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UNIDAD 4. ANUALIDADES PAGO UNIFORME
Anualidadespagouniforme
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Tabla de contenido
UNIDAD4.ANUALIDADESpagoUNIFORME.........................................................................1Tabladecontenido.................................................................................................................................2Introducción.............................................................................................................................................3Objetivos....................................................................................................................................................3Objetivogeneral......................................................................................................................................................3Objetivosespecíficos............................................................................................................................................3
4.1Definiciónyclasificación...............................................................................................................44.2Anualidadesvencidas.....................................................................................................................44.2.1 Cálculodelvalorfuturo.......................................................................................................................5
4.3Anualidadesanticipadas............................................................................................................164.4Anualidadesdiferidas.................................................................................................................334.5Anualidadesperpetuas...............................................................................................................39Resumen.................................................................................................................................................41Bibliografía............................................................................................................................................44
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Introducción
En esta unidad se trabajarán las herramientas necesarias para resolver situacionesfinancierasenlascualesaparezcanseriesdepagos–anualidades-queseanuniformes.
Objetivos
Objetivo general
Resolvereinterpretarproblemasqueinvolucrananualidadesoseriesuniformes.
Objetivos específicos
• Reconocerloqueesunaanualidadyclasificarla.• Resolverproblemasdevalorfuturo,valorpresente,cálculodelvalordelacuota
periódicaytiempoapartirdevalorfuturoovalorpresenteparaunaanualidadvencida.
• Resolverproblemasdevalorfuturo,valorpresente,cálculodelvalordelacuotaperiódicaytiempoapartirdevalorfuturoovalorpresenteparaunaanualidadanticipada.
• Resolverproblemasdevalorpresente,cálculodelvalordelacuotaperiódicaytiempoapartirdevalorpresenteparaunaanualidaddiferida.
• Resolverproblemasdevalorpresente,cálculodelvalordelacuotaperiódicaylatasadeinterésparaunaanualidadperpetua.
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4.1 Definición y clasificación
No siempre las operaciones financieras se realizan conpagoúnico.Así, por ejemplo,cuando se adquiere un bien o servicio que se paga en cuotas, bien sea mensuales,trimestralesosemestrales,etc.,seestátrabajandoconunaseriedepagosquepuedenser iguales (uniformes) o desiguales, llamados también anualidades o cuotasperiódicas,segúncorresponda.Gráficamentelospagosperiódicosuniformessepuedenrepresentarasí:
Lasimbologíageneralmenteutilizadaenestetipodeoperacioneses:
VA ValorpresenteVF ValorfuturoA cuotaperiódican tiempoi tasadeinterésefectivaj tasadeinterésnominalm Periodosdecapitalización
4.2 Anualidades vencidas
Cuando las cuotas periódicas se depositan al final del periodo (año, mes, trimestre,etc.),sedicequelaoperaciónesvencida.Gráficamenteestetipodecuotasperiódicasserepresentanasí:
0123………………..n-1n
I%
0123n-1n
i%
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4.2.1 Cálculo del valor futuro
Cada depósito de A realizado al final del periodo gana interés compuesto hasta elmomentofinal,capitalizandolosinteresesencadaunodelosperiodosquelesiguen.Elprimer depósito capitaliza durante (n-1) periodos; el segundo (n-2) periodos y asísucesivamente hasta el último depósito que no gana intereses, ya que su tiempocoincideconlafechadetérminodelaoperación.Así,elvalorfuturoseencuentraporlasumadecadafactor,asaber:
Factorizandoestaecuaciónsellegaalaexpresión:
Esta fórmula se utiliza cuando se quiere hallar el valor futuro de pagos periódicosvencidosatasaefectiva.
Ejemplo
Tatianaestáenel tercerañodesupregradoyquierehacerunaespecialización.Paraello,comienzaunfondodepositandoalfinaldecadames$120.000aunatasadel0,6%efectivomensual.Sieltiempoquedebetrascurriresde3,5años,¿quécantidadpodráacumular?Utilizandolalíneadetiemposetiene:
Enestecaso: A=$120.000i=0,6%EMn=3,5años=3x12=36+(0,5x12)=6=42meses
( ) ( ) ( ) ( ) 122 11....11 −− +++++++++= nn iAiAiAiAAVF
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
iiAVFn 11
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Reemplazandolosvaloresenlafórmula:
Tatiana podrá retirar a los 3,5 años, $5.712.552,17 si deposita al final de cadames$120.000aunatasadel0,6%efectivamensual.
Ejemplo
Franciscoiniciaunfondoaportando$800.000trimestralesvencidosenunacuentaquereconoceel1,6%efectivotrimestral.Enel trimestre16viaja fueradelpaísydejaderealizar los depósitos, sin embargo, no retira el dinero sino hasta los dos añossiguientes.¿Cuántoretira?Enestecaso,sepresentaunacombinacióndeanualidadvencidaconpagóúnico,yaquedeltrimestre1al16sepresentalaanualidady,deallíenadelante,elmontoalcanzadoseconvierteenunpagóúnicoalcualdebehallárseleelvalorfuturo. Larepresentacióngráficadeestecasoes:
Procedimentalmenteseresuelveasí: 1. Secalculaelvalorfuturodelaanualidadenlaque:A=$800.000trimestralesvencidos
( )
( )
17,552.712.5$6046014,47000.120006,0
28562761,0000.120
006,0128562761,1000.120
006,01006,1000.120
006,01006,01000.120
42
42
=
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
VFxVF
VF
VF
VF
VF
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i=1,6%efectivotrimestraln=16trimestres
Utilizandolafórmulasetiene:
2. Se toman los $14.456.887,66 y se llevan a valor futuro pago único durante 8trimestres(2añosx4trimestresxaño),alatasadel1,6%efectivatrimestral,así:
Sielcálculosedeberealizarcontasanominal,lafórmulaseconvierteen:
Dónde:
VF=valorfuturoN*m=periodosdedepósitoj=tasanominalm=periodosdecapitalización
Al igual que en el valor futuro equivalente a un valor presente tasa nominal, losproblemaspuedenserplanteadosatiempoexacto,atiempoinexactoyenperiodosdecapitalización.
( )
( )
66,887.456.1407110957.18000.800
016,01289137753.1000.800
016,01016,1.000.800
016,01016,01000.800
16
16
=
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
VFxVF
VF
VF
VF
( )
49,379.414.16135402023.166,887.456.14016,166,887.456.14$ 8
=
=
=
VFxVF
VF
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
mj
mj
AVF
nxm
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Ejemplo:
Diegoquieresaberquécantidadpodráacumularen20semestres,sidepositaal finalde cada semestre $3.890.000 en una cuenta que paga el 4,4% con capitalizaciónsemestral. Enesteproblemasedeseaconocerelvalorfuturodeunaanualidadvencidacontasanominal por cuanto: a) los depósitos se hacen al final de cada semestre por 20semestres y b) la tasa de interés es del 4,4% con capitalización semestral, la cual lahaceunatasanominal.Sisegraficaelproblema,elresultadosería:
Ylosdatosquesuministrason:
A=$3.890.000N*m=20semestresj=4,4%,CCS.m=2
Alutilizarlafórmularespectivasetiene:
( )
( )
08,001.597.188845127.17
876.567.2807,0
1252191589.2876.567.28
07,0107,1876.567.28
07,0107,01
876.567.28
11
12
12
=
=
−=
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
A
A
A
A
A
iiVFA
n
( )
( )
39.170.422.9678719033.24000.890.3
022,01022,1000.890.3
022,01022.01000.890.3
2044,0
12044,01
000.890.3
11
20
20
20
=
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
VFXVF
VF
VF
VF
mj
mj
AVF
nxm
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Hallarelvalorpresentedeunaseriedepagosvencidos,significaencontrarlasumadelospagosrealizadosalfinaldecadaperiodo,todosdescontadosaliniciodelplazo.Gráficamenteestetipodeoperacionesseveasí:
Elprocedimientomatemáticoutilizableparahallarelvalorpresentesería:
Esta expresión, una vez factorizada y simplificada, se convierte en la fórmula querealmenteseutiliza,lacual,dependiendodeltipodetasadeinterés(efectiva,nominal)involucradaenlaoperación,sepresentaasí: Tasaefectiva Tasanominal
Dónde:
VA=Valorpresentei=tasaefectivan=tiempon*m=periodosdecapitalizacióntotalesj=tasanominalm=periodosdecapitalizaciónenunaño
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn iAiAiAiAiAVA −−−−− ++++++++++= 11....111 1321
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−
iiAVA
n11
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
−
mjmj
AVA
nxm
11
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Ejemplo
Hallarelvalorpresentedepagosanualesvencidosde$5.000.000en10añosyunatasadel13%efectivaanual.Graficandoeldiagramadetiempo-valor,setiene:
Enestecaso:
VA=$5.000.000i=13%EAn=10años
Comolatasaesefectivasediceque:
Seconcluyeentonces,queelvalorpresentedepagosanualesvencidosde$5.000.000cadaunodurante10años,aunatasadel13%efectivaanual,esde$27.131.216.38.
( )
( )
( )
38,217.131.27426243476.5000.000.5
13,02945883481,01000.000.5
13,013,11000.000.5
13,013,011000.000.5
11
10
10
=
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−
−
−
VAXVA
VA
VA
VA
iiAVA
n
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Ejemplo
A Víctor le proponen colocar hoy una cierta suma de dinero durante 32 trimestresvencidos a una tasa del 2,8%, capitalizable trimestralmente y le entregarán cadatrimestre$1.200.000.Paraqueestoseaposible,¿quécantidaddebedepositar?Gráficamenteelproblemasepresentaasí:
Elproblemaentregalasiguienteinformación:
A=$1.200.000j=2,8%CCTm=4
nxm=32trimestres Elproblemaplanteahallarelvalorpresentea tasanominaldeunaseriede ingresostrimestralesvencidos.
La cantidad que debe depositar Víctor para que le entreguen $1.200.000 al final decadames,aunatasadel2,8%concapitalizacióntrimestralesde$34.296.148,85.
( )
85,148.296.3458012404.28000.200.1
007,02000608683,0000.200.1
007,07999391317.01000.200.1
007,0007,011000.200.1
4028,04028,011
000.200.1
11
32
32
=
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
−
−
−
VAxVA
VAVA
VAVA
mjmj
AVA
nxm
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Cálculodelacuotaperiódica Más frecuentede loquesepiensa,sedebeencontrarelvalorde lacuotaperiódicaapartirdelvalorpresente.Cuandoestosucede,debeutilizarseunadeestasfórmulas:
Atasaefectiva: Atasanominal
Ejemplo
LacompañíaABCrequierecomprarunequipoespecializadoquecuesta$56.000.000.Comonotieneesedinero,buscalafinanciacióndeunbancoqueleofreceelpréstamoencuotasmensualesvencidasaunatasadel1,56%efectivamensualdurante4años.¿Decuántolequedaríanlascuotasmensuales? Gráficamenteserepresenta
VA=$56.000.000i=1,56%EMn=4añosx12meses=48meses
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−
ii
VAAn11
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
=−
mjmj
VAAnxm
11
0123………………………….48
$56.000.000
A=?A=?A=?A=?
I=1,56%
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Lacantidadquedeberápagarlaempresamensualmenteenformavencidaparapagarel crédito de $56.000.000 en 4 años y a una tasa del 1,56% efectivamensual, es de$1.666.143,74.
Ejemplo
LaempresadelácteosLaVacaGordatieneunexcedentedetesoreríade$32.000.000ylos invierte en un fondo que le paga el 4,8% con capitalización trimestral. ¿Quécantidadleentregarántrimestralmentecomorendimientoenlospróximos3años?
VA=$32.000.00j=4,8%CCTm=4n=3años
AquísedebeencontrarelvalordeAalfinaldecadatrimestre,conunatasadeinterésnominalapartirdevalorpresente.Eldiagramarepresentativoes:
( )
( ) ( )
74,143.666.161054551.33
000.000.560156,0
5243245099,0000.000.56
0156,04756754901,01
000.000.560156,00156,11000.000.56
0156,00156,011000.000.56
11
4848
=
=
=−
=
−=
+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−−
−
A
A
AA
AA
ii
VAAn
A=?A=?A=?A=?A=?
0
$32.000.000j=4,8%CCT
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Conlafórmulaainterésnominal,elresultadoes:
Lacantidadtrimestralqueleentregaráncomorendimientoporlos$32.000.000,aunatasadel4,8%concapitalizacióntrimestral,esde$2.879.213,87. Cálculodeltiempo Siloquesequiereeshallareltiempoenañosoenperiodosdecapitalizaciónapartirdelvalorpresenteenlaseriedepagosvencidos,seutilizaunadeestasfórmulas: Ainterésefectivo Ainterésnominal
( )
87,213.879.211414487.11
000.000.32012,0
1333697384,0000.000.32
012,08666302616,01
000.000.32
012,0012,11000.000.32
012,0012,011000.000.32
4048,04048,011
000.000.32
11
1212
43
=
=
=−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
=
−−
−
−
A
A
AA
AA
A
imj
VAA
x
nxm
( )i
xiAVA
n+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=−1log
1log( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=−
mimjx
AVA
nxm1log
1log
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Dado que el numerador requiere calcular el logaritmo de una sustracción yrecordando la leyde los logaritmospara la sustracción, en la cual sedebe efectuarprimerolarestadea-byluegohallarellogaritmo.Enestecaso a=1 y b=
ó
Ejemplo
Unaempresadebebidasenergéticasrequiererealizarunainversiónde$100.000.000paraampliarsuproducción.Elgerentefinancieroquieresaberdurantecuántotiempodebepagarcuotasanualesvencidasde$14.000.000paracancelarelpréstamoque leharáelbanco,silatasaquelecobranesdel8%efectivaanual. Esteesel típicocasodecálculodel tiempoapartirdevalorpresente seriedepagosvencidos,dadoque: VA=$100.000.000A=$14.000.000i=8%EA Tomandolafórmuladetiempoapartirdetasaefectivacon log10, setiene:
El tiempo requerido para cancelar la deuda de $100.000.000, a una tasa del 8%efectivaanualconcuotasanualesvencidasde$14.000.000esde11años.
( )ba−log
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ xiAVA
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛mj
xAVA
( )
( )( )[ ]
( )[ ] ( )
00,11
00,1190334237554,0
3679767853.008,1log
4285714286,0log08,1log
5714285714,01log08,1log
08,0142857143.71log08,01log
08,0000.000.14000.000.1001log
1log
1log
=
−=−−
=−
=−=−
=−
−=−
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=−
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=−
n
nn
nn
xnx
n
i
xiAVA
n
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Elvalorpositivodenseobtienealcancelarelsigno(-)alosdosladosdelaigualdad,comosucedesiescálculodetiempovalorpresentepagoúnico.
Ejemplo
Patriciainviertehoy$5.000.000enunacuentaquepagael7,2%concapitalización,conlaesperanzadeobteneralfinaldecadabimestreuningresode$1.750.000.¿Durantecuántosbimestresleentregaránesasuma?
VA=$5.000.000A=$1.750.000j=7,2%CCBm=6
Para hallar el tiempo a tasa nominal se utilizará la fórmula, pero con Ln, puesrealmenteesindiferenteutilizarlaunaolaotra.
EltiempoenelquePatriciapodrárecibir$1.750.000bimestrevencido,aunatasadel7,2%concapitalizaciónbimestralsiinvierte$5.000.000,esde2,92bimestres.
4.3 Anualidades anticipadas
Cuando las cuotas periódicas se depositan al inicio del periodo (año,mes, trimestreetc.),sedicequelaoperaciónesanticipada.
( )
( )[ ]( )
( )
[ ] ( )
92.270119285708,0
034887259,0012,1ln
9657142857,0ln012,1ln
90342857142,01ln
012,01ln012,0857142857.21ln
6072.01ln
6072,0
000.750.1000.000.51ln
1ln
1ln
−=−−
=−
=−−
=−
+−
=−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=−
nxmnxm
nxmnxm
xnxm
xnxm
mimjx
AVA
nxm
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Gráficamenteestetipodecuotasperiódicasserepresentanasí:Lasimbologíautilizadaenestetipodepagos periódicos es exactamenteigual al de los vencidos. Para efectos de facilitar su recordación, se incluyen acontinuación:
VA=ValorpresenteVF=ValorfuturoA=cuotaperiódican=tiempoi=tasadeinterésefectivaj=tasadeinterésnominalm=Períodosdecapitalización
Cálculodelvalorfuturo Existenvariasformasparacalcularelvalorfuturodeunaseriedepagosanticipados.UnadelasformasresultadetransformareldiagramainicialenelsiguienteAl agregar A al momento n, la serie de pagos se convierte en vencida durante n+1periodos. Al plantear la siguiente ecuación de equivalencia y utilizando como fechafocaln-1,remítasealgráfico.EnélseobservaqueelpagoAenelperíodon-1puedeconsiderarse como el últimopago de una serie de pagos periódicos vencidos que seinicianenelperíodo-1.Esdecir:
AAAAA
0123n-1n
i%
-10123………...…n-1n
AAAA……………….AA
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Siendo esta fórmula la utilizada para calcular el valor futuro de una serie de pagosanticipados. Dependiendo del tipo de tasa de interés, el cálculo del valor futuro de una serie depagosperiódicosanticipadosserá: Atasaefectiva Atasanominal
Ejemplo
Rodrigoquierecomprardentrode6años.Paraellocomienzaunfondo,depositandoalinicio de cada trimestre $720.000 a una tasa del 0,9% efectivo trimestral. ¿Quécantidadpodráacumular?Utilizandolalíneadetiemposetiene:
Enestecaso:
A=$720.000i=0,9%ETn=6años=6x4=24trimestres
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−+=
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
+++
−
1111111
111111
111
1
iiA
ii
iiA
iiiAVF
iiiAiA
iiAVF
nnn
nn
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+=
+
111 1
iiAVFn
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
+
111
1
imj
AVF
nxm
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Reemplazandolosvaloresenlafórmula:
Rodrigo podrá retirar a los 6 años $20.085.034,43, si deposita al inicio de cadatrimestre$720.000aunatasadel0,9%efectivatrimestral.
Ejemplo
Isabelina quieresaberquécantidadpodráacumularen8,5años,sidepositaal iniciode cada semestre $8.930.000 en una cuenta que paga el 8,8% con capitalizaciónsemestral. Enesteproblemasedeseaconocerelvalorfuturodeunaanualidadanticipadacontasanominal,porcuantoa)losdepósitossehacenaliniciodecadasemestrepor8,5añosyb)latasadeinterésesdel8,8%concapitalizaciónsemestral, lacual lahaceunatasanominal.Sisegraficaelproblema,elresultadosería:
( )
( )
[ ]
43,034.085.20$$89588115.26000.720
189588115.27000.720$
1009,0
2510629304,0000.720
1009,0
12510629304.1000.720
1009,0
1009,1000.720
1009,0
1009,01000.720
25
124
=
=
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+=
+
VFxVF
VF
VF
VF
VF
VF
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
20
Ylosdatosquesuministrason:
A=$8.930.000n=8,5añosj=8,8%,CCSm=2
Alutilizarlafórmularespectivasetiene:
Isabelina podrá acumular en 8,5 años $228.678.188,4, si deposita al inicio de cadasemestre$8.930.000enunacuentaquepagael8,8%CCS.Cálculodelacuotaperiódica Cuandoloquesedeseaescalcularlacuotaperiódicay,dependiendodeltipodeinterésconelquesetrabaje(efectivaonominal),seutilizaunadeestasfórmulas:
( )
( )
( )
( )
[ ]
4.188.678.228$60785984.25000.930.8
160785984.26000.930.8
1044,0
170745833.1000.930.8
1044,0
1170745833.2000.930.8
1022,0
1044,1000.930.8
1044,0
1044.01000.930.8
1
2088,0
12088,01
000.930.8
111
18
117
125,8
1
=
=
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
+
+
+
VFxVF
VF
VF
VF
VF
VF
VF
mj
mj
AVF
x
nxm
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
21
Atasaefectiva: Atasanominal:
Dónde:
VF=valorfuturoi=tasaefectivan=tiempoA=cuotaperiódicaj=tasanominalm=períodosdecapitalizaciónenunaño
Ejemplo
¿Qué cantidad deberá depositarse al inicio de cada año, durante 12 años, paraacumular$28.567.876enunacuentaquepagael7%efectivaanual? La incógnitaaquíesA,esdecir, la cuotaperiódica.La tasade interésesefectivay laanualidadesanticipadaporcuantolosdepósitossehacenaliniciodelaño.Elproblemaentregalossiguientesdatos:
VF=$28.567.876i=7%EAn=12años
Entonces:
La cantidad que debe depositarse al inicio decada año para acumular, en 12 años$28.567.876,auna tasadel7%efectivaanual,esde$1.492.524,37
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+=
+
111 1
iiVFAn ( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=+
111
1
mj
mj
VFA
nxm
( )
( )
37,524.492.114064286.19
876.567.28
114064286.20876.567.28
107,0
1409845.2876.567.28
107,0107,1876.567.28
107,0
107,01876.567.28
111
13112
1
==
−=
−−
=
−−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+=
+
+
AA
AA
AA
iiVFAn
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
22
Ejemplo
Catalinadebepagardentrode9añosy8meses$16.981.346.Silatasadeinterésquelecobranesdel8,4%concapitalizaciónbimestralylascuotasdebeabonarlasaliniciodecadabimestre,¿quécantidaddeberápagartrimestralmente? NuevamentelavariabledesconocidaesAenunaseriedepagosperiódicosanticipados,porcuantolacuotaseabonaaliniciodecadatrimestreycontasadeinterésnominalconcapitalizaciónbimestral.Asílascosassecuentacon:
VF=$16.981.346n=9años8meses luegonxm=58bimestres (9añosx6bimestresxaño=54+ (8meses/2meses)=4bimestres)
j=8,4%CCBm=6bimestresporaño
Tomandolafórmulacorrespondiente,seobtiene:
LacantidadqueCatalinadebeabonaraliniciodecadabimestreparacancelarladeudade$16.981.346en9añosy8meses,aunatasadel8,4%concapitalizaciónbimestral,esde$209.597,69.
( ) ( )
( )
69,597.20901881267.81
356.981.16101881267.82
356.981.16
1014,0
148263377.1346.981.16
1014,0
1148263377,2346.981.16
1014,0
1014,1346.981.16
014,01014,01
346.981.16
1
6084,0
16084,01
346.981.16
111
5555
1541
=
=−
=
−=
−−
=
−−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=++
A
AA
AA
AA
A
mj
mj
VFA
nxm
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
23
Cálculodeltiempo Siporelcontrariosetieneelvalorfuturoylacuotaperiódicaanticipada,ylatasadeinterés(nominaly/oefectiva),perosedesconoceeltiempo,debeprocederseasí: Silatasaesefectiva,seusará: Silatasaesnominal:
! + 1 =%&' ()
* +, -. +,%&' ,+. !/0 + 1 =
%&' ()* +, - 1
2 +,
%&' ,+ 12
NOTA1.Envezdetrabajarcon log10, sepuedetrabajarconLn.NOTA2.Alresultadofinaldeberestárseleel1de(n+1)ode(nxm+1),porcuantoesteresultódelartificiomatemáticoutilizadoparafacilitarelmanejodelafórmula. Dónde:
VF=valorfuturo A=cuotaperiódicai=tasaefectivan=tiemponxm=periodosdecapitalizacióntotalj=tasanominalm=periodosdecapitalizaciónporaño
Ejemplo
Una persona inicia un fondo con depósitos anuales anticipados de $900.000, con laesperanzadereunir$15.000.000.Silatasaquelereconocenesdel5%efectivaanual,¿durantecuántotiempodeberáhacerlosdepósitos? Alleerelproblemaesfácilidentificarquesedebeencontrareltiempoapartirdevalorfuturo,anualidadanticipadaytasaefectiva,porcuanto:
VF=$15.000.000A=$900.000anualesanticipadosi=5%EA
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
24
n=?Entonces:
El resultado indica que para que la persona pueda reunir 15.000.000, a partir dedepósitos anuales anticipados de $900.000, a una tasa del 5% efectiva anual, serequieren11,97años.
Ejemplo
¿Durante cuántosmeses deben realizarse pagosmensuales anticipados de $279.000paracancelarunadeudade$4.000.000,aunatasadel6%concapitalizaciónmensual?
VF=$4.000.000j=6%CCMm=12A=$279.000mensualesanticipados.
UtilizandolafórmulacorrespondienteconLogaritmobase10,elresultadoes:
( )
( )( )( )[ ]
( )( )( )
( )
97,11197,12
97,12170487901641,0
6330432565,01
05,1ln8833333333,1ln
105,1log
138833333333,0ln1
05,1ln105,0666667,17ln
1
05,1ln105,016666667,16ln
1
05,01ln
105,01000.900000.000.15
ln1
1ln
11ln1
=
−=
=+=+
=++
=+
+=+
++=+
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=+
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=+
nn
nn
nn
xn
xn
xn
i
xiAVF
n
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
25
Paracancelarunadeudade$4.000.000concuotasmensualesanticipadasde$279.000,serequieren13,81meses.Valorpresenteseriedepagosanticipados Para entender cómo hallar el valor presente de una serie de pagos anticipados, esprecisodiagramarlasituacióninicial:
( )( )[ ]( )
( )( )( )
( )( )
81,13181,14
81,141570021660617,0
0320884964,01
005,1log076684588,1log
1005,1log
110766845878,0log1
005,1log1005,033691657,15log
1
005,01log1005,0133691756.14log
1
1206,0
1log
11206,0
1000.279000.000.4
log1
1log
11log1
=
−=
=+=+
=++
=+
+=+
+
++=+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=+
nxmnxm
nxmnxm
nxmnxm
xnxm
xnxm
xnxm
mjmj
xAVF
nxm
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
26
Ytransformarlaen:
Esdecir,eliminarAdelinicio.Asíquedacomounaseriedepagosperiódicosvencidosan-1 periodos. Al sumar A con la ecuación del valor presente de la serie de pagosvencidossetiene:
Significa encontrar la suma de los pagos realizados al final de cada periodo, todosdescontadosaliniciodelplazo.Elprocedimientomatemáticoutilizadoparahallarelvalorpresentesería:
Esta expresión, una vez factorizada y simplificada, se convierte en la fórmula querealmente se utiliza, la cual, dependiendo del tipo de interés (efectiva, nominal)involucradaenlaoperación,sepresentaasí:Tasaefectiva Tasanominal
Dónde:
VA=Valorpresentei=tasaefectivan=tiemponxm=periodosdecapitalizacióntotales
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−++=
−−−
−−−
1111
11)1
11
11
nn
nn
iiiAVA
iiiAAVA
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn iAiAiAiAiAVA −−−−− ++++++++++= 11....111 1321
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−
iiAVA
n11
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
−
mjmj
AVA
nxm
11
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
27
j=tasanominalm=periodosdecapitalizaciónenunaño
Ejemplo
Hallarelvalorpresentedepagosanualesvencidosde$5.000.000en10añosyunatasadel13%efectivaanual. Graficandoeldiagramadetiempo-valor,setiene:
Enestecaso:
VA=$5.000.000i=13%EAn=10años
Comolatasaesefectiva,sediceque:
Seconcluyequeelvalorpresentedepagosanualesvencidosde$5.000.000,cadaunodurante10años,aunatasadel13%efectivaanual,esde$27.131.216.38.
( )
( )
( )
38,217.131.27426243476.5000.000.5
13,02945883481,01000.000.5
13,013,11000.000.5
13,013,011000.000.5
11
10
10
=
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−
−
−
VAXVA
VA
VA
VA
iiAVA
n
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
28
Ejemplo
A Víctor le proponen colocar hoy una cierta suma de dinero durante 32 trimestresvencidos a una tasa del 2,8%, capitalizable trimestralmente y le entregarán cadatrimestre$1.200.000.Paraqueestoseaposible,¿quécantidaddebedepositar?Gráficamenteelproblemasepresentaasí:
Elproblemaentregalasiguienteinformación:
A=$1.200.000j=2,8%CCTm=4nxm=32trimestres
Elproblemaplanteahallarelvalorpresentea tasanominaldeunaseriede ingresostrimestralesvencidos.
La cantidad que debe depositar Víctor para que le entreguen $1.200.000 al final decadames,aunatasadel2,8%concapitalizacióntrimestral,esde$34.296.148,85.
( )
85,148.296.3458012404.28000.200.1
007,02000608683,0000.200.1
007,07999391317.01000.200.1
007,0007,011000.200.1
4028,04028,011
000.200.1
11
32
32
=
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
−
−
−
VAxVA
VAVA
VAVA
mjmj
AVA
nxm
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
29
CálculodelacuotaperiódicaMás frecuentede loquesepiensa,sedebeencontrarelvalorde lacuotaperiódicaapartirdelvalorpresente.Cuandoestosucede,debeutilizarseunadeestasfórmulas:
Atasaefectiva Atasanominal
Ejemplo
LacompañíaABCrequierecomprarunequipoespecializadoquecuesta$56.000.000.Comonotieneesedinero,buscalafinanciacióndeunbancoqueleofreceelpréstamoencuotasmensualesvencidasaunatasadel1,56%efectivamensual,durante4años.¿Decuántolequedaríanlascuotasmensuales?Gráficamenteserepresentaasí:
VA=$56.000.000i=1,56%EMn=4añosx12meses=48meses
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−
ii
VAAn11
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
=−
imj
VAAnxm
11
0123……………………48
$56.000.000
A=?A=?A=?A=?
i=1,56%
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
30
Lacantidadquedeberápagarlaempresamensualmenteenformavencidaparapagarel crédito de $56.000.000, en 4 años a una tasa del 1,56% efectiva mensual, es$1.666.143,74.
Ejemplo
LaempresadelácteosLaVacaGordatieneunexcedentedetesoreríade$32.000.000ylos invierte en un fondo que le paga el 4,8% con capitalización trimestral. ¿Quécantidadleentregarántrimestralmentecomorendimientoenlospróximos3años?
VA=$32.000.00j=4,8%CCTm=4n=3años
AquísedebeencontrarelvalordeAalfinaldecadatrimestre,conunatasadeinterésnominalapartirdevalorpresente.Eldiagramarepresentativoes:
( )
( ) ( )
74,143.666.161054551.33
000.000.560156,0
5243245099,0000.000.56
0156,04756754901,01
000.000.560156,00156,11000.000.56
0156,00156,011000.000.56
11
4848
=
=
=−
=
−=
+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−−
−
A
A
AA
AA
ii
VAAn
$32.000.000j=4,8%CCT
A=?A=?A=?A=?A=?
1231112
0
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
31
Conlafórmulaainterésnominalelresultadoes:
Lacantidadtrimestralqueleentregaráncomorendimientoporlos$32.000.000,aunatasadel4,8%concapitalizacióntrimestral,es$2.879.213,87.Cálculodeltiempo Siloquesequiereeshallareltiempoenañosoenperiodosdecapitalización,apartirdevalorpresenteenlaseriedepagosvencidos,seutilizaunadeestasfórmulas: Ainterésefectivo Ainterésnominal
Dado que el numerador requiere calcular el logaritmo de una sustracción, yrecordando la ley de los logaritmospara la sustracción en la cual se debe
( )
87,213.879.211414487.11
000.000.32012,0
1333697384,0000.000.32
012,08666302616,01
000.000.32
012,0012,11000.000.32
012,0012,011000.000.32
4048,04048,011
000.000.32
11
1212
43
=
=
=−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
=
−−
−
−
A
A
AA
AA
A
imj
VAA
x
nxm
( )i
xiAVA
n+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=−1log
1log( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=−
mimjx
AVA
nxm1log
1log
( )ba−log
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
32
efectuar primero la resta de a-b y luego hallar el logaritmo, en este caso a=1 y b=
ó
Ejemplo
Unaempresadebebidasenergéticasrequiererealizarunainversiónde$100.000.000paraampliarsuproducción.Elgerentefinancieroquieresaberdurantecuántotiempodebepagarcuotasanualesvencidasde$14.000.000paracancelarelpréstamoque leharáelbanco,silatasaquelecobranesdel8%efectivaanual. Este es el típico casode cálculo de tiempo a partir de valor presente serie depagosvencidosdadoque:
VA=$100.000.000A=$14.000.000i=8%EA
Tomandolafórmuladetiempoapartirdetasaefectivacon log10 setiene:
El tiempo requerido para cancelar la deuda de $100.000.000, a una tasa del 8%efectivaanualconcuotasanualesvencidasde$14.000.000esde11años. Elvalorpositivodenseobtienealcancelarelsigno(-)alosdosladosdelaigualdadcomosucedesiescálculodetiempovalorpresentepagoúnico.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ xiAVA
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛mj
xAVA
( )
( )( )[ ]
( )[ ] ( )
00,11
00,1190334237554,0
3679767853.008,1log
4285714286,0log08,1log
5714285714,01log08,1log
08,0142857143.71log08,01log
08,0000.000.14000.000.1001log
1log
1log
=
−=−−
=−
=−=−
=−
−=−
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=−
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=−
n
nn
nn
xnx
n
i
xiAVA
n
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
33
Ejemplo
Patriciainviertehoy$5.000.000enunacuentaquepagael7,2%concapitalización,conlaesperanzadeobteneral finaldecadabimestreuningresode$1.750.000,¿durantecuántosbimestresleentregaránesasuma? VA=$5.000.000A=$1.750.000j=7,2%CCBm=6 ParahallareltiempoatasanominalseutilizarálafórmulaperoconLn,puesrealmenteesindiferenteutilizarlaunaolaotra.
4.4 Anualidades diferidas
Unaseriedepagosdiferidossecaracterizaporqueexisteunperiododetiempoenelcualnohaypago,nideinteresesnidecuotaperiódica.Adichoperiododetiemposeledenominatiempomuertoodegracia.Gráficamenteestetipodeseriesserepresentaasí: Enestetipodeanualidad,setrabajanormalmenteconelpagoAalfinaldelperiodo,esdecir,comounaanualidadvencida.Portanto,sisedeseaencontrarelvalorfuturo,sóloserequiereaplicarlafórmulaadecuadadelvalorfuturodeseriedepagosvencidos. Por el contrario, el cálculo del valor presente requiere la utilizacióndeunade estasfórmulas,segúnlatasadeinterés:
01234567…….………..n-1n
Tiempomuerto AAAAAA
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
34
Atasaefectiva: Atasanominal
Dónde:
VA=ValorpresenteA=cuotaperiódicai=tasaefectivan=tiempodepagonxm=tiempodepagoenperiodosdecapitalizacióntotalesm=períodosdecapitalizaciónporañok=tiempomuertoodegraciaenañoskxm=periodosdegraciaomuertosenperiodosdecapitalización
Ejemplo
Calcularelvalorpresentedeunaseriedepagosde$500.000semestrales,sielprimerpagodeberecibirsedentrode2añosyelúltimodentrode6años, siendo la tasadeinterésdel2%efectivosemestral. Dibujandoeldiagramacorrespondientealascondicionesdelproblema,setiene:
Eltiempodiferidoesde3semestresyeldepagode9semestres(12-3).
A=$500.000i=2%ESn=9semestresk=3semestres
( ) ( ) kn
iiiAVA −−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−= 111 kxm
nxm
mj
mjmj
AVA−
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−= 1
11
012345…….………..1112
VA=?500.000500.000500.000500.000
i=2%
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
35
Comolatasaesefectivasemestral,elvalorpresentees:
El valor presente equivalente a una serie de pagos de $500.000 semestrales, que seinician dentro de 2 años y terminan dentro de 6 años, a una tasa del 2% efectivasemestral,esde$3.845.728,97. Enresumen,elvalorpresentedeunaseriedepagosdiferidosseencuentrahallandoelvalorpresentedeunaanualidadvencidadurantelosperiodosdepagoyestevalorsellevaavalorpresentedeunpagoúnicodurantelosperiodosdiferidos.
Ejemplo
Un agricultor requiere de un préstamo para sembrar árboles cuyo período deproducción es de 10 años. Un banco le hace un préstamo con las siguientescondiciones:a)cuotasmensualesde$1.235.000pagaderasapartirdelprimermesdelprimerañoenque losárbolescomiencenaproducir;b) tasade interésdel8,4%concapitalizaciónmensualyc)20añosdepago.¿Decuántofueelpréstamo? Eldiagramadetiempodeesteproblemaes:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
97,728.845.39423223345,0162236706.8000.500
9423223345,002,0
1632447341,0000.500
9423223345,002,0
8367552659,01000.50002,102,002,11000.500
02,0102,002,011000.500
111
39
39
=
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−−
−−
−−
VAXXVA
XVA
XVAVA
VA
iiiAVA k
n
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
36
A=$1235.000j=8,4%CCMm=12k=10añosn=20años
Dadoquelatasaesnominal,lasoluciónes:
Enestetipodeseries,esmásnecesarioqueencualquieradelasotras,laelaboracióndel diagrama de tiempo, ya que es de gran ayuda para identificar claramente lostiempos(diferidoydepago). Cálculodelacuotaperiódica Siloqueserequierecalculareslacuotaperiódica,seutilizaunadeestasfórmulas: Atasaefectiva Atasanominal
( ) ( )
01.742.068.624329757105,00760049.116000.235.1
007,1007,0007,11000.235.1
12084,01
12084,012084,011
000.235.1
111
120240
1210
1220
=
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
−−
−
−
−
−
VAXXVA
VA
VA
mj
mjmj
AVA
X
X
kxm
nxm
( ) ( ) kn
iiiVAA
−−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
111kxm
nxm
mj
mjmj
VAA
−
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
=
111
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
37
Dónde:
VA=valorpresentei=tasaefectivan=tiempodepagonxm=periodosdecapitalizacióntotalesdepagoj=tasanominalm=periodosdecapitalizaciónenunañok=periodosdegraciaenañoskxm=periodosdecapitalizacióndegracia
Ejemplo
Hallar la cuota trimestralquepagóunadeudade$45.000.000, auna tasadel0,85%efectivatrimestral,sielprimerpagosehizoalos5trimestresylospagosduraron25trimestres. Eldiagramadeesteproblemaes:
Dónde:
VA=Valorpresentei=0,85%ETn=25trimestresk=5trimestres
01234567…..…..2930
AAA…..……AA
45.000.000 I0,85ET
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
38
Lacuotatrimestralquepagóunadeudade$45.000.000,aunatasadel0,85%efectivatrimestral, cuyo primer pago se hizo en el trimestre 5 y se pagaron durante 25trimestres,fuede$2.092.329,66
Ejemplo
BeatrizobtuvodelICETEXunpréstamode$20.000.000paraestudiarunposgrado.Lainstituciónleconcedió36mesesdegraciay9añosdepagoylatasadeinterésquelecobraesde9,6%concapitalizaciónmensual.¿Decuántolequedaronlascuotas? Elgráficodeesteproblemaes:
Dónde:
VA=Valorpresentej=9,6%CCMn=9años
( ) ( )
( ) ( )
( )
66.329.092.250712712.21
000.000.459585626155,043685156.22000.000.45
0085,10085,0
)0085,1(1000.000.45
0085,010085,00085,011
000.000.45
111
525
525
=
=
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−−
−−
−−
A
A
xA
A
A
iiiVA
Ak
n
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
39
kxm= 36meses
LacuotaqueBeatrizdebepagardurante9años,aunatasadel9,6%concapitalizaciónmensualluegode36mesesdegracia,esde$369.373,96.
4.5 Anualidades perpetuas
Lasanualidadesperpetuassonaquellasquesesabedóndecomienzan,peronodóndeterminan.Gráficamenteserepresentanasí:
0 1 2 ………..
A A A A A
∞
( ) ( )
( )
96,373.36914566881.54
000.000.20
750621231,013447552.72000.000.20
008,1008,0008,11
000.000.20
008,01008,0008,011
000.000.20
12096,01
12096,012096,011
000.000.20
111
36108
36108
36
129
=
=
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
=
−−
−−
−
−
−
−
A
A
xAA
A
A
mj
mjmj
VAA
x
kxm
nxm
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
40
Enestetipodeanualidadnopuedehallarseelvalorfuturo,precisamenteporquenosesabecuándoterminará,loquesípuedehallarseeselvalorpresentequeesiguala:
Dónde:A=valordelaanualidadi=tasadeinterés Unejemplodeestetipodeanualidadeseslapensióndejubilación,desdeelmomentoenquelapersonacomienzaagozarla.Otroejemplosonlasherenciasaperpetuidad.
Ejemplo
Unapersonamuygenerosadejóunagruesasumadedineroparaqueaperpetuidadseleentregaran$2.000.000mensualesaunhospital.Si latasadeinteréspactadaesdel0.89%efectivamensual,¿quécantidaddejólapersona? Enestecaso:
A=$2.000.000,I=0,89%efectivamensual
Luegoelvalorpresentees:
Lapersonadejó$224.719.101.
iAVA =
.101.719.2240089,0000.000.2
==
=
VA
iAVA
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
41
Resumen
Las operaciones financieras a interés compuesto, pueden desarrollarse de lassiguientesformas:
TIPO DE PAGO TASA OPERACIÓN PRINCIPAL
OPERACIÓN SECUNDARIA
Uniforme
Vencida Efectiva Valor futuro
Valor presente
Cálculo del tiempo
Cálculo de la cuota periódica
Nominal Valor futuro Valor presente
Anticipada Efectiva Valor futuro
Valor presente
Nominal Valor futuro Valor presente
Diferida Efectiva
Valor presente Nominal
Perpetua Efectiva Valor presente
FÓRMULAS
Concepto Tasa Efectiva Tasa Nominal
A
NU
ALI
DA
D V
ENC
IDA
AN
UA
LID
AD
VEN
CID
A
Valor futuro
Cuota a partir de valor futuro
Tiempo a partir de
valor futuro
! =log 67
8 /9 + 1log 1 + 9
!/0 =log 67
8 / :0 + 1
log 1 + :0
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
iiAVFn 11
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
mj
mj
AVF
nxm
11
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
iiVFA
n 11
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=
mj
mj
VFA
nxm
11
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
42
Valor presente
Cuota a partir de valor presente
Tiempo a partir de valor presente
ANUALIDAD ANTICIPADA
Concepto Tasa Efectiva Tasa Nominal
Valor futuro
Tiempo a partir de
valor futuro
! =log 67
8 + 1 /9 + 1
log 1 + 9 !/0
=log 67
8 + 1 / :0 + 1
log 1 + :0
Valor presente
Cuota a partir de valor presente
Tiempo a partir de valor presente
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−
iiAVA
n11
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
−
mjmj
AVA
nxm
11
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−
ii
VAAn11
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
=−
mjmj
VAA
nxm
11
( )i
xiAVA
n+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=−1log
1log( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=−
mimjx
AVA
nxm1log
1log
( ) 111 1
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
+
iiAVFn ( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
+
111
1
mj
mj
AVF
nxm
( ) ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+−=
−−
111 1
iiAVA
n ( )
111
1
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
−−
mjmj
AVA
nxm
( ) ( )
111 1
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−−
iiVAA
n ( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
=−−
mjmj
VAA
nxm 1
11
( )i
xiAVA
n+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
=−1log
11log( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
=−
mi
mj
xAVA
nxm1log
11log
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
43
Concepto Efectiva Nominal
AN
UA
LID
AD
DIF
ERID
A
Valor presente
Cuota
( ) ( ) kn
iiiAVA −−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−= 111
kxm
nxm
mj
mjmj
AVA−
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−= 1
11
( ) ( ) kn
iiiVAA
−−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
111kxm
nxm
mj
mjmj
VAA
−
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
=
111
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
44
Bibliografía
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• Blank L. y Tarquin A. (1991). Ingeniería Económica. McGraw-Hill. 3ª edición.Capítulo3.Bogotá.
• DeGarmo,P.(1998).IngenieríaEconómica.10ªedición.Capítulo6.PrenticeHallHispanoamericana,S.A.México
• Díaz, A, Aguilera, V. Matemáticas financieras. Editorial Mc Graw Hill, Terceraedición.
• García,A.MatemáticasFinancierasconecuacionesdediferenciafinita.EditorialPearson.
• Gómez,A.MatemáticasFinancieras.EditorialUniversidaddelQuindío.
• Portus,L.(2003).Matemáticasfinancieras,Ed.MacGrawHill.