Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Transiciones Electromagnéticas
Rodolfo M. Id Betan1,2
1Instituto de Física Rosario - Conicet. Argentina2Facultad de Ciencias Exactas - Universidad Nacional de Rosario. Argentina
Curso: Física Nuclear20/05/2014
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Outline
1 Motivacion
2 Hamiltoniano
3 Hamiltoniano del campo
4 Operadores de Transición
5 Probabilidades de Transición
6 Momentos multipolares
7 Práctica
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1 Motivacion
2 Hamiltoniano
3 Hamiltoniano del campo
4 Operadores de Transición
5 Probabilidades de Transición
6 Momentos multipolares
7 Práctica
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Decaimiento gamma
Los decaimientos gamma(γ) son transiciones electromagnéticas
entre diferentes estados del núcleo.
En el decaimiento gamma no se emite ninguna partícula con masa.
AZ X∗ →A
Z X + γ AZ X∗ →A
Z (X∗)′ + γ
La radiación gamma es una partícula sin masa con spin intrínsico
S = 1.
Un estado excitado del núcleo decae a otro estado de menor enegía
emitiendo un fotón γ.
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Decaimiento gamma
La energía de la partícula γ es igual a la diferencia de energía entre
los estado inicial y final.
La emisión de la partícula γ suele aparecer en las desintegracionesalfa y beta.
Crédito: wikipedia
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Decaimiento gamma
El decaimiento gamma puede utilizarce para confirmar la asignación
de configuraciones.
Definición de Q
Momento cuadrupolar (L = 2) eléctrico Q de una partícula.
Definición de µ
Momento dipolar (L = 1) magnético µ de una partícula.
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1 Motivacion
2 Hamiltoniano
3 Hamiltoniano del campo
4 Operadores de Transición
5 Probabilidades de Transición
6 Momentos multipolares
7 Práctica
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Hamiltoniano
Hamiltoniano de un nucleón con carga e y momento magnético µµN
en presencia de un campo electromagnético:
H =1
2m
(
p − e
cA)2
−µe~
2mcσ ·(∇×A)+V (r)+f (r)σ ·
[
r ×(
p − e
cA)]
con eproton = e, eneutron = 0, µproton = 2.79, µneutron = −1.91,
µN = e~/2mc.
Intensidad del campo eléctrico y magnético
E = −1
c
∂A
∂tB = ∇× A
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Hamiltoniano
H =1
2m
(
p − e
cA)2
−µe~
2mcσ ·(∇×A)+V (r)+f (r)σ ·
[
r ×(
p − e
cA)]
Interacción del momento dipolar del nucleón con el campomagnético:
−µe~
2mcσ · B
Interacción electromagnética debido a la presencia de la interacción
spin-orbit:
−e
cf (r)σ · (r × A)
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Hamiltoniano
Hamiltoniano total de interacción para la emisión de radiación:
H = Hnucl + Hfield + Hint
Nuclear
Hnucl |Ψi〉 = Ei |Ψi〉
Campo
Hfield =1
8π
∫
[
E2 +B
2]
d3r
(usando unidades de Gauss)
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1 Motivacion
2 Hamiltoniano
3 Hamiltoniano del campo
4 Operadores de Transición
5 Probabilidades de Transición
6 Momentos multipolares
7 Práctica
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Hamiltoniano del campo
Campo
Hfield =1
8π
∫[
1
c2A
2+ (∇× A)2
]
d3r
Ecuación de onda
∇2A − 1
c2
∂2
∂t2A = 0
Transformada de Fourier: ecuación de Helmholtz
(∇2 + k2)A = 0
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Hamiltoniano del campo
Separación de la radiación eléctrica y magnética en el potencial del
campo (P. Ring and P. Schuck. The nuclear Many-Body Problem.2004):
Momento angular del fotón
El fotón tiene espin S = 1 con autofunción eSMS
También tiene momento angular L con autofunción YLM
El momento angular total del fotón es I = L + S con autofunción
[eSYL]IMI= L√
L(L−1)YIMI
⇒ L = I − 1, I, I + 1.
Condición de transversabilidad
Se buscan soluciones con Φ = 0 y ∇A = 0 (gauge de Coulomb).
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Hamiltoniano del campo
Soluciones parciales
Exiten dos soluciones de la ecuación de Helmholtz (∇2 + k2)A = 0
que verifican Φ = 0 y el gauge de Coulomb caracterizados como:
Radiación eléctrica AEkLM con ΠAE
kLM = (−)LAEkLM .
Radiación radiación magnética AMkLM con ΠAM
kLM = (−)L−1AMkLM .
El número de onda k se discretiza usando las condiciones de
contorno E‖ = 0 y B⊥ = 0 en la superficie de una esfera de radio
mucho mayor que el radio nuclear.
Solución general
A(r , t) =∑
ξkLM
{
a∗ξkLMA
ξkLM(r)e−ikct + c.c
}
con ξ = {E ,M}
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Hamiltoniano del campo
Hamiltoniano del campo
Hfield =∑
ξkLM
(~ck)1
2
(
a∗ξkLMaξkLM + c.c
)
Cuantificación del campo electromagnéctico
Hfield es el Hamiltoniano del oscilador armónico Hho = ~ωa∗a, al quese le puede aplicar las reglas de cuantización canónica: las variables
a∗ y a son reemplazadas por operadores de creación a† y de
destrucción a con:
[aξkLM , aξ′k ′L′M′ ] = 0 [aξkLM , a†ξ′k ′L′M′ ] = δξξ′δkk ′δLL′δMM′
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Hamiltoniano del campo
Fotón eléctrico
a†EkLM
Fotón magnético
a†MkLM
Hamiltoniano del campo en segunda cuantificación
Hfield =∑
ξkLM
(~ck)
(
a†ξkLMaξkLM +
1
2
)
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1 Motivacion
2 Hamiltoniano
3 Hamiltoniano del campo
4 Operadores de Transición
5 Probabilidades de Transición
6 Momentos multipolares
7 Práctica
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Aproximación de Longitud de Onda Larga
El potencial vector A(r) se expande en la base:
uLM = jL(kr)YLM(θ, φ)
siendo jL las funciones de Bessel esféricas (regular en cero) y ~k elmomento del fotón emitido (con energía E = ~ck ).
Aproximación de longitud de onda larga
kr =E
~cR ∼= E
~cr0A1/3 = 0.036E ≪ 1
para A=208 (208Pb) y E del orden del MeV.
Base en la aproximación de longitud onda larga
uLM∼= (kr)L
(2L + 1)!!YLM(θ, φ)
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Operador Transición Eléctrica
Operador que describe la emisión de la radiación multipolar eléctrica
del nucleón i (Theory of the Nuclear Shell Model. R. D. Lawson.1980)
(T(E)LM )i = ei r
LYLM(θ, φ) + iµiµNE
~c
(
1
L + 1
)
σ × r ·{
∇rLYLM(θ, φ)}
ei es la carga del nucleón con eproton = e, eelectron = 0; µiµN es elmomento magnético con µproton = 2.79, µneutron = −1.91,
µN = e~/2mc.
Usando la identidad (σ × r)ν = −i√
8π3
r [σ × Y1]1ν ,...
y utilizando el teorema de Wigne-Eckart...
y evaluando los elementos de matriz reducido:
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Operador Transición Eléctrica
(T(E)LM )i = ei r
LYLM(θ, φ) − µiµNE
~crL
√
L
L + 1[YL(θ, φ) × σ]LM
Donde E es la energía del rayo gamma e igual a la diferencia entre
las energías de los niveles inicial y final.
El término de spin-orbit, que contiene f (r) en el Hamiltoniano de
interacción, no está presente en el operador de transión eléctrica (R.G. Sachs and N. Austern, Phys. Rev. 81, 705. 1951).
Relación entre el primer y segundo término:
R =µiE
2mc2∼= 1.5 × 10−3
con E = 1MeV y µi = µproton.
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Operador Transición Eléctrica
Operador multipolar eléctrico
T(E)LM =
A∑
i=1
(T(E)LM )i =
A∑
i=1
ei rLi YLM(θi , φi )
eproton = e, eneutron = 0.
Reglas de selección
Las reglas de selección son válidas tanto para el momento angular y
paridad total como para cada nucleón individual:
|Ji − Jf | 6 L.
∆(parity) = (−1)L.
L = 0 prohibido (T(E)00 =cte).
Ejemplo
(p1/2, g9/2)5− E1−−−→ (g9/2)24+ : prohibida (total: ok, parcial: no ok)
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Operador Transición Magnética
(T(M)LM )i =
{
ei~
(L + 1)mc
}
l · (∇rLYLM) + µiµNσ · (∇rLYLM)
− ei
~c
[
f (r)
L + 1
]
{
r × (r ×∇rLYLM)}
Utilizando argumentos similares que para el caso eléctrico (Theory ofthe Nuclear Shell Model. R. D. Lawson. 1980)
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Operador Transición Magnética
Operador multipolar magnético
T(M)LM =
A∑
i=1
(T(M)LM )i
=µN
~c
A∑
i=1
[
2
L + 1gl(i)l i + gs(i)si
]
· ∇i [rLi YLM(θi , φi)]
g son los factores giromagnéticos que redefinen las constantes en la
ecuación original de (T(M)LM )i : gl(proton) = 1, gl(neutron) = 0,
gs(proton) = 5.586, gs(neutron) = −3.826.
Reglas de selección radiación ML
|Ji − Jf | 6 L.
∆(parity) = (−1)L−1.
L = 0 prohibido (∇rL=0 = 0).
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1 Motivacion
2 Hamiltoniano
3 Hamiltoniano del campo
4 Operadores de Transición
5 Probabilidades de Transición
6 Momentos multipolares
7 Práctica
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Probabilidad de Transición por unidad de tiempo
Definición (From Nucleons to Nucleus. J. Suhonen. 2007)
El sistema núcleo más campo interactúan en forma débil, de modo
que la interacción puede ser tratada como una perturbación.
La transición desde un estado inicial ΨJiMia un estado final ΨJf Mf
es
mediada por uno de los términos de la expansión multipolar del
campo electromagnético: T(E)LM o T
(M)LM .
La probabilidad de transición por unidad de tiempo, calculada con la’golden rule’ de la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo,
da (en unidades Gaussiana. Para pasar al SI: 8π~
→2
ǫ0~)
T(ξLM)fi =
8π
~
L + 1
L[(2L + 1)!!]2
(
Eγ
~c
)2L+1
|〈ΨJf Mf|T (ξ)
LM |ΨJi Mi〉|2
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Probabilidad de Transición por unidad de tiempo
Promediando sobre los estados iniciales, sumados sobre los estados
finales y M resulta:
T(ξL)fi =
1
2Ji + 1
∑
Mi Mf M
T(ξLM)fi
Como la probabilidad de transición depende de la energía del rayo
gamma emitido es conveniente definir la probabilidad de transiciónreducida B(ξL; Ji → Jf )
T(ξL)fi =
8π
~
L + 1
L[(2L + 1)!!]2
(
Eγ
~c
)2L+1
B(ξL; Ji → Jf )
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Probabilidad de Transición por unidad de tiempo
Probabilidad de Transición reducida
B(ξL; Ji → Jf ) =1
2Ji + 1
∑
Mi Mf M
|〈ΨJf Mf|T (ξ)
LM |ΨJi Mi〉|2
=1
2Ji + 1|〈ΨJf
||T (ξ)L ||ΨJi
〉|2
Propiedad de la emisión de la radiación gamma
(2J1 + 1)B(ξL; J1 → J2) = (2J2 + 1)B(ξL; J2 → J1)
Unidades
[B(EL)] = e2fm2L
[B(ML)] =(
µN
c
)2fm2L−2
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Probabilidad de Transición por unidad de tiempo
Cociente entre la probabilidad de transición por unidad de tiempo
T (ξL) y la probabilidad de transición reducidad B(ξL) para distintas
transiciones multipolares: ω(ξL) = T (ξL)/B(ξL) (Theory of theNuclear Shell Model. R. D. Lawson. 1980)
L 2L ω(EL) ω(ML)
1 Dipolar 1.59 × 1015 E3 1.76 × 1013 E3
2 Cuadrupolar 1.23 × 109 E5 1.35 × 107 E5
3 Octupolar 5.72 × 102 E7 6.31 × 100 E7
4 Hexadupolar 1.70 × 10−4 E9 1.88 × 10−6 E9
5 3.47 × 10−11 E11 3.82 × 10−13 E11
6 5.12 × 10−18 E13 5.65 × 10−20 E13
La transición más probable es la de menor multipolaridad 2L.
Con frecuencia la trasición cuadrupolar eléctrica compite con ladipolar magnética: se define E2/M1 mixing ratio
∆(E2/M1) =〈ΨJf
||T(E)
2||ΨJi
〉
〈ΨJf||T
(M)1
||ΨJi〉.
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Probabilidad de Transición
Tiempo de vida
El recíproco de la probabilidad de transición por unidad de tiempo Tif
del decaimiento gamma del estado inicial i al estado final f define eltiempo de vida T (en segundos) de la transición :
T =1
Tif
Tiempo de vida media se define como
τ =ln2
Tif
Tiempo de vida media cuando existen muchos estados finales
Usando la aditividad de Tif resulta:
1
τ=
∑
f
1
τ fcon τ f el tiempo de vida medio parcial
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1 Motivacion
2 Hamiltoniano
3 Hamiltoniano del campo
4 Operadores de Transición
5 Probabilidades de Transición
6 Momentos multipolares
7 Práctica
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Momentos multipolares
Los momentos multipolares son sensibles a las funciones de onda
usada para calcularlos.
Momentos electromagnéticos multipolares: Definición
T (ξL) ≡ 〈JMJ = J |T (ξ)L0 |JMJ = J〉
se lo define con MJ = J y M = 0.
Ejemplo: momento dipolar magnético µ
µ
c≡
√
4π
3T (M1)
Ejemplo: momento cuadrupolar elétrico Q
eQ ≡√
16π
5T (E2)
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2L momentos de una partícula
Momento dipolar (2L=1 = 2) magnético µ de una partícula en elestado j
µ =
√
4π
3
√
j
(j + 1)(2j + 1)〈j||T (M1)||j〉
µ = µN1 − (−)l+j+ 1
2 (2j + 1)
4(j + 1)
{
gs − gl
[
2 + (−1)l+j+ 12 (2j + 1)
]}
La integral radial es 1 porque las funciones están normalizadas (verdetalles en la sección Práctica:
∫
Rj(r) rL−1 Rj(r) r2dr ).
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2L momentos de una partícula
Momento dipolar (2L=1 = 2) magnético µ de una partícula en elestado j
µ(j = l +1
2) = µN
{
gl j +1
2(gs − gl)
]
µ(j = l − 1
2) = µN
{
gl j − j
2j + 2(gs − gl)
]
(1)
Se define como Schmidt lines la gráfica de µ(j = l ± 12) versus j.
Los valores experimentales de los momentos dipolares de todos los
núcleos impares (no sólo los de una partícula) se encuentrancomprendidos entre las lineas de Schmidt. Los valores
experimentales pueden reproducirse usando µ(j = l ± 12) con valores
efectivos de los factores g.
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2L momentos de una partícula
Momento cuadrupolar (2L=2 = 4) eléctrico Q de una partícula enel estado j
Q =
√
16π
5
√
j(2j − 1)
(j + 1)(2j + 1)(2j + 3)〈j||T (E2)||j〉
Q =3 − 4j(j + 1)
2(j + 1)(2j + 3)
∫
R2(r) r4dr
Q es sensible a la función de onda.
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1 Motivacion
2 Hamiltoniano
3 Hamiltoniano del campo
4 Operadores de Transición
5 Probabilidades de Transición
6 Momentos multipolares
7 Práctica
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Transiciones electromagnéticas en núcleos de una partícula
Estados de una partícula
|ΨJi〉 = |ji〉 = c†
i |0〉 |ΨJf〉 = |jf 〉 = c†
f|0〉
Probabilidad de Transición por unidad de tiempo
T(ξL)fi =
2
ǫ0~
L + 1
L[(2L + 1)!!]2
(
Eγ
~c
)2L+1
B(ξL; Ji → Jf )
Probabilidad de Transición reducida
B(ξL; Ji → Jf ) =1
2Ji + 1|〈ΨJf
||T (ξ)L ||ΨJi
〉|2
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Transiciones electromagnéticas en núcleos de una partícula
Elemento de matriz reducido
〈ΨJf||T (ξ)
L ||ΨJi〉 = L−1
∑
ab
〈a||T (ξ)L ||b〉〈jf ||[c†
acb]L||ji〉
con 〈jf ||[c†a cb]L||ji〉 = Lδaf δbi
〈Ψjf ||T(ξ)L ||Ψji 〉 = 〈jf ||T (ξ)
L ||ji 〉
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Transiciones electromagnéticas en núcleos de una partícula o un agujero
Probabilidad de transición reducida en núcleos de una partícula
B(ξL; Ji → Jf ) =1
2ji + 1|〈jf ||T (ξ)
L ||ji 〉|2
con |ΨJi〉 = c
†i |0〉; |ΨJf
〉 = c†f |0〉 y ξ = {E ,B}
Probabilidad de transición reducidad en núcleos con un agujero
B(ξL; Φji → Φjf ) =1
2ji + 1|〈jf ||T (ξ)
L ||ji〉|2
con |Φi〉 = h†i |0〉; |Φf 〉 = h
†f |0〉 y ξ = {E ,B}
Queda pendiente dar los valores de los elemento de matriz reducido
〈a||T (ξ)L ||b〉
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Elemento de matriz reducido eléctrico
Elemento de matriz reducido eléctrico de una partícula
〈a||T (E)L ||b〉 =
e
4π(−)jb+L− 1
21 + (−)la+lb+L
2Lja jb
(
ja jb L12
− 12
0
)
∫
Ra(r) rL Rb(r) r2dr
Para tener en cuenta correlaciones partícula-agujero se suele utilizarvalores efectivos para las cargas: eproton = (1 + χ)e, eneutron = χdonde χ se la define como la constante de polarización eléctrica.
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Elemento de matriz reducido magnético
Elemento de matriz reducido magnético de una partícula
〈a||T (B)L ||b〉 =
µN
c√
4π(−)jb+L− 1
21 + (−)la+lb+L
2Lja jb
(
ja jb L12
− 12
0
)
(L − κ)
[
gl
(
1 +κ
L + 1
)
− 1
2gs
]
∫
Ra(r) rL−1 Rb(r) r2dr
con κ = (−1)la+ja+12 (ja +
12) + (−1)lb+jb+
12 (jb + 1
2)
Utilizando valores efectivos para los coeficientes giromagnéticos se
pueden reproducir los valores experimentales del momento dipolar
magnético.
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Estados agujero de una partícula
Estados del protón en el Nitrógeno
|15N; 1/2−gs〉 = h
†π 0p1/2
|0〉
|15N; 3/2−〉 = h†π 0p3/2
|0〉
Estados del neutrón en el Oxígeno
|15O; 1/2−gs〉 = h
†ν 0p1/2
|0〉
|15O; 3/2−〉 = h†ν 0p3/2
|0〉
Dibujar niveles del shell model.
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Niveles de energía de los núcleos 15N y 15O
Crédito: J. Suhonen, From Nucleons to Nucleus. 2007.
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Probabilidad de transición reducida
J. Suhonen, From Nucleons to Nucleus. 2007:
Transición E2
B(E2; (0p3/2)−1 → (0p1/2)
−1) =1
4(〈0p1/2||T (E)
2 ||0p1/2〉)2
B(E2;15 N) = 4.270e2fm4
B(E2;15 O) = 0
utilizando oscilador armónico como función de onda con longitud del
oscilador b = 1.1712 fm.
B(E2;15 O) sería no nulo usando carga efectiva.
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Probabilidad de transición reducida
J. Suhonen, From Nucleons to Nucleus. 2007:
Transición M1
B(M1; (0p3/2)−1 → (0p1/2)
−1) =1
4(〈0p1/2||T (M)
1 ||0p1/2〉)2
=1
4(−0.564gl + 0.564gs)
2(µN
c
)2
no depende de la función de onda.
B(M1;15 N) = 1.673(
µN
c
)2
B(M1;15 O) = 1.164(
µN
c
)2
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Probabilidad de transición
Utilizando la relación entre la probabilidad de transición y la
probabilidad de transición reducida:
T(ξL)fi =
2
ǫ0~
L + 1
L[(2L + 1)!!]2
(
Eγ
~c
)2L+1
B(ξL; Ji → Jf )
y utilizando la enegía experimental Eγ = ε0p3/2 − ε0p1/2, calculamosla probabilidad de transición por untidad de tiempo para cada
decaimiento T(M1)fi y T
(E2)fi (J. Suhonen, From Nucleons to Nucleus.
2007):
T(E2)fi (15O) = 0 s−1
T(M1)fi
(15O) = 4.878 × 1015 s−1
T(E2)fi (15N) = 5.282 × 1013 s−1
T(M1)fi (15N) = 7.527 × 1015 s−1
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Tiempo de vida medio
Finalmente, utilizando la relación entre el tiempo de vida medio y laprobabilidad de transición: τ = ln2
T(ξL)
if
Obtenemos:
15O
τ(M1;15 O) = ln2
T(M1)
fi(15O)
= 1.421 × 10−16 s = 0.14 fs
τexp(15O) < 1.74 fs (www.nndc.gov).
15N
τ(E2+M1;15 N) = ln2
T(E2)
fi(15N)+T
(M1)
fi(15N)
= 9.145×10−17 s = 0.09 fs
τexp(15N) = 0.146 ± 0.008 fs (www.nndc.gov).