Propedutico 2008 Facultad de Ciencias 1
Unidad 3Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Propedutico 2008Dra. Ruth M. Aguilar Ponce
Facultad de CienciasDepartamento de Electrnica
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Sistema de Ecuaciones Lineales
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas x1, x2, , xn es un conjunto de ecuaciones de la forma
Deseamos determinar si el conjunto de ecuaciones tiene solucin
La solucin al sistema de ecuaciones es encontrar un conjunto de valores x1, x2, , xn de tales que satisfagan cada ecuacin
12211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++=+++
L
M
L
L
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Representacin Matricial
El sistema de ecuaciones puede ser representado por matrices de la siguiente manera
El sistema es consistente si tiene una solucin de lo contrario se le denomina inconsistente.
bxArr
=
=
=
nnmnmm
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
xAMM
K
MOMM
K
L
r 2
1
2
1
21
22221
11211
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Los sistemas de ecuaciones pueden presentar tres casos: m = n, es el ms comn, ya que el nmero de
ecuaciones es igual al nmero de incgnitas. m < n, el nmero de ecuaciones es menor que el
de incgnitas y tenemos lo que se conoce como problema subdeterminado.
m > n, el nmero de ecuaciones es mayor que es de incgnitas y tenemos lo que se conoce como problema sobredeterminado. El sistema tiene al menos una solucin.
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Condiciones para encontrar soluciones
x
y
x
y
x
y
Solucin nica Nmero infinito de Soluciones Sin Solucin
Tiene una solucin nica si el det(A) 0 No tiene solucin o tiene un nmero infinito de
soluciones si el det(A) = 0
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Condiciones para encontrar soluciones
Considere el sistema de ecuaciones lineales Ax = b y r = rango(A) entonces,
El sistema es inconsistente si r < m
El sistema tiene una solucin nica si r = min(n,m)
El sistema tiene un nmero infinito de soluciones si
r < n y r m
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Condiciones para encontrar soluciones
El sistema Ax = b puede ser resuelto si y solo si el vector b puede ser expresado como una combinacin lineal de las columnas de A.
Sea A una matriz de m n . El sistema lineal Ax= bes consistente si y solo si el rango de la matriz aumentada (A|b) es igual al rango de A.
Cuando el rango de A es igual a m, entonces el sistema Ax = b ser consistente para todos los vectores en Rm.
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Forma Reducida de una Matriz
Una matriz se encuentra en la forma reducida por renglones si cumple las siguientes condiciones Si existen reglones cuyos elementos son todos cero,
entonces aparecen en la parte inferior de la matriz El primer nmero diferente de cero en cualquier
rengln diferente de cero es 1 En cualquier rengln el 1 esta mas hacia la derecha
del 1 del rengln anterior. Cualquier columna que contiene el primer 1 en un
rengln tiene ceros en el resto de sus elementos
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Forma reducida de una matriz
El primer nmero diferente de cero en un rengln se llama pivote.
Si la matriz solo cumple las tres primeras condiciones entonces la matriz esta en la forma escalonada
100510321
000063105201
21005001
100010001
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Rango de la Matriz
El rango de la matriz A de m n es el nmero de renglones diferentes de cero en su forma reducida.
El nmero de pivotes de una matriz reducida es igual al rango de la matriz A.
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Mtodos para Solucin de Sistema de Ecuaciones
Se cuentan con dos mtodos para la solucin de sistemas de ecuaciones lineales: Eliminacin de Gauss-Jordan
Se reduce por rengln la matriz de coeficientes a la forma reducida
Eliminacin Gaussiana Se reduce por rengln la matriz de coeficiente a la
forma escalonada. Se despeja el valor de la ltima incgnita y despus se usa la sustitucin hacia atrs para las dems incgnitas
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Operaciones elementales
Ambos mtodos utilizan las siguientes operaciones elementales para reducir la matriz de coeficientes: Multiplicar (o dividir) un rengln por un nmero diferente
de cero Sumar un mltiplo de un rengln a otro rengln Intercambiar dos renglones
Si la matriz A se puede transformar en la matriz B mediante operaciones elementales, entonces se dice que A y B son equivalentes por renglones.
Cualquier matriz se puede reducir a forma escalonada o reducida mediante operaciones elementales.
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Matrices Elementales
Una matriz E de n n se llama matriz elemental si puede obtenerse a partir de aplicar una sola operacin elemental a la matriz identidad.
Una operacin elemental en una matriz A se puede escribir como el producto EA, donde E es la matriz elemental correspondiente.
Toda matriz elemental es invertible, y su inversa es una matriz del mismo tipo.
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Matrices Elementales
222 5100050001
5100010001
RRR =
13133 3103010001
3100010001
RRRRR =
2332
010100001
100010001
PRR =
Multiplicacin
Permutacin
Suma de un Mltiplo
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Matrices Elementales
La transformacin de una matriz A a la forma escalonada o reducida se puede expresar como el producto
donde Ei es la matriz elemental correspondiente a la i-esima operacin aplicada.
Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es el producto de matrices elementales.
AEEEm 12L
nEEEA L21=
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Factorizacin LU
Sea A una matriz de n n y sean E1,E2,,Em las matrices elementales correspondientes a las operaciones requeridas (ninguna de ellas una permutacin) para transformar A en una matriz triangular superior U, es decir
AEEEU mm 11L=
LUUEEEA m == 11
21
1 L
Entonces
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Factorizacin LU
Suponga que se quiere resolver el sistema Ax = b donde A es invertible, entonces
Ly = b puede ser resuelta por sustitucin hacia delante.
Ux = y puede ser resuelta por sustitucin hacia atrs.
( ) byLxULxLUxArrrrr
====
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Factorizacin PA=LU
En general, para cualquier matriz invertible de n n existe una matriz de permutacin P tal que PA = LU, donde L es triangular inferior con unos en la diagonal, y U es triangular superior.
Notar que toda matriz de permutacin es su propia inversa, y que si P es una matriz de permutacin.
Entonces, P se puede construir como el producto de todas las permutaciones que se realizan durante la transformacin de A en U.
11 PPPP kk L=
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Factorizacin LU y Determinantes
Si una matriz cuadrada A tiene factorizacin LU tal que A = LU, donde L tiene unos en la diagonal y U es una matriz triangular superior, entonces
Si P es una matriz de permutacin (es decir, el producto de matrices elementales de permutacin), entonces det P = 1.
Si A tiene factorizacin PA = LU, entonces det A = det U.
( ) ( ) =
==n
iiiuUA
1
detdet
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Matriz Ortonormal
Si Q es una matriz (cuadrada o rectangular), se dice que tiene columnas ortonormales si cumple con QQT=I.
Si Q es cuadrada entonces Q-1 = QT La multiplicacin por cualquier Q preserva magnitud,
angulos y producto punto Para cualquier vector x, Producto interno Angulo
( ) Iqqq
q
n
Tn
T
T
=
=
100
010001
212
1
L
MOMM
L
L
rL
rr
rM
r
r
xxQ rr =( ) yxyQxQ TT rrrr =)(
( ) ( )yxyx
yQxQyQxQ TT
rr
rr
rr
rr
=
=cos
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Gram-Schmidt
El proceso Gram-Schmidt toma n vectores independientes v1, v2, , vn y obtiene n vectores ortonormales q1, q2, .., qn. En el paso j substrae de vjsus componentes en las direcciones q1, q2,..., qj-1que han sido establecidas.
Entonces qj es normalizado
( ) ( ) ( ) 112211 = jjTjjTjTjj qvqqvqqvqvu rrrLrrrrrrrr
j
jj u
uq r
rr=
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Descomposicin QR
Sea A una matriz de m n con columnas independientes, entonces A puede ser factorizada en,
Donde Q es ortonormal y R es una matriz triangular superior e invertible.
( ) ( ) QRvqvqvqvqvqvq
qqqvvvAT
TT
TTT
=
==
33
3222
312111
321321
000
rr
rrrr
rrrrrr
rrrrrr
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Descomposicin QR
La descomposicin QR simplifica el sistema de ecuaciones lineales
Substitucin hacia atrs es empleada para resolver el sistema.
( ) ( )
bQxR
bQRxRRxQRQR
bQRxQRQR
bAxAA
bxA
T
TTTTT
TT
TT
rr
rrr
rr
rr
rr
=
==
=
=
=
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Sistema de Ecuaciones Lineales Homogneo
El sistema de ecuaciones Ax = b se llama homogneo si b = 0.
Un sistema homogneo siempre tiene al menos una solucin, que es la solucin trivial x = 0.
El sistema puede tener solucin nica (la trivial) o un nmero infinito de soluciones.
Un sistema homogneo con ms incgnitas que ecuaciones siempre tiene un nmero infinito de soluciones.
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Sistema Homogneo Asociado
Sea Ax = b un sistema de ecuaciones no homogneo (es decir, con b 0). El sistema homogneo asociado est dado por
Ax = 0
Si x1 y x2 son soluciones de Ax = b, entonces su diferencia x1 - x2 es una solucin del sistema homogneo asociado.
Dada una solucin x del sistema no homogneo, cualquier otra solucin y de este sistema se puede obtener como y = x + h, donde h es una solucin del sistema homogneo asociado.
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Sistema Homogneo
Sea A una matriz de n n. Suponga que el sistema Ax = b es consistente.
Entonces tiene una solucin nica si y solo si el sistema homogneo asociado Ax = 0 tiene solo la solucin trivial
El sistema homogneo tiene solo la solucin trivial si (A) = n.
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Espacio Nulo
Sea A una matriz de m n. El conjunto de soluciones NA del sistema homogneo Ax = 0 forma un espacio vectorial conocido como el espacio nulode A y se define como
La dimensin del espacio nulo de una matriz A, denotado por (A)=dim(NA) y se conoce como la nulidad de A. Si NA={0} entonces (A)=0.
Una matriz A de n n es invertible si y solo si (A)=0.
{ } R 0: == xAxN nA r
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Imagen de una Matriz
La imagen de una matriz A de m n es el espacio generado por las columnas de A. La imagen se denota por imag A y se define como
La imagen de A es un subespacio de Rm
(A) = dim imag A.
(A) + (A) = n
{ }nm xalgunaparayxAyAimag R R == rrrr :
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Imagen de una Matriz
Sea RA el espacio generado por los renglones de A, entonces
Sea A una matriz real. Entonces, todo vector en RA es ortogonal a todo vector en NA.
( ) ( ) ( )AAimagRA == dimdim
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