SEMANA 02TRIÁNGULOS I
1. En la figura, calcule el valor de “x”
A) 40° B) 45° C) 50°
D) 60° E) 80°
RESOLUCIÓN
APC: 2 + 2 + 100 = 180°
+ = 40°
Luego:
: + +x = 100°
40 + x = 100 x = 60°
2. Si: a + b + c = 130º. Calcule “2x”
A) 10º B) 20º C) 30º
D) 40º E) 22º 30’RESOLUCIÓN
Si: a + b + c = 130°
Propiedad del cuadrilátero:
a + b = 2x + 90º
130º = 2x + 90º 2x = 40º
3. En el gráfico: ABC es equilátero y .
Calcule: “x”.
A) 100º B) 98º C) 105º
D) 120º E) 110º
RESOLUCIÓN
El ABC es equilátero:
(30°) + (180° -x°) = x°
210° = 2x° x° = 105°
4. Calcule el valor de “” , si AB = BC y AC = CE = ED.
A) 10º B) 15º C) 12º
D) 18º E) 24º
RESOLUCIÓN
ACE:
10 = 180° = 18°
5. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubica exteriormente y relativo al lado BC el punto D, de modo que AC=AD, mADC=80º y mBCD=15º. Calcule la mBAD.
A) 15º B) 20º C) 35º
D) 45º E) 55º
RESOLUCIÓN
En el ABC
x + 20° = 65° x = 45°
6. En la figura se tiene el triángulo isósceles ABC en el que se inscribe el triángulo equilátero DEF. La relación correcta entre a; b y c es:
A) B) a-b-c = 0
C) D)
RESOLUCIÓN
DEF es equilátero se cumple:
60° + b = +a .............. ( 1)
+c = 60 + a .............. ( 2)
De (1) a (2)
7. En la figura, x+ y + z = 360°; siendo x ; y, z; números enteros . Calcule: x+y+z
A) 6 B) 5 C) 4
D) 3 E) 2
RESOLUCIÓN
Se cumple:
m + n + + = 360° ...... ( 1 )
m +n = + ................ ( 2 )
(2) en (1)
1 + 1 + 2 = 360°
x + y + z = 4
8. Calcule x + y, si: m + n = 150º
A) 150° B) 200 ° C) 225°
D) 255° E) 270°
RESOLUCIÓN
x = 90º + y = 90º +
Sumando x + y = 180 + ... (I)
Dato: m + n = 150º ... (II)
Reemplazando (II) en (I)
x + y = 180 +
x + y = 180 + 75º x + y = 255º
9. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF que resulta ser igual al lado AB. Si la mC = 15º. Calcule la mABF.
A) 50º b) 30º C) 45º
D) 70º E) 60º
RESOLUCIÓN
ABF : x+x+15º +x+15º = 180º
3x = 150º x = 50º
10.Si AB = BC y AC = AD = DE = EF = FB Calcule la medida del ángulo ABC.
A) 15º B) 18º C) 30º
D) 36º E) 20º
RESOLUCIÓN
Completando ángulos:
mBAC = mACB = 4x
mDAC = x
ACD : 4x + 4x + x = 180º x = 20º
11.En la figura mostrada, calcule “x”.
A) 60º B) 40º C) 80º
D) 70º E) 50º
RESOLUCIÓN
exterior: 8 + x = 8
x = 8( - )
3 + 30º = 3
- = 10º x = 80º
12.En la figura, calcule “x”:
A) 8° B) 15° C) 12°
D) 18° E) 10°
RESOLUCIÓN
4 + 4 = 40º +180º + = 55º
3 + 3 = x = 180º
3. 55 + x = 180º x = 15º
13.En la figura: a+b = 36. Calcule el mayor valor entero de “x”.
A) 20 B) 21 C) 22
D) 26 E) 25
RESOLUCIÓN
Dato: a + b = 36
ABC : x < 10 +a .................. ( I)
ACD : x < 8 + b .................. ( II)
(I) + (II) 2x < 10 + 8 + a + b
2x < 54 x < 27 xmax = 26
14.En la figura, calcule: “x”.
A) 144º B) 150º C) 136º
D) 160º E) 120º
RESOLUCIÓN
x + = 180º x =180º -
2 +2 + = 5 = 180º = 36º
x = 180º - 36º = 144º15.Halle el valor entero de “x”, AB=AE=CD
A) 82º B) 83° C) 84°
D) 85° E) 86°
RESOLUCIÓN
* EPD, m AEP = x + 4º
** ABE isósceles
m AEB = m ABE = x + 4º
m BAE = 180º 2(x + 4º) ... (I) *** x + 4º < 90º x < 86º ... (II)
**** ACD a mayor lado se opone mayor ángulo, 180º 2(x+4º) < 4º
84º< x ................................(III)
***** De (II) y (III)
84º < x < 86º x = 85º
16.Calcule “y”, sabiendo que “x” es el mínimo valor entero.
A) 62º B) 82º C) 88º
D) 92º E) 98º
RESOLUCIÓN
* 2x y + x + y + y x = 180
2x + y = 180 y = 180 2x ... (I)
** En A:
2xº yº > 0º (no existe ángulo
negativo), Luego,2xº > yº...(II)
*** (I) en (II)
2x > 180º 2x 4x > 180 x > 45
**** El mínimo valor entero de “x” es 46º
***** (III) en (I)
yº = 180º 2(46º) yº = 88º
17.Se tiene un triángulo ABC, se trazan la altura AH y la bisectriz interior CP intersectándose en “O”. Si: AO=4, OC = 12 y CD=15; calcule el máximo valor entero de AD , si AC toma su mínimo valor entero, además “D” es un punto exterior al triángulo ABC.
A) 20 B) 21 C) 23
D) 25 E) 27
RESOLUCIÓN
Del gráfico: > 90º (obtuso)
AOC: 12 < AC < 16
ACmin= 13; porque: AC² > 4² + 12²
ADC: 2 < x < 28 xmax = 27
18.En ΔABC, S y R son puntos que pertenecen a y Si : AC = AS = RC, mSAR =
10° y mRAC = 50°. Calcule mSRA.
A) 20° B) 30° C) 40°
D) 25° E) 15°
RESOLUCIÓN
Se une S y C ASC equilátero SRC
Isósceles
x + 50° = 80° x = 30°
19.Se tiene un Δ equilátero ABC, se ubica el punto “D” exterior y relativo al lado BC. Si: mCBD - m DAC = 30° y mADC=10°. Calule: mCAD.
A) 5° B) 10° C) 15°
D) 18° E) 20°
RESOLUCIÓN
Como la m BDA = 30° es la mitad de la m ACB = 60°; y como se cumple que: AC = CB ,
entonces:
AC = CB = CD
mCBD = mCDB
x+30° = 40° x = 10°
m CAD = x = 10°
PROBLEMAS ADICIONALES
01. Si BD = 5 y BC = 7 Hallar AD
A) 20° B) 30° C) 40°
D) 25° E) 15°
02. Hallar el valor de “x” en:
A) 20° B) 30° C) 40°
D) 25° E) 15°
Gran parte de las dificultades por las que atraviesa el mundo se debe a que los ignorantes están completamente seguros, y los inteligentes llenos de
dudas.