CASO: COMPRA DE
AVIONES
Presentado por:
Maritza Caicedo Cód.: 1353912 Wilson Londoño Cód.: 1353903 Estefania Palma Cód.: 1353792
Descripción breve Se resolverá un caso sobre la compra de aviones, desde varios puntos de vista, y se
hacen análisis sobre qué pasaría si algunas condiciones cambiaran, todo esto usando modelos de programación lineal.
Caso: Compra de Aviones
Tipo de avión Corto Mediano Largo
Precio $ 3.500.000,00 $ 5.000.000,00 $ 6.700.000,00
Ganancia $ 230.000,00 $ 300.000,00 $ 400.000,00
Hangares 40 30 24
Presupuesto $ 150.000.000,00
a)
Variables:
𝑨𝒊 → 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑣𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑖 ;
𝑖 = 1,2,3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑣𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑜𝑠, 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑦 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜𝑠, 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒.
Función objetivo:
(Maximizar) 𝐺 = 230000𝐴1 + 300000𝐴2 + 400000𝐴3(𝐷𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠)
Restricciones:
Por el presupuesto:
3500000A1 + 5000000𝐴2 + 6700000𝐴3 ≤ 150000000 (𝐷𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠)
Por la cantidad de pilotos:
∑ Ai
3
i=1
≤ 30 (𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑣𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑙𝑜𝑡𝑜𝑠)
Por hangares disponibles: 𝐴1
40+
𝐴2
30+
𝐴3
24≤ 1 (𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 ℎ𝑎𝑛𝑔𝑎𝑟)
𝐴𝑖 ≥ 0
b) Estandarizando:
3500000A1 + 5000000𝐴2 + 6700000𝐴3 + 𝑆1 = 150000000
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝑆2 = 30
𝐴1
40+
𝐴2
30+
𝐴3
24+ 𝑆3 = 1
𝐶𝑗 230000 300000 400000 0 0 0
Variables Básicas
𝐶𝑗 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS 𝜃
𝑆1 0 3500000 5000000 6700000 1 0 0 150000000 22,3881
𝑆2 0 1 1 0,001 0 1 0 30 30000
𝑆3 0 0,025 0,03333 0,0417 0 0 1 1 24 𝑍𝑗 0 0 0 0 0 0
𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 -230000 -300000 -400000 0 0 0
𝐶𝑗 230000 300000 400000 0 0 0
Variables Básicas
𝐶𝑗 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS 𝜃
𝐴3 400000 0,52238806 0,74626866 1 0,000000149 0 0 22,3880597 42,8571429
𝑆2 0 0,47761194 0,25373134 0 -0,000000149 1 0 7,6119403 15,9375
𝑆3 0 0,0032 0,0022 0 -0,0000000022 0 1 0,0672 20,7692
𝑍𝑗 208955,224 298507,463 400000 0,059701 0 0 8955223,88
𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 -21044,7761 -1492,53731 0 0,059701 0 0
En el tablero final del simplex se puede observar que ninguna de las variables no
básicas podría mejorar la función objetivo, ya que el problema es de maximizar y
ningún costo reducido da negativo, cumpliéndose ya el criterio de parada y dando
la solución óptima mostrada a continuación:
𝐺 = 230000𝐴1 + 300000𝐴2 + 400000𝐴3 = 9.290.625,01
1 El resultado que se muestra está dado trabajando con todas las cifras.
𝐶𝑗 230000 300000 400000 0 0 0
Variables Básicas
𝐶𝑗 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS
𝐴3 400000 0 0,46875001 1 0,0000003120 -1,09375 0 14,0625
𝐴1 230000 1 0,53124999 0 -0,0000003120 2,09375 0 15,9375
𝑆3 0 0 0,0005208 0 -0,0000000052 -0,00677 1 0,0156 𝑍𝑗 230000 309687,081 400000 0,0530344 44062,499 0 9290625,011
𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 9687,08123 0 0,0530344 44062,499 0
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Escriba aquí la ecuació
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Escriba aquí la ecuación.
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Escriba aquí la ecuación.
Sale
Escriba aquí la ecuación.
c)
Algoritmo primal:
(Maximizar) 𝐺 = 230000𝐴1 + 300000𝐴2 + 400000𝐴3
Sujeto a:
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 ≤ 30
𝐴1 +4
3𝐴2 +
5
3𝐴3 ≤ 40
3500000A1 + 5000000𝐴2 + 6700000𝐴3 ≤ 150000000
𝐴𝑖 ≥ 0
Algoritmo Dual asociado:
(Minimizar) 𝐺′ =3
100000𝑊1 +
4
100000𝑊2 + 1500𝑊3
Sujeto a:
0,00001𝑊1 + 0,00001𝑊2 + 35𝑊3 ≥ 2,3
0,00001𝑊1 +4
300000𝑊2 + 50𝑊3 ≥ 3
0,00001𝑊1 +5
300000𝑊2 + 67𝑊3 ≥ 4
𝑊𝑖 ≥ 0
Estandarizando:
(Minimizar) 𝐺′ = 0,0003𝑊1 + 0,0004𝑊2 + 1500𝑊3 + 𝑀𝑅1 + 𝑀𝑅2 + 𝑀𝑅32
Sujeto a:
0,00001𝑊1 + 0,00001𝑊2 + 35𝑊3 + 𝑆1 + 𝑅1 = 2,3
0,00001𝑊1 +4
300000𝑊2 + 50𝑊3 + 𝑆2 + 𝑅2 = 3
0,00001𝑊1 +5
300000𝑊2 + 67𝑊3 + 𝑆3 + 𝑅3 = 4
A continuación se resolverá por el método de las M.
𝐶𝑗 0,0003 0,0004 1500 0 0 0 M M M
Variables Básicas
𝐶𝑗 𝑊1 𝑊2 𝑊3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝐻𝑆 𝜃
𝑅1 M 0,00001 0,00001 35 -1 0 0 1 0 0 2,3 0,065714
𝑅2 M 0,00001 0,0000075 50 0 -1 0 0 1 0 3 0,06
𝑅3 M 0,00001 0,000006 67 0 0 -1 0 0 1 4 0,059701
𝑍𝑗 0,00003M 0,0000235M 152 -M -M -M M M M
𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0,00003M-0,00003
0,0000235M-0,0004
152M-1500 -M -M -M 0 0 0
2Siendo 𝑅𝑖 las variables artificiales correspondientes a cada restricción.
Entra
Escriba aquí la ecuación.
Sale
Escriba aquí la ecuación.
𝐶𝑗 0,0003 0,0004 1500 0 0 0 M M M
Variables Básicas
𝐶𝑗 𝑊1 𝑊2 𝑊3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝐻𝑆 𝜃
𝑅1 M 0,000004776 0,0000068657 0 -1 0 0,52238806 1 0 -0,52238806 0,21044776 0,4029
𝑅2 M 0,000002537 0,0000030224 0 0 -1 0,74626866 0 1 -0,74626866 0,01492537 0,02
𝑊3 M 0,000000149 0,00000008955 1 0 0 -0,0149254 0 0 0,01492537 0,05970149 -4
𝑍𝑗 0,000007313
𝑍𝑗 − 𝐶𝑗
0,00000731343284M-
0,00007612
0,000002189M-
0,000373119
0 -M -M 1,2686567
2M-22,33809
0 0 -M
𝐶𝑗 0,0003 0,0004 1500 0 0 0 M M M
Variables Básicas
𝐶𝑗 𝑊1 𝑊2 𝑊3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝐻𝑆 𝜃
𝑅1 M 0,000003 0,00000475 0 -1 0,7 0 1 -0,70 0 0,20 0,28571429
𝑆3 0 0,34 0,405 0 0 -134000 100000 0 134000 -100000 2000 -0,0149254
𝑊3 1500 0,0000002 0,00000015 1 0 -0,02 0 0 0,02 0 0,06 -3
𝑍𝑗 0,000003M
-0,0003
0,00000475M-0,0004
1500 -M 0,000007
M-30 0 M
-0,7M+30
0
𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0,000003M
-0,0006 0,00000475M-0,0008
0 -M 0,000007
M-30 0 0
-0,7M+30
-M
𝐶𝑗 0,0003 0,0004 1500 0 0 0 M M M
Variables Básicas
𝐶𝑗 𝑊1 𝑊2 𝑊3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝐻𝑆 𝜃
𝑆2 0 0,000004286 0,000006786 0 -1,42857 1 0 1,42857 -1 0 0,28571423 66666,66667
𝑆3 0 0,000009143 0,000013143 0 -1,91428 0 1 1,91428 0 -1 0,40285714 44062,5
𝑊3 1500 0,000000286 0,000000286 1 -0,028571429 0 0 0,028571429 0 0 0,06571429 230000
𝑍𝑗 0,000428571 0,000428571 1500 -42,8571429 0 0 42,85714286 0 0
𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0,000128571 0,000028571 0 -42,8571429 0 0 0,000428571
4286-M -M -M
𝐶𝑗 0,0003 0,0004 1500 0 0 0 M M M
Variables Básicas
𝐶𝑗 𝑊1 𝑊2 𝑊3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝐻𝑆
𝑆2 0 0 0,00000063 0 -0,53125 0 -0,46875 0,53125 -1 0,46875 0,096875
𝑊1 0,0003 1 1,4375 0 -209375 0 109375 209375 -0,00002896 -109375 44062,5
𝑊3 1500 0 -0,00000012 1 0,03125 1 -0,03125 -0,03125 0 0,03125 0,053125
𝑍𝑗 0,0003 0,00024375 1500 -15,937496 0 -14,063 15,9375 0 14,062503 92,906253
𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 -0,0001563 0 -15,937496 0 -14,063 -M -M -M
3 El resultado que se muestra tiene como factor multiplicador 100.000, por esta razón la respuesta es 92.290.625 millones de dólares.
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Sale
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Después de hacer cada iteración, se llega al tablero anterior cumpliéndose el criterio
de parada para una función de minimización. Para empezar el algoritmo se
dividieron algunas restricciones en 100.000 para evitar trabajar con cifras muy
grandes.
d)
Algoritmo Simplex Dual
Se procederá a resolver por el Algoritmo Simplex Dual el problema dual asociado.
(Minimizar) 𝐺′ = 150000000𝑊1 + 30𝑊2 + 𝑊3
Sujeto a:
−3500000𝑊1 − 𝑊2 −1
40𝑊3 + 𝑆1 = −230000
−5000000𝑊1 − 𝑊2 −1
30𝑊3 + 𝑆2 = −300000
−6700000𝑊1 − 𝑊2 −1
24𝑊3 + 𝑆3 = −400000
𝐶𝑗 150000 0,03 0,001
Variables Básicas
𝐶𝑗 𝑊1 𝑊2 𝑊3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS
𝑆1 0 -3500 -0,001 -0,000025 1 0 0 -230
𝑆2 0 -5000 -0,001 -0,00001875 0 1 0 -300
𝑆3 0 -6700 -0,001 -0,000015 0 0 1 -400
𝑍𝑗 0 0 0 0 0 0 0
𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 -150000 -0,03 -0,001 0 0 0
𝜃 22,38805 30 66,666667
𝐶𝑗 150000 0,03 0,001
Variables Básicas
𝐶𝑗 𝑊1 𝑊2 𝑊3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS
𝑆1 0 0 -0,47763582 -0,01716504 1 0 -0,522441418 -21045,8284
𝑆2 0 0 -0,25373134 -0,00323399 0 1 -0,74626866 -1492,53731
𝑊1 150000 1 0,0000001493 -0,00223881 0 0 0,0000001493 0,05970149
𝑍𝑗 150000 0,02238806 0,000932836 0 0 -0,02238806 8955,2235
𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 -0,01 -0,000067164 0 0 0
𝜃 0,0159367 0,020768192 0 0,042855
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Escriba aquí la ecuación.
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Escriba aquí la ecuación.
Se puede evidenciar que el problema Dual es mucho más sencillo de resolver por
el algoritmo Simplex Dual, pues nos evita la creación de variables artificiales debido
a las restricciones de mayor o igual.
e) No era necesario resolver el problema Dual, pues en el último tablero del problema
Primal resuelto por el método simplex se puede conocer los precios sombra
correspondiente a cada variable. Por otro lado, al resolver el problema Dual, el
resultado serán los precio sombras correspondientes a las variables del problema
primal.
4 El resultado que se muestra tiene como factor multiplicador 1.000, por esta razón la respuesta es 92.290.625 millones de dólares.
𝐶𝑗 150000 0,03 0,001
Variables Básicas
𝐶𝑗 𝑊1 𝑊2 𝑊3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS
𝑊2 0,03 0 1 0,006770833 -2,09375 0 1,09375 44062,5
𝑆2 0 0 0 -0,000520833 0,006770833 1 -0,46875 9687,5
𝑊1 150000 1 0 0,000000005 -0,000520833 0 -0,0000003 0,0531 𝑍𝑗 150000 0,03 0,000984328 -0,015922969 0 -0,01403203 9290,324
𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 0 -0,000015672 -0,015922969 0 -0,01403203
𝐶𝑗 230000 300000 400000 0 0 0
Variables Básicas
𝐶𝑗 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS
𝐴3 400000 0 0,46875001 1 0,0000003120 -1,09375 0 14,0625
𝐴1 230000 1 0,53124999 0 -0,0000003120 2,09375 0 15,9375
𝑆3 0 0 0,0005208 0 -0,0000000052 -0,00677 1 0,0156
𝑍𝑗 230000 309687,081 400000 0,0530344 44062,499 0 9290625,01
𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 9687,08123 0 0,0530344 44062,499 0
Precios Sombra para cada variable.
f) Modelo Primal resuelto por WinQSB5
MODELO PRIMAL RESUELTO POR SOLVER
5 Los valores mostrados en los pantallazos como X1, X2, X3, corresponden a las variables 𝐴1, 𝐴2 𝑦 𝐴3, respectivamente.
Solución óptima,
corresponde a la
cantidad de
aviones a comprar.
Capacidad usada en las
restricciones, se
evidencia que se gastó
el total del presupuesto,
se asignaron todos los
pilotos, y se usó el
98,44% e la capacidad
de los hangares.
Ganancia que
proporciona la
cantidad de
aviones que
se compran
de cada tipo.
Intervalo
permisible en los
cuales se pueden
variar los recursos
sin que afecte la
F.O.
Intervalo
permisible en los
cuales se pueden
variar los
recursos sin que
afecte la F.O.
Precio sombra
correspondiente a cada
variable, también indica la
solución óptima del problema
Dual, e indica la cantidad
que cuesta aumentar un
recurso en la F.O.
Es lo que falta para
completar los recursos
máximos, el valor
0,0156 representa que
el espacio vacío que
quedo en los hangares
es del 1,56%.
Costos reducidos de cada
variable, las variables
básicas tienen costo
reducido 0, el costo
reducido de 𝑥2 afecta
negativamente la F.O.
Modelo Primal resuelto por Solver
El problema Primal resuelto por Solver, nos muestra la cantidad de aviones a
comprar y el beneficio reportado por estos así como el presupuesto que se usó, la
capacidad del hangar y el número de pilotos usados.
g) La solución del problema primal es 𝑋𝑏 = 𝐵−1𝑏, conociendo 𝐵−1 del ultimo tablero de
simplex, y usando b como �̅� = (150000000, 35, 1) podemos hallar la nueva solución
así:
𝑋𝑏 = [0,0000003120 −1,90375 0
−0,0000003120 2,09375 0−0,0000000052 −0,0068 1
] [150000000
351
]
𝑋𝑏 = [8,59375
26,40625−0,018
] = [𝐴3
𝐴1
𝑆3
]
Como 𝑆3 es la variable de holgura asociada a la capacidad del hangar, se puede
evidenciar que para aumentar la cantidad de pilotos también se debe invertir en la
ampliación de la capacidad del hangar además de los 100.000 USD que ya había
que invertir, por esta razón, no es recomendable esta decisión. También podemos
tener en cuenta que 35 no está dentro del valor permisible que se evidencia en el
ítem f con la solución en WinQSB, por esta razón al cambiar este valor la función
objetivo también se modifica.
h) La solución del problema primal es 𝑋𝑏 = 𝐵−1𝑏, conociendo 𝐵−1 del ultimo tablero de
simplex, y usando b como �̅� = (200000000, 30, 1) podemos hallar la nueva solución
así:
𝑋𝑏 = [0,0000003120 −1,90375 0
−0,0000003120 2,09375 0−0,0000000052 −0,0068 1
] [200000000
301
]
𝑋𝑏 = [29,68750,3125−0,244
] = [𝐴3
𝐴1
𝑆3
]
Como 𝑆3 es la variable de holgura asociada a la capacidad del hangar, se puede
evidenciar que para aumentar el presupuesto también se debe invertir en la
ampliación de la capacidad del hangar.
i) Es justificable invertir en la ampliación de la capacidad de los hangares porque esta
restricción es la que condiciona el rango de permisibilidad de la cantidad de pilotos
(asociado a la cantidad de aviones), y tampoco permite hacer una gran inversión
para la compra de aviones porque se necesita ampliar la capacidad del hangar.
j) Se trata de un cambio en una columna no básica de A, así pues se calcula la nueva
columna como 𝑌𝑗∗ = 𝐵−1𝑎𝑗
∗ y se revisa 𝑧𝑗∗ = 𝐶𝐵𝑌𝑗
∗.
𝑌𝑗∗ = [
0,0000003120 −1,90375 0−0,0000003120 2,09375 0−0,0000000052 −0,0068 1
] [
450000011
30
]
𝑌𝑗∗ = [
0,31250,6875
0,00313333]
𝑍𝑗∗ = [
230000300000400000
] [0,31250,6875
0,00313333] = 279378,333
𝑍𝑗∗ − 𝐶𝑗
∗ = 279378,333 − 300000 = −20621,667
Como no se cumple la condición de optimalidad se sigue iterando:
La mejor alternativa de inversión para la compra de los aviones es como se muestra
en el tablero anterior, ya que las ganancias totales ahora son 9.374.641 USD.
Verificando resultados en WinQSB
𝐶𝑗 230000 300000 400000 0 0 0
Variables Básicas
𝐶𝑗 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS 𝜃
𝐴3 400000 0 0,3125 1 0,0000003120 -1,09375 0 14,0625 45
𝐴1 230000 1 0,6875 0 -0,0000003120 2,09375 0 15,9375 23,1818
𝑆3 0 0 0,00313333 0 -0,0000000052 -0,00677 1 0,0156 4,979 𝑍𝑗 230000 283125 400000 0,0530344 44062,499 0 9290625,01
𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 -16875 0 0,0530344 44062,499 0
𝐶𝑗 230000 300000 400000 0 0 0
Variables Básicas
𝐶𝑗 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS
𝐴3 400000 0 0 1 0,000000831 -0,418549814 -99,73415 12,51
𝐴1 230000 1 0 0 0,000000829 3,57919041 -219,4151 12,51
𝐴2 300000 0 1 0 -0,00000166 -2,160640596 319,14928 4,98 𝑍𝑗 230000 300000 400000 0,025034651 7601,689935 5385644 9374641,05
𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 0 0 0,025034651 7601,689935 5385644
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k) Al tener una nueva variable (𝐴4) correspondiente al nuevo tipo de avión, se obtiene una nueva columna. Para saber si la solución actual sigue siendo optima, se calcula
𝑌𝑛+1 = 𝐵−1𝑎𝑛+1 y 𝑍𝑛+1 = 𝐶𝐵𝑌𝑛+1
𝑎𝑛+1 = [
70000000011
30
]
𝑌𝑛+1 = [0,0000003120 −1,90375 0
−0,0000003120 2,09375 0−0,0000000052 −0,0068 1
] [
700000011
30
]
𝑌𝑛+1 = [1,09375
−0,09375
−0,0432
]
𝑍𝑛+1 = [230000300000400000
] [1,09375
−0,09375
−0,0432
] = −206157,5
𝑍𝑛+1 − 𝐶𝑛+1 = −1289674,17 − 450000 = −243842,5
𝐶𝑗 230000 300000 400000 450000 0 0 0
Variables Básicas
𝐶𝑗 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS 𝜃
𝐴3 400000 0 0,46875001 1 1,09375 0,0000003120 -1,09375 0 14,0625 12,8571
𝐴1 230000 1 0,53124999 0 -0,09375 -0,0000003120 2,09375 0 15,9375 -170
𝑆3 0 0 0,0005208 0 -0,0432 -0,0000000052 -0,00677 1 0,0156 -0,36111
𝑍𝑗 230000 309687,081 400000 415937,5 0,0530344 44062,5 0 9290625
𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 9687,08123 0 -34062,5 0,0530344 44062,5 0
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Verificando resultados en WinQSB
Es muy conveniente comprar el nuevo tipo de avión, pues sin aumentar los recursos disponibles se podrá aumentar la ganancia.
NOTA: Desde el literal e hasta el j, el tablero final de simplex que se usa, es el
presentado en el literal b de este trabajo.
𝐶𝑗 230000 300000 400000 450000 0 0 0
Variables Básicas
𝐶𝑗 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS
𝐴4 400000 0 0,4285714 0,9142857 1 0,0000003 -1 0 12,8571
𝐴1 230000 1 0,57142856 0,0857143 0 -0,000000285 2 0 17,1429
𝑆3 0 0 0,0191577 0,0397516 0 0 -0,050292 1 0,575
𝑍𝑗 230000 324285,716 431142,86 450000 0,062756571 10000 0 9728571,43
𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 24285,7163 31142,857 0 0,062756571 10000 0
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