7/25/2019 Unidad 5, Alg.lineal. Zenaida
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INSTITUTOTECNOLÓGICOSUPERIOR DE JESÚS
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR
DE JESÚS CARRANZA
ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
ALGEBRA LINEAL
UNIDAD VTRANSFORMACIONES LINEALES
ZENAIDA DEL CARMEN SEBASTIAN SALAZAR
ING. JENNIFER GUSMAN GAYOSO
GRUPO
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GRUPO
Existen dos espacios
fundamentales que están
asociados a una
transformación lineal: su kernel
ker(T) y su imagen im(T). El
kernel y la imagen de una
transformación l ineal T
corresponden con el espacio
nulo y el espacio de la
columna de cualquier matriz
que represente a T.
Intr!"##$%n & '&( tr&n()r*&#$n+( '$n+&'+(, Las
transformaciones lineales son las funciones y tratan
sore !"espacios #ectoriales que son compatiles con
la estructura (es decir$ con la operación y la acción) de
estos espacios.
L&( tr&n()r*&#$n+( '$n+&'+(: son
las funciones con las que
traa%aremos en &lgera Lineal. ' e
trata de funciones entre !"espacios
#ectoriales que son compatiles con la
estructura (es decir$ con la operación y
la acción) de estos espacios.
En otras palaras$ se consideran espacios#ectoriales$ * y +. ,na transformación lineal es
una gráfica T: *- + que satisface dos
condiciones:
). T (# / #) 0 T (#) / T (#) donde # y #
son #ectores en *. ). T (x*) 0 x T (#) donde x
es una escala.
La teor1a de la matriz entra en la
teor1a de las transformaciones
lineales porque es posile
representar cada transformación
lineal como matriz. La
multiplicación de matrices puede
considerarse como el e%emplo
principal que puede demostrar el
concepto de transformación
lineal. ,na matriz & de
dimensión n x m define que T (#)
0 &# y aqu1 # es representado
como un #ector columna.
La transformación lineal es una función utilizadapara la asignación de un espacio #ectorial a otro
espacio #ectorial con la ayuda de los escalares$ la
cual satisface la expresión f(a2x/2y) 0a2f(x)/2f(y).
U N I D A D 5
T r a n s f o r m a c i o n e s l i n e a l e s
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- . 2
n " # ' +
+
$ *
& + n
! +
" n &
t r & n ) r *
& # $ n
' $
3efinición: (ea una transformación l1nea. Laimagen de T$ escrito 4m T$ es elcon%unto de lasimágenes de los puntos de E en 5.
T+r+*& /. (ea T: * + una transformación lineal.Entonces para todos los #ectores u$ #$ #$ #)$6.#n en * y todos los escalares.
T+r+*& 2, (ea # un espacio #ectorial de dimensiónfinita con ase 70 8#$#)$6.#n9. (ean $)$6.n #ectores en +. (uponga que Ty T) son dostransformaciones lineales de * en + tales que T#i 0T)#i 0 i para i 0 $ )$6$n. Entonces para cualquier#ector # #$ Tϵ # 0 T)#; es decir T 0 T).
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-.0 '& *&tr$1 !+
"n&
tr&n()r*&#$n
'$n+&'.
i & es una matriz de m2n y T: <n"<m está definida por Tx 0 &x$entonces$ T es una transformación lineal. &=ora se #erá que paratoda transformación lineal de <n en <m existe una matriz & de m2ntal que Tx 0 &x para todo x <n. Este =ec=o es de gran utilidad. iϵ
Tx 0 &x. Entonces un T 0 >& e 4m T 0 <&. más aun$ #(T) 0 dim un T0 #(&) y p(T) 0 dim 4m T 0 p(&).
Teorema : sea &T la matrizde transformacióncorrespondiente a laatransformación lineal T.entonces.
teorema : ea T:<n "<m unatransformación lineal. Existe
entonces una matriz ?nica dem2n$ &T tal que
Teorema @: ean * y + espacios#ectoriales de dimensión finita condim * 0 n. sea T:*"+ unatransformación lineal y sea &T una
representación matricial de Trespecto a las ases 7 en * y7 en +. entonces
i.p(T) 0 p(&T)
ii.*(&) 0 #(&T)
iii. *(a) / p (T) 0 n
i. 4m T 0 4m & 0 A&T
ii. B(T) 0 p(&T)
iii. ,n T 0 >&T
i#. #(T) 0 #(&T
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Craficar un con%unto de puntos en otro es
lo que se conoce como transformación
lineal de un con%unto de puntos. Existen
ciertas propiedades ásicas de las
transformaciones lineales$ las cuales si
son tomadas en cuenta y aplicadas al
momento de resol#er un prolema$
pueden reducirlo un prolema simple.
@. Aontracción: La contracción es
el procedimiento in#erso de la
expansión. &qu1 el punto es
contra1do en un determinado grado
=acia una dirección dada. ea el
punto de entrada (D$ ) y este dee
ser contra1do para el grado dos en
la dirección de x entonces el nue#o
punto resulta ser ($ ).
La reflexión es realizada
siempre con respecto a uno
de los e%es$ sea el e%e x o el
e%e y. Esto es como producir
la imagen espe%o de la
matriz actual.
. <eflexión: Auando un con%unto de puntos
dados es graficado desde el espacio
euclidiano de entrada a otro de manera tal que
este es isomFtrico al espacio euclidiano de
entrada$ llamamos a la operación realizada la
reflexión del con%unto de puntos dado.
D. <otación: El tFrmino rotación
tiene dos significados$ ya la
rotación de un o%eto puede ser
realizada con respecto al e%e dado
o al e%e mismo. La rotación se
realiza para un cierto grado el cual
es expresado en forma de un
ángulo. &simismo$ la rotación
puede realizarse en la dirección de
las manecillas del relo%$ o in#erso a
las manecillas del relo%.
Es como realizar una
operación de
multipl icación de los
elementos del con%unto de
puntos dados con un
tFrmino escalar =acia la
dirección donde tiene queser expandido.
. Expansión: &l igual que en la
reflexión$ tamiFn es posile expandir
los puntos dados en una dirección
particular. La expansión se realiza
=aitualmente para un cierto grado.
- . 2 A P L I C A C I Ó N D E L A S T R A N S F O R M A C I O N E S L I N E A L E S , R E F L E 3 I Ó N 4 D I L A T A C I Ó N 4 C O N T R A C C I Ó N 4 Y R O T A C I Ó N .
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