LÍNEAS NOTABLES Y SUS LÍNEAS NOTABLES Y SUS PROPIEDADESPROPIEDADES
Profesor:Carlos Cesar Anco Yucra
MATEMATICA3ro de Secundaria
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BibliografíaBibliografía
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PresentaciónPresentación
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PresentaciónPresentación
Dentro de las propiedades del triángulo también se encuentra las Propiedades de Líneas Notables que nos permitirá tener conocimiento mas amplio de los ángulos del Triángulo y resolver ejercicios mas complicado.
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CONTENIDO TEMATICO
1. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
2. PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR LÍ
NEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
3. PROPIEDADES ADICIONALES
Recordando el triángulo
Clic..
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LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOLÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOMEDIANAMEDIANA
Todo triángulo tiene tres medianas, las cuales se intersectan en un punto interior llamado BARICENTRO
B
A CMBM es la mediana con
respecto al lado AC
A C
B
M
NP
Las medianas AN, BM y CP se intersectan en el punto G, llamado
BARICENTRO del triangulo ABC
Es el segmento que se traza desde un vértice del triángulo al punto medio de su lado opuesto
G
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LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOLÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOMEDIATRIZMEDIATRIZ
Todo triangulo tiene tres mediatrices correspondientes a cada lado,. Dichas mediatrices se intersectan en un punto llamado CIRCUNCENTRO
B
A C
L es la mediatriz del lado AC
P R
Q
O CIRCUNCENTRO del triángulo PQR
Se llama mediatriz de un lado a una recta perpendicular en el punto medio de dicho lado
Ol
PUNTO, POR LA NATURALEZA DEL TRIANGULO-Es un punto interior si el triangulo es acutángulo-Es un punto exterior si el triangulo es obtusángulo-Es un punto medio de la hipotenusa si el triangulo es rectángulo
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LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOLÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOBISECTRIZ INTERIORBISECTRIZ INTERIOR
Todo triángulo tiene tres bisectrices interiores, las cuales se intersectan en un punto interior llamado INCENTRO
D A C
B
D
FE
BD es bisectriz interior relativa al lado AC
Las bisectrices AF, BD y CE se intersectan en el punto I, llamado
INCENTRO del triangulo ABC
Es la bisectriz de cada uno de los ángulos internos
B
A C
I
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LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOLÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOBISECTRIZ EXTERIORBISECTRIZ EXTERIOR
El punto de intersección de dos bisectrices exteriores y de una bisectriz interior se llamado EXCENTRO
H
A C
B
E
Es la bisectriz de un ángulo exterior del triángulo.
B
A C
Las bisectrices BE y CE y CE con la bisectriz interior AE se intersectan
en el punto ”E”, llamado EXCENTRO del triangulo ABC
CH es bisectriz exterior respecto al C
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LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOLÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOALTURAALTURA
HCA
B
I
Es el segmento que se traza desde un vértice y en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.
B
A C
Todo triangulo tiene tres alturas, las cuales se intersectan en un punto llamado ORTOCENTRO
BH es la altura respecto a AC
H
J
Las alturas BH, AI y CJ se intersectan en el punto R, llamado ORTOCENTRO del triangulo ABC
R
PUNTO, POR LA NATURALEZA DEL TRIANGULO-Es un punto interior si el triangulo es acutángulo-Es un punto exterior si el triangulo es obtusángulo-Es un punto medio de la hipotenusa si el triangulo es rectángulo
Inicio
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
1. En todo triángulo la medida de un ángulo obtuso formado por las bisectrices interiores de los ángulos, es igual a 90° más la mitad de la medida del tercer ángulo interior
Δ ABC, AI y CI son bisectrices interiores de los ángulos A y C, respectivamente
290
xα
αββ
θ
xΦ
﴿﴿ ﴿﴿
A C
B
Inicio
110209024090
290
xx
x
x 40°
x))
)))
)
Ejemplo:
Inicio
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
2. En todo triángulo la medida de un ángulo agudo que forman la bisectriz interior de uno de los ángulos y la bisectriz exterior de otro ángulo, es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo interior.
Δ ABC, AF es bisectriz interior del ángulo A, CF es bisectriz exterior del ángulo C.
2
xαα
ββ
θ x
Φ
A C
B
Φδ
F
I
Inicio
152302
x
x
x 30° x
)) )
))
)
Ejemplo:
Inicio
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
3. En todo triángulo la medida de un ángulo agudo que forman la bisectrices exteriores de dos ángulos es igual a 90° menos la mitad de la media del tercer ángulo interior.
Δ ABC, BE y CE son bisectrices exteriores de los ángulos B y C, respectivamente
290
xα
α
β β
θ
x
Φ
A CΦ
δ
E
I
Bω
ω
Inicio
50°
x))
)) ))
65259025090
290
xx
x
x
Ejemplo:
Inicio
α θ
A MH
C
B
2
x
y
y
ABHdel _.1)(90 xy
HBCdel _.2)(90 xy
Al trazar la altura, sabemos que en el Δ Rectángulo la suma de la medida de los ángulos agudos es 90°
BH es alturaBM es Bisectrizde mostrar que se cumple
PROPIEDADES ADICIONALES
)()( xyxy
Igualando 1 y 2
de la ecuación despejamos x
yyx2 → eliminando y
2
x
nos queda:
Demostración:
Los ángulos de la Bisectriz toman el valor de yPresionando clic
Inicio
PROPIEDADES ADICIONALES
A C
B
x
θ αx
D
Demostrar que se cumple:
Prolongamos CD
y
Se forma el Δ HBC
H
β
y
De la Propiedad:La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interior no adyacentes.
del Δ AHD
se dice que
yx
Remplazando y
x
Demostración:Presionando clic
( (
(
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