UNI DAD 7
ESPACIO TRIDIMENSIONAL: LA RECTA
Objetivos
Geometría analítica
299
Introducción
CP(x, y, z
7.1. Definición de recta
x x2, x
líneas rectas
Definición de recta. Para cada par de ternas Po, A 3, donde A es un vector distinto de cero, el segmento l que pasa por Po y es generado por el vector A se puede definir como el conjunto de puntos expresados por:
Ejemplo 1
P (xo, yo zo lA = (a, b, c
Solución A
P (xo, y
o, z
oA = (a, b, c
300
P = (x, y, z
P P2
P P2
P(x y z
PP PP t
t
Ejemplo 2
P P
P t
Geometría analítica
301
Solución P P
d
d
P P
xx x
yy y
zz z
P
P P t
P
7.2. Ecuaciones de la recta
l
Ecuación vectorial de una recta. l l P(x, y, z P (x y z A = (a, b, c
vector dirección
302
A ecuación vectorial de la recta
ecuación vectorial de la recta que pasa por dos puntos P P2 P P2 P2 P
(A
P P P P
P P
conjunto de puntos
P P2
Ejemplo 3
P0 A
P P2
Solución A P(x, y, z
P P P P P(x, y, z
Ecuación paramétrica de una recta lA
Geometría analítica
303
x, y, zl
paramétricas
Ejemplo 4
P A P A
Solución A
representa el conjunto de puntos.
representación vectorial.
P = (x, y, z, representación paramétrica
representa el conjunto de puntos.
representación vectorial.
, representación paramétrica.
304
Ejemplo 5
P
Solución P(x, y, z
P
P
P
Ecuación simétrica de una recta P(x, y, z P (xo, yo zo A=(a, b, ca b, c
ecuación vectorialecuaciones paramétricas
Geometría analítica
305
forma simétrica de la recta.
xo, y
o, z
oa, b, c
Ejemplo 6
Solución
306
Ejemplo 7
0
Solución
z
x
y
Ejemplo 8
Solución: y
P
Geometría analítica
307
x P
AA
P
A
Ecuación cartesiana de una recta
a(y y0
ecuaciones cartesianas de una recta
Ejemplo 9
Po
A
Solución
A P
308
P0
A
Ejercicio 1
v
z
7.3. Distancia de una recta a un punto
Geometría analítica
309
lA
B P0 P1
l B A.
d
distancia de una recta a un punto
Ejemplo 10
PP A
Solución P P B
A d
d
310
d
menor distancia entre dos rectas
A B S T
STl l2 A l P
B P CP0
l1
d
l2
0
C
0
Geometría analítica
311
A B0
l l2
V A
distancia entre dos rectas d
Ejemplo 11
Solución l A P l2
B P C P P C
d
C
A
312
d
d
7.4. Rectas paralelas y perpendiculares
Definición de rectas paralelas . Considerando dos rectas:
A y B ,
se dice que l1 es paralela a l2 si los vectores A y B, que definen la dirección de las rectas, son paralelos entre ellos.
Análogamente, dos rectas l1 y l2 son perpendiculares si sus vectores de dirección A y B lo son.
Geometría analítica
313
Ejemplo 12
Solución
Definición de ángulo entre dos rectas
Ángulo entre dos rectas es el ángulo entre los vectores a los que cada una de ellas es paralela, esto es, si:
A y B
Entonces, el ángulo entre l1 y l2 es el ángulo formado entre los vectores A y B, que definen la dirección de las rectas, esto es:
Ejemplo 13
l l2
l = { }
l2 = {P P }
Solución l l2 A B
314
l l2
A B
punto de intersección
x, y, z
x, y, z
x, y, z
Geometría analítica
315
Ejemplo 14
P(x, y, z
Solución
x
yz
x
y z
P
316
Ejercicio 2
X
Ejercicios resueltos
Solución
l
Geometría analítica
317
=
NOTA en este problema es factible darse cuenta que las ecuaciones cartesianas pueden obtenerse así:
P1(a1, a2, a3 , P2(b1, b2, b3)
x y y z = 0
P0
AB
Solución P0
2 2 2
318
C BC
C B x, y, zC
l
Solución
ll
A B
= 90
Q
Solución
l Q d P0 A2i + 2j +2k
Geometría analítica
319
P0
dd
BB
320
d d
B
A × B
A
d
Determinar si la recta que pasa por los puntos (–1, 3, –2), (3, –1, –2) y la recta que pasa por ( –1, –1, –1), (0, 0, 0) se intersectan y, de ser así, cuál es su punto de intersección.
Solución P P P P
P(x, y, z
Geometría analítica
321
x = y x x x x
y y =
l l
l l
Solución l l2
AB
l2
d
322
A B =A
A
d
l l4
l l4
A
d
Geometría analítica
323
l
Solución
l
l
A B
Solución
A B
v
t
324
Solución
l v
l2 u
2
Solución
Geometría analítica
325
Solución 3
v
a
c
v
326
t Qs s s ?
s t
Solución
P Q
Q = P
t
t t t
t
t
s = Q
t
Geometría analítica
327
P = Q
t s
t s
s t
Solución
M z
x x x x x x
x x x
y
y yy y y y
y
z
328
z
M
P = Q.
)
Solución
d
d
NOTA si una de las rectas ha sido orientada opuestamente, entonces
sería
P P2
P P4
P P
Solución
d
d
Geometría analítica
329
P1 P2
P PP1 P2
P5 P6
330
Autoevaluación
v i + j+2k
P u
P
Geometría analítica
331
.
l
lll l
332
P
Ejercicios opcionales
M
M1
M2
A , B C , C
u
a
i j k
Geometría analítica
333
Respuestas a los ejercicios
Respuestas a la autoevaluación
2
1
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