8/10/2019 Unidad 11 - Parte 1 - Derivadas y representacin grfica
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Pg.!" I a# == 3
2log3 2 X
x x2log32 $# =x10log10 x10log2
1
10
c# =senxeelog ( )senxLne d# =x
ee 2log 2Lnxe
Pg.!" II a# ( ) =fLn ( )xLn4 $# ( ) ( )== eLnxfLn x
c# ( ) =fLn ( )xLnx d# ( ) =fLn ( ) ( )senxLnx + 3
Pg.!% 1 ( ) =xx 2 ( ) = 12 'xx ( )x
x2
1'=
Pg.!% 2 ( ) fInversaDeg ( )( ) =xxfg ( ) =++ xxxg 13
( ) =+++ 1131 23' xxxg ( )13
11
2
3'
+=++x
xxg
( )11'g =++ 1113 xx ( ) ( ) =++ 0522 2 xxx 2=x
( )( ) =
+
=123
111
2
'g =+ 143
1=
+112
1
13
1
Pg.!% 3 ( ) fInversaDeg ( )( ) =xxfg =++ xxxg 5
( ) =
+
+++ 152
115'
xxxg ( )
521
525'
+++=++x
xxxg
( ) 3'g =++ 35xx ( )( ) =++ 041 xx 1=x ( )NoVale 4=x
( ) =++
+=
5421
5423
'g =+ 121
12=
+
121
12
3
2
Pg.!% 4 ( ) =xx 55 ( ) ( ) = 15 '545 xx ( ) 5 4'
5
5
1
xx= =
=
5 432 325
1m
80
1
= 32x == 5 32y 2 ( )= 3280
12 xy
5
8
80+=
xy
Pg.!& 5 a# ( ) += 1
2
11
3
1
'
2
12
3
1xxxf ( )
xxxf
1
3
13 2
' +
=
$# ( ) +=
13
23
4
1 13
21
4
1
' xxxf ( ) 12
4
134 3
' +=
xxxf
c# ( ) +=
224
3
5
13
14
31
5
1
' xxxxf ( ) 224
3
5
345 4
'
+
= xxx
xf
Pg.!& 6
==
5 4
15
1'
5
1
5
1
xxym
=
5 45
13
x 4 515
1=x == 54 515
1y
4 15
1
P'ntos(
44 5 15
1
15
1
Pg.!& 7 a# ( ) =
4
7
xxf ( ) ==
4 11
4
11
'
4
7
4
7
xxxf ( ) 4 32
'
4
7
xxxf
=
$# ( ) ==
5
2
5
31
xxxf ( ) == 1
5
2
'
5
2xxf
5
3
.5
2x ( ) 5 3
'
5
2
xxf
=
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Pg.!& 8 a# ( ) ( ) += 31
35xxf ( ) ( ) =+=
5353
1 13
1' xxf
( )3 2353
5
+ x ( ) =
=
3 2
'
83
51f
12
5
$# += 353 xy =
5
33
yx ( )
5
331 = x
xf ( )( )5
3 2'1 xxf =
c# ( ) ( ) ==+= 33 83151f 2 ( ) ( )[ ] ( )[ ] === 5
2321
21'1 fff
5
12
S) por*'e( ( )[ ] ( ) [ ]( )21
112
1'''1
==
ffff 125
1512 =
Pg.!! 9 a# ( )=xf ' ( )56153 2
+ xe xx
$# ( )=xf ' ( ) ( )=+ 72372 xexxe xx ( )1052 xxex
c# ( )=xf ' =++2
322 13333
x
xexxxe xx ( )2
33 2133
x
xxex +
d# ( )=xf ' =+ xx exex21
x
xex
2
21+
Pg.!! 10 = xxey 6
2
( )626'
2
= xey xx =0'
'y = 062x 3=x
( ) ( ) += xx xxey 6" 2
6262( ) ( )52626
2
xxe xx
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Pg.!+ 13 ( ) =+
= xx
xf 24
12
'
4
22 +xx
( ) ( )
( )++
=22
2
"
4
242
x
xxf
( )
( )2
2
2
4
42
+
x
x
( ) =0' xf 0=x ( ) 00" >f ( ) MnimoLn = 40
Pg.!+ 14 a# ( ) = xLnxxfLn ( )
( ) =+=
xxxLn
xf
xf 11
'
+ xLn1 ( ) xxLnxf += 1'
$# ( ) ( ) = 2LnxxfLn ( ) =x
Lnxf
f 12
'
= fx
Lnxf
2' ( )1' 2 = LnxxLnxf
c# = 2xe
xf = Lnxe
fLn
x
2 += xe
Lnx
e
f
f xx
1
22
'
( )
xex
xxLnx
e
f
+=
1
2
'
d# = LnxxfLn 2 +=x
xLnxxf
f 12 2
'
( ) ( )1' 2
21 ++= xxLnxf
e# ( ) += LnxxfLn 12 ( ) ++=x
xLnxf
f 1122
'
12' 21
2 +
++= xxLnx
xf
f# = LnxxfLn +=x
xLnxxf
f 1
2
1'
xxx
Lnxf
+= 1
21'
Pg.!, 15 ( ) = xxf cos' ( ) == 100' senf = 1m ( )= 010 xy xy=
Pg.!, 16 a# ( ) ( ) ( ) ++= xx
exexxf 222'
22cos ( ) ( )xx exexf
222'
cos2 ++=
$# ( ) ( )= senxx
xfcos2
1'
x
senxf
cos2
' =
c# ( ) =x
tgxxf2
'
cos
12
x
senxf
3
'
cos
2 =
d# ( ) ( ) ( )23cos323' += xxxsenxf
Pg.!, 17 ( ) == 22cos
12
'
xxf
x2cos
22 x
m2cos
22= Bisectri 1( 11 =m
< 12cos
22
x
>22cos 2 x > 22cos x 41,12cos >x Imposible
Ningn pntode la f'ncin c'mple la condicin especificada
Pg.!, 18 :rizontalTangenteHo =m 0 ( ) = xfm '' senxxcos= 0cos senxx 1=tgx 4=x 45=x
Pg.! 19 a# ( )=
= x
x
e
e
f2
'
1
1
x
x
e
e2
1$# ( )
=++
= xx
f 2.11
122
'
( )22112
x
x
++
c# 2'
1
1
arccos2
1
xxf
= d#
+
+=
2
'
1
1cos
1
xx
arcsenxsenxf
Pg.! 20 ( ) =arctgxxf ( ) 2'
1
1
xxfm
+= 0=tgm 0
1
12=+x
=x
Ningn pntode la f'ncin c'mple la condicin especificada
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Pg.! 21 =
+
++=
222
' 1
11
1
1
1
x
x
xf
( ) =
++ 22
2
2 11
1
xx
x
x=
+
+ 22 11
1
1
xx0
Pg.! 22 +2
cot
xarcarctgx ( ) =++
0cot1
1 '2
xarcx
( ) 2'
1
1cot
xxarc+=
Pg.+1 23 = 24 63 xxy ( )== 1121212' 23 xxxxy
( 13121236 22" = xxy = 0'y 1=x 0=x 1=x = 0"y 31=x
= 1x 3=y 0">y /n { }31 hay mnimorelativo=0x 0=y 0"y
/n{ }31
hay mnimorelativo
Pg.+1 24 ( ) =0" xf 1=x 3=x ( )doble 7=x1f 0'rva cncava hacia arriba
Pg.+1 25 =y12 +x
x
( ) ( )( ) =
+
+=
22
2
1
211'
x
xxxy
( )222
1
1
+
x
x
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( ) (
(
+=
2
22
" 12
x
xxy
( )323
1
62
+
x
xx
P'ntos infle3in( 00 == yx 433 == yx 433 == yx
/n p'nto infle3in) con a$scisa positiva(
4
33 =
8
1)3('ym
:Tangente ( )38
1
4
3= xy
8
33
8
1+= xy
Pg.+1 26 ( ) senxxxf = 2' ( ) xxf cos2" = 2cos =x Imposible
4a grfica no tienening5n p'nto de infle3in
Pg.+" 27 a# 652 += xxy par$ola) cncava hacia arri$a 0ortes 67( 0=y 0652 =+ xx 2=x 3=x 0orte 68( 0=x 6=y 9:rtice M;nimo a$sol'to#( 052' == xf 25=x
$# 32 += xxy par$ola) cncava hacia arri$a
0orte 67(=0y
032
=+xx
2o tiene ra;ces irreales# 0orte 68( 0=x 3=y
9:rtice M;nimo a$sol'to#( 012' = xf 21=x c# 92 += xy Par$ola) cncava hacia a$a ( ) ( ) ( )=
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$# 35 53 xxy = 0orte 68( =0x 0=y
0orte 67( =0y ( ) = 053 23 xx 0=x 35=x ( ) =xlm ( ) +=+xlm = 01515' 24 xxy 00 == yx 21 == yx
= 03060" 3
xxy
0=x 21=x
( ) 01" y ( ) ( )relativoMNIM"= 21
=0x === 0"' yyy ( ) HorizontalTangenteINL!XI#N ..00 = c# ( )( )( )412 += xxxy 863 23 + xxx 0orte 68( =0x 8=y ( ) =xlm 0orte 67( =0y 2=x 1=x 4=x = 0663' 2 xxy 31=x
= 066" xy 1=x = 31x 0"y MNIM"=+ 3631 = 1x 0=y 9' =y 0"=y ( ) INL!XI#N=01 d# xxxy 93 23 = (( (( 21532153 ++ xxx 0orte 68( 00 == yx ( ) =xlm 0orte 67( =0y ( ) 2153 =x 0=x ( ) 2153 +=x = 0963' 2 xxy 1=x 3=x
= 066" xy 1=x 51 == yx ( ) .51 MX= 273 == yx ( ) .273 M$N= 111 == yx ( ) .111 INL!X=
Pg.+" 29 a# 5366 23 ++= xxxy ( ) =xlm 0orte 67( ( ) 01 y =0y 1357,0x 0orte 68( =0x 5=y =+ 036123' 2 xxy alNox Re= 2i M7.) ni MC2.
= 0126" xy 2=x /n( ) .652 INLL!X=/n efecto( 0"2
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= 092102108" 2 xxy 56,0x51,1x
/n ( ) relativoMN.45,5625,1 = /n ( ) .10,2656,0 INL!X= /n ( ) relativoM)X.04,1033,0 =
/n ( ) .78,5951,1 INL!X= /n ( ) relativoMN.96,11333,2 = :x -1 -)& -) -1 )& 1 1)& " ")& :y -&1 -)"1 -%)! )! % ,)%% -1& -&,),1 -1 -"& &)" c# 5126103 234 +++= xxxxy ( ) +=xm 0orte 68( =0x 5=y 0orte 67( =0y 05126103 234 =+++ xxxx .imagx= =++ 012123012' 23 xxxy 44,0x
=+ 0126036" 2 xxy( ) 6135=x 43,1x 23,0x
/n y 0">y crecey= 0oncavidad hacia arri$a /n ( ) 96,723,0 .INL!Xy =
/n
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( ) 32 23 +++ xxxxf ( ) 143 2' ++ xxxf
( ) 46" + xxf =0'f 1=x
( ) 01"
s;ntota( 1=x=x )& )& )+& ) 1 1)1 1)& 1)& 1)+& )& )&=y )1" )&, 1),& &)+ I- -%)&& -1) )%& 1)&, )!+ "), &)!
$# ( )14 2
2
+
x
xxf ( ) ( )xfxf = =MP>? 0entro SIM&'()*A ( )00
( )144
1
4
12 +
=x
xxyxf
x y >s;ntota( xy4
1=
0orte 67( =0y 0=x 0orte 68( =0x 0=y
( )( )
( ) 2222
22
24'
14
34
14
34
++=
++
x
xx
x
xxy 0' =,iem-rey
Por tanto) ciente,iem-re'rey = 2o hay M7=M6@) ni MH2=M6@
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=0'y 0=x 0= y ( ) ( )rizontalTangenteHoINL!XI#N=00=x )& )& )+& 1 1)& 1)& 1)+& " % &=y )1 )! )1" ) )+ )"% )% )%+ )+" ), 1)%
c# ( )2
92
2
+
xx
xxf ( )
( )( )12
9 2
+=
xx
xyxf
( ) 9. =xflm >s;ntota( 9=y( ) = 2. xflm >s;ntota( 2=x( ) = 1. xflm >s;ntota( 1=x
( )
( ) ( )22 12
49'
+
=xx
xxy = 0'y 0=x 4=x
'y A cam$ia de sentido en 0=x y 4=x ( ) .00 M)X= ( ) .84 M$N=
=x -" -)& -)& - -1)+& -1)& -1)& -1 -)+& -)& -)&=y )& ")1% &!), I- -%) -1!) -,)"" -%)& -)"1 -1) -)!=x )& )& )+& 1 1)1 1)& 1)& " % & 1 =y -)"" -1), -+)"! -I "&)1" 1+)"1 11)&+ ,)1 , ,)% ,)"" ,)!1
d# ( )1
12 +=
x
xyxf 012 +x contin*af =
0orte 67( =0y 0=x 0orte 68( =0x 1=y( ) = 0. xflm >s;ntota( 0=y
( ) 22
2
1
21'
+
+=x
xxy
= 0'y
21=
x 21+=
x'y A cam$ia de signo en 41,021 =x ( ) M$NIM"= 21,141,0'y A cam$ia de signo en 41,221 +=x ( ) M)XIM"= 21,041,2=x -" - -1 -)%1 )& 1 1)& )%1 " & + 1=y -)% -! -1 -1)1 -1 -% )1& ) )1 ) )1& )1% )
Pg.+" 34 F'ncin racional 0ociente de polinomios del mismo grado >s;ntota 2=y 0ociente de coeficientes de mayor grado 2 2'merador tipo( ( ) baxxxN ++ 22
>s;ntotas( 2=x 4=x
Denominador( ( ) ( ) ( )=+ 42 xxxD 822
xx ( ) eciente,im-reDecrxf = ( ) = 2. xflm ( ) += +2. xflm ( ) = 4. xflm ( ) += +4. xflm
/n los e3tremos del intervalo ( )+ 42 ( ( )xf tiene signos contrarios /n este intervalo) tiene *'e ha$er 'na ra; *'e haga ( ) 0=xf 0orte 67
>l pasar de I) en + 2 ) a -) en 4 ) ha$r 'na ( ) 0" =xf =2F4/7=J2
/n este mismo intervalo) tiene *'e ha$er otra ra;( ) 0=xf
0orte 67
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( ) 04" s;ntota( 0=y 0orte 68( =0x 1=y
( ) 2
2' xxexf
( ) ( ) 22" 42 xexxf + ( ) =0' xf 0=x ( ) 00" ? / A 68 ( ) { }11 += +fD > 1x ( ) ntin*aDefinida'oxf =
( ) = +1. xflm >s;ntota( 1=x oLadoDerec/
( ) +=+xflm. 2o hay as;ntota horiontal 0orte 67( =0y = 112x 41,12 =x
( )1
22
'
x
xxf
( )( 2
2
"
1
12
+
x
xxf
/n ( )fD ) siempre es ( ) 0' >xf 2o hay M7=M6@ ni MH2=M6@
@iempre se tiene *'e ( ) 0"
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$# ( )xf senxxy += ( ) +fD = ( ) contin*axf = ( ) ( )xfxf = =MP>? 0entro @=M/O?H>( ( )00 0orte 67( =0y =+ 0senxx 0=x ( ) =+ 0cos1' xxf ( )12 += 0x /n estos p'ntos hay tangente horiontal
( ) 0' xf
( ) ciente,iem-re'rexf =
( ) = 0" senxxf0xx=
/n estos p'ntos cam$ia signo ( )xf " ,INL!XI"N! =x N, N% "N, N &N, "N% +N, N, &N%
=y 1)+, 1)% )1 )&+ ), ")! ")1" ")1% ")1& ")
=x 11N, "N 1", +N% 1&N, =y ")% ")+1 %)1, %)+ &)&1 !),
c# ( )xf xexy /2= ( ) contin*axf = ( ) +fD = 0orte 67( = 0y 0=x 0orte 68( =0x 0=y ( ) +=xflm. ( ) 0. =+xflm ay) p'es) as;ntota horiontal( 0=y /aHaciaDerec ( ) ( ) = 02 2' xexxxf 0=x ( ).M$N 2=x ( ).M%X
( ) ( ) =+ 024 32" exxxf
22 =x INL!X . =x - -1)& -1)& -1 -)& )& ), 1 " ")%1 % & =y )&! 1), &)%& )+ )%1 )1& )1 )"+ )&% )%& )", )
)1+
d# ( )xf ( )xtgy 2= ( ) -eri(dicaxf =
Per;odo( x2 2
1=T
Oiene as;ntotas verticales( 0x2
1
4
1 +=
/s la grfica de tgx comprimida con factor 2
=x )1 ) )& )" )% )& )! )+ )+& ), ) 1 =y )+" "), I- -"), -+" )+" "), I -"), -+"
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