Trigonometría
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SEMANA 11
ÁNGULO DOBLE
1. Si: 1
sen x cosx 5
Halle: H sen 2x
A) 1
5 B)
2
5 C)
3
5
D) 4
5 E)
5
8
RESOLUCIÒN
2
2 1senx cosx
5
11+sen2x
5
4
sen2x5
RPTA.: D
2. Si: 1
tg3
Halle: “cos2”
A) 1
5 B)
2
5 C)
3
5
D) 4
5 E)
5
12
RESOLUCIÒN
1
tg3
2
2
1 tgcos2
1 tg
2
2
1 1 81 13 9 9cos2
1 101 11 9 93
4
cos25
RPTA.: D
3. Si: 3 3 1senxcos x sen xcosx
8
Halle: 2H sen 4x 1
A) 1
4 B)
5
4 C)
5
8
D) 3
4 E)
2
5
RESOLUCIÒN
3 3 1senxcos x sen xcosx
8
2 2 1senxcosx cos x sen x
8
12senxcosxcos2x .2
8
12sen2xcos2x 2
4
1sen4x
2
2E sen 4x 1
1E 1
4
5E
4
RPTA.: B
4. Calcule: M cos12 cos24 cos48 cos96
A) 0,125 B) 0,625
C) -0,125 D) -0,625 E) -0,0625
RESOLUCIÒN
Como: sen2a
cosa2sena
sen24º sen48º sen96º sen192ºM
2sen12º 2sen24º 2sen48 2sen96º
sen 180º 12º sen12º1 1 1M
8 sen12º 8 sen12º 8
M 0,125
RPTA.: C
Trigonometría
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5. Si: 6
H 16sen cos cos2 cos4
A) 1 B) 2 C) 1
2
D) 3 E) 3
2
RESOLUCIÒN
H 2 2 2 2 sen cos cos 2 cos4
H 2 2 2 sen2 cos2 cos 4
H 2 2 sen4 cos 4
H 2 sen8
H 2sen8
H 2 sen 8 30º 2sen240º
3
H 2 sen60º 22
H 3
RPTA.: D
6. Reducir:1 cos4 sen4
A1 cos4 sen4
A) tg B) 2tg C) tg2
D) ctg2 E) 2ctg 2
RESOLUCIÒN
1 cos4 sen4
A1 cos4 sen4
2
2
2cos 2 2sen2 cos2A
2sen 2 2sen2 cos2
2cos2 cos2 sen2
2sen2 sen2 cos2
cos2
Asen2
A ctg2
RPTA.: D
7. Reducir
G tg10 2tg20 4ctg40
A) tg 50º B) ctg 10º C) tg 20º D) ctg 20º E) 1
RESOLUCIÒN
G tg10º 2tg20º 2 2ctg40º
G tg10º 2tg20º 2 ctg20º tg20º
G tg10º 2tg20º 2ctg20º 2tg20º
G tg10º 2tg20º
G tg10º ctg10º tg10º
G ctg10º
RPTA.: B
8. Reducir:
cos2 sen4H
1 cos2 1 cos4
A) tg B) tg2 C) ctg
D) 1 E) 2tg
RESOLUCIÒN
cos2 sen4E
1 cos2 1 cos4
2 2
cos2 2sen2 cos2E
2cos 2cos 2
2
sen2 2sen cosE
2cos 2cos cos
E tg
RPTA.: A
9. Halle “x”
A) 17
15 B)
8
15 C)
1
15
D) 4
15 E)
5
18
1
4
x
Trigonometría
Página 3
RESOLUCIÒN
2
2tgtg2
1 tg
2
12
4tg2
11
4
182tg2 tg2
15 15
16
8 x 1 32
x 115 4 15
17
x15
RPTA.: A
10. Si : 3tg a b tg b , halle tg 2b
A) ctg a B) 4 tg a C) 2 tg a
D) 2 ctg a E) tg a
RESOLUCIÒN
3tga tgbtg b
1 tgatgb
4 2tga 1 tg b tgb(tg b 1)
2 2 2tga 1 tg b 1 tg b tgb(tg b 1)
2
tgbtga
1 tg b
2tga tg2b
RPTA.: C
11. Siendo: 2tan2x 8cos x cot x
Halle: M 2sen4x 1
A) 1
2 B) 1 C)
3
2
D) 2 E) -1
RESOLUCIÒN
2tan2x cot x 8cos x
2 2cos 2x xsen2x cosx
8cos x 8cos xcos2x senx cos2x senx
1 4 2senx cosx cos2x
1
1 sen 4 x=
2
luego: M= 1
2 1 22
RPTA.: D
12. Si: 94
tg
Halle E = 2ctg
A) - 9
40 B)
5
18 C)
1
40
D) 11
40 E)
1
25
RESOLUCIÒN
tg tgx 94
x x4 4
M ctg2 ctg 2 x4
M ctg 2x tg2x2
1
4
x
Trigonometría
Página 4
2 2
2 92tgx 18M
1 tg x 1 811 9
18
M80
9
M40
RPTA.: A
13. Si x8 4
; además :
3
4cos xxsen
Halle: xsen4
A) 56 2
243 B)
17 2
243 C)
13 2
243
D) 16 2
243 E)
56 2
243
RESOLUCIÒN
4
senx cosx3
Elevando al :
7
sen2x9
2x4 2
Se pide: sen4x 2sen2xcos2x
56 2
sen4x81
RPTA.: B
14. Si 3
14cos x
E = xxx 4cos12cos1cos41 2
A) 1
3 B)
1
6 C)
1
9
D) 1
12 E)
1
18
RESOLUCIÒN
2 2M 1 4cos x 1 cos2x 2cos 2x
2 2 2M 1 4cos x 2sen x 2cos 2x
2 2M 1 4sen 2xcos 2x
2M 1 sen 4x
2M cos 4x
21 1
M M3 9
RPTA.: C
15. Hallar el máximo valor de:
E = 2
2 26 sen xcos x 2 senx cosx
A) 9
4 B)
13
4 C)
25
4
D) 19
4 E)
15
4
RESOLUCIÒN 2 2E 6 sen xcos x 2(1 2senxcosx) 2 2E 4 sen xcos x 4senxcosx
2
E 2 senxcosx
Pero: 1 1
senxcosx2 2
29 25
senxcosx 24 4
Se pide MÁX
25E
4
RPTA.: C
16. M = 1 3
sen10º cos10º
A) 3
2 B)
1
4 C) -2
2x
4 2
7
9
Trigonometría
Página 5
D) 1
2 E) 4
RESOLUCIÒN
1 32 cos10º sen10º
2 2M
sen10ºcos10º
2 cos10ºcos60º sen60ºsen10ºM 2.
2.sen10ºcos10º
4 cos60 10º 4sen20º
Msen20º sen20º
M= 4 RPTA.: E
17. Si 2 3cos 2x cos 2x cos2x 1
Halle:
E = 2 3tgx tg x tg x
Si x 0;4
A) 4 B) 5 C) 2
D) 1 E) 3
RESOLUCIÒN
Del dato:
2cos 2x 1 cos2x 1 cos2x
2 2 2cos 2x 2cos x 2sen x
cos2x cosx senx
cos2x tgx
2
2
1 tg xtgx
1 tg x
2 31 tgx tg x tg x
1= E RPTA.: D
18. Reducir G =
22
4 6
4tg 1 tg
2sec sec
A) sen4 B) sen2
C) cos2 D) cos4
E) 2sen 4
RESOLUCIÒN
2 2
4 2
4tg 1 tg 1 tgG
sec 2 sec
2 2
22 2
4tg 1 tg 1 tgG
1 tg 2 1 tg
2 2
2 2 2
4tg 1 tg 1 tgG
1 tg 1 tg 1 tg
G 2 sen2 cos2
G sen4
RPTA.: A
19. Simplifique
2atgx bctgx actgx btgx 4abctg 2x
A) 2 2a b B) 2 2a b
C) 2
a b D) 2
a b
E) 2
2 2a b
RESOLUCIÒN
2 2 2 2 2E a abtg x abctg x b 4abctg 2x
2 2 2 2 2E a b ab tg x ctg x 4ctg 2x
Pero: ctgx tgx 2ctg2x
Elevando al :
2̈ 2 2ctg x tg x 4ctg 2x 2
2 2E a b ab(2)
2
E a b
RPTA.: C
20. Reducir la suma de los “n” primeros términos de:
M = 2 2 2sec xtan2x sec 2x tan4x sec 4x
2tan8x sec 8x tan16 x ........
A) ntan2 x
Trigonometría
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B) n2 tan2 x tanx
C) n xtan2 x tan
2
D) n2 tan2 x tanx
E) n x2 tan2 x tan
2
RESOLUCIÒN
M=2 2 2sec .x tan2x sec 2x.tan4x sec 4x.
2tan8x sec 8x.tan16x .......
Como:
2sec a tan2a 2 tan2a tana
2sec x tg2x 2 tg2x tgx
2sec 2x tg4x 2 tg4x tg2x
2sec 4x tg8x 2 tg8x tg4x
. .
.
2 n n n 1sec nx tg2 x 2 tg2 x tg2 x
nM 2 tg2 x tgx
RPTA.: B
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