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Tratamiento Digital de SeñalesTratamiento Digital de SeñalesTEMA 4: Análisis Espectral IITEMA 4: Análisis Espectral II
UniversidadeUniversidade de Vigode VigoETSE TelecomunicaciónETSE Telecomunicación
TDS Tema 6: Análisis Espectral (II) Página 2
CONTENIDOSCONTENIDOS
1.1. Efectos del Efectos del enventanadoenventanado1.1. ResoluciónResolución2.2. Dispersión espectralDispersión espectral
2.2. Efectos del muestreo temporal y espectralEfectos del muestreo temporal y espectral3.3. STFT (Short Time STFT (Short Time FourierFourier TransformTransform))4.4. Revisión de la teoría de procesos estocásticosRevisión de la teoría de procesos estocásticos5.5. Análisis de Análisis de FourierFourier de Procesos Estacionariosde Procesos Estacionarios
1.1. Métodos no Métodos no paramétricosparamétricos de estimación espectralde estimación espectral2.2. Métodos Métodos paramétricosparamétricos
2
TDS Tema 6: Análisis Espectral (II) Página 3
EstacionariedadEstacionariedad y y ErgodicidadErgodicidad
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EstimadoresEstimadores
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TDS Tema 6: Análisis Espectral (II) Página 5
Sesgo y Consistencia de un EstimadorSesgo y Consistencia de un Estimador
TDS Tema 6: Análisis Espectral (II) Página 6
Estimador sesgado de la Estimador sesgado de la AutocorrelaciónAutocorrelación
Sesgado pero Sesgado pero asintóticamenteasintóticamente insesgadoinsesgado
ConsistenteConsistente
4
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Estimador Sesgado de la Estimador Sesgado de la AutocorrelaciónAutocorrelación
Ventana triangular Ventana triangular o o BarttletBarttlet
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1000.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
1
N=10N=10
VentanaVentanatriangulartriangular
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Retardo
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-100-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000
0.10.20.30.40.50.60.7
-100-80-60-40-20 0 20 40 60 80 1000
N=100N=100
VentanaVentanatriangulartriangular
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
**
Estimador Sesgado de la Estimador Sesgado de la AutocorrelaciónAutocorrelación
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Estimador Sesgado de la Estimador Sesgado de la AutocorrelaciónAutocorrelación
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Retardo
N=10N=10
N=20N=20
N=100N=100
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-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Retardo
Estimador Sesgado de la Estimador Sesgado de la AutocorrelaciónAutocorrelación
N=50N=50
N=60N=60
N=100N=100
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CONTENIDOSCONTENIDOS
1.1. Efectos del Efectos del enventanadoenventanado1.1. ResoluciónResolución2.2. Dispersión espectralDispersión espectral
2.2. Efectos del muestreo temporal y espectralEfectos del muestreo temporal y espectral3.3. STFT (Short Time STFT (Short Time FourierFourier TransformTransform))4.4. Revisión de la teoría de procesos estocásticosRevisión de la teoría de procesos estocásticos5.5. Análisis de Análisis de FourierFourier de Procesos Estacionariosde Procesos Estacionarios
1.1. Métodos no Métodos no paramétricosparamétricos de estimación espectralde estimación espectral2.2. Métodos Métodos paramétricosparamétricos
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Análisis de Análisis de FourierFourier de Procesos Estacionariosde Procesos Estacionarios
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PeriodogramaPeriodograma
N N –– Tamaño de la ventanaTamaño de la ventana
L L –– Longitud de la DFTLongitud de la DFT
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Otra interpretación del Otra interpretación del PeriodogramaPeriodograma
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Estudio Estadístico del Estudio Estadístico del PeriodogramaPeriodograma
Ventana Ventana BartlettBartlett
TramsformadaTramsformada de de FourierFourier de la de la autocrrelaciónautocrrelación enventanadaenventanada
-N 0 N
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Sesgo del Sesgo del PeriodogramaPeriodograma
-N 0 N
-2π/N 2π/N
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Varianza del Varianza del PeriodogramaPeriodograma
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Varianza del Varianza del PeriodogramaPeriodograma: Ejemplo: Ejemplo
N=100N=100
N=1000N=1000N=2000N=2000 La varianzaLa varianza
se mantiene se mantiene constanteconstante
al aumentar Nal aumentar N
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Otros MétodosOtros Métodos
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Varianza del Varianza del periodogramaperiodograma
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-3
-2
-1
0
1
2
3
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-60
-40
-20
0
20
40
60
80
Estimado a partirEstimado a partirde 50 valores de de 50 valores de x[nx[n]]
Estimado a partirEstimado a partirde 1 valor de de 1 valor de x[nx[n]]
La estimación de la La estimación de la autocorrelaciónautocorrelación en en los extremos es muy mala, por tanto la los extremos es muy mala, por tanto la
varianza es muy altavarianza es muy alta
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Método de Método de BlackmanBlackman y y TukeyTukey
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-60
-40
-20
0
20
40
60
80
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Método de Método de BlackmanBlackman y y TukeyTukey (II)(II)
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-60
-40
-20
0
20
40
60
80
M=30M=30
N=50N=50
Despreciamos losDespreciamos losúltimos 19 retardosúltimos 19 retardos
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Método de Método de BlackmannBlackmann y y TukeyTukey (III)(III)
TDS Tema 6: Análisis Espectral (II) Página 24
Método de Método de BlackmanBlackman y y TukeyTukey: Comentarios: Comentarios
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Método de Método de BlackmanBlackman--TukeyTukey: Ejemplo: Ejemplo
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
1
2
3
4
5
6
7
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
1
2
3
4
5
6
PeriodogramaPeriodograma N=100N=100 PeriodogramaPeriodograma N=1000N=1000
Estimador de Estimador de BlackmanBlackman--TukeyTukeyN=1000 M=100N=1000 M=100
Ventana Ventana HammingHamming
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Método de Método de BlackmanBlackman y y TukeyTukeyEjemplo (II)Ejemplo (II)
1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
RadianesRadianes
**
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Método de Método de BartlettBartlett
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Método de Método de BartlettBartlett: Estudio Estadístico: Estudio Estadístico
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TDS Tema 6: Análisis Espectral (II) Página 29
Método de Método de BartlettBartlett: Ejemplo: Ejemplo
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
5
10
15
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
5
10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
5
10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
5
10
radianes
N=1000 K=1 M=1000 (N=1000 K=1 M=1000 (PeriodogramaPeriodograma)) N=1000 K=4 M=250N=1000 K=4 M=250
N=1000 K=8 M=125N=1000 K=8 M=125 N=1000 K=20 M=50N=1000 K=20 M=50
radianes
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Método de Método de WelchWelch
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Método de Método de WelchWelch (II)(II)
Factor de normalizaciónFactor de normalizaciónde potenciade potencia
TDS Tema 6: Análisis Espectral (II) Página 32
Método de Método de WelchWelch: Estudio Estadístico: Estudio Estadístico
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TDS Tema 6: Análisis Espectral (II) Página 33
Método de Método de WelchWelch Estudio Estadístico (III)Estudio Estadístico (III)
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TDS Tema 6: Análisis Espectral (II) Página 35
Ejemplo: Comparación Modelo ARMAEjemplo: Comparación Modelo ARMA
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-40
-30
-20
-10
0
10
20
DEP originalBartlett K=20 M=100Blackman-Tukey N=2000 M=200Welch N=200 D=150
dBdB
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CONTENIDOSCONTENIDOS
1.1. Efectos del Efectos del enventanadoenventanado1.1. ResoluciónResolución2.2. Dispersión espectralDispersión espectral
2.2. Efectos del muestreo temporal y espectralEfectos del muestreo temporal y espectral3.3. STFT (Short Time STFT (Short Time FourierFourier TransformTransform))4.4. Revisión de la teoría de procesos estocásticosRevisión de la teoría de procesos estocásticos5.5. Análisis de Análisis de FourierFourier de Procesos Estacionariosde Procesos Estacionarios
1.1. Métodos no Métodos no paramétricosparamétricos de estimación espectralde estimación espectral2.2. Métodos Métodos paramétricosparamétricos
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Métodos Métodos ParamétricosParamétricos
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Modelos LinealesModelos Lineales
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TDS Tema 6: Análisis Espectral (II) Página 39
Modelado ARModelado AR
TDS Tema 6: Análisis Espectral (II) Página 40
Método de Método de YuleYule--WalkerWalker
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TDS Tema 6: Análisis Espectral (II) Página 41
Método de Método de YuleYule--WalkerWalker (II)(II)
TDS Tema 6: Análisis Espectral (II) Página 42
Extrapolación de la Extrapolación de la AutocorrelaciónAutocorrelación
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TDS Tema 6: Análisis Espectral (II) Página 43
Extrapolación de la Extrapolación de la AutocorrelaciónAutocorrelación (II)(II)
TDS Tema 6: Análisis Espectral (II) Página 44
Extrapolación de la Extrapolación de la AutocorrelaciónAutocorrelación (III)(III)
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TDS Tema 6: Análisis Espectral (II) Página 45
Modelado AR: EjemplosModelado AR: Ejemplos
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-10
-5
0
5
10
15
20
Radianes
OriginalM=2M=4M=20
dBdB
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Modelado AR: Ejemplos (II)Modelado AR: Ejemplos (II)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Radianes
Original
M=2
M=4M=20
M=50
dBdB