1. A + B: Se ubica el vector A, luego el vector B se
sita justo donde se acaba el A (en la punta de
la flecha) y el vector resultante de A+B (que
llamaremos C) va desde donde inicia el vector
A hasta donde termina el vector B de la
siguiente manera.
2. A B: Para la resta es el mismo procedimiento
solo que cambia el sentido del vector a restar, es decir:
A B = Se debe cambiar el sentido del vector B.
B A = Se debe cambiar el sentido del vector A.
TUTORIAL VECTORES Iniciamos diciendo que un vector es una magnitud fsica que se caracteriza por tener: MODULO Magnitud DIRECCION Orientacin (ngulo) SENTIDO Lo indica la punta de la flecha SUMA (+) Y DIFERENCIA (-) DE VECTORES Para la suma y resta de vectores se puede hacer por el mtodo del paralelogramo o por el mtodo del polgono, este ltimo es ms sencillo: METODO GRAFICO POLIGONO
A
B
C = A + B -> Resultante
A -B
A = 5 B = 3
: 30 : 45
3. Despus de hallar el vector resultante mediante el mtodo grfico se deben ubicar componentes del tringulo y los que hacen falta por encontrar, es decir; los ngulos necesarios para hallar la magnitud y la direccin del vector C.
4. Para hallar el ngulo que forman los vectores A y B (c) se debe tener en cuenta el ngulo de B (45) y que por congruencias el complementario sera igual al ngulo de A (30), como se muestra en la grfica.
45
30 c = 75
a =?
: 30
5. Debido a que no es un tringulo rectngulo para hallar la magnitud del vector C no se puede hacer con el teorema de Pitgoras. En este caso es necesario hacerlo por medio del teorema del coseno usando la siguiente ecuacin:
2 = 2 + 2 2 cos As que lo que nos resta es reemplazar los valores en las variables.
6. Reemplazando obtenemos:
2 = 52 + 32 2(5)(3) cos 75 2 = 25 + 9 30 cos 75 2 = 34 7,7645 2 = 34 7,7645 2 = 26,235
= 26,23 = ,
7. Ahora debemos hallar el ngulo de inclinacin () del vector C, para ello usaremos la frmula del teorema del seno;
sin
=
sin
=
sin
Debemos usar solo 2 de estas 3 relaciones segn lo deseemos hallar.
=?
c = 75
8. Debido a que ya sabemos que C=5,12 y que el ngulo c=75 usamos la relacin entre b y c ya que tenemos que saber cunto vale b.
sin
=
sin
sin =
sin
sin =3 sin 75
5,12
sin = 0,565972
= sin1(0,565972)
= ,
9. Ya para terminar tenemos que = + ; ya que 30 es el ngulo del vector A y b es el ngulo generado por los vectores A y C, se tiene qu;
= 30 + 34,46 = , . Si deseamos saber el valor del ngulo a tenemos que recordar que la suma de los ngulos de un rectngulo es igual a 180, con ello tenemos que:
180 = + + = 180 = 180 34,46 75 = 180 109,46 = ,
= 64,46
c = 75
a =?
: 30
Entonces ya tenemos que el vector C tiene una
magnitud de 5,12 y una direccin de = 64,46
COMPONENTES VECTORIALES
1. Para hallar el vector resultante se deben ubicar los componentes vectoriales en X y en Y de cada uno de los vectores A, B, y C, para ello se debe proyectar cada vector hacia el plano vertical (Vy) y horizontal (Vx) como se muestra en la imagen.
2. Para poder hallar los valores en X y en Y de cada vector debemos remitirnos a las identidades trigonomtricas
bsicas; sin =
; cos =
;
3. Entonces tenemos que para
encontrar los componentes se debe tener en cuenta cual es el lado o cateto adyacente al ngulo de cada vector, por ejemplo;
Para A el Ca = Ax y el Co = Ay; Para B el Ca = By y el Co = Bx; y para C el Ca = Cx y el Co = Cy.
5. La Hipotenusa (hip) en cada caso es el vector. Entonces:
VECTOR A: Ax = Como es el cateto adyacente (Ca) usamos
la frmula (cos =
).
Ay = Como es el cateto opuesto (Co) usamos la
frmula(sin =
).
VECTOR B:
Bx = Como es el cateto opuesto (Co) usamos la
frmula (sin =
)
By = Como es el cateto adyacente (Ca) usamos
la frmula(cos =
).
VECTOR C:
Cx = Como es el cateto adyacente (Ca) usamos
la frmula (cos =
).
Cy = Como es el cateto opuesto (Co) usamos la
frmula(sin =
).
4. Calculamos:
VECTOR A:
= cos = sin = cos = sin
= cos 45 = sin 45 = 4(0,7071) = 4(0,7071) = , = ,
VECTOR B:
= sin = cos = sin = cos
= sin 15 = cos 15 = 5(0,2588) = 5(0,9659) = , = ,
VECTOR C:
= cos = sin = cos = sin
= cos 30 = sin 30 = 2(0,8660) = 2(0,5) = , =
Bx
Cx
Ax
By
Ay
Cy
= 15
= 30 = 45
Entonces ya tenemos que el vector R tiene una magnitud de 2,57N y una direccin de r = 23 en el eje X negativo (-X).
6. Una vez hallados los componentes de cada vector se procede a ubicar los resultantes en el plano cartesiano de
acuerdo a su sentido . Se deben sumar los que van en el mismo eje y en el mismo sentido (X, -X, Y, -Y).
7. El siguiente paso es restar los resultantes que van en el mismo eje pero en sentidos opuestos (X con X) y (Y con Y). Si dan resultados negativos se toma el valor absoluto, es decir; siempre se toma como positivo y el sentido del resultante es el mismo del que tena mayor magnitud.
8. Entonces tenemos que: Y = 4,83N 3,82N = 1,01N (en Y) X = 4,11N 1,74N = 2,37N (en X)
9. Una vez ms las ubicamos en el cuadrante correspondiente del plano cartesiano y proyectamos el vector resultante final.
Cx = 1,74N
By = 4,83N
Ax + Bx = 4,11N
Ay + Cy = 3,82N
Y
X
-Y
-X
Y
-X
Y = 1,0
1N
X = 2,37N
= 23
10. Para encontrar la magnitud del vector R podemos usar el Teorema de Pitgoras ya que los vectores X y Y forman un ngulo
recto (). Entonces:
= 2 + 2 = 2 + 2
Reemplazando
= 2,372 + 1,012
= 5,6169 + 1,0201
= 6,637 = ,
11. Para hallar el ngulo r del vector R podemos usar alguna de las identidades trigonomtricas vistas anteriormente:
sin =
; cos =
; tan =
Lo ms normal es usar tan , as que:
tan r =1,01
2,37 tan r = 0,4261
r = tan1(0,4261) =
= 23
Top Related