6.62 Calcular las ecuaciones del esfuerzo cortante y del momento flector para la viga. Dibujar los diagramas del cortante y del flector.
3m 3m 5m
SOLUCIÓN
1.- DETERMINANDO LAS REACCIONES:
3m 1m 2m 5m
∑MA=0/ -180N (4m) +BY (6m)-1000N (11m) +5000Nm=0
BY=1120N
∑FY=0/ 180N+1000N=AY+BY; BY=1120N
AY=60N
∑FX=0/ AX=0
Analizando el esfuerzo cortante y el momento flector por el método de secciones:
a) Tramo a-a (0≤x≤3)
X
Por equilibrio:
∑FY=0 / YX/2 + Va-60=0 ; Y=10X Va= 60-5x2
1KN60 N/M5 KN M
1KN
5 KN M
180N
Ay
Ax
By
60NN
Va
Ma
X/
Y
YX/2
Y/X=60/6
Y=10x
∑Ma=0/ Ma+(YX/2)(X/3)-60X=0 ; Y=10X
Ma=60X-10X3/6
b) Tramo b-b (3≤x≤6)
3 X/3
X
Por equilibrio:
∑FY=0 / YX/2 +Va-60=0 ; Y=10X
Va= 60-5X2
∑Ma=0/ Ma+5000+(YX/2)(X/3)-60X=0
Ma=60X-5X3/3 -5000
c) Tramo c-c (6≤x≤11)
3m 1m 2m X-6m
X
Por condición de equilibrio:
∑FY=0 / 180N+Va=1180N
Va=1000N
∑Ma=0/ Ma-1120(X-6)+180(X-4)+5000-60X=0
Ma=1120(X-6)+60X-180(X-4)-5000
Ma
Va60NN
YX/2
5 KN M Y=10x
5 KN M
180N
60N1120N Va
Ma
5 KN M
2.- GRAFICANDO EL DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
3m 3m 5m
1KN60 N/M
60N 1120N
6.64) Una viga ménsula soporta una carga parabólica y otra triangular. ¿Cuáles son las ecuaciones del esfuerzo cortante y momento flector?
5m 5m
SOLUCIÓN
1.-Hallando la fuerza resultante de la carga parabólica:
Como (5, 2) Є a la ecuación y=k√X ; entonces y = ( 2√55 )√X Por lo tanto la fuerza que actúa en la carga parabólica es:
F=∫0
5
( 2√55 )√X dx F=
203
2.- Determinando las reacciones:
203
N
3m 2m 53m
103m
∑FY=0 / 20N3
+ AY = 7.5N
AY = 56KN
2KN/m
3KN/m
7.5 KN AY
AX
Ma
∑MO=0 / Ma+7.5KN(203
m) - 20KN3
(3m) - 56KN (10m) = 0
Ma = 653KNm
Analizando el esfuerzo cortante y el momento flector por el método de secciones:
a) Tramo a-a (0≤x≤5)
X
Por condición de equilibrio:
∑FY = 0 / Va + = 0
Va = - (Ecuación de esfuerzo cortante)
∑Ma = 0 / + Ma = 0
Ma = - (Ecuación de momento flector)
b) Tramo b-b (5≤x≤10)
2(X−5)3
(X-5)/2
K Y
Ma
Va
4 √515
0.6X 0.4X
4 √575
4 √515
4 √575
X1.5( 25X
8√575
X2.5
203N
Va
Ma
F1F2
3m 2m x-5m
X
Calculando K e Y
. YX−5
= 35
. K = 3-Y
Y= 3(X−5)5
K= 3(10−X )
5
Entonces:
F1 = Y(X-5)/2 = 3(X−5)(X−5)
10
F2 = K(X-5) = 3(10−X )(X−5)
5
Por condición de equilibrio:
∑Fy = 0 / 203
+ Va = 3(X−5)(X−5)
10 + 3(10−X )(X−5)
5
Va = 3(X−5)(X−5)
10 + 3(10−X )(X−5)
5 - 203
(Ecuación de
esfuerzo cortante)
∑Ma = 0 / Ma + 20(x−3)
3 - 3 (x−5 ) (x−5 )
10(2 ( x−5 )3
) - 3(10− x)(x−5)
5(x−52
) = 0
Ma = 3(10− x)(x−5)
5(x−52
) + ( x−5 ) ( x−5 )
5(x−5) - 20(x−3)
3 (Ecuación de
momento flector)
6.65) Determinar las ecuaciones del esfuerzo cortante y del momento flector para la viga. Luego dibujar los diagramas utilizando, si es necesario, las ecuaciones para averiguar los puntos clave, como la posición de los puntos donde Va = 0. ¿Cuánto vale el momento flector en esos puntos?
4KN80 KN m
150 KN /m
10m 10m 10m
10m 10m 10m
10m 10m
C D
a
10m 10m 10m 10m
SOLUCIÓN
1.- Determinando las reacciones:
6.30
a) Hallar las fuerzas en las barras DG Y DF mediante el método de secciones. Determinar cuando las fuerzas en las barras están sometidas a tracción o comprensión.
b) Determinar las fuerzas en las barras AC, AB, CB Y CD mediante el método de nudos. Etiquetar el diagrama de forma apropiada indicando cuándo las barras están sometidas a tracción o comprensión.
SOLUCIÓN
1.- Determinando las reacciones:
10m
10m 10m 10m 10m
50 KN 50 KN80 KN
50 KN 50 KN80 KN
A F H
AX
90kN
G
10m
10m
FE
DG
DFα
DFsenα
DFcosα
α
a
Por equilibrio:
∑MA = 0 / - 50KN(10m) - 80KN(20m) - 50KN(30m) + HY(40m)=0
HY = 90kN ∑FY = 50kN + 80kN + 50kN = AY + HY ; HY = 90kN
AY = 90kN
∑FX = 0 / AX = 0
a) Realizando un seccionamiento vertical a-a entre las barras DG Y EF, para determinar las fuerzas en las barras DG Y DF
Del gráfico:
Tanα = 1, entonces α = 45°
Por condición de equilibrio:
∑MG = 0 / 90kN(10m) + DG(10m) = 0
DG = 90kN (C)
∑FY = 0 / 90KN + DFsen45° - 50KN = 0
DF = 56.57KN (C)
10m10m
10m
10m 10mB E G
AY HY
H
50 KN
90kN
AC
AB
YXY
ABcos45°
ABsen45°
45°
50KN
AC
CB
CD X
Y
T
A
B
C
D E
F
3KN800N
3KN800NBX
b) Determinando las fuerzas en las barras AC, AB, CB y CD mediante el método de nudos.
NUDO A: Por equilibrio:
NUDO C: Por equilibrio:
- ∑FY = 0 / 50KN + CB = 0 CB = 50KN (C)
- ∑FX = 0 / AC + CD = 0; AC = 90KN
CD = 90 KN (C)
6.11 Determinar las fuerzas en las barras. Las poleas en C y F pesan 300N cada uno. Omitir los demás pesos. Asegurarse de comprobar la solución
SOLUCIÓN
1.- Determinando las reacciones:
1 KN
- ∑FY = 0 / 90KN – ABsen45° = 0
AB = 127.28KN (T)
- ∑FX = 0 / ABcos45° + AC = 0 ; AB = 127.28KN
AC = 90KN (C)
T
A
B
C
D E
FAY
BY
300N 300N
1300N
EF
CF X
Y
X
Y
800N
EF
ECsenα
ECcosα
EC
DE
α
Por equilibrio:
a) Determinando las fuerzas en las barras por el método de nudos:
- NUDO F
- NUDO E
1 KN
∑FY = 0 / BY + 3000N + 800N + 600N + 2000N = 0 ; T = 1000N
BY = 6400N
∑FX = 0 / BX + AX = 0
Por equilibrio:
- ∑FY = 0 / EF - 1300N = 0
EF = 1300N (T)
- ∑FX = 0 / CF = 0
Del problema:
Tanα = 35
, entonces α = 30.96°
Por condición de equilibrio:
- ∑FY = 0 / 800N + EF + ECsen30.96° = 0 ; EF = 1300N
EC = 4082.11N (C)
- ∑FX= 0 / ECcos30.96° + DE = 0
DE = 3500.52N (T)
X
Y
DE
3000N
BD
DC
BD
6400N
BX
ABBC
BCsen30.96°
BCcos30.96°
30.96° X
Y
AB
ACAX X
YX
CFAC
BC 3000N
BCsen30.96°
BCcos30.96°
ECsen30.96°
ECcos30.96°
EC
X
Y
- NUDO D
- NUDO B
- NUDO A
Como AB = 0N, entonces:
o BC = 6400N +0sen30.96 °
= 12440.72N (T)
o BX = 14168.77N
- NUDO C :
Por equilibrio:
- ∑FY = 0 / 3000N + DC = 0
DC = 3000N (C)
- ∑FX = 0 / DE – BD = 0 ; DE = 3500.52N
BD = 3500.52N (T)
Por equilibrio:
- ∑FY = 0 / 6400N – AB – BCsen30.96° = 0
BC = 6400N+ABsen30.96 °
----------- (1)
- ∑FX = 0 / BX + BD + BCcos30.96° = 0 ; BD = 3500.42N
BX = −(3500.52N+BCcos30.96 ° ) --------- (2)
Por condición de equilibrio:
- ∑FY = 0 / AB = 0 N
- ∑FX = 0 / AX + AC = 0
AX = - AC…………. (3)
Por condición de equilibrio:
- ∑FY=0/ ECsen30.96°+3000N+1300N-BCcos30.96°=0 ; EC=4082.11N, BC=12440.72N
- ∑FX=0/ ECcos30.96°+AC+BCcos30.96°-CF=0 ; EC=4082.11N, BC=12440.72N, CF=0N
AC=14168.77N (C)
1300N
A
B
C
D E
F
3KN800N
300N 300N1000N 1000N
14168.77N
14168.77N 14168.77N 14168.77N
3500.52N3500.52N 3500.52N 3500.52N
4082.11N
4082.11N
12440.72N
12440.72N1300N
1300N
0N0N
0N
0N 3 KN
3 KN
Como AC = 14168.77N (C), entonces:
o AX =14168.77N
Finalmente:
Donde las barras:
o AB = 0No AC= 14168.77N (T)o BD = 3500.52N (C)o BC = 12440.72N (C)o CD = 3KN (T)o DE = 3500.52N (C)o CE = 4082.11N (T)o EF = 1300N (C)o CF = 0N
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