Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería
Análisis de Sistemas y Señales
Transformada Inversa:
Laplace
Alumnos:
Anzures Robles Jorge García Luciano Laura Quezada Borja Arnulfo Rojas Arteaga I. Karina
Fecha de entrega: Abril-2008.
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería
Análisis de Sistemas y Señales
Transformada Inversa: Laplace
Análisis de Sistemas y Señales 2
Transformada 1.- [Ejercicio que se le asignó al equipo para exponer]
Sea X(s) la siguiente función: , calcular su transformada inversa
Realizamos una división para obtener una ecuación que pueda solucionarse, ya que podemos ver que el grado de el denominador es mayor, se debe de simplificar a lo máximo para poder realizar la operación.
… Dividiendo tenemos:
Sustituyendo nos queda la siguiente expresión:
X(s)=s-4+ , para resolver necesitamos encontrar las raíces de la última expresión:
Resolviendo por la fórmula de resolución de ecuaciones de 2 grado:
√= = √ √ , las raíces de esta ecuación son:
Sustituyendo en la ecuación para resolverlas por fracciones parciales: v(s)= . ,
Descomponiendo: v(s)= . ,
; calculando A y B para sustituirlos.
a) Si s=0.449 20(0.449)-12=A(0.449+4.449)
b) Si s=-4.449 20(-4.449)-12=A(-4.449-0.449)
v(s)= ..
.,
, con esta expresión tenemos la expresión completa,
X(s)= s-4+ ..
.,
aplicando la anti-transformada
s‐4 +4s‐2 +0 +4s‐4 ‐ ‐4 +2s ‐4 +4s‐4 4 +16s‐8 20s‐12
x1= 0.449 y x2=-4.449
A=-0.616
B=20.616
4 0.616 . 20.616 . ; 0
4 0.616 . 20.616 . ; 0
Transformada Inversa: Laplace
Análisis de Sistemas y Señales 3
Ejercicios:
1.- Sea X(s)= hallar su anti-transformada x(t)
Dividiendo tenemos:
Sustituyendo nos queda la siguiente expresión:
X(s)=2+ , para resolver necesitamos encontrar las raíces de la última expresión:
Resolviendo por la fórmula de resolución de ecuaciones de 2 grado:
√= = √ √ , las raíces de esta ecuación son:
Sustituyendo en la ecuación para resolverlas por fracciones parciales: v(s)= . .
Descomponiendo: v(s)= . .
; calculando A y B para sustituirlos.
a) Si s=-0.585 -17(-0.585)-39=A(0.585-3.414)
b) Si s=-3.414 -17(-3.414)-39=A(-0.585+3.414)
v(s)= ..
.
. ;, con esta expresión tenemos la expresión completa,
X(s)= 2+ ..
.,
aplicando la anti-transformada
2 +4s+2 2 ‐9s‐35 ‐2 ‐8s‐4 ‐17s‐39
x1= -0.585 y x2=-3.414
A=-10.27
B=-6.72
9 2 ; 0 2 10.27 . 6.72 . ; 0
9 2 ; 0 2 10.27 . 6.72 . ; 0
Transformada Inversa: Laplace
Análisis de Sistemas y Señales 4
-1 0 -1 0
1 0 S=-2
2.- Sea la siguiente ecuación X(s)= hallar su anti-transformada x(t)
X(s)= Vemos que se puede factorizar, se tiene la siguiente expresión:
Comprobando cuáles son sus raíces por división sintética:
Entonces comprobamos que tenemos la siguiente expresión: y descomponemos en
fracciones parciales: ²
y resolvemos, para obtener las constantes A, B y C.
a) Si s=-2 3[(-2)²+2(-2)+1] ) = B(-2+1)
b) Si s=-1 3[(-1)²+2(-1)+1] ) = C(-1+2)
c) Si s=0 1=A(2)+(-9)+2(4)
Sustituyendo el valor de las constantes nos queda la función así: x(s) = ²
Aplicando entonces tenemos que la función en términos de t es:
1 5 8 4
-2 -2 -6 -4
1 3 2 0 S=-2
0 0 0
-2 0 -2 -2
1 1 0 S=-2
B=-9
C=2
A=1
9 2 ; 0
9 2 ; 0
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Análisis de Sistemas y Señales 5
3.- Sea la señal X(s)=2
5 3 2 2 2
118 81 9 ( 9)s A Bs C Ds E
s s s s s s+ + +
= + ++ + + +
Obtener su anti-transformada
2 2 2 2
2 4 2 2 2 2
2 4 2 4 2 3 2
1 ( 9) ( )( )( 9) ( )1 ( 18 81) ( 9)1 18 81 9 9
s A s Bs C s s Ds E ss A s s Bs Cs s Ds Ess As As A Bs Bs Cs Cs Ds Es
+ = + + + + + +
+ = + + + + + + +
+ = + + + + + + + +
Agrupando los coeficientes en sistemas de ecuaciones y determinando su valor:
1081
018 9 721 18 9 1 ;81 81 81
0 9 011 8181
A B B A
C
A B D D D
C E E
A A
= + ⇒ = − = −
=
= + + ⇒ − + = =
= + ⇒ =
= ⇒ =
Sustituyendo en ecuación de fracciones parciales los valores de A, B, C, D y E:
2 2 2
1 1 7281 81 81
9 ( 9)
s Ds
s s s− +
+ +
1
1 1 1 12 2 2 2 2 2
12 2
:1 1 72 1 1 7281 81 81 81 81 81
9 ( 9) 9 ( 9)
721 1 81cos(3 )81 81 ( 9)
st
aplicando
s Ds s s
s s s s s s
se t
s
−
− − − −
− −
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
− + = − +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ + + +⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎧ ⎫⎪ ⎪
= − + ⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭
D
D D D D
D
Por tablas identificamos a qué función se parece y sustituimos:
1 12 2 2 2 2
722 7281( ) (3 )
( ) ( 9) 486
sas tsen at tsen ts a s
− −
⎧ ⎫⎪ ⎪⎧ ⎫
= ⇒ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ +⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭
D D
21
5 3
1 1 1 72cos(3 ) (3 )18 81 81 81 486
sts e t tsen ts s s
− −⎧ ⎫+= − +⎨ ⎬+ +⎩ ⎭
D
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Análisis de Sistemas y Señales 6
4.- Sea la expresión X(S) hallar su transformada inversa.
X(S) = = = ²
=²=
² ²
= ²
²=
²
Igualando coeficientes
A+B=0; A=‐B 18A+9B+D=1; ‐18B+9B+D=1
9B+D=1
D=1‐9B
D=1+ (9/81)
D=90/81 = 10/9; C=0;
9C+E=0; E= 0
A81=1; A= 1/81 y B=‐1/81
Sustituyendo tenemos:
s+ 12
(s+ 12
)2 +34
−13
32
(s+ 12
)2 +34
+2e−s
3
32
(s+ 12
)2 +34
Y aplicando la transformada inversa
tenemos que la ecuación con su transformada inversa es:
e12
tcos 3
2t − 1
3e
12
tsen 3
2t + 2
3e
12
tsen 3
2t(u(t +1))
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Análisis de Sistemas y Señales 7
5.- Tenemos la siguiente función: x(s)= ²
, calcular su transformada inversa.
Para poder resolver aplicando división al primer término de la suma:
Sustituyendo el resultado obtenido en la función
x(s) = 1²
²
De (1) y ; Tenemos: ² y tomamos solo
² =
² , una vez separadas en fracciones resolvemos el valor de las constantes:
s= A(s+1)² + B(s+1) Resolviendo el sistema de ecuaciones: A=1, B=-1
Sustituyendo queda de la siguiente manera:
² ² = X(s´), y sabemos que =
Recordando una propiedad: f(x)h(t-x)dx tenemos entonces que:
F[s]= Calculando su H[s]=
f(t)= 1 h(t)=
Quedando la transformada inversa de X(t´)= (2-t) 1 … . 1´ 0
De (2) Tenemos que: ² es ahora: s´´ y calculando su transformada inversa
queda la ecuación de la siguiente manera aplicando las siguientes propiedades
y . A partir de esto calculamos:
F[s]= Calculando su H[s]=
f(t)= 2 h(t)=
Quedando la transformada inversa de X(t´´)= (t-2) 2 … . 2´ 0
Agregando estas transformadas inversas a la ecuación X(s) para obtener x(t) es:
1 s+1 s ‐s‐1 ‐1
(1) (2)
2A+B=1 A+B=0
2 t 1 t 2 2 ; 0
2 t 1 t 2 2 ; 0
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Análisis de Sistemas y Señales 8
Exposiciones
1.- Sea la función x(s)=2 2
3 2 2
3 4 1 3 4 12 2 ( 2)( 1)
s s s ss s s s s
+ + + +=
+ + + + +. Calcular su transformada
inversa
Factorizando 3 22 2s s s+ + + agrupando: 3 2( ) (2 2)s s s+ + + sacando factor común: 2 2 2( 1) 2( 1) ( 2)( 1)s s s s s+ + + = + + por fracciones parciales:
2
2
3 4 1( 2)( 1)
s ss s
+ ++ +
= 2 .....12 1
A Bs CS s
++
+ + Tenemos el sistema de ecuaciones que resolveremos:
2 2
2
3 4 1 ( 1) ( )( 2)3 4 1 2 2 2 2s s A s Bs C ss s As A Bs Bs Cs C+ + = + + + +
+ + = + + + + +Agrupando términos e igualando coeficientes:
2 2 23 3 ....24 2 4 2 ....31 2 .....4
s As Bs A Bs Bs Cs B C
A C
= + ⇒ = += + ⇒ = +
= +Despejando:
...4 1 2 ...4 '
4 ' 2 3 1 2 ...2 '
2 2 2 ...3'
3' 3 4 4 40 5 013 1 2
de A C
sust en C B
despejando B de B C
sust en C CC C
AB B
⇒ = −
⇒ = − +
⇒ = +
⇒ = + += ⇒ === + ⇒ =
2
3 2 2
1
1 22
, 1:3 4 1 1 2
2 2 2 1
:1 2 2cos .
2 1t
sust A B y C ens s s
s s s S s
aplicandos e t
S s
−
−
+ += +
+ + + + +
⎧ ⎫+ = +⎨ ⎬+ +⎩ ⎭
D
D
2
2
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Análisis de Sistemas y Señales 9
2.-Sea X(s) la siguiente función: , calcular su transformada inversa
Realizamos una división para obtener una ecuación que pueda solucionarse, ya que podemos ver que el grado de el denominador es mayor, se debe de simplificar a lo máximo para poder realizar la operación.
… Dividiendo tenemos:
Sustituyendo nos queda la siguiente expresión:
X(s)=s-4+ , para resolver necesitamos encontrar las raíces de la última expresión:
Resolviendo por la fórmula de resolución de ecuaciones de 2 grado:
√= = √ √ , las raíces de esta ecuación son:
Sustituyendo en la ecuación para resolverlas por fracciones parciales: v(s)= . ,
Descomponiendo: v(s)= . ,
; calculando A y B para sustituirlos.
a) Si s=0.449 20(0.449)-12=A(0.449+4.449)
b) Si s=-4.449 20(-4.449)-12=A(-4.449-0.449)
v(s)= ..
.,
, con esta expresión tenemos la expresión completa,
X(s)= s-4+ ..
.,
aplicando la anti-transformada
s‐4 +4s‐2 +0 +4s‐4 ‐ ‐4 +2s ‐4 +4s‐4 4 +16s‐8 20s‐12
x1= 0.449 y x2=-4.449
A=-0.616
B=20.616
4 0.616 . 20.616 . ; 0
4 0.616 . 20.616 . ; 0
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Análisis de Sistemas y Señales 10
3.- Sea la función X(s)= calcular su transformada inversa de Laplace.
Factorizando el término del denominador tenemos: y descomponiendo den
fracciones parciales tenemos a la ecuación de la siguiente manera: y resolviendo el
valor de las constantes A, Bs y C efectuamos las siguientes operaciones.
De esta matriz se ve el valor de:
A +4As+BA+B +Cs= +2+16 y resolviendo tenemos:
A=2; B=-1y C=-6
2 64 8
26
4 8
=2- cos 2 2 2
4.-Teniendo la siguiente función H(s)= , calcular su transformada inversa de Laplace.
H(s)= , buscamos sus raíces para poder descomponerla en fracciones parciales que son:
H(s)= ; Descomponiendo tenemos: H(s)= Y calculando el valor de A y B.
A=[s{x(s)}]s=0 = s=0 = A=4
B=[s+{x(s)}]s=-1 = s=-1 = B=-1 Y sustituyendo: H(s)=
Tenemos a la siguiente ecuación a la que hallaremos su transformada inversa.
1 1 0 1 4 0 1 2 8 0 0 16
=2- cos 2 2 2
4 11
4
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Análisis de Sistemas y Señales 11
5.- Tenemos a la siguiente señal con ecuación x(s)= , obteniendo las raíces
de la parte del denominador que le llamaremos D(s) tenemos que son las siguientes:
S1=2.7+1.6i, S2=-2.7-1.6i y S3=0.6
Y como vemos que tuvimos dos raíces complejas separamos de la siguiente manera en fracciones parciales:
Se obtiene de hacer D(s) = (s+27.1.6i)(s+27+1.6i)(s+0.6)=( +27s)+(8.6)(s+0.6) lo siguiente:
X(s) = . .
Calculando C2 haremos:
C2= [s+0.6 ]= . s=0.6 0.65
( 27 8.6)(s+0.6)=(Cs-d)(s-0.6)+0.65( 27 8.6) 3.3 10.22 5.16 =
C +ds+0.65+0.6d+0.65 +1.76s+5.59=(c+0.65) +(d+0.6C+1.76)s+0.6d+5.59
Igualando términos C+0.65=3.3 d+0.6 (2.65)+1.76=10.22 C=2.65 d=6.88
Quedando x(s)= . ..
..
Redondeamos para facilitar cálculos:
x(s)= … 1 Completamos el trinomio (1) y queda: x(s)= Entonces:
x(s)= Y por propiedades resolvemos:
x´(s)= = 3
x´´(s)= =
x´´´(s)= =
Quedando la transformada inversa completa de la siguiente manera:
X(t)= 3 + +
3 32
32
254
52
32
254
11
X(t)= 3 + +
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Análisis de Sistemas y Señales 12
6.- Teniendo la ecuación x(s)= = Hallar su transformada inversa.
Factorizando 2 ² 5 2 este polinomio tenemos:
Agrupando ( +5) + (25² +2)
Sacado el factor común (S +2) (S² +1) Y desarrollado por fracciones:
= + ²
…..(1)
3 + 4 1 1 2
3 + 4 1 2 1 2
Calculando sus coeficientes:
3 ² 3 = A+B… (2)
4s = 2Bs + Cs 4 = 2B+C…. (3)
1 = A+2i…. (4) Despejando de 4; A = 1-2c… (4)
Substituyendo 4´ en 2 3 = 1-2c+B… (2´) Despejando B de 2´
B =2+2c… (3´) substituyendo 3´en 3 4 = 4+4c+C
O = 5c C=O ; A = 1 ; B = 2
Substituyendo A, B y C en (1)
=
12
2² 1
2 cos t
12
2² 1
2 cos t
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Análisis de Sistemas y Señales 13
7.‐ Sea la señal cuya transformada de Laplace es la siguiente x = ²
Calcular
su transformada inversa.
Buscando raíces s²+7s+12 = 0 Factorizando (S+3) (S+4) = 0 Sus raíces son: S1 = ‐3 y S2 = ‐4
Reescribiendo la ecuación x
Calculando A=1 y sustituyendo… x
8.-Sea x²
= Hallar su transformada inversa de Laplace
Obteniendo raíces S (s²+ 5s+7) =0 a partir de la resolución de la ecuación de segundo grado.
Aplicando la ecuación cuadrática S1 = 0
√= = √ S2 =
√ α=- 52
S3 =√ β=√3
2
Aplicando las raíces como son complejas realizamos:
x √
√
√3
C 1 = 1 7
C2 + √ i C2
C2 ‐ √ i x (t) =2(c1) αt cos (β+ < C1)
(C2)= 1/√7 ‹ = 180°‐ 79.10
‹ = 100.89° Sustituyendo tenemos que es:
= + = ‐ +2
= + = ‐ +2
= 1/7 + 2(1√7 ) 2.5 cos √ 100.89 ; t >, 0
= 1/7 + 2(1√7 ) 2.5 cos √ 100.89 ; t >, 0
Transformada Inversa: Laplace
Análisis de Sistemas y Señales 14
9.- X(s) = = , determinando raíces por división sintética
Tenemos entonces que es: x(s)= y
acomodando
en fracciones parciales: y resolviendo el valor de las constantes:
3 4 1= C1(s+2) 1)+(c2s( 1))+(c3s+c4)(s(s+2))
3 4 1= C1 ( 3 3 2 +(C2 ))+C3( 2 )+C4( 2 )
Agrupando... 3 4 1=(C1+C2+C3) +(3C1+C2+2C3+C4) +(3C1+C2+2C4)s+2C1
C1+C2+C3=0…(1) De (4) 3C1+C2+2C3+C4=3…(2) C1=1/2 y sustituyendo C1 en (1,2 y 3) 3C1+C2+2C4=4…(3) C2+C3=-1/2 2C1=1…(4) C2+2C3+C4=3/2 C2+2C4=5/2 Despejando C3 y C4 de (1) y (3)
C3=-1/2-C2…(5) 2C4=5/2-C2 C4=5/4-1/2C2…(6) Sustituyendo (5) y (6)
C2+2(-1/2-C2)+(5/4-1/2C2)=3/2
1 3 3 2 ‐2 ‐2 ‐2 ‐2 1 1 1 0
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Análisis de Sistemas y Señales 15
10.- Sea la señal X(s)= 2s² + 12s + 20 Hallar su transformada inversa de Laplace:
S3 + 6s2 + 10s + 8 X3 + 6x2 + 10x + 8 F(-x) = (-x )3 + 6 (-x ) + 10 (-x ) + 8 = x3 + 6x – 10 ( -x ) + 8
= 8 = 4(2)(1) -1/4 -1/5 -1/2 1 6 10 8 1 6 10 8 -4 -4 -8 -8 (x+4) (x2 +2x +2) -1 -1 -5 -5 1 2 2 0 1 5 5 3 2s2 + 8 A + Bs + D S+4 s2 + 2s +2 …….(A) 2s2 + 8s + 10 (s+4) (s2 + 2s +2 ) (s+4) (s2 + 2s + 2) Determinando el valor de las constantes tenemos: 2(s2 +8+10) = A(s2 + 2s + 2) + ( 8s + D) (s+4) A+B = 2…………………(1) Resolviendo el sistema de ecuaciones... 2A +2B+16 = 16 ……….(2) 2(A + 2) = 20…………….(3) 8 + 2s +24 S2+4 s2 + 25 + 2 Transformando a partir de las tablas nos queda de la siguiente manera: 8 = 8 e -4j
S+4 2s + 24 = 2s+2+22 s2 + 2s + 2 (s+1) 2 + 1 2(s+1) + 22 = = 2 e-j cos j + 22 e-j sen j (s+1)2 +1 (s+1) 2 + 1
Transformada Inversa: Laplace
Análisis de Sistemas y Señales 16
11.- Sea la función X(s)= ²
Calculando las raíces de el denominador y vemos que contiene raíces complejas r1= 5/2 + √3/2 j r2 = 5/2 - √3/2 j ( s2 – r1) ( s + r2) y sustituyendo en la ecuación α = 5/2 β= √3/2 p= α + pj x(s) = c1 + c2 Calculando el valor de las constantes (S-r 1) (S- r 2) C1 = -3 / 2/√3 j + ½ C2 = C1
C2= (3 / 2/√3) j + ½ X(t) = 2 (C1) e2t cos (β + α c1) + c3 e β3t
tan-1 (ln C1/ R2 C1 ) cuando Re C1 > 0 } α C1
180º + tan -1 (ln C1/ R2 C1) cuando Re C1 < 0 α C1 = 180º + tan -1 ( -3 ( 2√3) / ½ ) = 120º
Entonces tenemos que la transformada inversa de esta función es:
x(t) = 2 e-2t cos (√3/2 t +120º)
Transformada Inversa: Laplace
Análisis de Sistemas y Señales 17
12.- Teniendo la ecuación x(s)= = Hallar su transformada inversa.
Factorizando 2 ² 5 2 este polinomio tenemos:
Agrupando ( +5) + (25² +2)
Sacado el factor común (S +2) (S² +1) Y desarrollado por fracciones:
= + ²
…..(1)
3 + 4 1 1 2
3 + 4 1 2 1 2
Calculando sus coeficientes:
3 ² 3 = A+B… (2)
4s = 2Bs + Cs 4 = 2B+C…. (3)
1 = A+2i…. (4) Despejando de 4; A = 1-2c… (4)
Substituyendo 4´ en 2 3 = 1-2c+B… (2´) Despejando B de 2´
B =2+2c… (3´) substituyendo 3´en 3 4 = 4+4c+C
O = 5c C=O ; A = 1 ; B = 2
Substituyendo A, B y C en (1)
=
12
2² 1
2 cos t
12
2² 1
2 cos t
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