la zona estudiada de la superficie, para la aplicación de la
técnica RIMAPS.
4.2.2 Ataque químico con compuesto Tucker sobre una superficie de aluminio
En este caso se analiza el daño ocasionado por el compuesto químico Tucker, sobre la probeta de
aluminio que se muestra en la Imagen 5.
Las técnicas ULOI y RIMAPS también se aplicaron en la zona central del grano cristalino
identificadas por la marca de referencia visible en la imagen.
18
La composición química del compuesto utilizado como agente corrosivo se indica en la siguiente tabla:
Compuesto H2O HNO3 HCl HF Total
Tucker 12,5ml 7,5ml 22,5ml 7,5ml 50ml
En este caso se utilizaron dos terminaciones superficiales iniciales de la probeta. La primera,
corresponde a un pulido electrolítico, para el cual solo se analiza la condición de daño extremo
ocasionado por el compuesto Tucker.
La segunda condición superficial inicial de la probeta, corresponde a:
Primer desbaste unidireccional con papel abrasivo ANSI 1000 y posterior desbaste mecánico
unidireccional con papel abrasivo ANSI 1500, en dirección ortogonal al primero.
A partir de esta condición superficial de la probeta se analizaron los siguientes tiempos de exposición
al agente corrosivo Tucker:
te= 2, 5, 10, 15, 28, 50, 150, 210, 600 seg.
En cada uno de estos intervalos se obtuvo la curva de intensidad con la técnica ULOI, realizándose
además la adquisición de la imagen en la zona estudiada de la superficie, para la aplicación de la
técnica RIMAPS.
5. Análisis de los resultados
En general, para el análisis de las mediciones obtenidas, se debe tener en cuenta que tanto en las curvas
de intensidad de la técnica ULOI como en las gráficas RIMAPS, la información relevante se encuentra
en la posición angular relativa entre los máximos.
5.1 Resultados de los daños mecánicos
5.1.1 Resultados de la técnica ULOI para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.1
En la Fig. 2 se muestran las curvas de intensidad obtenidas aplicando la técnica ULOI.
La curva correspondiente a la superficie de referencia, muestra los dos picos característicos de la
dirección preferencial dada por la terminación de la superficie (Imagen 1).
0 45 90 135 180 225 270 3150
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Fig. 2 - Curvas de intensidad, obtenidas para distintos tiemposde arenado de la superficie de aluminio.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.
Superficie de referencia (te = 0 seg.) Superficie arenada (te = 2 seg.) Superficie arenada (te = 5 seg.) Superficie arenada (te = 15 seg.)
V(ϕ)
[mV]
ϕ [grados]
Para tiempos crecientes de exposición al arenado se observa, además de un incremento del offset de
ordenada, un enmascaramiento de la direcciones preferenciales iniciales, debido al patrón superficial
aleatorio generado por el impacto de las partículas de alúmina.
5.1.2 Resultados de la técnica RIMAPS para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.2
En la Fig. 3 se muestran las gráficas RIMAPS para la superficie de referencia, obtenida a partir de la
Imagen 3, y la correspondiente a un tiempo de arenado de 2 seg. (Imagen 8).
Microscopio óptico, Objetivo: 10x Superficie: Aluminio
(desbaste ANSI 600 en dos direcciones) Tiempo de arenado: 2 seg.
Imagen 8
19
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 1800,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0Pico 3
Pico 2Pico 1
Fig. 3 - Gráficas RIMAPS obtenidas para la superficiede aluminio con arenado.
Superficie de referencia (te = 0 seg.) Superficie arenada (te = 2 seg.)
Ampl
itud
norm
aliz
ada
Rotación [grados]
Se aprecian los tres picos generados por las dos direcciones ortogonales de las líneas de desbaste
presentes en la superficie de la probeta.
En la siguiente tabla se compara la ubicación de los máximos para los dos casos de la Fig. 3:
Posición angular.
(te = 0 seg.)
Posición angular.
(te = 2 seg.)
Pico 1 01 11±=Mϕ 0
1 10 ±=Mϕ
Pico 2 02 192 ±=Mϕ 0
2 390 ±=Mϕ
Pico 3 03 1179 ±=Mϕ 0
3 2179 ±=Mϕ
Respecto de las direcciones preferenciales de la superficie, no se observan diferencias significativas
en la posición angular de los máximos.
Por otro lado, el daño mecánico aplicado produce un aumento en el ancho de la base de los picos
originales, correspondientes a las dos direcciones presentes en la superficie inicial.
Es importante resaltar que aún existiendo un patrón superficial inicial, la gráfica RIMAPS permite
detectar la baja densidad de impactos producidos en la superficie de aluminio, por el pequeño tiempo
de exposición al arenado.
5.1.3 Resultados de la técnica ULOI para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.3
En la Fig. 4 se muestra la curva de intensidad, correspondiente a la superficie inicial de la probeta de
acero inoxidable. Es posible apreciar los cuatro picos producidos por las dos direcciones ortogonales,
definidas por las líneas de desbaste practicadas con papel abrasivo ANSI 600.
20
0 45 90 135 180 225 270 3150
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Pico 4
Pico 3
Pico 2
Pico 1
Fig. 4 - Curva de intensidad, obtenidas para la superficie inicialde acero inoxidable.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.
V(ϕ)
[mV]
ϕ [grados]
Solo con el objeto de ilustrar la información proporcionada por la curva de intensidad, a continuación
se determina la posición de los máximos y se calculan sus posiciones angulares relativas sin tener en
cuenta los errores angulares involucrados. De la Fig. 4 se obtiene:
Posición angular.
Pico 1 01 50=Mϕ
Pico 2 02 145=Mϕ
Pico 3 03 230=Mϕ
Pico 4 04 330=Mϕ
Ahora se calculan las posiciones relativas entre los máximos:
mecánico. desbaste de líneas las de dirección, otra la a ientescorrespond
picos, dos los de relativaangular Posición 185
mecánico. desbaste de líneas las de dirección, una a ientescorrespond
picos, dos los de relativaangular Posición 180
024
013
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−
MM
MM
ϕϕ
ϕϕ
desbaste. de sdireccione dos las
entre relativaangular Posición 100
desbaste. de sdireccione dos lasentre relativaangular Posición
95
034
012
⎩⎨⎧
=−
⎩⎨⎧
=−
MM
MM
ϕϕ
ϕϕ
21
En la Fig. 5 se muestran las curvas de intensidad para los tres tiempos de exposición al arenado, en
contraste con la curva que corresponde a la superficie de referencia.
0 45 90 135 180 225 270 3150
250
500
750
1000
1250
1500
1750
2000
2250
2500
2750
Fig. 5 - Curvas de intensidad, obtenidas para distintos tiemposde arenado de la superficie de acero inoxidable.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.
Superficie de referencia (te = 0 seg.) Superficie atacada (te = 2 seg.) Superficie atacada (te = 5 seg.) Superficie atacada (te = 10 seg.)
V(ϕ)
[mV
]
ϕ [grados]
Nuevamente se obtiene que para tiempos crecientes de exposición al arenado se produce, además de un
incremento del offset de ordenada, un enmascaramiento de las direcciones preferenciales iniciales,
debido al patrón superficial aleatorio generado por el impacto de las partículas de alúmina.
5.1.4 Resultados de la técnica RIMAPS para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.3
En la Fig. 6 se muestra la gráfica RIMAPS, correspondiente a la superficie inicial de la probeta de
acero inoxidable (Imagen 4). Es posible apreciar los tres picos producidos por las dos direcciones
ortogonales, definidas por las líneas de desbaste practicadas con papel abrasivo ANSI 600.
22
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 1800.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fig. 6 - Gráfica RIMAPS de la superficie inicial de acero inoxidable.
Pico 3
Pico 2
Pico 1
Am
plitu
d N
orm
aliz
ada
Rotación [grados]
A continuación se determina la posición de los máximos y se calculan sus posiciones angulares
relativas.
De la Fig. 6 se obtiene:
Posición angular.
Pico 1 01 14 ±=Mϕ
Pico 2 02 494 ±=Mϕ
Pico 3 03 2180 ±=Mϕ
A continuación se calculan las posiciones relativas entre los máximos:
⎩⎨⎧
±=−
⎩⎨⎧
±=−
⎪⎩
⎪⎨
⎧±=−
desbaste. de sdireccione dos lasentre relativaangular Posición
47,486
desbaste. de sdireccione dos las
entre relativaangular Posición 12,490
mecánico. desbaste de líneas las de dirección, una a ientescorrespond
picos, dos los de relativaangular Posición 12,4176
023
012
013
MM
MM
MM
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
Para la propagación del error en la posición angular, se aplicó la fórmula de propagación de errores,
considerando una variación Gaussiana de los picos [10].
En la Fig. 7 se muestran las curvas de intensidad para un tiempo de exposición al arenado de te = 2
seg., en contraste con la curva que corresponde a la superficie de referencia.
23
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 1800.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fig. 7 - Gráfica RIMAPS de la superficie inicial de acero inoxidable y,la correspondiente a un arenado de 2 seg.
Pico 3
Pico 2
Pico 1
Imagen de la superficie de referencia (te = 0 seg.) Imagen de la superficie arenada (te = 2 seg.)
Ampl
itud
Nor
mal
izad
a
Rotación [grados]
Respecto de las direcciones preferenciales de la superficie, podemos decir que no se observa una
modificación significativa en la posición de los máximos.
Pero por otro lado, el daño mecánico aplicado produce un aumento en el ancho de la base de los picos
originales, correspondientes a las dos direcciones presentes en la superficie inicial de la probeta.
Nuevamente, existiendo un patrón superficial inicial, la gráfica RIMAPS permite detectar la baja
densidad de impactos producidos en la superficie de acero inoxidable, por el pequeño tiempo de
exposición al arenado. Se debe notar que en este caso se trata de una superficie de dureza
considerablemente mayor a la del aluminio.
5.1.5 Resultados de la técnica ULOI para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.4
En la Fig. 8 se observa que para la superficie inicial de la probeta de material compuesto, las curvas de
intensidad no detectan direcciones preferenciales.
Luego, la exposición al arenado produce la aparición de picos generados por daño de los impactos
distribuidos en forma aleatoria.
24
0 45 90 135 180 225 270 3150
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
Fig. 8 - Curvas de intensidad, obtenidas para distintos tiemposde arenado de la superficie de material compuesto.Rango = 2V, Error ∆V = 12mV.
Superficie de referencia (te = 0 seg.) Superficie atacada (te = 2 seg.) Superficie atacada (te = 5 seg.) Superficie atacada (te = 10 seg.) Superficie atacada (te = 15 seg.)
V(ϕ)
[mV
]
ϕ [grados]
No es posible detectar alguna dirección preferencial para ϕ = 90º, eventualmente establecida por la
incidencia rasante (30º) fijada para el flujo de partículas en este caso.
Con el objetivo de caracterizar los cambios en las curvas de intensidad, se procede a integrarlos en una
sola gráfica, calculando el área bajo cada curva y graficándola en el tiempo. En la Fig. 9 se muestra la
evolución del área normalizada para los distintos tiempos de exposición al arenado.
0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.50.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Fig. 9 - Evolución del área normalizada de las curvas de intensidad,para el material compuesto arenado.
Area
nor
mal
izad
a
Tiempo [segundos]
25
5.1.6 Resultados de la técnica RIMAPS para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.4
Las imágenes obtenidas para el caso del material compuesto son:
Microscopio óptico, Objetivo: 10x
Superficie: Material compuesto (Estado inicial)
Imagen 9
Microscopio óptico, Objetivo: 10x Superficie: Material compuesto
Tiempo de exposición al arenado: 2 seg. Imagen 10
En la Fig. 10 se muestran las gráficas RIMAPS para estas imágenes.
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 1800.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fig. 10 - Gráficas RIMAPS, obtenidas para la superficie inicial dematerial compuesto, y la correspondiente a un arenado de 2 seg.
Superficie de referencia (te = 0 seg.) Superficie arenada (te = 2 seg.)
Ampl
itud
norm
aliz
ada
Rotación [grados]
En la gráfica RIMAPS de la superficie inicial se detecta una dirección preferencial, manifestada por
los picos ubicados alrededor de 0º y 180º. Tal dirección puede apreciarse en la Imagen 9 como líneas
horizontales. El máximo ubicado alrededor de los 65º, indica la presencia de líneas que van desde la
esquina superior izquierda hacia la esquina inferior derecha de la Imagen 9.
26
Estas direcciones son producidas por plegamientos o deformaciones de la película de teflón, que
recubre a la probeta de material compuesto. Dado que la película de teflón resulta transparente a la luz
del haz LASER, ocurre que estas rugosidades lineales no son detectadas por las curvas de intensidad
de la técnica ULOI (Fig. 8).
En el caso de la superficie arenada, las direcciones mencionadas quedan enmascaradas, produciéndose
la aparición de nuevos picos que pueden atribuirse a direcciones generadas por la distribución aleatoria
de los impactos de partículas de alúmina.
5.1.7 Resultados de la técnica ULOI para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.5
En la Fig. 11 se muestran las curvas de intensidad obtenidas aplicando la técnica ULOI, para las
superficies descriptas. En estas mediciones se utilizó un paso angular de 10º.
Para todas las curvas de intensidad se utilizó la misma cadena de medición, lo que incluye el mismo
ángulo de incidencia del haz LASER.
0 45 90 135 180 225 270 3150
1500
3000
4500
6000
7500
9000
Fig. 11 - Curvas de intensidad de un desbaste unidireccional,para cuatro granulometrías diferentes.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.
ANSI 400 (Vmax = 8790mV) ANSI 600 (Vmax = 4900mV) ANSI 1000 (Vmax = 1790mV) ANSI 1500 (Vmax = 2050mV)
V(ϕ)
= [m
V]
ϕ = [grados]
Los dos picos presentes en cada curva de intensidad revelan la existencia de la dirección preferencial
en la superficie de la probeta. Estos máximos se producen cuando las líneas de desbaste mecánico se
ubican en forma perpendicular a la dirección de incidencia del haz LASER. Por lo tanto se tienen dos
máximos separados 180º, uno ubicado alrededor de 90º y otro alrededor de 270º.
27
Dado que la profundidad de la rugosidad generada por el desbaste mecánico, es directamente
proporcional al tamaño de las partículas del papel abrasivo utilizado [9]. Podemos concluir que un
aumento en la profundidad de la rugosidad superficial de la probeta de aluminio produce:
- Aumento en la amplitud de los picos.
- Aumento en el ancho de la base de los picos.
- Un pequeño aumento del offset de ordenada.
Es posible integrar las variaciones ocurridas en estos tres parámetros característicos de los picos,
graficando el área bajo cada curva de intensidad en función de la granulometría.
Esto se muestra en la Fig. 12, donde se puede notar que para importantes incrementos en la
profundidad de la rugosidad superficial, superiores a la generada por el papel abrasivo ANSI 1000, el
área normalizada bajo los picos aumenta en forma proporcional. En cambio, para pequeñas variaciones
en la profundidad de la rugosidad superficial, por debajo de la generada por el papel abrasivo ANSI
1000, el área normalizada no sufre grandes cambios.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 260.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0 ANSI_400
ANSI_1500
ANSI_1000
ANSI_600
Fig. 12 - Area normalizada bajo las curvas de intensidad, para cuatro valoresde profundidad de la rugosidad, dadas por el desbaste mecánicocon cuatro papeles abrasivos diferentes.
Area
nor
mal
izad
a
Granulometría [µm]
5.1.8 Resultados de la técnica RIMAPS para las condiciones especificadas en el ítem 4.1.5
En la Fig. 13 se muestra la gráfica RIMAPS de la imagen tomada a la superficie de aluminio, con el
desbaste mecánico unidireccional proporcionado por el papel abrasivo ANSI 1500 (Imagen 7).
28
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 1800.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fig 13 - Gráfica RIMAPS de la imagen de la superficie de aluminio,la condición superficial corresponde a un desbaste mecánico ANSI 1500.
Ampl
itud
norm
aliz
ada
Rotación [grados]
Se observa un máximo en 95 ± 2º, que corresponde a la alineación horizontal de la única dirección
establecida por el desbaste mecánico.
5.2 Resultados de los ataques químicos
5.2.1 Resultados de la técnica ULOI para las condiciones especificadas en el ítem 4.2.1
En la Fig. 14 se muestra la curva de intensidad obtenida para la superficie de referencia especificada.
0 45 90 135 180 225 270 3150
200
400
600
800
1000
1200
1400
∆ϕ = 175 + 14,14º
Pico 2Pico 1
Fig. 14 - Curva de intensidad, obtenida para la condicióninicial de la superficie de la probeta de aluminio.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.
V(ϕ)
[mV]
ϕ [grados]
29
Los máximos se ubican en:
Pico 1 en 011 1090 ±=∆± MM ϕϕ
Pico 2 en 022 10265 ±=∆± MM ϕϕ
La posición angular relativa de los picos es:
( ) ( ) ( ) 022
211212 14,14175±=∆+∆±−=∆ MMMM ϕϕϕϕϕ *
Esto indica claramente la existencia de una única dirección preferencial en la superficie dada por el
desbaste mecánico. Esta información es coincidente con lo observado en la gráfica RIMAPS de la
misma superficie (Fig. 13).
A continuación se analizan los resultados obtenidos al utilizar el compuesto Keller como agente
corrosivo sobre la probeta de aluminio.
En la Fig. 15 se muestran los efectos sobre las curvas de intensidad para los primeros segundos de
exposición de la probeta al compuesto Keller.
0 45 90 135 180 225 270 3150
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
Pico 2Pico 1
Fig. 15 - Curvas de intensidad, obtenidas para distintos tiempos de exposiciónde la superficie de aluminio, al compuesto Keller.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.
Superficie de referencia (te = 0 seg.) Superficie atacada (te = 5 seg.) Superficie atacada (te = 14 seg.) Superficie atacada (te = 26 seg.)
V(ϕ)
[mV]
ϕ [grados]
El análisis de las curvas de intensidad, como las mostradas en la Fig. 15, pero abarcando todo el rango
del tiempo de exposición “te” al agente corrosivo, ha permitido identificar tres etapas diferentes para la
evolución de dichas curvas. Estas etapas son:
* Para la propagación del error en la posición angular, se aplicó la fórmula de propagación de errores,
considerando una variación Gaussiana de los picos [10].
30
a. Daño superficial incipiente .1000 segte ≤<
En esta etapa se observó:
- Importante aumento en la amplitud de los picos.
- Significativo aumento en el ancho de la base de los picos.
- Marcado aumento en el offset de ordenada.
- No se detectó nuevas direcciones preferenciales en la superficie de la muestra.
Con el objetivo de caracterizar estos cambios, se procede a integrarlos en una sola gráfica, de forma
similar a lo planteado en los ítems 5.1.5 y 5.1.7. Entonces, se calcula el área bajo cada curva de
intensidad, luego se las normaliza respecto del máximo valor obtenido y finalmente se grafica el área
normalizada en función del tiempo. Un primer resultado se muestra en la Fig. 16.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1100.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fig. 16 - Evolución del área normalizada de las curvas de intensidaden la Etapa 1 (Keller).
Area
nor
mal
izad
a
Tiempo [segundos]
Al repetir las mediciones bajo las mismas condiciones, pero acotando con mas cuidado los ajustes de
la cadena de medición, como son el ángulo de incidencia y tiempo de estabilización del haz LASER,
se obtuvieron los resultados que se muestran en la Fig. 17.
31
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 1950.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fig. 17 - Evolución del área normalizada de las curvas de intensidaden la Etapa 1 (Keller).(nueva medición)
Area
nor
mal
izad
a
Tiempo [segundos]
Realizando el ajuste de la curva mediante un crecimiento exponencial de primer orden, dado por
( ) Tt
eAtAn−
⋅+= 1 se obtiene:
0 25 50 75 100 125 150 175 2000.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Ajuste de los valores de área normalizada,mediante un crecimiento exponencial de primer orden.(Keller)
Model: Evolución exponencial de primer orden.
A -0.77533 ±0.01849T 7.68767 ±0.42508
Area
nor
mal
izad
a
Tiempo [seg]
( ) 68767,777533,01t
etAn−
⋅−=
La curva de la Fig. 17 sintetiza las modificaciones que se producen en los picos de las curvas de
intensidad, a medida que aumenta el tiempo de exposición de la superficie al agente corrosivo. La
evolución observada, puede ser utilizada para caracterizar la cinética del daño superficial incipiente.
32
b. Picado generalizado en avance .490.100 segtseg e ≤<
En esta etapa se observó:
- Alteración en la forma y desplazamiento en la posición angular de los picos previamente
existentes.
- No se registró variaciones significativas en la amplitud de los picos previamente existentes.
- No se registró variaciones significativas en el offset de ordenada.
- No se detectó nuevas direcciones definidas, sino una modificación de las direcciones
preferenciales originales.
En la Fig. 18 muestra que, en esta etapa, la curva de área normalizada permanece prácticamente
constante.
105 140 175 210 245 280 315 350 385 420 455 4900.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fig. 18 - Evolución del área normalizada de las curvas de intensidaden la Etapa 2 (Keller).
Area
nor
mal
izad
a
Tiempo [segundos]
En esta etapa, el picado generalizado producido por el agente corrosivo, genera un enmascaramiento
de la dirección definida por el desbaste mecánico inicial. Al mismo tiempo se fue revelando
gradualmente un nuevo ordenamiento subyacente y en una dirección diferente a las líneas de desbaste.
Esta nueva dirección se define por la manifestación incipiente de figuras de corrosión, producto de la
acción del agente corrosivo sobre el grano analizado. El conjunto de tales figuras de corrosión
incipientes surgen con un ordenamiento que es propio de la orientación cristalina que presenta el
grano.
Estos sucesos son los responsables de las alteraciones ocurridas en los picos de las curvas de
intensidad.
33
En la Imagen 11 se puede observar el picado generalizado de la superficie para 195 segundos de
exposición al compuesto Keller:
Tiempo
En las Figs. 19 y 20 se muestran las c
partir del cual es posible detectar el s
la probeta.
0 450
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
FievR
V(ϕ)
[mV
]
Microscopio óptico, Objetivo: 50x
Superficie: Aluminio (desbaste inicial ANSI 1500)
de exposición al compuesto Keller: 195seg. Imagen 11
urvas de intensidad, correspondientes al tiempo de exposición a
urgimiento de la nueva dirección preferencial en la superficie de
90 135 180 225 270 315
Alteraciónesen la forma del pico
Pico 2Pico 1
g. 19 - Manifestación de la nueva dirección preferencial,idenciada por alteraciones en el Pico 2.
ango = 20V, Error ∆V = 120mV.
Superficie de referencia (te = 0 seg.) Superficie atacada (te = 195 seg.)
ϕ [grados]
34
0 45 90 135 180 225 270 3150
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
Alteracionesen la forma del pico
Desplazamiento del máximo
Fig. 20 - Manifestación de la nueva dirección preferencial,evidenciada por alteraciones en el Pico 1.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.
Superficie de referencia (te = 0 seg.) Superficie atacada (te = 255 seg.)
V(ϕ)
[mV]
ϕ [grados]
El tiempo de detección se encuentra alrededor de los 200 segundos de exposición al compuesto Keller.
c. Manifestación de las figuras de corrosión .4095.490 segtseg e ≤<
En esta etapa se observó:
- Marcado desplazamiento en la posición angular de los picos previamente existentes.
- Importante reducción en el ancho de los picos.
- Reducción en el offset de ordenada.
- No se registró variaciones significativas en la amplitud de los picos.
- Se produjo la aparición y desplazamiento en la posición angular de un nuevo máximo (Pico 3).
Las Figs. 21 y 22 muestran los sucesos mencionados.
35
0 45 90 135 180 225 270 3150
1000
2000
3000
4000
5000
Pico 2
Pico 3
Pico 1
Fig. 21 - Evolución de las curvas de intensidad en la Etapa 3.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.
Superficie atacada (te = 4095 seg.) Superficie atacada (te = 495 seg.) Superficie de referencia (te = 0 seg.)
V(ϕ)
[mV
]
ϕ [grados]
0 45 90 135 180 225 270 3150
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
Pico 2
Pico 1
Pico 3
Fig. 22 - Evolución de las curvas de intensidad en la Etapa 3.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.
Superficie atacada (te = 4095 seg.) Superficie atacada (te = 1695 seg.)
V(ϕ)
[mV]
ϕ [grados]
Para integrar estos cambios en una sola gráfica recurrimos nuevamente a graficar el área normalizada
en función del tiempo. La Fig. 23 muestra el resultado obtenido.
36
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fig. 23 - Evolución del área normalizada de las curvas de intensidaden la Etapa 3 (Keller).
Are
a no
rmal
izad
a
Tiempo [segundos]
En esta etapa como consecuencia del avance del daño producido por el agente corrosivo, además de
ocurrir la casi total eliminación de la dirección preferencial dada por el desbaste mecánico, se produce
una marcada manifestación de las figuras de corrosión.
Esto genera dos fenómenos:
- Se define clara y en forma predominante la nueva dirección preferencial establecida por el
ordenamiento del conjunto de figuras de corrosión.
- La geometría propia de las figuras de corrosión del grano, hace que se manifiesten nuevas
direcciones preferenciales.
El resultado son picos de pequeño ancho y gran amplitud generados por el ordenamiento del conjunto
de figuras de corrosión y, por otro lado, el surgimiento de nuevos picos producidos por la geometría
propia de las figuras de corrosión del grano.
Todo esto es coincidente con el decaimiento observado en la curva del área normalizada.
Para la obtención de las curvas de intensidad, en los distintos tiempos de exposición, la probeta de
aluminio se ubicó en la misma posición relativa respecto de la iluminación del haz LASER, por lo
tanto, es posible construir la Fig. 24 donde se muestra el desplazamiento de la posición angular de los
picos, en función del tiempo de exposición al agente corrosivo. A partir de los 1695 seg. se puede ver
la ubicación del nuevo máximo (Pico 3).
37
10 100 1000
45
90
135
180
225
270
315
360
Fig. 24 - Desplazamiento de la posición angular de los picosen función del tiempo de exposición.
Pico 1 Pico 2 Pico 3
Pos
ició
n an
gula
r [gr
ados
]
Tiempo [seg]
Las Figs. 25, 26 y 27 se puede ver el detalle del desplazamiento para cada pico en particular.
10 100 100050
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
Fig. 25 - Desplazamiento angular del Pico 1.
Posi
ción
ang
ular
[gra
dos]
Tiempo [segundos]
38
10 100 1000220
230
240
250
260
270
280
290
Fig. 26 - Desplazamiento angular del Pico 2.
Posi
ción
ang
ular
[gra
dos]
Tiempo [segundos]
1750 2000 2250 2500 2750 3000 3250 3500 3750 4000280
290
300
310
320
330
340
350
Fig. 27 - Desplazamiento angular del Pico 3.
Posi
ción
ang
ular
[gra
dos]
Tiempo [seg]
La tabla siguiente da la posición angular inicial y final de cada pico.
Posición angular inicial. Posición angular final.
Pico 1 0
_1 1090 ±=inicialMϕ
(para te = 0 seg.)
0_1 5,265±=finalMϕ
(para te = 4095 seg.)
Pico 2 0
_2 10265±=inicialMϕ
(para te = 0 seg.)
0_2 5240±=finalMϕ
(para te = 4095 seg.)
Pico 3 0
_3 20315±=inicialMϕ
(para te = 1695 seg.)
0_3 5,195,335 ±=finalMϕ
(para te = 4095 seg.)
39
Ahora se calculan las posiciones relativas entre los máximos:
corrosión. de figuras de conjunto del
toordenamien elpor originadadirección la a ientescorrespondpicos, dos los de relativaangular Posición
59,5175
mecánico. desbaste de líneas las dedirección la a ientescorrespondpicos, dos los de relativaangular Posición
14,14175
0_1_2
0_1_2
⎪⎩
⎪⎨
⎧±=−
⎩⎨⎧
±=−
finalMfinalM
inicialMinicialM
ϕϕ
ϕϕ
La posición angular relativa entre la dirección inicial “A” dada por las líneas de desbaste y la nueva
dirección “B” generada por el ordenamiento del conjunto de figuras de corrosión es:
ABfinalMinicialM
finalMinicialM−
⎪⎭
⎪⎬⎫
±=−
±=−0
_2_2
0_1_1
18,1125
3,1025
ϕϕ
ϕϕ
Los valores angulares entre las direcciones definidas por la geometría propia de las figuras de
corrosión son:
CB
CB
finalMfinalM
finalMfinalM
−±=−
+−±=−0
_2_3
00_1_3
13,205,95
18066,195,270
ϕϕ
ϕϕ
Las direcciones “A”, “B” y “C” se indican en las Imágenes 12 y 13 obtenidas en el microscopio
electrónico de barrido, y corresponden a la superficie de aluminio para un tiempo de exposición de
4095 segundos al compuesto Keller:
T T
A D
B, C
Microscopio electrónico de barrido, Ancho: 26µm, Alto: 21µm
Superficie: Aluminio (desbaste inicial ANSI 1500)
iempo de ataque con Keller: 4095seg.Imagen 12
irección de las líneas de desbaste mecánico inicial.
Direcciones definidas por la geometría de las figuras de
40
Microscopio electrónico de barrido, Ancho: 105µm, Alto: 82µm
Superficie: Aluminio (desbaste inicial ANSI 1500)
iempo de ataque con Keller: 4095seg.Imagen 13
corrosión.
5.2.2 Resultados de la técnica RIMAPS para las condiciones especificadas en el ítem 4.2.1
Picado generalizado en avance .490.100 segtseg e ≤<
Dentro de esta etapa ha sido posible obtener la gráfica RIMAPS a partir de la cual es posible detectar
el surgimiento de nuevas direcciones preferenciales, generadas por la manifestación gradual de figuras
de corrosión.
En la Fig. 28 se muestra la gráfica RIMAPS correspondiente a un tiempo de exposición de 195 seg., en
contraste con la superficie de referencia (Imagen 7).
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 1800.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fig. 28 - Gráfica RIMAPS en la que se manifestación de la nueva dirección preferencial,evidenciada por el desplazamiento del máximo en la gráfica RIMAPS.
Desplazamiento del máximo
Imagen de la superficie de referencia (te = 0 seg.) Imagen de la superficie atacada (te = 195 seg.)
Ampl
itud
Nor
mal
izad
a
Rotación [grados]
Se observa un aumento en el ancho de la base del pico mostrado por la gráfica RIMAPS.
La comparación en la posición del máximo de las dos gráficas, solo es posible porque que las dos
imágenes fueron tomadas en la misma zona del grano y se fijó la probeta en la misma posición
respecto del sistema de adquisición de imágenes. Se puede apreciar un leve desplazamiento del
máximo hacia la izquierda.
Tiempo de exposición = 0seg. 0295 ±=Mϕ
Tiempo de exposición = 195seg. 0190 ±=Mϕ
Manifestación de las figuras de corrosión .4095.490 segtseg e ≤<
Se observa una marcada modificación de la gráfica RIMAPS, respecto de la obtenida para la superficie
de referencia. La detección de nuevas direcciones, se debe a que en esta etapa se manifiestan en mayor
medida las figuras de corrosión.
En la siguiente imagen se muestra la superficie de aluminio para dos tiempos de exposición
pertenecientes a esta etapa.
41
T
T
La gráfica RIMAPS correspondiente
0 150.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fig. 29 de la su
Ampl
itud
norm
aliz
ada
Microscopio óptico, Objetivo: 50x Superficie: Aluminio
(desbaste inicial ANSI 1500) iempo de ataque con Keller: 1995seg.
Imagen 14
Microscopio óptico, Objetivo: 10x
Superficie: Aluminio (desbaste inicial ANSI 1500)
Tiempo de ataque con Keller: 4095seg. Imagen 16
Microscopio óptico, Objetivo: 50x Superficie: Aluminio
(desbaste inicial ANSI 1500) iempo de ataque con Keller: 4095seg.
Imagen 15
a la Imagen 16 se muestra en la Fig. 29.
30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180
Pico C
Pico BPico A
- Gráfica RIMAPS para un tiempo de exposición de 4095seg,perficie de aluminio al compuesto Keller.
Rotación [grados]
42
Las ubicaciones de los máximos principales son:
Posición angular del máximo.
Pico A 0374 ±=MAϕ
Pico B 0190 ±=MBϕ
Pico C 01144 ±=MCϕ
Las posiciones angulares relativas resultan:
0
0
0
16,370
41,154
16,316
±=−
±=−
±=−
MAMC
MBMC
MAMB
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
5.2.3 Resultados de la técnica ULOI para las condiciones especificadas en el ítem 4.2.2
En primer lugar se analiza el ataque con el compuesto Tucker, a la probeta de aluminio con una
terminación superficial proporcionada por un pulido electrolítico.
Realizando sistemáticamente inspecciones en el microscopio óptico y la aplicación de la técnica ULOI,
sobre la superficie de la probeta para distintos tiempos de exposición al agente corrosivo, no se detectó
el picado generalizado, ni el surgimiento gradual de figuras de corrosión. Por el contrario, a partir de
un instante determinado se produjo la manifestación de figuras de corrosión localizadas en las zonas
deformadas mecánicamente del grano analizado (alrededor de la marca practicada para la
identificación del grano). Luego de ese momento, se observó la distribución abrupta de figuras de
corrosión en todo el grano.
Debido a este comportamiento aquí solo se analiza la condición de daño extremo que presenta la
superficie luego de un tiempo de exposición prolongado. La curva de intensidad para tal condición se
muestra en la Fig. 30.
43
0 45 90 135 180 225 270 3150
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Pico 3
Pico 2
Pico 1
Fig. 30 - Curva de intensidad correspondiente a la superficie de aluminiopulida electrolíticamente, y luego expuesta al compuesto Tucker.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.
V(ϕ)
[mV]
ϕ [grados]
Las ubicaciones de los máximos son:
Posición angular del máximo.
Pico 1 01 5,264 ±=Mϕ
Pico 2 02 5,75,222 ±=Mϕ
Pico 3 03 15325 ±=Mϕ
Las siguientes posiciones angulares relativas son valores angulares entre las direcciones definidas por
la geometría propia de las figuras de corrosión:
013
023
012
2,15261
77,165,102
9,75,158
±=−
±=−
±=−
MM
MM
MM
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
β1
β3c
b β2
a
( ) 00003
002
001
2,1599215261360c 180
16,77102,5b 180
9,75,158a 180
±=±=−=
±=−=
±=−=
,-β
β
β
44
Donde 1β , 2β y 3β son los ángulos entre las aristas de las figuras de corrosión para el grano
estudiado. En el esquema anterior, las flechas indican la dirección del haz LASER que produce un
máximo en la curva de intensidad, tales direcciones resultan perpendiculares a las aristas de la figura
de corrosión.
A continuación se muestran los resultados obtenidos al practicar sobre la misma probeta, la
terminación superficial por desbaste mecánico con papel abrasivo ANSI 1500 y manteniendo al
compuesto Tucker como agente corrosivo.
En la Fig. 31 se muestran los efectos sobre las curvas de intensidad para los primeros segundos de
exposición.
0 45 90 135 180 225 270 3150
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
Fig. 31 - Curvas de intensidad, obtenidas para distintos tiempos de exposiciónde la superficie de aluminio, al compuesto Tucker.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.
Superficie de referencia (te = 0 seg.) Superficie atacada (te = 2 seg.) Superficie atacada (te = 5 seg.) Superficie atacada (te = 10 seg.)
V(ϕ)
[mV
]
ϕ [grados]
La evolución de la curva de área normalizada en la Etapa 1 (daño superficial incipiente), se muestra en
la Fig. 32:
45
0 25 50 75 100 125 150 175 2000.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fig. 32 - Evolución del área normalizada de las curvas de intensidaden la Etapa 1 (Tucker).
Area
nor
mal
izad
a
tiempo [seg]
Realizando el ajuste de la curva mediante un crecimiento exponencial de primer orden, dado por
( ) Tt
eAtAn−
⋅+= 1 se obtiene:
0 25 50 75 100 125 150 175 2000.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Ajuste de los valores de área normalizada,mediante un crecimiento exponencial de primer orden.(Tucker)
Model: Evolución exponencial de primer orden.
A -0.81978 ±0.03819T 7.50351 ±0.80697
Area
nor
mal
izad
a
Tiempo [seg]
( ) 50351,781978,01t
etAn−
⋅−=
La curva de intensidad correspondiente al daño extremo, para un tiempo de exposición de 600
segundos al agente Tucker, es mostrada en la Fig. 33:
46
0 45 90 135 180 225 270 3150
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Pico 3
Pico 2Pico 1
Fig. 33 - Curva de intensidad correspondiente a la superficie de aluminiocon desbaste mecánico inicial y luego expuesta,600 seg. al compuesto Tucker.Rango = 20V, Error ∆V = 120mV.
V(ϕ)
[mV]
ϕ [grados]
Debe notarse que la forma particular del Pico 2 se debe a la saturación del sistema sensor de
intensidad.
Las ubicaciones de los máximos son:
Posición angular del máximo.
Pico 1 01 5,282 ±=Mϕ
Pico 2 02 20225 ±=Mϕ
Pico 3 03 5,2313 ±=Mϕ
Las siguientes posiciones angulares relativas son valores angulares entre las direcciones definidas por
la geometría propia de las figuras de corrosión:
013
023
012
54,3231
16,2088
16,20143
±=−
±=−
±=−
MM
MM
MM
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
Las direcciones “A”, “B”,“C” y “D” que se indican en las Imágenes 17, 18 y 19 obtenidas en el
microscopio electrónico de barrido, corresponden a la superficie de aluminio, con desbaste mecánico,
para un tiempo de exposición de 600 segundos al compuesto Tucker:
47
A D
B, C,
Microscopio electrónico de barrido, Ancho: 75µm, Alto: 59µm
Superficie: Aluminio (desbaste inicial ANSI 1500)
Tiempo de ataque con Tucker: 600seg.Imagen 17
irección de las líneas de desbaste mecánico inicial.
D Direcciones definidas por la geometría de las figura
48
Microscopio electrónico de barrido, Ancho: 40µm, Alto: 32µm
Superficie: Aluminio (desbaste inicial ANSI 1500)
Tiempo de ataque con Tucker: 600seg.Imagen 18
Microscopio electrónico de barrido, Ancho: 37µm, Alto: 29µm
Superficie: Aluminio (desbaste inicial ANSI 1500)
Tiempo de ataque con Tucker: 600seg.Imagen 19
s de corrosión.
Existen diferencias apreciables al comparar estos valores angulares, y los obtenidos para la misma
terminación superficial atacada con Keller y la superficie con pulido electrolítico atacada con Tucker.
Se debe tener en cuenta que aún tratándose del mismo grano analizado en la probeta, la geometría de
las figuras de corrosión es revelada en forma distinta por los dos compuestos, Keller y Tucker. Esto
puede verificarse observando las Imágenes 12, 13, 17, 18 y 19. Además debe sumarse la influencia de
las deformaciones ocasionadas por el desbaste mecánico inicial de la superficie.
6. Proyección de los resultados obtenidos en la caracterización del daño químico
Los resultados que se han obtenido al exponer la superficie de aluminio, con distintas terminaciones
superficiales, a la acción de dos compuestos químicos, permiten concluir que el proceso de corrosión
en general dependerá de:
- Metal atacado.
- Condiciones ambientales (agente corrosivo, temperatura, presión, etc).
- Terminación de la superficie, caracterizada por la rugosidad, deformaciones y tensiones
superficiales del metal.
Sin olvidar los complejos procesos físico-químicos involucrados en la corrosión, es posible plantear la
hipótesis de que las deformaciones superficiales, ocasionadas por el desbaste mecánico, generan una
distribución de tensiones en la superficie que favorece el proceso de corrosión, a través del cual se
facilita la liberación de energía por parte de la estructura superficial del metal. Por otra parte si se
considera que durante el proceso de pulido electrolítico se produce liberación de tensiones en la
superficie, es posible comprender el comportamiento tan diferente del proceso de corrosión entre los
dos tipos de terminaciones superficiales (pulido electrolítico y desbaste con papel abrasivo) para el
mismo agente corrosivo (Tucker) y metal estudiado (aluminio).
En particular para la superficie correspondiente al desbaste mecánico con papel abrasivo ANSI 1500,
el comportamiento del área normalizada, para las curvas de intensidad obtenidas mediante la técnica
ULOI, se pueden resumir en el siguiente esquema:
31 2
1
0 tiempo
Are
a no
rmal
izad
a
0
49
50
La evolución temporal de cada etapa se caracteriza por:
1.- Etapa de daño superficial incipiente:
Es función de la terminación de la superficie del metal (rugosidad y deformaciones superficiales).
2.- Etapa de picado generalizado en avance:
La evolución de las curvas de intensidad en esta etapa, depende de la diferencia entre la dirección
inicial dada por las líneas de desbaste y, la nueva dirección definida por el ordenamiento del conjunto
de figuras de corrosión. La curva de área normalizada permanece prácticamente sin cambio.
3.- Etapa de Manifestación de las figuras de corrosión:
Es determinada por:
- Ordenamiento del conjunto de figuras de corrosión.
- Geometría propia de las figuras de corrosión y, la forma en que esta geometría es revelada por
el agente corrosivo que ataca la superficie.
Las Etapas 2 y 3 son muy sensibles a la orientación cristalina del grano analizado.
Estos resultados inducen a pensar en una posible relación entre la evolución temporal de la Etapa 1,
definida por su constante de crecimiento “T” y, la velocidad de corrosión final luego de la Etapa 3. De
existir tal relación, manteniendo entonces la misma terminación de la superficie del metal por algún
desbaste mecánico y, modificando solo el agente corrosivo, se podría predecir el rango en el que se
encuentra la velocidad de corrosión del metal (daño extremo), a partir de la cinética de la Etapa 1
(daño incipiente). Esto haría posible, la comparación del proceso de corrosión entre distintos agentes,
o condiciones ambientales en general, por la caracterización de la Etapa 1 en cada caso.
En la Etapa 1 no se manifiestan figuras de corrosión, sino que ocurre un picado generalizado que
produce un aumento de intensidad del patrón de difracción captado por el objetivo del microscopio.
Resulta interesante plantear nuevos ensayos, que permitan evaluar la posibilidad de cierta
independencia, en la evolución del área normalizada observada en esta etapa, respecto de la
orientación cristalina del grano, o más aún, del número de granos abarcados por el campo visual.
7. Conclusiones generales
En las experiencias llevadas a cabo, se produjo distintas alteraciones superficiales, tanto químicas
como mecánicas, en los materiales analizados. El estudio mediante las técnicas ULOI y RIMAPS, han
suministrado alentadores resultados.
En coincidencia con trabajos anteriores [2], la gráfica ULOI de la superficie de aluminio con pulido
electrolítico, reveló los ángulos ( )β entre las aristas de las figuras de corrosión.
El análisis de las mediciones realizadas para los distintos tipos de daño condujo a plantear las gráficas
del área normalizada en función del tiempo, las que aportan importante información sobre la evolución
del daño en la superficie estudiada. Específicamente para el caso del ataque químico, estas gráficas
permitieron encontrar un comportamiento característico para la etapa de daño químico incipiente. A tal
evolución temporal inicial del área normalizada en función del tiempo se la ha denominado Etapa 1 o
Etapa de daño superficial incipiente.
Si bien en este trabajo se ha calculado el área normalizada, a partir de las curvas de intensidad
proporcionadas por la técnica ULOI, no se descarta un cálculo similar basado en las gráficas RIMAPS.
Por otra parte, una vez superada la etapa de daño incipiente, fue posible detectar el surgimiento de
figuras de corrosión, manifestado por la alteración evidente de las gráficas suministradas por ULOI y
RIMAPS, respecto de las obtenidas para las superficies de referencia antes de producir el daño.
51
52
8. Referencias
1. Eduardo A. Favret and Francisco Povolo, Microscopy Research and Technique. 2001. 55, 270
– 281.
2. Eduardo Favret, Francisco Povolo and Adrian Cazian, Practical Metallographie. 1999. 36, 206
– 215.
3. J. D. Jackson. Classical Electrodynamics. 2nd edn. Berkeley, 1974.
4. Bruno Rossi, professor of phisics MIT. Optics. Addison-Wesley Publishing Company,Inc.
Cambridge, Massachusetts, 1956.
5. Eduardo A. Favret and Nestor O. Fuentes, Materials Characterization. 2003. 49, 387 – 393
6. Nestor O. Fuentes and Eduardo A. Favret, Journal of Microscopy. 2002. 206, 72 – 83
7. William K. Pratt. Digital Image Processing. 2nd edn. John Wiley & Sons, Inc. New York,
1991.
8. Edward R. Dougherty, Charles R. Giardina. Matriz Structured Image Processing. Prentice
Hall, Inc. New Jersey, 1987.
9. Günter Petzow. Metallographic Etching. Compliments of BUEHLER. Stuttgart, West
Germany, 1977.
10. Glenn F. Knoll. Radiation Detection and Measurement. 3th edn. John Wiley & Sons, Inc. New
York, 1999.
53
10. Agradecimientos
A mis padres Aldo y Esther.
A Florencia, por dedicarme tanta paciencia y ternura.
A mis hermanas Vanesa, Guadalupe y Jesica, por todo su cariño.
Un especial agradecimiento a Maria Eugenia, Leandro, Natalia, Rafael y Agustín, por su desinteresada
ayuda y por la confianza que siempre han tenido en mí.
Un cálido agradecimiento a Roberto, Marta y Luciana Cápula, por la gran consideración y afecto que
me han brindado.
Al Ing. Roberto A. Riachi, por su calidad humana y por el respaldo con el que siempre he podido
contar.
A los Ings. Eduardo González y Juan Picco, por la predisposición a escucharme y su oportuno apoyo.
A los Drs. Nestor O. Fuentes y Eduardo A. Favret por todo lo ofrecido.
A los Sres. Ramón A. Castillo Guerra y Ricardo J. Montero por facilitarme el acceso al laboratorio de
microscopía y por su invalorable asistencia.
Al Sr. Héctor A. Raffaeli por su gran ayuda en los ensayos.
A Sra. Marcela Margutti y Lic. Angélica Straus por la atención dedicada durante todo este tiempo.
Al Instituto Balseiro y al Dr. Carlos J. Gho por hacer esto posible.
Apéndice 1: Conceptos relacionados con la técnica ULOI
Esta técnica consiste en utilizar un haz LASER, incidente en forma oblicua sobre la muestra, como
fuente de iluminación en un microscopio de reflexión para observaciones metalográficas.
Ocular
Fuente de alta tensión.
Fuente de 12Vdc.
220Vac 50Hz
(φ)V(φ) = [mV] α IVoltímetro
Sistema sensor de intensidad de luz
Sistema soporte de posicionamiento del cañón LASER
LASER 30 mW λ = 632,8 nm
b
Hr
Hi
Objetivo
PD
r
0 ≤ φ < 360
Muestra
αα
a
Sistema óptico
Hi Haz incidente. Hr Haz reflejado.
PD Patrón de difracción. Fig. A1
54
La rugosidad superficial de la muestra constituye un sistema de difracción, definido por una longitud
característica. Como consecuencia de la interacción del haz incidente con la superficie de la muestra,
se generan ondas reflejadas y difractadas. La distribución angular de las ondas en la región de
difracción se denomina patrón de difracción. Siendo éste función de la geometría involucrada, deben
considerarse tres escalas de longitud:
1) Longitud característica “d” del sistema de difracción.
2) Distancia “r” desde el sistema de difracción hasta el punto de observación.
3) Longitud de onda “λ” del haz LASER.
Las ondas difractadas se generan cuando el haz LASER incidente encuentra en su camino estructuras
cuyas dimensiones, son del orden de magnitud de la longitud de onda λ de la luz monocromática que
conforma el haz. Tales estructuras dadas por la rugosidad superficial de la muestra, que actúan como
sistema de difracción, pueden tener diversos orígenes: rugosidad cristalina, capas de óxido, líneas de
pulido y en general relieves superficiales producidos por la acción de reactivos químicos o procesos
mecánicos.
Dado que el ángulo de incidencia α utilizado para el haz LASER es aproximadamente 10º, en el
objetivo del microscopio ingresan las ondas correspondientes a los ordenes de difracción mas altos
generados por la topografía de la superficie.
Se destaca que, por el tipo y forma de iluminación utilizada en esta técnica, el objetivo buscado no es
la observación directa de la rugosidad superficial de la muestra, ya que la nitidez es afectada por la
elevada coherencia del haz LASER. En su lugar se realiza la medición de la intensidad de luz del
patrón de difracción capturado por el objetivo, lo que posibilita la detección de estructuras
superficiales, aún cuando estas se encuentren por debajo del poder de resolución del objetivo.
Las curvas de intensidad de luz LASER ( )ϕI se obtienen rotando la muestra alrededor de un eje
perpendicular a su superficie, tal como se indica en la Fig. A1, y registrando, con un fotómetro a través
del objetivo del microscopio, la intensidad de luz ( )ϕI dispersada por la superficie.
A continuación se muestran imágenes del sistema utilizado, para la aplicación de la técnica ULOI en
las experiencias realizadas:
55
Microscopio, sistema LASER y sistema
sensor de intensidad del patrón de difracción.
Cañón LASER y su sistema de posicionamiento.
Sistema sensor de intensidad del patrón de difracción. En el ocular puede apreciarse la difracción del haz LASER captada por el
objetivo del microscopio.
Muestra de aluminio, ocular y sistema de rotación del microscopio utilizado.
Sistema sensor de intensidad del patrón de difracción, y su conexión directa al
voltímetro digital.
56
Apéndice 2: Conceptos relacionados con la técnica RIMAPS
Los procedimientos de cálculo involucrados en la obtención de los Coeficientes de la Serie
Exponencial de Fourier, como de la Transformada de Fourier de una función, son básicamente
operaciones de integración.
Estas ecuaciones pueden plantearse de tres formas:
1) Expresiones Continuas Analíticas.
2) Expresiones Discretas en Serie.
3) Expresiones Matriciales Numéricas.
57
)Donde las expresiones del ítem 1, involucran variables independientes continuas
, obteniendo así funciones continuas. ( alesRe ntesindependie variables ∈
Luego para posibilitar el tratamiento de señales por sistemas de procesamiento digital, en la práctica
surge la necesidad de tomar las señales analógicas (funciones contínuas) y realizar sobre ellas un
proceso de digitalización, el cual se puede dividir en tres pasos básicos: Muestreo, Cuantificación y
Codificación.
(Continua)Analógica Señal
Muestreo ciónCuantifica ónCodificaci
tiempo)elen y amplituden
ada(DiscretizDigital Señal
Las señales de variables independientes discretas ( )Naturales∈ ntesindependie variables y sus
expresiones asociadas, se incluyen en los ítems 2 y 3, siendo éstas, aproximaciones de las ecuaciones
del ítem 1.
1 - Funciones de una variable independiente:
1.1 Expresiones analíticas continuas
Considerando
( ) ( )120
... 2y con funciones de ortogonal Conjunto
)( integrable nteabsolutame continuafunción )(
xxwwenterosZne
dxxfxf
xwni
−==∈→
∞<⋅⇒→ ∫∞
∞−
π
Es posible plantear:
1.1.1 Serie exponencial de Fourier
La función queda representada en el intervalo ( )xf [ ]21; xx mediante la serie:
∑∞
−∞=
⋅⋅⋅ ≤≤⋅=n
xwnin xxxefxf 21 )(
siendo
( ) Fourier de lexponencia serie la de complejos esCoeficient )(1 2
112
→⋅⋅⋅−
= ∫ ⋅⋅⋅−x
x
xwnin dxexf
xxf
Euler de Fórmula )()cos( →⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅ xwnsenixwne xwni
sortogonale funciones de conjunto del Norma )( 12 →−=⋅⋅⋅ xxe xwni
Cuando es función real resulta y como ( )xf nn ff −=* *nn ff = entonces nn ff −= . Esto significa
que toda función real posee una gráfica de los módulos de las componentes espectrales de Fourier
simétrica al eje de ordenadas.
Para no periódica, la serie representa a la función, solo en el intervalo [ ] . ( )xf 21; xx
Para periódica de período ( )xf X , se tiene ( ) ( )Xxfxf += . Al tomar:
2y
2 21XxXx =−= entonces la serie representa a la función solo en el intervalo [ ]∞∞− ; de la
variable . x
1.1.2 Transformada de Fourier y su inversa
∫∞
∞−
⋅⋅− →⋅⋅= )( deFourier de daTransforma )()( xfdxexfwF xwi
donde es la Función de Densidad Espectral. ( )wF
∫∞
∞−
⋅⋅ →⋅⋅= )(F deFourier de inversa daTransforma )(21)( wdwewFxf xwi
π
Cuando es función real resulta ( )xf ( ) ( )wFwF −=* y como ( ) ( )*wFwF =
entonces ( ) ( )wFwF −= .
Esto significa que toda función real posee una gráfica del módulo de la Densidad Espectral que resulta
simétrica al eje de ordenadas.
Para no periódica, resulta una Función de Densidad Espectral continua. ( )xf
Para periódica, resulta una Función de Densidad Espectral dada por funciones impulso (deltas de
Dirac):
( )xf
( ) Fourier. de lexponencia serie la de complejos esCoeficienty 2 donde
)(2)(
120
0
→−
=
⋅−⋅⋅= ∑∞
−∞=
n
nn
fxx
w
wnwfwF
π
δπ
58
1.1.3 Función de Densidad Espectral
Se puede expresar la función de densidad espectral ( )wF en función de los coeficientes complejos de la
serie exponencial de Fourier como: nf
( )
( ) ( ) ∫ ⋅⋅⋅−
=−
=
⋅−=
⋅⋅⋅−
⋅=
2
1
0
)(1 ; 2con
)(
12120
12
x
x
xwnin
nwnw
dxexfxx
fxx
w
fxxwF
π
1.2 Expresiones Discretas en Serie
Si se muestrea la señal continua en el intervalo ( )xf [ ]21; xx , resultan M valores.
( )xf
1x 2x
x 0 1 2 3 4 --------------------------- (M-1)
m
Planteando ( )M
xxx 12 −=∆
Es posible discretizar la variable independiente, de la forma:
( )1...3,2,1,0 que tal −=∆⋅= Mmxmx
1.2.1 Coeficientes de la serie exponencial de Fourier
59
( )
( )
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤≤⎩⎨⎧
→→
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅⋅≈
−⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅⋅−
≈
−⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅⋅−
=
∆⋅⋅∆⋅⋅−
=
∆⋅⋅⋅−
=
→⋅⋅⋅−
=
∑
∑
∑
∑
∑
∫
−
=
⋅⋅⋅−
−
=
−⋅⋅
−⋅⋅−
−
=
−⋅⋅
−⋅⋅−
∞→
−
=
∆⋅⋅−
⋅⋅−
∞→
−
=
⋅⋅⋅−
∞→
⋅⋅⋅−
10con discreta variable
discreta frecuencia siendo 1
1
lim1
)(lim1
)(lim1
contínua analíticaExpresión )(1
1
0
212
1
0
122
12
12
1
0
122
12
12
1
0
2
12
1
012
12
12
12
12
12
12
2
1
Mnmn
eM
xxmf
Mf
Mxxe
Mxxmf
xxf
Mxxe
Mxxmf
xxf
xexmfxx
f
xexfxx
f
dxexfxx
f
M
m
mMni
n
M
m
Mxx
mxx
ni
n
M
m
Mxx
mxx
ni
Mn
M
m
xmxx
ni
Mn
M
m
xwni
Mn
x
x
xwnin
π
π
π
π
1.2.2 Transformada de Fourier y su inversa
Teniendo en cuenta que ( ) nwnwfxxwF ⋅−=
⋅= 120
)(
De las ecuaciones anteriores se obtiene la expresión discreta en serie de la función de densidad
espectral.
( ) ( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤≤⎩⎨⎧
→→
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅⋅−
=⋅ ∑−
=
⋅⋅⋅−
10con discreta variable
discreta frecuencia siendo
1
0
21212
0
Mnmn
eM
xxmfM
xxwnFM
m
mMni π
Para la Transformada inversa se tiene:
( ) ( )∑
∫
−=
⋅∆⋅⋅−
∞→
∞
∞−
∆⋅⋅∆⋅⋅=
∈∆⋅=
→⋅⋅=
M
Mn
xwni
M
iwx
wewnFxf
Naturalesnwnww
dwewFxf
lim21
resulta que tal :forma la de variablela ndoDiscretiza
contínua analíticaExpresión )(21)(
π
π
Cuando es función real, entonces se cumple la propiedad de simetría conjugada de la Función de
Densidad Espectral
( )xf
NaturaleskMkwnFwnF ∈⋅+⋅−=⋅ que tal)()( 0*
0
Por lo tanto, solo es necesario conocer 0)( 0 ≥∀⋅ nwnF ya que a partir de estos es posible conocer
los 0)( 0 <∀⋅ nwnF
60
Entonces,
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤≤⎩⎨⎧
→→
⋅⋅⋅−
≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅
∈−
=∆∆⋅=→
⋅⋅⋅−
≈
⋅⋅∆⋅⋅≈
−==⋅−⋅+=∆
∆⋅⋅∆⋅⋅≈
∆⋅⋅∆⋅⋅≈
∑
∑
∑
∑
∑
−
=
⋅⋅⋅
−
=
⋅−
⋅⋅−
−
=
⋅⋅⋅−
−
=
⋅∆⋅⋅−
=
⋅∆⋅⋅−
∞→
10con discreta variable
discreta frecuencia siendo 1
y que tal variablela mosDiscretiza
1
21
2)1( si
21
lim21
1
0
2
012
12
12
1
0
2
012
1
00
12000
1
0
0
12
0
Mmmn
ewnFxxM
xxmf
NaturalesmM
xxxxmxx
ewnFxx
xf
wewnFxf
xxwwnwnw
wewnFxf
wewnFxf
M
n
mMni
M
n
xxx
ni
M
n
xwni
M
n
xwni
M
n
xwni
M
π
π
π
ππ
π
Siendo esta la expresión discreta en serie de la transformada inversa de Fourier.
1.3 Expresiones Matriciales Numéricas
En este tipo de notación, las ecuaciones contienen la misma información que las expresiones discretas
en series, solo que en este caso los valores numéricos complejos se plantean en forma explícita
mediante arreglos matriciales, adaptándose de esta forma para el tratamiento mediante procesadores
digitales.
1.3.1 Coeficientes de la Serie exponencial de Fourier
EfM
f mn ⋅⋅=1
donde:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
Mi
M
M
M
m
Mn
eW
WW
WWWWWWWW
WWWW
E
MxxMf
Mxxf
Mxxfff
fffff
π2
10
12420
1210
0000
121212
1210
con
120
2
⋅−
−
−⋅
−
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
=
LLL
MM
L
L
L
L
L
61
1.3.2 Transformada de Fourier y su inversa
( ) EfM
xxF mwn ⋅⋅−
=⋅12
0 (Transformada de Fourier)
( )*
120
1 EFxx
f wnm ⋅⋅−
= ⋅ (Transformada inversa de Fourier)
donde:
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]000 1200
wMFwFwFFF wn ⋅−⋅=⋅ L
La matriz *E se obtiene aplicando la operación conjugado a cada elemento de la matriz E .
2 - Funciones de dos variables independientes:
Este tipo de funciones surgen al realizar una caracterización matemática de imágenes continuas.
Se considera que la función ( )λ,,, tyxI representa la distribución espacial de energía de longitud de
onda λ , en las coordenadas ( y tiempo t de una imagen fuente. )
)
yx,
Dado que la distribución espacial de energía es proporcional al módulo cuadrado del vector campo
eléctrico: ( ) ( 2,,,,,, λλ tyxEtyxI
r∝ resulta que ( )λ,,, tyxI es una función REAL y NO NEGATIVA.
En todos los sistemas de adquisición de imágenes, siempre existe una pequeña cantidad de luz de
fondo, esto implica que ( ) 0,,, >λtyxI . Además dichos sistemas imponen alguna restricción en la
máxima intensidad ”A” de una imagen, por lo tanto se tiene: ( ) AtyxI ≤< λ,,,0 , donde A es un valor
real positivo.
Una imagen física es necesariamente limitada, en su extensión espacial, por el sistema de adquisición,
entonces los intervalos de existencia de la función de distribución espacial de energía son:
, ⎩⎨⎧
≤≤≤≤
21
21
yyyxxx
El intervalo finito de observación es: 21 ttt ≤≤ .
Como la imagen registrada dependerá de la respuesta espectral del sistema de adquisición, se define:
( ) ( )n.adquisició de cadena la de espectral Respuesta
),,,(,,,0 →=λλ
λtyxItyxI
S
En los sistemas de adquisición, el campo imagen observado es modelado como una integral
espectralmente ponderada de la función de distribución espacial de energía:
62
( )λ,,, tyxI
63
Entonces si ( ) ( ) ( )λλλ StyxItyxI ⋅= ,,,,,,0 , la función respuesta de intensidad se obtiene integrando la
función de distribución espacial de energía en todas las longitudes de onda:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .intensidad de respuestaFunción ,,,,,
,,,,,,
0
000
→⋅⋅=
⋅⋅=⋅
∫
∫∫∞
∞∞
λλλ
λλλλλ
dStyxItyxf
dStyxIdtyxI
Se consideran solo sistemas en los que no se tiene dependencia temporal, por lo tanto:
( ) ( ) ( )∫∞
⋅⋅=0
,,, λλλ dSyxIyxf
donde:
( )( )
( ) imágen.Función o intensidad de respuestaFunción ,energía. de espacialón distribuci deFunción ,,0
n.adquisició de cadena la de espectral Respuesta
→→≤<
→
yxfAyxI
Sλ
λ
La función imagen caracteriza matemáticamente la imagen continua observada por el sistema de
adquisición.
Como restricción final, se asume que la función imagen ( )yxf , es continua sobre todo su dominio de
definición . ⎩⎨⎧
≤≤≤≤
21
21
yyyxxx
Ahora es posible plantear sobre esta función, las expresiones relacionadas con la serie exponencial y
transformada de Fourier.
Transferencia Óptica
(lentes, filtros, etc)
Transferencia Electrónica
(sensor, amplificador, etc) ∫ λdK( )λ,,,0 tyxI
( )λ,,, tyxf
2.1 Expresiones analíticas continuas
64
)Si es función continua absolutamente integrable, es decir, se cumple ( yxf , ( )∫ ∫∞
∞−
∞<⋅⋅ dydxyxf ,
y se define: ( )
( )( )
( )
( )⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
−==
−==
⎭⎬⎫
∈∈
→=⋅ ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
120
120
2
2
y
:cuando sortogonale funciones de Conjunto
yyww
xxww
enterosZuenterosZv
eee
yy
xx
ywuxwviywuixwvi yxyx
π
π
Verificación de ortogonalidad:
( ) ( )
⎩⎨⎧
→⋅⋅⋅∫ ∫ ⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅
funciones. de conjunto del interno Producto2
1
2
1
x
x
y
y
ywmxwniywuxwvi dydxee yxyx
Para y : mu = nv =
( ) ( ) ( ) ( )22
1212
2
1
2
1
Normaeyyxxdydx ywuxwvix
x
y
y
yx ==−⋅−=⋅ ⋅⋅+⋅⋅∫ ∫
Para y : mu = nv ≠
( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫ ∫ ⋅⋅−=⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⋅⋅ ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅
2
1
2
1
2
1
210
x
x
xwnvix
x
y
y
xwnixwvi dxeyydxdyeee xxx
Si ( )120
2xx
ww xx −==
π como ( ) (enterosZ)( )(
∈−⇒⎭⎬⎫
∈∈
nventerosZnenterosZv )
)
Entonces ( ) ( )( ) dadortogonali verificaSe 02
1
12 →=⋅⋅− ∫ ⋅⋅−x
x
xwnvi dxeyy x
Para y : mu ≠ nv =
( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫ ∫ ⋅⋅−=⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⋅⋅ ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅
2
1
2
1
2
1
210
y
y
ywmuiy
y
x
x
ywmiywui dyexxdydxeee yyy
Si ( 120
2yy
ww yy −==
π como ( ) (enterosZ)( )(
∈−⇒⎭⎬⎫
∈∈
muenterosZmenterosZu )
Entonces ( ) ( )( ) dadortogonali verificaSe 02
1
12 →=⋅⋅− ∫ ⋅⋅−y
y
ywmui dyexx y
Para y : mu ≠ nv ≠
De lo anterior
( )( ) ( )( ) dadortogonali verificaSe 02
1
2
1
→=⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⋅∫ ∫ ⋅⋅−⋅⋅−
x
x
y
y
ywmuixwnvi dxdyee yx
Se concluye que si:
( ) ( )( )( )
( )( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∈∈
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∈∈
−==
−==
enterosZmenterosZn
enterosZuenterosZv
yyww
xxww yyxx ; ; 2 ; 2
120
120
ππ
Resulta:
( ) ( ) ( ) ( )⎩⎨⎧ ==∀−⋅−
=⋅⋅⋅∫ ∫ ⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅
contrario casoen 0y 1212
2
1
2
1
nvmuyyxxdydxee
x
x
y
y
ywmxwniywuxwvi yxyx
A partir de lo cual, es posible plantear:
2.1.1 Serie exponencial de Fourier
Se representa la función en el dominio dado por los intervalos: mediante la serie: ( yxf , ) ][ ][⎩⎨⎧
21
21
;;
yyxx
( ) ( )∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
⋅⋅+⋅⋅⋅=u v
ywuxwvivu
yxefyxf ,
siendo:
( ) ( ) ( ) ( )
⎩⎨⎧
→⋅⋅⋅−⋅−
= ∫ ∫ ⋅⋅+⋅⋅−
Fourier. de lexponencia serie la decomplejos esCoeficient
,1 2
1
2
11212
x
x
y
y
ywuxwvivu dydxeyxf
yyxxf yx
( ) ( ) ( ) Euler. de Fórmula cos →⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅ ywuxwvseniywuxwve yxyxywuxwvi yx
( ) ( ) ( ) funciones. de ortogonal conjunto del Norma 1212 →−⋅−=⋅⋅+⋅⋅ yyxxe ywuxwvi yx
Para función real, se cumple la propiedad de simetría conjugada: ( yxF , )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )uvvuvuvuuvvu
uvvuvuuvuvuv
vuvuvuvuvuvu
ffffff
ffffff
ffffff
−−
−−
−−
=⇒==
=⇒==
=⇒==
**
**
**
como
como
como
Lo anterior indica que toda función real de dos variables independientes posee una gráfica de los
módulos de las componentes espectrales de Fourier simétrica al eje de ordenadas.
65
v
u
vuf
66
)
)
Para no periódica, la serie representa a la función solo en el dominio ( yxf ,[ ][ ]⎩⎨⎧
21
21
;;
yyxx
Para periódica solo en ( yxF , ( ) ( )yXxfyxfx ,, +=→
si se toma
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
−=
2
2
2
1
Xx
Xx
Entonces la serie representa a la función en el dominio dado por los intervalos
[ ][ ]⎩⎨⎧ ∞∞−
. variablela de ;. variablela de ;
21 yyyx
También puede plantearse la equivalencia para ( )yxf , periódica solo en .y
Para periódica en las dos variables independientes( yxf , ) ( ) ( YyXxfyxf ++ )=→ ,,
Si se toma
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
−=
=
−=
2
2
2
2
2
1
2
1
Yy
Yy
Xx
Xx
Entonces la serie representa a la función en los dominios dado por los intervalos
[ ][ ]⎩⎨⎧
∞∞−∞∞−
. variablela de ;. variablela de ;
yx
2.1.2 Transformada de Fourier y su inversa
( ) ( ) ( ) ( )
( ) espectral densidad deFunción ,
, deFourier de daTransforma ,,
→
→⋅⋅⋅= ∫ ∫∞
∞−
⋅+⋅−
yx
ywxwiyx
wwF
yxfdydxeyxfwwF yx
La transformada de Fourier en dos dimensiones, puede ser obtenida en dos pasos como resultado de la
posibilidad de separación del kernel de integración:
( ) ( )
( ) ( )∫
∫
∞
∞−
⋅⋅−
∞
∞−
⋅⋅−
⋅⋅=
⋅⋅=
dyeywFwwF
dxeyxfywF
ywixyyx
xwixy
y
x
,,
:Luego
,, ( ) ( )
( ) ( )∫
∫
∞
∞−
⋅⋅−
∞
∞−
⋅⋅−
⋅⋅=
⋅⋅=
dxewxFwwF
dyeyxfwxF
xwiyxyx
ywiyx
x
y
,,
:Luego
,,
La transformada inversa es:
( ) ( ) ( )∫ ∫∞
∞−
⋅+⋅− ⋅⋅⋅⋅= yxywxwi
yx dwdwewwFyxf yx,4
1, 2π
67
)
)Cuando es una función real resulta: ( yxf ,
( ) ( yxyx wwFwwF −−= ,, * y como ( ) ( )*,, yxyx wwFwwF = se cumple ( ) ( )yxyx wwFwwF −−= ,,
Y también: ( ) ( ) ( )yxyxyx wwFwwFwwF ,,, =−=−
Esto indica que toda función real de dos variables independientes posee una gráfica del módulo de la
densidad espectral que resulta simétrica al eje de ordenadas.
( )yx wwF ,
yw
xw
Para no periódica, se obtiene una función de densidad espectral ( yxf , ) ( )yx wwF , continua en las
variables . yx ww y
Para periódica en las dos variables independientes ( yxf , ) ( ) ( YyXxfyxf ++ )=→ , se obtiene una
función de densidad espectral dada por funciones impulso (deltas de Dirac) de la forma:
,,
( ) ( )
( ) ( )sdimensione dosen Fourier de lexponencia serie la de complejos esCoeficient y
2 ; 2 donde
,4,
120
120
002
→−
=−
=
⋅−⋅−⋅⋅= ∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
vu
yx
u vyyxxvuyx
fyy
wxx
w
wuwwvwfwwF
ππ
δπ
2.1.3 Función de densidad espectral en dos dimensiones
Podemos expresar ( )yx wwF , en función de los de la forma: vuf
( ) ( ) ( ) vuwuwwvwyx fyyxxwwF
yyxx ⋅−⋅−=
⋅=⋅= 2121
00,
Donde ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ⋅⋅⋅−⋅−
=−
=−
= ⋅⋅+⋅⋅−2
1
2
1
,1 ; 2 ; 2
1212120
120
x
x
y
y
ywuxwvivuyx dydxeyxf
yyxxf
yyw
xxw yxππ
2.2 Expresiones discretas en serie
Procediendo en forma similar al caso de funciones de una variable independiente, si se muestrea la
señal bidimensional continua en el dominio definido por los intervalos ( yxf , ) [ ][ ]⎩⎨⎧
21
21
;;
yyxx
Se obtiene ⎩⎨⎧
.en valores.en valores
yNxM
Entonces Discretizando las variables:
( ) ( )
( ) ( )1...3,2,1,0j que tal
1...3,2,1,0 que tal
21
21
−=∆⋅=→−
=∆
−=∆⋅=→−
=∆
NyjyN
yyy
MkxkxM
xxx
Ahora es posible plantear las expresiones discretas en serie de:
2.2.1 Coeficientes de la serie exponencial de Fourier en dos dimensiones
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
→→
⎩⎨⎧
−≤≤−≤≤
⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅
−⋅⋅
⋅≈ ∑∑
−
=
−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⋅−
discretas variables,discretas sfrecuencia ,
siendo
1010
con
,1 1
0
1
0
21212
jkuv
NuMv
eN
yyj
Mxx
kfNM
fM
k
N
j
jNu
kMv
i
vu
π
2.2.2 Transformada de Fourier en dos dimensiones y su inversa
Expresión discreta en serie de la función de densidad espectral en dos dimensiones:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
→→
⎩⎨⎧
−≤≤−≤≤
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅−
⋅⋅−
⋅−
=⋅⋅ ∑∑−
=
−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⋅−
discretas variables,discretas sfrecuencia ,
siendo
1010
con
,,1
0
1
0
212121212
00
jkuv
NuMv
eN
yyjM
xxkfN
yyM
xxwuwvFM
k
N
j
jNuk
Mvi
yx
π
( ) ( ) ( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
→→
⎩⎨⎧
−≤≤−≤≤
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅−
⋅⋅−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅⋅ ∑−
=
⋅⋅⋅−
discretas variables,discretas sfrecuencia ,
siendo
1010
con
,,1
0
2121212120
jkuv
NjMv
eN
yyjM
xxkfM
xxN
yyjwvFM
k
kMvi
xj
π
68
( ) ( ) ( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
→→
⎩⎨⎧
−≤≤−≤≤
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅−
⋅⋅−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
−⋅ ∑
−
=
⋅⋅⋅−
discretas variables,discretas sfrecuencia ,
siendo
1010
con
,,1
0
2121212
012
jkuv
NuMk
eN
yyjM
xxkfN
yywuM
xxkFN
j
jNui
yk
π
Para la Transformada inversa se tiene:
Si es función real, entonces se cumple la propiedad de simetría conjugada de la función de
densidad espectral
( yxf , )
⎩⎨⎧
∈∈
⋅+⋅−⋅+⋅−=⋅⋅NaturalesnNaturalesm
NnwuNmwvFwuwvF yxyx que tal),(),( 00*
00
Por lo tanto, solo es necesario conocer 0y 0 ),( 00 ≥≥∀⋅⋅ uvwuwvF yx ya que a partir de estos
es posible conocer los 0y 0 ),( 00 <<∀⋅⋅ uvwuwvF yx
Si
( )
( )12000
12000
2)1(
2)1(
yywwuwuw
xxwwvwvw
yyyy
xxxx
−==⋅−⋅+=∆
−==⋅−⋅+=∆
π
π
Se obtiene:
( ) ( )( ) ( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
→→
⎩⎨⎧
−≤≤−≤≤
⋅⋅⋅⋅−
⋅−
≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅−
⋅ ∑∑−
=
−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⋅
discretas variables,discretas sfrecuencia ,
siendo
1010
con
,11,1
0
1
0
2
001212
1212
jkuv
NjMk
ewuwvFyyxxN
yyjM
xxkfM
v
N
u
jNuk
Mvi
yx
π
2.3 Expresiones matriciales numéricas
Se aclara que en las expresiones discretas en serie, utilizamos una notación equivalente a las
expresiones analíticas continuas: ( ) ( ) ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⋅−
⋅continua absisacontinua absisa
discreta absisa
12
discreta absisa
12 ,, yxfN
yyjM
xxkf4342143421
En las expresiones matriciales numéricas, en cambio, utilizaremos la notación:
columnasfilas
kjf
69
2.3.1 Coeficientes de la serie exponencial de Fourier en dos dimensiones
MjkNuv EfENM
f ⋅⋅⋅⋅
=1
donde:
( )
( ) ( )( )
1101
20
10
10020100
u
MNN
M
uv
v
ff
ff
ffff
f ↓
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
→
−−−
−
LLL
MM
M
M
L
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j
M
xxM
N
yyNf
N
yyNf
N
yyf
N
yyf
M
xxMf
M
xxf
M
xxff
k
jkf
↓
−⋅−
−⋅−
−⋅−
−⋅
−
−⋅−
−⋅
−
=
→
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
1212
2
1
1
21
1
2
21212
1,10,1
0,2
0,
1,02,0,00,0
LLL
MM
M
M
L
( )
( )
( )
Ni
N
N
N
N eW
WW
WWWWWWWW
WWWW
Eπ2
10
12420
1210
0000
con
2
⋅−
−
−⋅
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
LLL
MM
L
L
L
( )
( )
( )
Mi
N
N
N
M eV
VV
VVVVVVVV
VVVV
Eπ2
10
12420
1210
0000
con
2
⋅−
−
−⋅
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
LLL
MM
L
L
L
2.3.2 Transformada de Fourier en dos dimensiones y su inversa
( ) ( )MjkNuv EfE
Mxx
NyyF ⋅⋅⋅
−⋅
−= 1212 (Transformada de Fourier)
70
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
1,10,1
0,20,
1,02,0,00,0
000
0
0
000
u
xyy
y
y
xxx
uv
v
wMwNFwNF
wFwF
wMFwFwFF
F ↓
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅−⋅−⋅−
⋅
⋅−⋅
=
→
LLL
MM
M
M
L
Luego también:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j
wMN
yyNF
N
yyNF
N
yyF
N
yyF
wMFwjFwFF
v
xjj
j
j
xjxxjj
Mjkj EfM
xxvjF
↓
⋅−−
⋅−−
⋅−
−⋅
−
⋅−⋅
=
→
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⋅⋅−
=
01212
12
12
000
12
1,10,1
0,2
0,
1,02,0,00,0
,
LLL
MM
M
M
L
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )( )
,
1,10,1
0,20,
1,02,0,00,0
00
0
0
121212
12
u
MwNFwNF
wFwF
M
xxMF
M
xxF
M
xxFF
k
ykyk
yk
yk
kkkk
jkNk fEN
yykuF
↓
−⋅−⋅−
⋅
−⋅−
−⋅
−
=
→
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⋅⋅−
=
LLL
MM
M
M
L
Para la transformada inversa:
( ) ( )**
1212
11MuvNjk EFE
yyxxf ⋅⋅⋅
−⋅
−= (Transformada inversa de Fourier)
( ) ( ) *
12
,1Mjjk EvjF
xxf ⋅⋅
−=
( ) ( )kuFEyy
f kNjk ,1 *
12
⋅⋅−
=
71
2.4 Relación entre coordenadas
Dadas las expresiones analíticas:
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞
∞−
⋅+⋅− →⋅⋅⋅= yxfdydxeyxfwwF ywxwiyx
yx , deFourier de daTransforma ,,
( ) ( ) ( ) ( )yxyxywxwi
yx ,wwFdwdwewwFyxf yx deFourier de inversa daTransforma ,4
1, 2 →⋅⋅⋅⋅= ∫ ∫∞
∞−
⋅+⋅−
π
Se recuerda que una imagen digitalizada es un arreglo de muestras, donde cada una de esas muestras
de la imagen original, constituye un píxel (picture element) de la imagen resultante.
Si ahora se toma la función imagen digitalizada, y se la considera constituida por pixels rectangulares
de lados iguales y unitarios, hacemos ( ) Nyy =− 12 y ( ) Mxx =− 12
entonces ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−pixelmm
Nyy 112 y
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−pixelmm
Mxx 112 las expresiones discretas en series para este
caso son:
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
→→
⎩⎨⎧
−≤≤−≤≤
⋅= ∑∑−
=
−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⋅−
discretas variables,discretas sfrecuencia ,
siendo
1010
con
,,1
0
1
0
2
jkuv
NuMv
ejkfuvFM
k
N
j
jNuk
Mvi π
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
→→
⎩⎨⎧
−≤≤−≤≤
⋅≈ ∑∑−
=
−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⋅
discretas variables,discretas sfrecuencia ,
siendo
1010
con
,,1
0
1
0
2
jkuv
NjMk
euvFjkfM
v
N
u
jNuk
Mvi π
Adoptándose la siguiente relación entre las coordenadas cartesianas continuas y las
coordenadas discretas
( )(⎩⎨⎧
yx wwyx,
,)
( )( )⎩⎨⎧
uvkj
,,
72
y2
73
Donde las funciones representan la misma imagen. ( )( )⎩
⎨⎧
<<∀=<<∀=
0 ó 0 0,0 ó 0 0,
jkjkfyxyxf
Debido a la propiedad de simetría conjugada, solo se representan los módulos de las componentes
espectrales para y . 0≥v 0≥u
(M-1,N-1) = (k,j)
y
x (x1,y1)
k
j
(0,0)
x2
(M-1,N-1)=(v,u)
(0,0)
u
v
(0,0) wx
wy
3 – Concepto MAPS (Maximum Average Power Spectrum):
Dada una superficie caracterizada matemáticamente por su función imagen . ( )yxf ,
Se realiza la integración en de la transformada de Fourier en dos dimensiones: x
( ) ( )∫∞
∞−
⋅⋅− ⋅⋅= dxeyxfywF xwixy
x,,
A partir de esto es posible obtener el Power Spectrum:
( ) ( ) ( *2,,, ywFywFywF xyxyxy ⋅= )
Luego se calcula el Average Power Spectrum:
( )( )
. variablelaen medioValor ,
,2
1
2
1
2
2y
dy
dyywFywF y
y
y
yxy
xy →
⋅
=
∫
∫
De donde se obtiene:
( ) ( )xxy wAywF =2
,
Finalmente se extrae el Maximum Average Power Spectrum de la forma:
( ) 0
≠
=xwxwAMáximoM
Notar que al extraer el máximo, no se considera la componente espectral para . 0=xw
Ahora se plantean las ecuaciones discretas en serie para la imagen digitalizada, cuya función imagen se
supone es : ( )jkf ,
k – sep of two – dimensional Fourier transform:
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
→→
⎩⎨⎧
−≤≤−≤≤
⋅⋅= ∑−
=
⋅⋅⋅−
discretas variables,discretas sfrecuencia ,
siendo
1010
con
,,1
0
2
jkuv
NjMv
ejkfjvFM
k
kMvi
j
π
Power Spectrum:
( ) ( ) ( )*2,,, jvFjvFjvF jjj ⋅=
74
Average Power Spectrum:
( )( )
( ) . variablelaen medioValor ,
,
1
0
2
2jvA
N
jvFjvF
N
jj
j →==∑−
=
Maximum Average Power Spectrum:
( ) 0≠
=v
vAMáximoM
Las expresiones matriciales numéricas son:
k – sep of two – dimensional Fourier transform:
( ) filas.en daTransforma , →⋅= Mjkj EFvjF
Power Spectrum:
( ) ( ) ( ) *2,,, vjFvjFvjF jjj ⋅=
Average Power Spectrum:
( )( )
( )32143421
filaVector
1
0
2
Columnasen Promedio
2,
, vAN
vjFvjF
N
jj
j ==∑−
=
Maximum Average Power Spectrum:
( ) 0≠
=v
vAMáximoM
La técnica de caracterización de superficies RIMAPS (Rotated Image with Maximum Average Power
Spectrum) consiste en obtener el MAPS de la función imagen correspondiente a la superficie que se
desea estudiar, para cada ángulo de rotación de la imagen entre 0º y 180º. El paso angular de rotación
en general se toma como 1º, obteniendo así 181valores de ( )αM .
Puede considerarse que al graficar ( )αM entre 0º y 360º la curva es simétrica a la ordenada en 180º.
75
3.1 Ejemplos de MAPS
Ejemplo 1:
3
1
7
12
17
0
2 3 4 5
8 9
10
13 14 15
18 19
6
11
16
0 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Píxels unitarios k
M = 20
N = 20 j
Dado que la integración se realiza para cada fila, conviene especificar la expresión discreta en serie de
la función imagen también para cada fila:
( )⎩⎨⎧ =⇔=∀
=contrario. casoen 0
11;10;9;811;10;9;8 1,
kjjkf
76
k – sep of two – dimensional Fourier transform:
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
→→
⎩⎨⎧
≤≤≤≤
⋅=∑=
⋅⋅⋅−
discretas variables,discretas sfrecuencia ,
siendo
190190
con
,,19
0
202
jkuv
jv
ejkfjvFk
kvi
j
π
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎩⎨⎧
≤≤=
∀= ∑
=
⋅⋅⋅−
contrario. casoen 0190
11;10;9;8
,
11
8
202
vj
ejvF k
kvi
j
π
Power Spectrum:
( )⎩⎨⎧
≤≤=
∀⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= ∑∑
=
⋅⋅⋅+
=
⋅⋅⋅−
19011;10;9;8
,11
8
20211
8
2022
vj
eejvFk
kvi
k
kvi
j
ππ
( )⎩⎨⎧
≤≤=
∀⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+=
19011;10;9;8
3202cos22
202cos4
202cos64,
2
vj
vvvjvFjπππ
Average Power Spectrum:
( ) ( )
190
3202cos22
202cos4
202cos64
204,
2
≤≤
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+⋅==
v
vvvvAjvFjπππ
Graficando la ecuación anterior se obtiene:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
v
Maximum Average Power Spectrum:
( ) ( ) ( ) 823595516,2191 , 2
0====
≠AAjvFMáximoM
vj
77
Ejemplo 2:
A continuación se plantea la función imagen de una línea simple y se calcula el MAPS para cinco
ángulos de rotación de la imagen.
Se aclaran dos aspectos fundamentales:
1) Existen muchos algoritmos para realizar la rotación de la imagen. Estos algoritmos además de
aplicar la transformación de coordenadas para la rotación, pueden generar una imagen
resultante que no posea necesariamente el mismo tamaño de la imagen original. Por lo tanto
deberá tenerse muy en cuenta el criterio de rotación adoptado.
En este sencillo ejemplo se supone un procedimiento de rotación en el que se mantiene
constante el tamaño de la imagen.
2) Existe un tamaño mínimo en pixels, que debe poseer la imagen, para que sea posible la
detección de una dirección preferencial RIMAPS.
Cálculo para : 00=α
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6
k
M = 10
8 9
7
j N = 8
función imagen (expresión discreta en serie especificada para cada fila):
( )⎩⎨⎧ =⇔=∀
=contrario. casoen 0
5;4;3;24 1,
jkjkf
k – sep of two – dimensional Fourier transform:
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
→→
⎩⎨⎧
≤≤≤≤
⋅= ∑=
⋅⋅⋅−
discretas variables,discretas sfrecuencia ,
siendo
7090
con
,,9
0
102
jkuv
jv
ejkfjvFk
kvi
j
π
78
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎩⎨⎧
≤≤=
∀=
⋅⋅⋅−
contrario. casoen 090
5;4;3;2
,4
102
vj
ejvF
vi
j
π
Power Spectrum:
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎩⎨⎧
≤≤=
∀=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
contrario. casoen 0
905;4;3;2
1,
410
2410
22
vj
eejvF
vivi
j
ππ
Average Power Spectrum:
( )( )
90
5,084
8
,,
7
0
2
2
≤≤
===∑=
v
jvFjvF j
j
j
Maximum Average Power Spectrum:
( ) ( ) 5,05,0 , 0 2
00 ====
≠MáximojvFMáximoM
vjα
Cálculo para : 030=α
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6
k
M = 10
8 9
7
j N = 8
función imagen (expresión discreta en serie especificada para cada fila):
( )
( ) ( )( ) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⇔=∀=∀=∀
=
contrario. casoen 045;4 1
3;4; 12;3; 1
,jk
jkjk
jkf
79
k – sep of two – dimensional Fourier transform:
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
→→
⎩⎨⎧
≤≤≤≤
⋅=∑=
⋅⋅⋅−
discretas variables,discretas sfrecuencia ,
siendo
7090
con
,,9
0
102
jkuv
jv
ejkfjvFk
kvi
j
π
( )
90contrario. casoen 0
4
3
2
,5
1024
102
410
2
310
2
≤≤
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=∀
=∀
=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−
v
jee
je
je
jvFvivi
vi
vi
jππ
π
π
Power Spectrum:
( )
90contrario. casoen 0
4 102cos22
3 1
2 1
,
510
2410
2510
2410
2
410
2410
2
310
2310
2
2
≤≤
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
=∀=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
=∀=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
v
jveeee
jee
jee
jvFvivivivi
vivi
vivi
j
πππππ
ππ
ππ
Average Power Spectrum:
( )( )
90102cos24
81
8
,,
7
0
2
2
≤≤
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+⋅==
∑=
v
vjvF
jvF jj
jπ
Maximum Average Power Spectrum:
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+⋅=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+==
=≠ 9;10
0
102cos24
81
102cos2430
vv
vvMáximoM ππα
( ) 7022542486,0300 ==αM
80
Cálculo para : 045=α
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6
k
M = 10
8 9
7
j N = 8
función imagen (expresión discreta en serie especificada para cada fila):
( )⎩⎨⎧ =⇔+=∀
=contrario. casoen 0
5;4;3;21 1,
jjkjkf
k – sep of two – dimensional Fourier transform:
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
→→
⎩⎨⎧
≤≤≤≤
⋅=∑=
⋅⋅⋅−
discretas variables,discretas sfrecuencia ,
siendo
7090
con
,,9
0
102
jkuv
jv
ejkfjvFk
kvi
j
π
( )
90contrario. casoen 0
5
4
3
2
,
610
2
510
2
410
2
310
2
≤≤
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀
=∀
=∀
=∀
=
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−
v
je
je
je
je
jvFvi
vi
vi
vi
j
π
π
π
π
Power Spectrum:
81
( )
90contrario. casoen 0
5 14 13 12 1
,2
≤≤
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀=∀=∀=∀
=
v
jjjj
jvFj
Average Power Spectrum:
( )( )
90
5,084
8
,,
7
0
2
2
≤≤
===∑=
v
jvFjvF j
j
j
Maximum Average Power Spectrum:
( ) ( ) 5,05,0 , 45 2
00 ====
≠MáximojvFMáximoM
vjα
Cálculo para : 060=α
82
función imagen (expresión discreta en serie especificada para cada fila):
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6
k
M = 10
8 9
7
j N = 8
( )
( ) ( )
( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∀=⇔=∀
=∀
=
contrario. casoen 05;4; 1
34;3 12;3; 1
,jk
jkjk
jkf
k – sep of two – dimensional Fourier transform:
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
→→
⎩⎨⎧
≤≤≤≤
⋅=∑=
⋅⋅⋅−
discretas variables,discretas sfrecuencia ,
siendo
7090
con
,,9
0
102
jkuv
jv
ejkfjvFk
kvi
j
π
( )
90contrario. casoen 0
4
3
2
,
510
2
410
2310
2
310
2
≤≤
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀
=∀⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=∀
=
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−
v
je
jee
je
jvFvi
vivi
vi
j
π
ππ
π
Power Spectrum:
( )
90contrario. casoen 0
4 1
3 102cos22
2 1
,2
≤≤
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀
=∀⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+
=∀
=
v
j
jv
j
jvFj
π
Average Power Spectrum:
( )( )
90102cos24
81
8
,,
7
0
2
2
≤≤
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+==
∑=
v
vjvF
jvF jj
jπ
Maximum Average Power Spectrum:
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+==
=≠ 9;10
0
102cos24
81
102cos2460
vv
vvMáximoM ππα
( ) 7022542486,0600 ==αM
Cálculo para : 090=α
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6
k
M = 10
8 9
7
j N = 8
83
función imagen (expresión discreta en serie especificada para cada fila):
( )⎩⎨⎧ =⇔=∀
=contrario. casoen 0
46;5;4;3 1,
jkjkf
k – sep of two – dimensional Fourier transform:
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
→→
⎩⎨⎧
≤≤≤≤
⋅=∑=
⋅⋅⋅−
discretas variables,discretas sfrecuencia ,
siendo
7090
con
,,9
0
102
jkuv
jv
ejkfjvFk
kvi
j
π
( )
90contrario. casoen 0
4 ,
6
3
102
≤≤
⎪⎩
⎪⎨
⎧=∀
= ∑=
⋅⋅⋅−
v
jejvF k
kvi
j
π
Power Spectrum:
( )
90contrario. casoen 0
4 ,
6
3
1026
3
102
2
≤≤
⎪⎩
⎪⎨
⎧=∀⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= ∑∑
=
⋅⋅⋅+
=
⋅⋅⋅−
v
jeejvF k
kvi
k
kvi
j
ππ
( )
90contrario. casoen 0
4 3102cos22
102cos4
102cos64
,2
≤≤
⎪⎩
⎪⎨
⎧=∀⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+
=
v
jvvvjvFj
πππ
Average Power Spectrum:
( )
90
3102cos22
102cos4
102cos64
81,
2
≤≤
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+⋅=
v
vvvjvFjπππ
Maximum Average Power Spectrum:
( ) ( ) ( )9;1
22
0
0 , , 90=
≠⎟⎠⎞
⎜⎝⎛===
vjvj jvFjvFMáximoM α
( ) 184016994,1900 ==αM
84
Los cinco valores de ( )αM obtenidos se muestran en la siguiente tabla de valores:
Rotación α
[grados] ( )αM Amplitud normalizada
0 0,5 0,422291236 30 0,702254249 0,593111629 45 0,5 0,422291236 60 0,702254249 0,593111629 90 1,184016994 1 120 0,702254249 0,593111629 135 0,5 0,422291236 150 0,702254249 0,593111629 180 0,5 0,422291236
Si se representa la Amplitud normalizada para los cinco valores de α calculados, obtenemos la gráfica
RIMAPS de la función imagen . ( )jkf ,
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180
Rotación [grados]
Ampl
itud
Nor
mal
izad
a
Se observa un máximo en , dado por la presencia de una dirección preferencial en el sentido de
la integración discreta (integración en filas).
090=α
Si se disminuye el número de pixels de la imagen, se reduce la amplitud relativa del máximo en
, hasta que se alcanza un tamaño de la imagen para el cual el máximo desaparece. 090=α
85
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