Resolucin de ProblemasEn esta pgina se muestran ejemplos de ejercicios y problemas resueltos, relacionados con los contenidos de la unidad. En mayor o menor medida se abordan todos los tipos de ejercicios y problemas que se pueden hacer.Nota: Todas las operaciones estnredondeadascon dos o tres decimales.EJERCICIO 1:Calcula las razones trigonomtricas del ngulo :Como ves, los tres lados del tringulo son conocidos, as que para calcular las razones trigonomtricas slo tenemos que aplicar las frmulas y sustituir. Para el ngulo el cateo opuesto es 9, el contiguo 12 y la hipotenusa 15.EJERCICIO 2:Calcula las razones trigonomtricas del ngulo C del siguiente tringuloAhora en este ejercicio ya no tenemos los tres lados, falta uno de los catetos y para calcularlo vamos a utilizar el Teorema de Pitgoras.Lo primero ponerle nombre a los lados. Vamos a llamarle con letras minsculas a los lados que estn enfrente del ngulo con la correspondiente letra mayscula; es decir a = 14 m, b = 8 m y c es el lado que queremos calcularAplicando el Teorema de Pitgoras tenemos: a2= b2+ c2142= 82+ c2196 = 64 + c2196 - 64 = c2132 = c2 y aplicando las frmulas11,49 = c tenemos:

Luego c = 11, 49 m.EJERCICIO 3:Determina los ngulos del ejercicio anteriorObviamente ya sabemos que el ngulo A es el ngulo recto y por tanto A = 90. Para calcular los otros dos vamos a hacerlo con las razones trigonomtricas y con la ayuda de la calculadora.Si queremos calcular el ngulo C con los datos que parto, lo primero es identificar los lados que conozco respecto al ngulo C, que en este caso soncateto contiguo e hipotenusay pienso en qu razn trigonomtrica intervienen esos lados. La respuesta es el coseno, as que calculocos CCos C = 8 / 14 = 0,57. Ahora con la calculadora sacamos cul es el ngulo, utilizando la funcin inversa de la tecla "cos", y el resultado es C = 55,25.Para calcular B puedo hacer lo mismo, pensar qu razn puedo calcular, o como ya tengo dos ngulos, sacarlo de que la suma de los ngulos de cualquier tringulo es 180( A + B + C = 180).Por cualquier camino el resultado es B = 34,75.EJERCICIO 4:De un tringulo rectngulo se sabe que uno de sus ngulo agudos es 40 y que el cateto opuesto a ste mide 10m. Calcula el ngulo y los lados que faltan.Lo primero es hacer un dibujo que nos aclare la situacin y ponerle nombre a los lados y ngulosEsta sera nuestra situacin.Para empezar los ms fcil es sacar el ngulo que falta, y aplicando que la suma de los tres es 180, el ngulo B vale 50.Vamos a calcular ahora por ejemplo el lado "b". Si me fijo en el ngulo C, el lado que s es el cateto opuesto y el que pretendo calcular es el contiguo. Como la razn trigonomtrica en la que intervienen estos es la tangente, voy a calcularla con la calculadora y despejar a partir de ah:Por tanto ya tenemos el lado "b". Para calcular el lado "a" podramos aplicar Pitgoras o sacarlo por alguna razn. Vamos a seguir este camino que ser ms corto.Por ejemplo voy a fijarme en el lado "c" y el ngulo "C", aunque ya podra utilizar cualquiera de los datos que tengo. Para el ngulo "C" s cateto opuesto y quiero hipotenusa; as que habr que utilizar el seno:

EJERCICIO 5:Calcula la altura de la torre si nuestro personaje est a 7 m de la base de latorre, el ngulo con el que est observando la cspide es de 60 y sostiene el artilugio a una altura de 1,5 m.Para comenzar, vamos a hacer un dibujoque aclare un poco la situacin poniendo los datos que conocemos.Si nos fijamos en el tringulo, el lado c mide 7 m y una vez que tengamos calculado el lado b, para calcular la altura de la torre slo tendremos que sumarle los 1,5 m. As pues, vamos a calcular el lado b.Para el ngulo 60, el lado que conozco es el cateto contiguo y el que quiero calcular es el cateto opuesto, as pues planteo la tangente de 60.

Por tanto la altura de la torre es 12,11 m + 1,5 m = 13, 61 m.EJERCICIO 6:El seno de cierto ngulo del segundo cuadrante vale 0,45. Calcula el coseno y la tangente.Para resolver este ejercicio tenemos que recurrir a las relaciones trigonomtricas. De la primera sacaremos el valor del coseno y una vez que lo tengamos sacaremos la tangente:Sacamos el valor del coseno despejndolo de la frmula: sen2 + cos2 = 1.Como nuestro ngulo est en el segundo cuadrante y en ese cuadrante el coseno es negativo, tenemos que quedarnos con el signo -, por tanto cos = - 0,893.Para calcular el valor de la tangente, aplicamos la segunda frmula:EJERCICIO 7:Sabiendo que cos 42 = 0,74. Calcula:sen 222, tg 138, cos 48, sen 318 y sen 132.sen 222El ngulo 222 pertenece al tercer cuadrante. Vamos a ver con que ngulo del primero se relaciona: = 222 - 180 = 42.Por tanto y teniendo en cuenta que el seno en el tercer cuadrante es negativo, sen222 = - sen 42 = - 0,669(Para calcular el sen 42 seguimos el mismo procedimiento que en el ejercicio 6).tg 138138 est en el segundo cuadrante y se relaciona del primero con = 180 - 138 = 42, que vuelve a ser el ngulo que conocemos.Como la tangente es negativa en el segundo cuadrante, tg 138= - tg 42= -0,9(tg 42 lo calculamos igual que en el ejercicio 6)cos 4848 es del primer cuadrante, pero cumple que es el complementario del ngulo que conozco 42.Entonces cos 48 = sen 42 = 0,669.sen 318318 est en el cuarto cuadrante y se relaciona con 360 - 318 = 42.Entonces sen 318 = - sen 42 = - 0,669sen132132 es del segundo y se relaciona con 180 - 132 = 48 que es el complementario de 42.Entonces y como el seno es positivo en el segundo cuadrante, sen 132 = sen 48 = cos 42 = 0,74.RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO AGUDOLlamamos razones trigonomtricas a las distintas razones existentes entre los lados de un tringulo rectngulo. Se define:

Senode un ngulo como la razn entre el cateto opuesto al ngulo y la hipotenusa.Cosenode un ngulo como la razn entre el cateto contiguo al ngulo y la hipotenusa.Tangentede un ngulo como la razn entre el cateto opuesto y el contiguo.Cosecantede un ngulo como la razn entre la hipotenusa y el cateto opuesto, de ah se deduce que la consecante es 1 entre el senoSecantede un ngulo como la razn entre la hipotenusa y el cateto contiguo, es 1 entre el coseno.Cotangentede un ngulo es la razn entre el cateto contiguo y el cateto opuesto, es 1 entre la tangente.

De las definiciones anteriores se deduce que:

Dado un tringulo rectngulo como el de la figura se sabe que los catetos miden:a = 2b = 10Calcula el seno del ngulo A

El seno del ngulo A es =(redondeala solucin a dos cifras decimales)