Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.1 Curvas Planas y Ecuaciones Paramétricas.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 67
2 CCCAAAPPPÍÍÍTTTUUULLLOOO
Curvas Planas, Ecuaciones
Paramétricas y Coordenadas
Polares.
Josiah Willard Gibbs
11 de febrero, 1839 en New Haven: Connecticut, Estados Unidos – íd.28 de abril 1903. Fué un químico, físico y matemático estadounidense que contribuyó de forma destacada a la fundación teórica de la termodinámica.
Gibbs, hijo de un profesor universitario de Yale, creció en New Haven y estudió Licenciatura en la Universidad de Yale. Estudió latín y matemáticas y permaneció en Yale para su posterior posgrado en Ingeniería. Obteniendo su Ph. D. en 1863, uno de los primeros otorgados en Estados Unidos (y aparentemente el primero en ingeniería), con una tesis sobre los dientes de engranajes, e ingresando
en la sociedad secreta Los Calavera y Huesos.
En 1868 fue a vivir a Europa, donde permaneció tres años: París, Berlín y Heidelberg, donde realizó su estudio posdoctoral de matemáticas y física . En 1871 fue nombrado profesor de física matemática en la Universidad de Yale, donde sirvió más de tres décadas. Enfocó su trabajo al estudio de la Termodinámica; y profundizó asimismo la teoría del cálculo vectorial.
Gibbs introdujo el uso de la notación i, j y k que ahora es estándar para los vectores tridimensionales, adaptada por él del álgebra de los “cuaternios”, en el que el matemático William Rowan Hamjilton (1805-1865) había empleado con anterioridad i, j, k para denotar tres raíces cuadradas distintas de -1. Gibbs fue el primero en definir con claridad el producto escalar (punto) ab y el producto vectorial ab de los vectores a y b.
“Todos somos ignorantes, pero no todos ignoramos las mismas cosas”
Albert Einsten
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.1 Curvas Planas y Ecuaciones Paramétricas.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 68
CCUURRVVAASS PPLLAANNAASS YY EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS..
En los cursos de Matemáticas I y II se estudiaron curvas de ecuaciones de la
forma xfy . En este capítulo estudiaremos situaciones en las que se usan tres
variables para representar una curva en el plano. Este tipo de curva describe la
trayectoria de un punto que se mueve en el plano coordenado. En cada punto
,x y es necesario especificar en qué
instante llegó a él, ver figura 2.1-1. Para
determinar este instante, podemos
introducir una tercera variable t,
denominada parámetro. De este modo,
decimos que x e y son funciones de t. Y lo
enunciaremos en la siguiente definición.
Figura 2.1-1 Movimiento Curvilíneo:
dos variables de posición y una de tiempo.
Ejemplos de ecuaciones paramétricas son:
2 4 , x t y t
2 , 1x t y t
DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN DDEE CCUURRVVAA PPLLAANNAA
Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces las
ecuaciones
x = f(t) , y = g(t)
se denominan ecuaciones paramétricas y a t se le llama parámetro.
El par formado por las ecuaciones paramétricas y su gráfica reciben el
nombre de curva plana, y se denota por C.
2.1
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.1 Curvas Planas y Ecuaciones Paramétricas.
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Ahora bien, podemos trasladarnos de las ecuaciones paramétricas a las
ecuaciones cartesianas o rectangulares, si se elimina el parámetro de alguna de
las ecuaciones paramétricas, como veremos en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 1
Hallar la ecuación rectangular que corresponde a la curva plana con ecuaciones
paramétricas
Solución
Una vez que se eliminó el parámetro, se tiene la ecuación ,29 2 yx que
corresponde a una parábola de eje horizontal, que graficaremos en el subtema
2.2.
También podemos obtener ecuaciones paramétricas de una ecuación rectangular,
como se muestra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 2
Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas que representen la gráfica de
y = 1 - x2 usando como parámetro a t = x.
Solución
Dado que el parámetro se ha establecido como t = x entonces sustituimos este en
y = 1 - x2 para obtener las ecuaciones paramétricas:
2 , 1x t y t
Ecuaciones paramétricas
Despejar t en una ecuación
Sustituir en la otra ecuación
Ecuación rectangular
3
22
ty
tx
yt 3 232 yx 29 2 yx
2 2 , 3
tx t y
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.1 Curvas Planas y Ecuaciones Paramétricas.
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Ejercicios Propuestos
22..11 CCUURRVVAASS PPLLAANNAASS YY EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS
En los ejercicios 1-6, escriba la ecuación rectangular correspondiente eliminando
el parámetro.
1 2 ,x t 1. 1 ty
3 2 ,x t 2.
ty 32
1,x t 3.
2ty
1,x t 4.
ty 1
2 ,x t t 5.
1 ty
11 ,x
t 6.
1 ty
EEvvaalluuaacciióónn CCoonnttiinnuuaa
Todo el grupo resolverá el ejercicio 1 y 4 de los propuestos y uno o
dos estudiantes lo resolverán en el pizarrón.
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.2 Ecuaciones Paramétricas de Curvas y Representación Gráfica
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 71
EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE AALLGGUUNNAASS CCUURRVVAASS YY
SSUU RREEPPRREESSEENNTTAACCIIÓÓNN GGRRÁÁFFIICCAA..
Como ya se explico en la sección 2.1, cuando una partícula se mueve a lo largo de
una curva C como la que se muestra en la figura 2.1-1, la ecuación de C no es
posible expresar la de la forma y = f(x) porque C no pasa la prueba de la línea
vertical. De manera que las coordenadas x y y de la partícula; como ya se dijo
antes, son funciones del tiempo t que es llamado parámetro y las ecuaciones se
denominan ecuaciones paramétricas
, x f t y g t
Para trazar a mano alzada una curva dada por un par de ecuaciones
paramétricas, podemos ir marcando puntos en el plano x y . Cada par de
coordenadas ( x, y ) está determinado por un valor seleccionado del parámetro t
(puede usarse otra letra distinta a t ), indicando los puntos resultantes para valores
ascendentes de t, marcando el sentido de estos valores mediante una flecha; que
en lo sucesivo le llamaremos la orientación de la curva; y a esta curva se le llama
curva paramétrica.
EJEMPLO 1
Dibujar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas:
2 4 , si 3 3x t y t t
Solución
Tabulamos los valores de t dados en el intervalo, y los sustituimos en cada una de
las ecuaciones paramétricas par obtener cada uno de los parámetros (x, y) como
sigue:
t 1 3t 2 2t 3 1t 4 0t 5 1t 6 2t 7 3t
x=t2-4 5 0 -3 -4 -3 0 5
y=t -3 -2 -1 0 1 2 3
Tabla 2.2-1. Tabulación Ejemplo 1
2.2
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.2 Ecuaciones Paramétricas de Curvas y Representación Gráfica
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Las flechas inscritas sobre la curva indican la orientación de los valores crecientes de t.
EJEMPLO 2
a) Trazar la curva representada por las ecuaciones paramétricas:
3cos , 3sen si 0 2x y
b) Eliminar el parámetro para obtener una ecuación rectangular
Solución
a) Tabulamos los valores de en el intervalo dado para obtener los distintos
puntos ( x , y ) de las ecuaciones paramétricas, y enseguida los trazamos en
el plano xy.
0 2
4
32
4
3
4 5
6
5
4
7
3
2
8
7
4 9 2
x=3cos 3 2
32
0 2
32
-3 2
32
0 2
32
3
y=3sen 0 2
32
3 2
32
0 2
32
-3 2
32
0
Tabla 2.2-2. Tabulación Ejemplo 2
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Como podemos observar la curva es un circulo de radio 3, con orientación de los
valores crecientes de en sentido anti-horario.
b) Ahora, procederemos a eliminar el parámetro de las ecuaciones
paramétricas.
3cos , 3sen (1)x y
Despejando se tiene:
cos , sen (2)3 3
x y
Enseguida, utilizamos la identidad sen2 + cos
2 = 1 para llegar a una ecuación que
contenga solo a x e y. Sustituimos la ecuaciones (2) en la identidad
133
22
yx
Para obtener la ecuación rectangular del círculo
199
22
yx ó bien x
2 + y
2 = 9
Podemos concluir que las ecuaciones paramétricas de un círculo o elipse son en
general: x = a cos t e y = b sen t
NNoottaa:: El alumno deberá consultar los valores de los ángulos exactos en el apéndice, en el
círculo unitario, para que se vaya familiarizando con ellos.
t9
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De donde si a = b es círculo de radio = a, y si a ≠ b es elipse.
EJEMPLO 3
Trazar la curva con ecuaciones paramétricas:
3 3 3 cos , 3 sen si 0 2x y
Solución
Tabulamos valores para 20
0 2
4
3
2
4
3
4 5
6
5
4
7
3
2
8
7
4 9 2
x=3cos3 3 1.06 0 -1.06 -3 -1.06 0 1.06 3
y=3sen3 0 1.06 3 1.06 0 -1.06 -3 -1.06 0
Tabla 2.2-3 Tabulación Ejemplo 3
Trazamos los puntos;
EEvvaalluuaacciióónn CCoonnttiinnuuaa.. ((PPaarraa ddeessaarrrroollllaarrssee eenn ccllaassee óó eenn ttaarreeaa))
Graficar el círculo con ecuaciones paramétricas:
x = 3sen, , y = 3cos para 0 8
Observar y comparar con el del ejemplo anterior.
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EJEMPLO 4
La curva trazada por un punto P en la circunferencia de un círculo que rueda sin
resbalar por una recta se llama cicloide, y sus ecuaciones paramétricas son:
𝑥 = 𝑎 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 , 𝑦 = 𝑎 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 ,
donde un arco de la cicloide queda descrito cuando 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋𝑎
Solución
Ejercicios Propuestos
22..22 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE AALLGGUUNNAASS CCUURRVVAASS
YY SSUU RREEPPRREESSEENNTTAACCIIÓÓNN GGRRÁÁFFIICCAA..
En los ejercicios del 1-5 grafique (a mano alzada) las curvas representadas por las
ecuaciones paramétricas dadas.
1. x = 4 – 4t , y = 2t + 5 - 2 t 2
2. x = 2 + cos t , y = 3 + sen t 0 t 2
EEvvaalluuaacciióónn CCoonnttiinnuuaa.. ((TTaarreeaa))
Usar un graficador electrónico para graficar la cicloide con ecuaciones
paramétricas: x = 2( - sen ), , y = 2( 1 - cos ) para 08
Observar y comparar con el del ejemplo anterior.
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.2 Ecuaciones Paramétricas de Curvas y Representación Gráfica
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 76
3. x = cos2 t , y = cos t 0 t 4
4. x = 1 + t2 , y = 2t – 1 - 2 t 1
5. x = t3 – 1 , y = 2 – t
2 - 3 t 3
6. x = e2t
, y = 2 – t2 5
4 t 5
4
PPRROOYYEECCTTOO DDEE LLAABBOORRAATTOORRIIOO
En los ejercicios del 7 al 11, use un graficador electrónico para graficar las
siguientes curvas.
7. Cicloide: sen , 1 cosx y
8. Cicloide Prolata: 3 3
sen , 1 cos2 2
x y
9. Hechicera de Agnesi: 22cot , 2senx y
10. Folio de Descartes: 2
3 3
3 3 ,
1 1
t tx y
t t
11. Curvas de Lissajous: 4cos , 2sen 2x y
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.3 Derivada de una Función dad Paramétricamente
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 77
DDEERRIIVVAADDAA DDEE UUNNAA FFUUNNCCIIÓÓNN DDAADDAA PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAAMMEENNTTEE
Como ya vimos en las secciones 2.1 y 2.2, las gráficas de las ecuaciones
paramétricas )(tfx y )(tgy son representadas en un plano; ahora
analizaremos la derivada de las mismas en el siguiente teorema:
La pendiente de la recta secante pasa por los puntos ( f ( t ) ,g ( t )) y
( f ( t+ t ) ,g ( t+ t )) es ym
x
D=
D
Como se muestra en la figura 2.3.-1
TTEEOORREEMMAA 22..11 FFOORRMMAA PPAARRAAMMEETTRRIICCAA DDEE LLAA DDEERRIIVVAADDAA
Si una curva suave C viene dada por las ecuaciones x = f (t) , y = g (t) la
pendiente de C en ( x , y ) es:
, si 0 (1)
dydy dxdt
dxdx dtdt
Notación de Leibniz
DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN DDEE CCUURRVVAA SSUUAAVVEE::
Se dice que una curva suave C, representada por x = f (t) , y=g (t) ,
es suave si f y g son continuas en un intervalo I y no se anulan
simultáneamente.
2.3
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.3 Derivada de una Función dad Paramétricamente
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 78
EJEMPLO 1
Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva dada por las ecuaciones
paramétricas:
( )2 0 para 4
12 , 4
4t tx t y t ³ == = -
Solución
Por el teorema 2.1, la pendiente de la tangente:
dtdx
dtdy
dx
dy
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 0, 𝑠𝑖
𝑑𝑥
𝑑𝑡≠ 0
DDEEMMOOSSTTRRAACCIIÓÓNN::
En la sección 2.1 se vio que las ecuaciones paramétricas x=f(t) y y=g(t) se
pueden expresar también, al eliminar el parámetro, en la forma y=F(x).
Pues bien, si se sustituye x=f(t) y y=g(t) en la ecuación y=F(x) se obtiene:
g( t ) = F( f ( t ) )
Y de esta manera, si g, F y f son derivables, la regla de la cadena da
g ( t ) = F ( f ( t ) ) f ( t ) = F ( x ) f ( t )
Si f (t) 0, se puede resolver F (x):
''
'
g tF x
f t
De esta manera se puede hallar tangentes a curvas paramétricas sin tener
que eliminar el parámetro.
Tangente Horizontal: se tiene en C cuando en la ecuación del teorema 2.1
Tangente Vertical: se tiene en C cuando en la ecuación del teorema 2.1
si 0 0, dy
dt
dx
dt
6. Cicloide
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.3 Derivada de una Función dad Paramétricamente
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 79
Obtenemos las derivadas
1 12
12
12
2 1 2 10 y
4 2 2
dy t dx tt t
dt dt t
-
-
= - = = = =
Sustituyendo:
32
12
112
1 2
tdy
tdx
t
= =
La pendiente de la tangente cuando t=4 es: 442
12
3
dx
dy
EJEMPLO 2
Dada la cicloide de ecuaciones
2 , 2 cosx t sent y tp p= - = -
Hallar la pendiente de la recta tangente para el instante t = 4
Solución
Obtenemos las derivadas:
2 cos y dx dx
t sentdt dt
p p= - =
Luego sustituimos en la fórmula y evaluamos en el instante t = 4
2 2
4 2 2
2 cos 2 4 22 cos4 2
2 2
dysendy sentdt
dxdx tdt
p pppp
pp p pp= = = = =
- ---
210.032
4 2
dy
dx
p
p= » -
-
EJEMPLO 3:
Una curva C se define por las ecuaciones paramétricas:
( )2 3 , x t y t t= = -
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.3 Derivada de una Función dad Paramétricamente
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 80
a) Muestre que C tiene dos tangentes en el punto (1, 0) y encuentre sus
ecuaciones.
b) Determine los puntos en C donde la tangente es horizontal o vertical.
c) Bosqueje la curva para −3 ≤ 𝑡 ≤ 3, y señale ahí los incisos a) y b).
Solución
a) Observe que 3 2( 1) 0y t t t t cuando 0t o 1t . Y se observa
que el valor de t que al ser sustituído en x = t2 da uno es 1t , así también
para y; por lo tanto t = 0 lo descartamos porque en x sería x = 0, y ya no
corresponde al punto (1, 0).
Por lo tanto, el punto (1, 0) en C surge de dos valores del parámetro, 1t
y 1t . Esto indica que C se cruza a sí misma en (1, 0). Puesto que
23 1 1 13
2 2
dydy tdt t
dxdx t tdt
la pendiente de la tangente cuando 1t es
1 1
1 1 1 13 1 1 , 3 1 1
2 1 2 1t t
dy dy
dx dx
Concluyendo dy
dx para 1t es 1
dym
dx de este modo las ecuaciones de
las tangentes en (1,0) son (recuerde 1( )y m x x ) donde 1m ,
1 1x , son:
1y x , 1 1y x x .
b) C tiene una tangente horizontal cuando 0dy
dt y 0dx
dt . Puesto que
23 1dy
tdt , esto sucede cuando 2 1
3t , es decir, 1 3t .
Los puntos correspondientes en C son (1/3, -0.38) y (1/3, 0.38), estos se
obtienen sustituyendo 1 3t en cada ecuación paramétrica.
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.3 Derivada de una Función dad Paramétricamente
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 81
C tiene una tangente vertical cuando 2 0dx
tdt
, es decir, 0t (note que
0dy
dt ). El punto correspondiente en C es (0, 0).
c) Con la información de los incisos a) y b), se bosqueja la curva C en la Figura
2.3-2
Ejercicios Propuestos
22..33 DDEERRIIVVAADDAA DDEE UUNNAA FFUUNNCCIIÓÓNN DDAADDAA PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAAMMEENNTTEE
En los ejercicios del 1 - 5,
a) Halle la pendiente de la recta tangente en el valor indicado de t ó .
b) Encuentre una ecuación de la tangente a la curva en el valor del parámetro.
1.- 3 2 13 , 6 1 tx t t y t == + = + 2.- 2
12 4 , ln tx t y t t == + = +
3.- 2 22 , tx t t y t == + = 4.- 3
42 cos , 2 sen x y q pq q == + = +
5.- 3 343cos , 3 x y sen pqq q == =
En los ejercicios 6 al 10 determine los puntos, si los hay, de la grafica de la curva
indicada en los que la tangente es horizontal y/o vertical.
3 2 5 2 , 2 3 6x t y t t6. = + = + +
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.3 Derivada de una Función dad Paramétricamente
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 82
( ) ( )3 17 2112
2 3
4 4
3 2 , 2 24 1
: 2, 8, 22 , ,
0
,t
x t
t
t t y t
Tan H Tan V
7.
- -
= + - = + +
= ± - = -¡
2 3 10 , 12x t y t t8. = - = -
( ) ( ):
2cos , sen 2
2, 1 ,
2,0
x y
Tan H Tan V
9. q q
± ±
=
±
=
¡
3 2 3 2 2 3 -12 , 2 3 1x t t t y t t10. = + = - +
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.4 Longitud de Arco en Forma Paramétrica.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 83
LLOONNGGIITTUUDD DDEE AARRCCOO EENN FFOORRMMAA PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAA..
Hemos visto como utilizar las ecuaciones paramétricas para describir la trayectoria
de una partícula que se mueve en el plano. Desarrollaremos ahora una fórmula
para calcular la distancia recorrida por la partícula a lo largo de su trayectoria; a lo
que llamaremos longitud de arco de una curva C, que se define como sigue:
Longitud Aproximada de la curva C está dada por:
La suma de las longitudes de los polígonos inscritos con vértices P0, P
1,…, P
n.
bt
at
nlll ...21
NNoottaa:: Se deja al estudiante investigar la deducción de la fórmula del Teorema 2.2
TTEEOORREEMMAA 22..22 LLOONNGGIITTUUDD DDEE AARRCCOO EENN FFOORRMMAA PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAA
Si una curva suave C dada por las ecuaciones x=f(t) , y=g(t) no tiene auto
intersecciones en el intervalo a ≤ t ≤ b, entonces la longitud de arco de C
en el intervalo viene dada por:
2 2
2 2´ ´
b b
a a
dx dydt f t g t dt
dt dtS
2.4
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.4 Longitud de Arco en Forma Paramétrica.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 84
Como ya se estudio en el curso de Matemáticas II, se aprendió como hallar la
longitud L de una curva C dada en la forma y F x , a x b . Recordemos que
la unidad 4 de esa aginatura, se dedujo que si F’ es continua, se tiene como
consecuencia la fórmula
21
b
a
dydx
dxL
Ahora suponga que C se puede describir también mediante las ecuaciones
paramétricas x = f t y y = g t , a x b , donde dx dt = f' t > 0 . Al sustituir
la fórmula del teorema 2.1 que dice dy dy dt
dx dx dt en la fórmula 1, se obtiene
221 1
22 22
2
bdxdy dy dt
dx dtdtdx dx dta
b dydy dxdxbdx dxdt dtdt dt
dt dtdt dtdxa dx dtadt
L
L
Finalmente, se tiene la fórmula en la Notación de Leibniz que se enuncia en el
siguiente teorema 2.2
EJEMPLO 1
Hallar la longitud de la curva que tiene ecuaciones a tx 4 , 2ty si 20 t
Solución
Primero calculamos las primeras derivadas
4dt
dx t
dt
dy2
Luego sustituimos en la fórmula del teorema 2.2
dttdttdtdt
dy
dt
dxs
b
a
2
0
2
2
0
22
22
41624
Para resolver esta integral recurrimos a las fórmulas de las tablas de integración y
nos dice que:
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.4 Longitud de Arco en Forma Paramétrica.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 85
222
2222 ln22
uaua
uau
duua
En donde a2=4 a=2 u
2=t
2 u=t du=dt y observamos que nuestra integral está
completa.
22
2 2 2
00
22 4 2 4 ln 4
2 2
tS t dt t t t
2 2
Límite Superior Límite Inferior
2 4 2 2ln 2 4 2 0 4 0 2ln 0 4 0S
2 8 2ln 2 8 2ln 2
4.58
S
S
EJEMPLO 2
Hallar la longitud de tres arcos de la cicloide con ecuaciones paramétricas.
senx 2 cos12 y
Solución
Recordemos un arco de la figura 2.2-4, con el propósito de establecer los límites
de la integral a resolver
Así pues, calculamos la longitud de un arco de la cicloide y aprovechamos la
simetría para solo multiplicar el resultado por tres para obtener la longitud total de
los tres arcos.
Derivando
cos22 d
dx
sen
d
dy2
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.4 Longitud de Arco en Forma Paramétrica.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 86
Sustituyendo:
4 4
0 0
22 22
2 2cos 2dx dy
S d sen dd d
4
0
2 2 2 24 8cos 4cos 4 4 8cos 4(cos )sen d sen d
4 4 4
0 0 0
4 8cos 4 8 8cos 8 1 cosd d d
4
0
8 1 coss d
por la identidad 2 1 cos 2
2
xsen x
Es necesario hacer 22
cos12
1
2
2 sen despejando 21 cos 22
sen
4 4
0 0
4 42
2 2 2 20 08 2 8 2 2 8 2 cos 8coss sen d sen d
1Para integrar Si
2 2u du d
8 cos cos0 02
s
Ejercicios propuestos
22..44 LLOONNGGIITTUUDD DDEE AARRCCOO
Encontrar la longitud de la curva.
1. 2tx , ty 2 ; 20 t
2. 21 3x t , 34 2y t ; 0 1t
3. 23
5 3 tx , 64 3 ty ; 20 t
4. 3
3
1tx , 2
2
1ty ; 30 t
5. tx cos2 , senty 2 ; 20 t
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.4 Longitud de Arco en Forma Paramétrica.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 87
6. tex t cos , sentey t ; 2
0 t
: 2( 1)L ep» -¡
7. sentex t , tey t cos ; t0
8. arcsentx , 21ln ty ; 2
10 t
9. 1
tx
t
, ln(1 )y t ; 0 2t
: 1.3L »¡
10. lnx t , 1y t ; 0 5t
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.5 Coordenadas Polares.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 88
CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS
En las secciones anteriores como en cursos anteriores las graficas se han
representado como una colección de puntos (x, y) en el sistema de coordenadas
rectangulares. En esta sección, estudiaremos un sistema de coordenadas
denominado sistema de coordenadas polares, introducido por Newton, que es más
conveniente para muchos propósitos.
El sistema de coordenadas polares está constituido por un punto 0, llamado el
polo (o el origen), un eje polar y un segmento conocido como r ó distancia dirigida
de O a P, como se muestra en la siguiente figura 2.5-1
La figura 2.5-2 muestra tres puntos en el sistema de coordenada polares.
Obsérvese que, en este sistema los puntos se localizan respecto a un conjunto de
circunferencias concéntricas y rectas radiales que pasan por el polo.
NNoottaa:: Los ángulos θ >0 se miden en sentido opuesto al movimiento de las manecillas del
reloj a partir del eje polar; y los ángulos θ <0 se miden en el mismo sentido de las
manecillas.
2.5
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.5 Coordenadas Polares.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 89
Se extiende el significado de las coordenadas polares (r,) al caso en que r es
negativa estando de acuerdo en que, como en la figura 2.5-3 los puntos ( -r, ) y
( r, ) están en la misma línea que pasa por 0 y a la misma distancia r de 0, pero
en lados opuestos de 0. Si r>0, el punto ( r, ) está en el mismo cuadrante que ;
si r<0, está en el cuadrante del lado opuesto del polo. Observe que (-r,)
representa el mismo punto que ( r, + ).
EJEMPLO 1
Localizar los puntos cuyas coordenadas polares se indican.
a) ( 3, π/6 ) b) (4, - π/3 ) c) ( -3, 5/4π )
Solución
a) Se miden 3 unidades a lo largo del rango π/6. Ver figura 2.5-4 (a).
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.5 Coordenadas Polares.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 90
b) Se miden 4 unidades a lo largo del rango 3
. Ver figura 2.5-4 (b).
c) Se miden 3 unidades a lo largo del rayo 5 94 4
. De manera
equivalente, es posible medir 3 unidades a lo largo del rango 54
prolongado hacia atrás, a través del polo. Observemos en la figura 2.5-4 (c)
que el punto 5 3,
4 no está en el mismo cuadrante que el lado terminal
del ángulo indicado.
En el sistema de coordenadas rectangulares la localización de un punto es única.
Esto no sucede en el sistema de coordenadas polares, la descripción de un punto
no es única, es decir, cada punto tiene muchas representaciones ya que los
ángulos θ pueden tener múltiplos de 2π; por lo que expresaremos también cada
punto polar como:
( r, θ ) y ( r, θ + 2nπ ), n es entero
EJEMPLO 2
Encuentre 4 de las representaciones alternativas del punto (3, π/6).
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.5 Coordenadas Polares.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 91
Solución:
Conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.
Superponiendo un sistema de coordenadas rectangulares a un sistema de
coordenadas polares, como se muestra en la Figura 2.5-6, una descripción polar
de un punto se puede convertir a coordenadas rectangulares utilizando
x= r cos θ , y= r sen θ
Estas formulas son validas para cualquier valor de r y de θ.
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.5 Coordenadas Polares.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 92
EJEMPLO 3
Convierte (2, π/6) de coordenadas polares a rectangulares.
Solución
Con r = 2, θ = π/6, tenemos que
x = r cos θ = 2 cos π/6= 2( 3 /2)= 3
y = r sen θ = 2 sen π/6= 2(1/2)= 1
Así que, (2, π/6) es equivalente a ( 3 ,1) en coordenadas rectangulares.
Conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.
En virtud de la figura 2.5-6 debe ser evidente que x, y, r y θ están relacionados
también por
r2 = x
2 + y
2 , tan θ = y/x
Estas ecuaciones se emplean para convertir las coordenadas rectangulares ( x, y )
a coordenadas polares ( r, θ )
EJEMPLO 4
Convertir ( -1, 1 ) de coordenadas rectangulares a polares.
Solución
Con 1 , 1x y , tenemos que
2 2r y tany
x
Ahora bien, 2r y dos de los muchos ángulos posibles que satisfacen
tan 1 , son 3π/4 y 7π/4. En la figura 2.5-7 se ve que dos representaciones del
punto indicado son
( 2 , 3π/4) y (- 2 ,7π/4)
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Conversión de ecuaciones polares a ecuaciones cartesianas
Empleando las ecuaciones que relacionan las coordenadas polares con las
cartesianas
cosx r , y rsen , 2 2 2x y r , tany
x
Podemos reescribir las ecuaciones polares en forma cartesiana y viceversa.
EJEMPLO 5
Observe en la siguiente tabla las ecuaciones equivalentes
Ecuación Polar Equivalente Cartesiana
r senθ = 4 y = 4
r2senθ cosθ = 9 xy = 9
r2cos
2θ-r
2sen
2θ = 4 x
2-y
2 = 4
r = 1+2rcosθ y2-3x
2-4x-1 = 0
Cabe hacer notar que en algunas ocasiones se trabaja mejor con coordenadas
polares que con otras.
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.5 Coordenadas Polares.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 94
EJEMPLO 6
Encuentre una ecuación polar para el circulo x2 +(y - 4)
2=16
Solución
desarrollando (y – 4)2 x
2 + y
2 - 8y + 16 = 16
los 16 se cancelan x2 + y
2- 8y = 0
Si x2 + y
2 = r
2 r2
- 8 r senθ = 0
despejando r2
= 8 r senθ
dividiendo entre r r = 8 senθ ecuación polar del circulo
Ejercicios Propuestos
22..55 CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS
En los ejercicios 1-4, trace el punto cuyas coordenadas polares se indican.
Después encuentre otros dos pares de coordenadas de este punto, uno con r > 0 y
otro con r < 0.
1. 2, -
2. 4, 4
3.
33,
2
4. 5, 6
En los ejercicios 5-8 encuentre otras representaciones en coordenadas polares del
punto indicado que satisfaga.
(a) r > 0, < 0;
(b) r > 0, > 2 ;
(c) r < 0, > 0;
(d) r < 0, < 0;
5. 3
6, 4
6. 10, 2
7. 2
2, 3
8. 5, 4
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.5 Coordenadas Polares.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 95
En los ejercicios 9 - 12 halle las coordenadas rectangulares de cada uno de los
puntos cuyas coordenadas polares se indican. Grafique el punto en cada caso.
9. 2
1, 3
10. 1 5
, 2 3
11. 7, 3
12. 11
3,6
En los problemas 13-16 determine coordenadas polares que satisfagan (a) r>0,
y (b) r < 0, , para cada uno de los puntos cuyas
coordenadas rectangulares se indican.
13. (-3,-3)
14. (0,-5).
15. 15.- ( 3 , -1)
16. ( 2 , 6 ).
De ecuaciones polares a cartesianas
En los ejercicios del 17 - 28, reemplace las ecuaciones polares por ecuaciones
cartesianas equivalentes. Luego describa o identifique la gráfica.
17. r = 2 R: círculo, radio 2
18. r cos θ = 1
19. r cos θ =2 R: x=2, recta vertical
20. r sen θ = -1
21. r = 3sen θ R: círculo, radio 3/2, C (0,3/2)
22. r = 2sen θ + 2cos θ
23. r = 4csc θ R: y = 4, recta horizontal
24. r = -3sec θ
25. r = θ csc θ R: y2
= x, parábola
26. r = 4tan θ sec θ
27. r2 + 2r2 cos θ sen θ = 1 R: x + y = ±1, dos rectas de pendiente -1
28. cos2 θ = sen2 θ
De ecuaciones cartesianas a polares
En los ejercicios 29 - 36 reemplace las ecuaciones cartesianas por ecuaciones
polares equivalentes.
Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.5 Coordenadas Polares.
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 96
29. x2 + y
2 = 9 R: r = 3, r = -3
30. x2 - y
2=1
31. x = -y2 R: r = -cot θ csc θ
32. x + y = 9
33. y2 = 4x R: r = 4cot θ csc θ
34. x2 + xy +y
2 = 1
35. (x-3)2
+ (y+1)2
= 4 R: r2
= 6r cos θ -2r sen θ -6
36. (x+2)2
+ (y-5)2
= 16
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 97
GGRRÁÁFFIICCAASS DDEE EECCUUAACCIIOONNEESS PPOOLLAARREESS
Las ecuaciones polares de curvas (cardioides, caracoles, rosas y espirales) son
bastante simples, las ecuaciones cartesianas correspondientes son bastante
complicadas. Con ello podemos observar una de las ventajas de contar con más
de un sistema de coordenadas disponibles, ya que algunas curvas tienen
ecuaciones simples en un sistema que otras no podrían tener. Algunos tipos de
sistemas de coordenadas son:
• Coordenadas Cartesianas.
• Coordenadas Polares.
• Coordenadas Cilíndricas.
• Coordenadas Esféricas.
• Coordenadas Geográficas La gráfica de una ecuación polar r=f(θ), o de manera más general F(r,θ)=0, consta
de los puntos P que tienen al menos una representación polar (r,θ) cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación.
EJEMPLO 1
¿Cuál curva cree que representa la ecuación polar r = 3?
Solución
La curva está formada por todos los puntos (r, θ) con r = 3. La curva r = 3
representa el círculo con centro 0 y radio 3. Así pues, en general, la ecuación r = a
representa un círculo con centro 0 y radio |a|. Vea la figura 2.6-1
2.6
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 98
EJEMPLO 2
Haga un bosquejo de la curva θ = ½
Solución
La curva está formada por todos los puntos (r, θ) tal que el ángulo polar θ es ½
radián. La gráfica de esta ecuación corresponde a una recta que pasa por 0 y
forma un ángulo de ¼ radián con el eje polar, tal como se muestra en la Figura
2.6-2.
Note que los puntos ( r, ¼ ) sobre la recta con r > 0 están en el primer cuadrante,
mientras que los puntos con r < 0 están en el tercer cuadrante.
Simetría en las gráficas de ecuaciones polares.
1. La gráfica de una ecuación polar es simétrica con respecto al eje de las x (el
eje polar y su prolongación hacia la izquierda) si al reemplazar ө por -ө se
produce una ecuación equivalente, es decir, que la ecuación polar permanece
sin cambio. Ver figura 2.6-3.
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 99
2. La gráfica de una ecuación polar es simétrica con respecto al eje de las y, si al
reemplazar ө por π - θ se produce una ecuación equivalente, es decir, la ecuación
polar no cambia
3. La gráfica de una ecuación polar es simétrica con respecto al origen si al
reemplazar r por –r se produce una ecuación equivalente.
EJEMPLO 3:
Grafique la curva con la ecuación polar r = 4 cos para 0
Solución
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 100
En la Figura 2.6-6 se encuentran los valores de r algunos valores convenientes de
y luego se grafican los puntos correspondientes (r, θ).
IInniicciiaa SSiimmeettrrííaa
Cardioides y Caracoles:
Consideremos ecuaciones de la forma:
r=a ± b cosθ r= a ± b senθ
Con a y b positivas. Sus gráficas se llaman caracoles (limacons, palabra francesa
que significa “caracol”) con los casos especiales en los que a = b, denominados
cardioides.
Figura 2.6-7
Gráficas Funciones Cardioide
EJEMPLO 4
Analice la ecuación 2 4cosr con respecto a la simetría y realice su gráfica.
Solución
r = 4 cos
0 4
/6 2√3
/4 2√2
/3 2
/2 0
2/3 -2
3/4 -𝟐√𝟐
5/6 -𝟐√𝟑
-4
Tabla 2.6-1. Tabulación de Valores del Ejemplo 2.
x
y
x
y
x
y
a >
b
a =
b
a <
b
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 101
La gráfica es un caracol y es simétrica respecto al eje x
porque por ejemplo si 4
, y
4
, en la ecuación
2 4cosr no cambia para θ ó –θ
IInniicciiaa SSiimmeettrrííaa
Lemniscatas
Las gráficas de
r2 = ± a cos 2θ r
2 = ± a sen 2θ
Son curvas en forma de ocho llamadas lemniscatas.
EJEMPLO 5
Analice la ecuación r2 = 8cos 2θ con respecto a la simetría y dibuje su gráfica.
Solución
rr ==22 ++ 44ccooss θθ
0 6
/6 5.5
/3 4
/2 2
7π/12 1
2π/3 0
3π/4 -0.8
5π/6 -1.5
π -2
7π/6 -1.5
5π/4 -0.8
4π/3 0
3π/2 2
13π/9 1
Tabla 2.6-2. Tabulación de Valores del
Ejemplo 4.
8cosq±
0 6
/12 5.5
/6 4
/4 0
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 102
La ecuación r2 = 8cos 2θ requiere que cos θ ≥ 0, por lo
que obtenemos toda la gráfica variando θ entre 4
y
4
. La curva es simétrica respecto al eje x donde
(𝑟, 𝜃) equivale a (𝑟, −𝜃) porque (𝑟, 𝜃) sobre la grafica
IInniicciiaa SSiimmeettrrííaa
La curva también es simétrica respecto al origen porque (r,θ) sobre la grafica
r2=8cos2θ
(-r)2=8cos2θ
(-r,θ) sobre la grafica
Juntas esas dos simetrías implican simetría respecto al eje y. la curva pasa por el
origen cuando θ=4
y
4
, la formula r2=8cos2θ da dos valores para r.
8cos2r
-π/4 0
-π/6 -2
-π/12 -2.6
0 -6
Tabla 2.6-2. Tabulación de Valores del Ejemplo 5.
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 103
Rosas
Las ecuaciones polares de la forma
r = a cos nθ r = a sen nθ
Representan curvas en forma de flores, llamadas rosas. La rosa tiene n pétalos si
n es impar y 2n pétalos si n es par.
EJEMPLO 6:
Analice la ecuación r = 4 sen 2θ con respecto a la simetría y dibuje su gráfica.
Solución
Espirales
La gráfica de r = a θ se llama Espiral de Arquímedes; la de r = a + bθ se llama
Espiral Logarítmica.
EJEMPLO 7
Dibuje la gráfica de r = θ para θ 0
Solución
r r
0 0 2π/3 -3.5
π/12 2 5π/6 -3.5
π/8 2.8 π 0
π/6 3.5 7π/6 3.5
π/4 4 4π/3 3.5
π/3 3.5 3π/2 0
3π/8 2.8 5π/3 -3.5
5π/12 2 11π/6 -3.5
π/2 0 2π 0
Tabla 2.6-3. Tabulación de Valores del Ejemplo 6
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 104
Consulta: Thomas/Finney. Calculo varias variables.
James Stewart. Calculo Multivariable. Sexta Edición
Ejercicios Propuestos
22..66 GGRRAAFFIICCAASS DDEE EECCUUAACCIIOONNEESS PPOOLLAARREESS
Identifique las simetrías de las curvas en los ejercicios del 1-12. A continuación
trace las curvas.
1. r = 1 - cos θ R: Cardioide simétrica respecto al eje x
2. r = 2 -2cos θ
3. r = 1 + sen θ R: Cardioide simétrica con respecto al eje y
PPRROOYYEECCTTOO DDEE LLAABBOORRAATTOORRIIOO
Investigue la familia de curvas .polares dada por:
r=1+b cos θ, use un graficador y asigne valores a b en decimales
y enteros en el intervalo -2 ≤-b ≤ 2.5.
¿Cómo cambia la forma cuando cambia b?
Grafique un total de 12 formas.
Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración
Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 105
4. r = 1 – sen θ
5. r = 8 θ, θ > 0 R: Espiral
6. θ = - π/6
7. r2
= cos θ R: Lemniscata, simétrica eje x, eje y, origen
8. r2 = sen θ
9. r = 4sen 3θ R: Rosa de 3 pétalos
10. r = -3cos θ
11. r = 2cos 4θ R: Rosa de 8 pétalos
12. r2 = -sen θ
13. r2 = -5cos 2θ R: Lemniscata
14. r2 =7sen 2t
15. r = 5 -5sen θ R: Cardioide
16. r = 4+ 4cosθ
17. r = 4cos 5θ R: Rosa de 5 pétalos
18. r = 3sen 4θ