Funciones de Variables Aleatorias
UCR – ECCICI-0115 Probabilidad y EstadísticaProf. Kryscia Daviana Ramírez Benavides
UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaFunciones de Variables Aleatorias 2
Introducción En los métodos estadísticos estándar, el resultado de la prueba
de hipótesis estadísticas, estimación o incluso las gráficas estadísticas no involucra a una sola variable aleatoria sino, más bien, a funciones de una o más variables aleatorias.
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Transformaciones de Variables Suponga que X es una variable aleatoria discreta con
distribución de probabilidad f(x). Se define con Y = u(X) una transformación uno a uno entre los
valores de X y Y de modo que la ecuación y = u(x) se puede resolver unívocamente para x en términos de y, es decir x = w(y).
Entonces la distribución de probabilidad de Y es
ywfyg
ywXPyYPyg
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Transformaciones de Variables (cont.) Suponga que X1 y X2 son variables aleatorias discretas con
distribución de probabilidad conjunta f(x1,x2). Se define con Y1 = u1(X1,X2) y Y2 = u2(X1,X2) una
transformación uno a uno entre los puntos (x1,x2) y (y1,y2) de modo que las ecuaciones y1 = u1(x1,x2) y y2 = u2(x1,x2) se pueden resolver unívocamente para x1 y x2 en términos de y1 y y2, es decir x1 = w1(y1,y2) y x2 = w2(y1,y2).
Entonces la distribución de probabilidad conjunta de Y1 y Y2 es
21221121
21222111
221121
,,,,,,,
,,
yywyywfyygyywXyywXP
yYyYPyyg
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Transformaciones de Variables (cont.) La distribución de probabilidad de Y1 es precisamente la
distribución marginal de g(y1,y2), que se encuentra al sumar los valores y2.
Al denotar la distribución de probabilidad de Y1 por h(y1), se puede escribir
2
211 ,y
yygyh
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Transformaciones de Variables (cont.) La distribución de probabilidad de Y2 es precisamente la
distribución marginal de g(y1,y2), que se encuentra al sumar los valores y1.
Al denotar la distribución de probabilidad de Y2 por h(y2), se puede escribir
1
212 ,y
yygyh
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Transformaciones de Variables (cont.) Suponga que X es una variable aleatoria continua con
distribución de probabilidad f(x). Se define con Y = u(X) una transformación uno a uno entre los
valores de X y Y de modo que la ecuación y = u(x) se puede resolver unívocamente para x en términos de y, es decir x = w(y). Entonces la distribución de probabilidad de Y es
Donde J = w’(y) y se llama jacobiano de la transformación.
JywfygywXP
yYPyg
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Transformaciones de Variables (cont.) Suponga que X1 y X2 son variables aleatorias continuas con
distribución de probabilidad conjunta f(x1,x2). Se define con Y1 = u1(X1,X2) y Y2 = u2(X1,X2) una
transformación uno a uno entre los puntos (x1,x2) y (y1,y2) de modo que las ecuaciones y1 = u1(x1,x2) y y2 = u2(x1,x2) se pueden resolver unívocamente para x1 y x2 en términos de y1 y y2, es decir x1 = w1(y1,y2) y x2 = w2(y1,y2). Entonces la distribución de probabilidad conjunta de Y1 y Y2 es
JyywyywfyygyywXyywXP
yYyYPyyg
21221121
21222111
221121
,,,,,,,
,,
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Transformaciones de Variables (cont.) Donde el jacobiano es el determinante 2 × 2
Y cada celda de la matriz es una derivada parcial: ∂x1/∂y1 es la derivada de x1 = w1(y1,y2) con respecto a y1 y y2
permanece constante. ∂x1/∂y2 es la derivada de x1 = w1(y1,y2) con respecto a y2 y y1
permanece constante. ∂x2/∂y1 es la derivada de x2 = w2(y1,y2) con respecto a y1 y y2
permanece constante. ∂x2/∂y2 es la derivada de x2 = w2(y1,y2) con respecto a y2 y y1
permanece constante.
2212
2111
yxyxyxyx
J
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Transformaciones de Variables (cont.) Suponga que X es una variable aleatoria continua con
distribución de probabilidad f(x). Sea Y = u(X) una transformación entre los valores de X y Y
que no es uno a uno. Si el intervalo sobre el que se define X se puede dividir en k conjuntos mutuamente disjuntos de modo que cada una de las funciones inversas x1 = w1(y), x2 = w2(y), …, xk = wk(y) de y = u(x) defina una correspondencia uno a uno, entonces la distribución de probabilidad de Y es
donde Ji = wi’(y), i = 1, 2, …, k.
k
iii Jywfyg
1
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Momentos y Funciones Generadoras de Momentos El propósito de la función generadora de momentos es la
determinación de los momentos de las distribuciones. Sin embargo, la contribución más importante es establecer
distribuciones de funciones de variables aleatorias.
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Momentos y Funciones Generadoras de Momentos (cont.) El r-ésimo momento alrededor del origen de la variable
aleatoria X está dado por
Como el primer y segundo momentos alrededor del origen están dados por μ1’ = E(X) y μ2’ = E(X2), se puede escribir la media y la varianza de una variable aleatoria como
continua es si
discreta es si
''
Xdxxfx
Xxfx
XEr
x
r
r
2'2
2'1
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Momentos y Funciones Generadoras de Momentos (cont.) Aunque los momentos de una variable aleatoria se pueden
determinar directamente de la definición anterior, existe un procedimiento alternativo.
La función generadora de momentos de la variable aleatoria X está dado por E(etx) y se denota con Mx(t). De aquí
continua es si
discreta es si
Xdxxfe
Xxfe
eEtMtx
x
tx
tXX
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Momentos y Funciones Generadoras de Momentos (cont.) Las funciones generadoras de momentos existirán sólo si la
suma o integral de la definición anterior converge. Si existe una función generadora de momentos de una variable
aleatoria X, se puede utilizar para generar todos los momentos de dicha variable. El método se describe en el siguiente teorema.
Teorema. Sea X una variable aleatoria con función generadora de momentos MX(t). Entonces
'
0r
trX
r
dttMd
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Momentos y Funciones Generadoras de Momentos (cont.)
Distribución MX(t)
b(x;n,p)
b*(x;k,p)
g*(x;p)
p(x;λ)
k
t
t
qepe
1
1tee
nt qpe
t
t
qepe1
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Momentos y Funciones Generadoras de Momentos (cont.)
Distribución MX(t)
u(x;A,B)
n(x;μ,σ)
g(x;α,λ=1/β)
e(x;λ=1/β)
ji(x;v)
tt
e
2
22
tt
11
ABtee tAtB
tt1
1
221 vt
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Momentos y Funciones Generadoras de Momentos (cont.) Aunque el método de transformación de variables proporciona
una forma efectiva de encontrar la distribución de una función de diversas variables, hay un procedimiento alternativo y que a menudo se prefiere cuando la función en cuestión es una combinación lineal de variables aleatorias independientes.
Este procedimiento utiliza las propiedades de las funciones generadoras de momentos que se presentan en los siguientes cuatro teoremas.
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Momentos y Funciones Generadoras de Momentos (cont.) Teorema de Unicidad. Sean X y Y dos variables aleatorias
con funciones generadoras de momentos MX(t) y MY(t), respectivamente. Si MX(t) = MY(t) para todos los valores de t, entonces X y Y tienen la misma distribución de probabilidad.
Teorema. MX+a(t) = eatMX(t). Teorema. MaX(t) = MX(at). Teorema. Si X1, X2, …, Xn son variables aleatorias
independientes con funciones generadoras de momentos MX1(t), MX2(t), …, MXn(t), respectivamente, y Y = X1 + X2 + … + Xn, entonces
tMtMtMtMnXXXY ...
21
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Momentos y Funciones Generadoras de Momentos (cont.) Combinaciones lineales de variables aleatorias
Teorema. Si X1, X2, …, Xn son variables aleatorias independientes que tienen distribuciones normales con medias μ1, μ2, … μn y varianzas σ1
2, σ22, … σn
2 respectivamente, entonces la variable aleatoria
tiene una distribución normal con media
y varianza
nn XaXaXaY ...2211
nnY aaa ...2211
2222
22
21
21
2 ... nnY aaa
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Momentos y Funciones Generadoras de Momentos (cont.) Combinaciones lineales de variables aleatorias
Teorema. Si X1, X2, …, Xn son variables aleatorias mutuamente independientes que tienen, respectivamente, distribuciones ji cuadradas con v1, v2, … vn grados de libertad, entonces la variable aleatoria
tiene una distribución ji cuadrada con
grados de libertad
nXXXY ...21
nvvvv ...21
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Momentos y Funciones Generadoras de Momentos (cont.) Combinaciones lineales de variables aleatorias
Corolario. Si X1, X2, …, Xn son variables aleatorias independientes que tienen distribuciones normales idénticas con media μ y varianza σ2, entonces la variable aleatoria
tiene una distribución ji cuadrada con v = n grados de libertad
2
1
n
i
iXY
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Momentos y Funciones Generadoras de Momentos (cont.) Combinaciones lineales de variables aleatorias
Corolario. Si Z1, Z2, …, Zn son variables aleatorias independientes que tienen distribuciones normales estándar, entonces la variable aleatoria
tiene una distribución ji cuadrada con v = n grados de libertad
n
iiZY
1
2
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Referencias Bibliográficas Walpole, R.E.; Myers, R.H.; Myers, S.L. & Ye, K.
“Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias”. OctavaEdición. Pearson Prentice-Hall. México, 2007.
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