Matemática Trigonometría Ing. Avila – Ing. Moll
1
TRIGONOMETRÍA Es la rama de la matemática que tiene por objeto el estudio de las relaciones numéricas que existen entre los elementos rectilíneos y angulares de un triángulo
o de una figura geométrica en general y su aplicación a la solución numérica de los problemas que puedan presentarse.
Para calcular la longitud de las barras de este cuerpo de tribuna, la longitud de las barras
de la cabriada de madera o la altura que alcanzará la escalera
según el ángulo de apertura necesitamos conocer los ángulos y los lados de los triángulos que
se forman.
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TRIÁNGULO: Definimos un triángulo como una figura geométrica
formada por una poligonal cerrada, delimitada por tres lados.
Elementos de un triángulo:
- Lados: a, b , c
- Ángulos: , ,
- Vértices: A, B, C
Propiedad: “La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º”,
Es decir que + + = 180º
Clasificación de los triángulos: Clasificación por sus lados:
Equilátero: tiene todos sus lados iguales
Isósceles: tiene dos lados iguales y uno desigual Escaleno: tiene todos sus lados desiguales
A
B C a
b c
β
equilátero isósceles escaleno
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Clasificación por sus ángulos:
Líneas y puntos notables de un triángulo: Bisectrices de un triángulo:
rectángulo acutángulo obtusángulo
oblicuángulo
acutángulos
obtusángulos
- oblicuángulos
- rectángulos
acutángulo
A
B C
c
a
b o
rectángulo
A
B C a
b
c
o
obtusángulo
A
B C a
b
c
o
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Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto interior que equidista de sus
lados. El punto “O” se denomina incentro.
Mediatrices de un triángulo:
Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista de sus
vértices. El punto “O” se denomina circuncentro.
Alturas de un triángulo:
Las rectas que contienen a las alturas de un triángulo se cortan en un punto. El punto “O” se denomina centro ortogonal u ortocentro.
acutángulo
A
B C M1
M2 M3 o
rectángulo
A
B C
o
M1
M2 M3
obtusángulo
A
B C
o
M1
M2
M3
B
rectángulo
C
c
o b a
A
obtusángulo
B C
o
a
b
c
A
acutángulo
B C a
b c
o
A
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Medianas de un triángulo:
Las medianas de un triángulo se cortan en un punto interior cuya distancia a cada vértice es igual a 2/3 de la mediana correspondiente.
El punto “O” se denomina baricentro (centro de gravedad).
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS TEOREMA DE PITÁGORAS: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma
de los cuadrados de los catetos.
de donde:
acutángulo
A
B C a
b c o
rectángulo
A
B C a
b c
o
obtusángulo
A
B C a
b c
o
a2 = b2 + c2
22 cba
22 cab
22 bac
+
9
16
25
a
b
c
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Si consideramos un ángulo orientado (puede ser positivo o negativo) respecto
de un sistema de ejes de coordenadas rectangulares, de manera que el vértice coincida con el origen y su lado inicial con el semieje positivo de las x, se dice que es un ángulo del primer cuadrante si su lado terminal cae en dicho
cuadrante. Definiciones semejantes se aplican a otros cuadrantes.
Utilizaremos tres funciones trigonométricas de , definidas en base a la abscisa,
la ordenada y la distancia ρ (radio vector) y en base a los lados de un triángulo rectángulo como sigue:
* seno =hipotenusa
opuestocatetoy
vectorradio
ordenadasen
.
.
* coseno = hipotenusa
adyacentecatetox
vectorradio
abscisa .
.cos
* tangente = tg = adyacentecateto
opuestocateto
x
y
abscisa
ordenada
.
.
Además observemos que: tg =
cos
sen
Estas tres funciones nos servirán para resolver los distintos triángulos rectángulos
que se puedan presentar.
y (ordenada)
O
P
M
ρ = r = 1
x (abscisa)
x
y y
x
y
x O M
P ρ
cateto
adyacente
cateto
opuesto hipotenusa
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Ejercicios: Encontrar el valor de las tres funciones trigonométricas del ángulo , de un
triángulo rectángulo, sabiendo que:
a) cateto opuesto = 5
hipotenusa = 13
h2 = x2 + y2 x2 = h2 – y2 x = 1214425169513 2222 yh
sen = 3846,013
5
y cos = 92307,0
13
12
x
tg = 41666,012
5
x
y
b) Encontrar los valores de las tres funciones trigonométricas de 45º
Cuando tengo = 45º, como  = 90º debe ser
el otro ángulo: Ĉ = 45º, por lo tanto deben ser x = y.
Supongamos x = y = 1
Será h = 211 2222 yx
sen = 70710,02
1
y cos = 70710,0
2
1
x
tg = 11
1
x
y
5
13
x
45º B A
C
90º
45º h y
x
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c) Encontrar los valores de las tres funciones trigonométricas de 30º
Supongamos un triángulo equilátero con
lados a = 1 , b = 1, c = 1
Será: y = 5,02
1
2
c
a2 = x2 + y2 x2 = a2 – y2
x = 866,075,025,015,01 2222 ya
sen 30º = 5,01
5,0.
a
y
hipotenusa
opcat
cos 30º = 866,01
866,0..
a
x
hipotenusa
adycat
tg 30º = 577,0866,0
5,0
.
.
x
y
adycat
opcat
d) ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 150 mts. de
altura cuando el Sol se eleva a 20º sobre el horizonte?
sen 20º = mm
sen
BCb
b
BC57,438
34202,0
150
º20
cos 20º = 12,41293969,0.57,438º20cos. mbACb
ACm
60º
30º
A
B
C
x
y
a b
c
150 m A 20º
b
c
B
sombra
C
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e)Un edificio de 100 m de altura proyecta una sombra de 120 m de longitud.
Encontrar el ángulo de elevación del sol.
tg = 83333,0120
100
arc tg 0,8333 = 39,80557 º
1º 60 ´
0,80557º x = ´3342,48º1
80557,0.́60
1 ´ 60 ´´
0,3342 ´ x = 201́
´3342,0´́ .60 ´´
Respuesta: el ángulo = 39 º 48 ´ 20´´
Tabla de las funciones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º
0 º 30º 45 º 60º 90º
Seno 0 2/1 2/2 2/3 1
Coseno 1 2/3 2/2 2/1 0
tangente 0 3/3 1 3 ∞
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA:
100 m
120 m
= ?
a2 = b2 + c2 1 = cos2 + sen2
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Los ángulos agudos B y Ĉ de un triángulo rectángulo ABC son complementarios, es decir:
B + C = 90º
Se tiene que:
sen B = a
bcos C cos B =
a
c= sen C
tg B = B
senB
cos
Así, cualquier función de un ángulo agudo, es igual a la correspondiente cofunción de un ángulo complementario. Esta propiedad permite confeccionar la tablas de las funciones trigonométricas a doble entrada.
Ejercicios: Calcular las siguientes funciones y determinar a qué otra función corresponden:
a) sen 17 º 16 ´ sen 17 º 16 ´ = 0,296819 complementario: = 72 º 44 ´
cos = 0,296819
b) cos 68 º 12´
cos 68º 12´ = 0,37136 complementario: = 21º 48´
sen = 0,37136
ctg 400º = 19175,1839099,0
1
º400
1
tg
tg = tg 50º = 1,19175
b a
C
A B c 90º
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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Cualquier triángulo rectángulo puede resolverse, es decir, conocer todos sus
elementos en base a dos de ellos, de los cuales uno por lo menos será un lado. Las relaciones que unen los elementos conocidos con las incógnitas serán:
las funciones trigonométricas de ángulos agudos el teorema de Pitágoras
Así por ejemplo, si conocemos del triángulo ABC, los lados b y c , las incógnitas serán a, B y C, y
cuando se requiera, la superficie del triángulo.
Entonces será: a = 22 cb
tg C = b
c C = arc tg
b
c tg B =
c
b B = arc. tg
c
b Superficie =
2
.cb
Ejercicios: Resolver los siguientes triángulos rectángulos:
a) Datos: a = 765,40 m B = 68 º 46´ C es complementario de B C = 90º - 68 º 46´ = 21º 14´
sen B = a
b b = a . sen B = 768,40 m . 0,93211 = 716,23 m
a2 = b2 + c2 c = mmmba 30,278)23,716()40,768( 2222
Superficie = 2
.cb =
2
30,27823,716 mm= 99.663,40 m2
b) Datos: a = 96,59 m b = 76,30 m
sen B = a
b = 78993,0
59,96
30,76
m
m
B = arc.sen 0,78993 = 52,179610º
C A
B
90º
a
b d dato
c dato
b
A B
C
a
c
A B
C
b a
c
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1º 60 ´
0,179610º x = ´7766,10º1
179610,0´60
1 ´ 60 ´´
0,7766 ´ x = 461́
´7766,0´́60
´´
Respuesta: el ángulo B = 52 º 10 ´ 46´´
C = 90º - 52 º 10 ´ 46´´ = 37º 49´ 14´´
tg B = c
b c =
28823,1
30,76 m
tgB
b = 59,23 m
c) Una escalera de mano está apoyada contra la pared de un edificio, de modo que
del pie de la escalera al edificio hay 12 unidades. ¿A qué altura del suelo se encuentra el extremo superior de la escalera y cuál es la longitud de la misma, si forma un ángulo de 70º con el suelo?
tg 70º = u
h
12 h = 12 u . tg 70º
h = 12 u . 2,747477 = 32,97 u
l = 22 )97,32()12( uu 35,08 u
d) Un hombre recorre 500 m a lo largo de un camino que tiene una inclinación de
20º respecto de la horizontal. ¿Qué altura alcanza respecto al punto de partida? ¿Cuál es la pendiente del camino?
sen 20º = l
h h = l . sen 20º
h = 500 m . 0,34202 = 171,01 m
70º
l = ?
12 u
h =?
h
b
l = 500m
b 20º
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pend = tg 20º = 3639,0b
h
e) La distancia entre dos edificios de tejado plano es de 60 mts. Desde la azotea del edificio más bajo, cuya altura es de 40 mts., se observa la azotea del otro
con un ángulo de elevación de 40º. ¿Cuál es la altura del edificio más alto?
h = 40 m + BC
tg40º = m
BC
60
BC = 60 m . tg 40º =
BC = 60 m . 0,839099 =
BC = 50,34 m
h = 40 m + BC = 40 m + 50,34 m = 90,34 m
f) Un techo tiene la forma de una pirámide rectangular, siendo la base 3 veces más larga que ancha. Sabiendo que la altura es de 3 mts. y que el ángulo
diedro que tiene por arista el lado menor del rectángulo vale 26º 33´, calcular la superficie del techo.
tg 26º 33´ = c
m3 c =
49967,0
3
´33º26
3 m
tg
m 6 m
a = 2 . c = 2 . 6 m = 12 m
b = 3
12
33
ma = 4 m d = 708,6)6()3( 22 mm
40 m
40º
60 m
A
B
C
h = 3 m
a = 3 u
b = 1 u
h = 3 m
K
c
d
I
J
= 26º 33´
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Superficie de la cara IJK (triángulo) : SIJK = 2
708,64 mm = 13,41 m2
22
dMJIJ
2
4mMJ 2 m
22 )708,6()2( mmIJ 7 m
2
2)7( ÑJmIÑ
2
12
2
mLJÑJ = 6 m
364967 22IÑ 3,60 m
SUPILJ = 2
60,3.12
2
mmIÑLJ
= 21,60 m2
SUPTECHO =2 . SUPILJ + 2 . SUPIJK = 2 x 21,60m2 + 2 x 13,41 m2 = 70,02 m2
I
L Ñ
J
M
K
d
J
I
L Ñ
12 m
7 m
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FUNCIONES GONIOMÉTRICAS Las funciones vistas eran para ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Ahora
se generaliza para cualquier ángulo.
Si a la línea generadora del ángulo , que inicialmente está en OX la
hacemos girar en sentido (+) barriendo un ángulo , y por un
punto cualquiera de OX, por
ejemplo T, trazamos un círculo con centro en O, podremos formar dos triángulos: uno será el ORT. El
punto R se encuentra trazando la perpendicular a OX que pasa por T.
El otro triángulo, se obtiene mediante el punto P (intersección
del círculo con X´) y la proyección de OP sobre OX, que es OQ.
Los triángulos OPQ y ORT son proporcionales, por lo tanto también lo serán sus
lados. Asignemos al radio el valor de 1 unidad.
Será entonces:
r
PQsen PQ = sen . r = sen . 1 tg = TR
sen
OQ
PQ
cos
cos = r
OQ OQ = cos . r = cos . 1
Conociendo una de las funciones trigonométricas, podemos deducir las demás. Por ejemplo, dado el sen
12 = sen2 + cos2
cos2 = 21 sen
tg =
21.
.
sen
sen
adyacentecateto
opuestocat
x
y
O Q
P
ρ=1
T
R
x´ E
1 sen
21 sen
Hipotenusa
cateto opuesto
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Otro ejemplo, dado tg
ρ = 22 tgx = 21 tg
sen =
21 tg
tgy
cos = 21
1
tg
x
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
En el triángulo ABC, no necesariamente rectángulo,
trazamos la perpendicular a uno de sus lados que pase por el vértice opuesto, obteniendo su altura, y de
paso, dividimos al triángulo en dos triángulos rectángulos ADB y BDC.
Entonces se cumple que: a2 = h2 +b22 donde b2 = b – b1
b22 = (b – b1)2 = b2 – 2b.b1 + b1
2
reemplazando:
a2 = h2 + b2 – 2b.b1 + b12 (todavía no conocemos b1)
pero: c2 = h2 + b12 h2 = c2 – b1
2
reemplazando queda: a2 = c2 – b12 + b2 – 2b.b1 + b1
2
cancelando queda: a2 = c2 + b2 – 2b.b1
pero b1 = c . cos
entonces:
a2 = c2 + b2 – 2b.c.cos que es válida para cualquier triángulo.
ρ tg
x = 1 por ser el radio
x
A
C
B
b
D
c
a
h
b1
b2
c
b1
h
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TEOREMA DEL COSENO
a2 = c2 + b2 – 2b.c.cos
“En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el duplo del producto de ellos por el coseno del ángulo comprendido”
Nota: es la generalización del Teorema de Pitágoras al triángulo no rectángulo.
En el caso de ser un triángulo rectángulo, el coseno de 90º es cero.
a2 = c2 + b2 – 2b.c.cos 90º
a2 = c2 + b2 – 2b.c.0 a2 = c2 + b2
TEOREMA DEL SENO
“En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos”
sen =c
h h = c . sen
(1)
sen = a
h h = a . sen
(2)
igualando (1) con (2):
h = c . sen = a . sen
sen
a
sen
c
generalizando: sen
c
sen
b
sen
a
b
90º
c a
A
C
B
b
D
c
a
h
b1
b2
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ÁREA DE UN TRIÁNGULO
“El área de un triángulo cualquiera, es igual a la mitad del producto de dos de sus lados, multiplicado por el seno del ángulo comprendido”
S = senba
2
Ärea = 22
hbalturabase
Pero sen = a
h h = a . sen
Reemplazando: Área = 2
senab
FORMULA DE HERÓN
S = ))()(( cpbpapp siendo a, b y c los lados del triángulo
p es el semi – perímetro
p = 2
cba
Teorema: “El área de un triángulo cualquiera es igual a la raíz cuadrada del
producto del semi-perímetro, por cada uno de los números que se obtiene al restar a éste cada uno de los lados del triángulo”
A
C
B
b
D
c
a
h
b1
b2
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EJERCICIOS:
1) Calcular los ángulos interiores del triángulo.
cos = 28571,07
2 = arc.cos 0,28571
= 73,3984º
1º 60 ´
0,3984º x = ´9070,23º1
3984,0´60
1 ´ 60 ´´
0,9070 ´ x = 541́
´9070,0´́60
´´
= 73º 23´ 54 ´´
+ = 90º = 90º - = 90º - 73º 23´ 54´´ = 16º 36´ 6´´
2) Calcular el área de la figura
d = 2422)2()2( 2222 ba
Sup = 12
2
2
4
2
22
2
ba
3) En el triángulo de la figura, calcular h y a sabiendo que cos = 4
3
cos = 4
34
a a =
3
16
3
44
a2 = h2 + 42 h = 16)3
16(4 222a
h = 53,39
112
9
14425616
9
256
Otro camino:
7
2
90º
d
a = 2
45º 90º
b = 2
h
a
4
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20
= arc.cos 4
3= 41,409622º tg 41,409622º = 0,881917
tg = 881917,04
h h = 4 x 0,881917 = 3,53
4) Calcular el área de la figura
Área = 2
10
2
hhbase
tg 60º = 5
h h = 5 x tg 60º = 5 x 1,732051 = 8,66
Área = 3,432
66,810
5) Calcular el perímetro de la figura
Según el teorema del seno es:
º60º45 sen
b
sen
a
866,07071,0
12 b b = 70,14
7071,0
866,012
= 180º - 60º - 45º = 75º
º75º45 sen
c
sen
a c = 39,16
7071,0
9659,012
º45
º75
sen
sena
perímetro = a + b + c = 12 + 16,39 + 14,70 = 43,09
6) Calcular h
10
1
0
1
0 h
60º
60º 60º
60º h
5 5
60º 45º
a = 12 b
c
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21
cos 30º = 1
h
y
h h = 1 x cos 30º = 0,866
7) Calcular la longitud del segmento OC
cos 30º = 5
OA OA = 5 x cos 30º = 4,33
AC = radio = 5
OC = 5 – OA = 5 – 4,33 = 0,67
8) Calcular la longitud del segmento OA
cos 30º = AM
8,0
mAM 92,0º30cos
8,0
d = 45,08,092,08,0 2222
AM m
e = 2 m – 0,45 m = 1,55 m
sen 30º = e
OM 775,0º3055,1º30 senseneOM m
OA = OM + AM = 0,775 + 0,92 = 1,69 mts.
2 m
y = 1
90º
90º
60º 30º
h
30º
30º A O C
5
e = 2m
30º
O
M
d
90º
A
b
30º 0,8 m
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22
9) En el triángulo de la figura calcular h, sabiendo que el área es 32
3
tg = 57735,03
3
3
b
= arc.tg 0,57735 = 30º
= 180º - 30º - 90º = 60º
sen 30º = 3
h h = 3 x sen 30º = 1,5
Otro camino:
º60
3
º90 sensen
c c = 46,3
º60
º903
sen
sen
Área = 22
33 ch
h = 5,146,3
2
2
33
10) Calcular el área y los ángulos interiores del triángulo de la figura.
Semi perímetro = p = 82
16
2
763
Por fórmula de Herón:
S = )68)(78)(38(8))()(( cpbpapp =
95,8802158
Por el teorema del coseno:
* 62 = 32 + 72 – 2 x 3 x 7 x cos
36 = 9 + 49 – 42 cos cos = 523809,042
49936
= arc.cos 0,526809 = 58º 24´ 42´´
90º
3 h
c
b =
3
7
3 6
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23
* 32 = 62 + 72 – 2 x 6 x 7 x cos cos = 90476,084
49369
= arc.cos 0,90476 = 25º 12´ 31´´
* = 180º - - = 180º - 58º 24´ 42´´ - 25º 12´ 31´´ = 96º 22´ 47´´
11) Calcular el ángulo de la figura, sabiendo que la arista del cubo mide 40 mi
1) a es la diagonal de un
cuadrado de 40 mm de arista.
a = mm57,564040 22
2) b es la hipotenusa de un triángulo de 40 mm de altura (arista) y d1 = a = 56,57 mm
b = 28,6957,5640 22 mm
Por teorema del coseno:
402 = a2 + b2 – 2.a . b . cos
cos =
ab
ba
2
40 222
28,6957,562
28,6957,5640 222
cos = 816339,034,7838
75,6398
= arc cos 0,816339 = 35º 16´ 47´´
d1
a
b
4
0
40
40 a
Matemática Trigonometría Ing. Avila – Ing. Moll
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PREGUNTAS DE AUTO EVALUACIÓN
1) ¿Cómo se clasifican los triángulos de acuerdo a sus ángulos?
2) ¿Qué dice el Teorema de Pitágoras?
3) ¿A qué tipo de triángulos se puede aplicar el teorema de Pitágoras?
4) ¿Qué forma toma el teorema de Pitágoras en el caso de un triángulo
oblicuángulo?
5) ¿Pueden ser utilizadas las funciones trigonométricas en triángulos
oblicuángulos?
6) ¿Cómo elegimos qué función trigonométrica utilizar al resolver un triángulo?
7) ¿Qué dice el teorema del coseno?
8) ¿Qué dice el teorema del seno?
9) ¿Cuándo utilizamos uno u otro teorema?
10) ¿Cómo se calcula el área de un triángulo?
11) ¿Para qué se utiliza la fórmula de Herón?. Explique sus términos.