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Matemática Analítica 4
Unidad 5
SERIES
tal expresión se denomina serie infinita, o sólo serie, y se denota con el símbolo
1,1
ón
nn
n aa
Sea la suma de los términos de una sucesión infinita
......321 naaaa
SERIE NUMÉRICA
1nna
,,
El subíndice del primer término de una serie puede ser como en:
00
ónn
nn
n aa
DEFINICIÓN
Dada la serie
Denotemos con Sn la n-ésima suma parcial:
...3211
aaaak
k
n
n
kkn aaaaaS
...3211
Si la sucesión es convergente y
existe, la serie se denomina
convergente y se escribe
El número se llama suma de la serie. Si no fuese
así, la serie se llama divergente.
CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA
nS
1,n
na
S
SSnn
lim
.1,
San
n
EJEMPLOS
Diga si las series convergen o divergen.
Si alguna converge, calcule su suma.
Diga si las series convergen o divergen.
Si alguna converge, calcule su suma.
1
.1n
n
1
)1(.2n
n
1 )1(
1.3
n nn
Un ejemplo importante de una serie infinita, es la
serie geométrica:
0
32 ......1n
nn rrrrr
SERIE GEOMÉTRICA
Suma de la serie geométrica:
Si | r | 1, la serie geométrica converge y la suma es igual a:
Si | r | 1, la serie diverge.
...1 2
0
n
n
n r...rrr
0 11
n
n
rrS
SUMA DE UNA SERIE GEOMÉTRICA
1. Calcule la suma de la serie geométrica:
...2740
920
310
5
EJEMPLOS
2. ¿Es convergente o divergente la serie dada?
1
12 32n
nn
SERIE ARMÓNICA
es conocida como la serie armónica y es divergente.
La serie:
1
1...
41
31
21
1n n
SERIE DE BASILEA
1
2222
1...
41
31
21
1n n
La serie:
es llamada serie de Basilea y es convergente.
61 2
12
n nS
p-SERIE
La serie se denomina p-serie y es convergente
si y divergente si .
1
1
npn
1p 1p
Si la serie es convergente, entonces
1,nna
0lím n
na
PROPIEDADES DE SERIES CONVERGENTES
¡Pero el enunciado inverso no es cierto!
EJEMPLO
La serie es divergente, sin embargo:
1
1
n n
01
lim nn
nn
a
lím
1nna
Si no existe ó ,
entonces es divergente.
0lím n
na
PRUEBA DE LA DIVERGENCIA
Determine si la sgte serie es convergente o divergente:
1
1cos
n n
EJEMPLO
Si y son series convergentes, entonces
también lo son las series (donde es
constante), y . .
Además, se satisfacen las siguientes igualdades:
1,n
na 1,n
nb
1,n
nca
.)(1,
n
nn ba
1,1, n
nn
n acca(i) 1,1,1, n
nn
nn
nn baba(ii)
TEOREMA
c
Determine la suma de la serie:
n
n nn 21
)1(3
1
EJEMPLO
EJEMPLOS
Determine la convergencia de las siguientes series:
a.
b.
c.
15
1
n n
15
1
n n
185.0
2
n n
PRUEBAS DE COMPARACIÓN
Suponga que y son series con
términos positivos.
a.Si es convergente y para
toda , entonces es convergente.
b.Si es divergente y
para toda ,, entonces es divergente.1,n
na
1,n
nb
1,n
nb
nn ba
nn ab
n 1,n
na
n
1,n
nb1,n
na
EJEMPLOS
Determine si las series son convergentes:
a.
b.
c.
d.
12
2
1cos
n nn
13 1
1
n n
18 11
n n
1
3
2
1n nn
SERIES ALTERNANTES
.alternante seriellama se
bbbbbb
:también o
bbbbbb
:forma la de serieUna
nn
nn
nn
nn
)0(...4321
)1(
)0(...4321
)1(
1,
1,
1
CRITERIO DE LEIBNIZ
0...1 6543211,
1 n
nn
n bbbbbbbb
Si la serie alternante:
(i) , para toda n>
cumple con:
bb nn
1
(ii) 0lím
bnn
Entonces, la serie es convergente.
.0n
Nota:quiere decir que la sucesión es decreciente.Puede usar conceptos del Cálculo Diferencial para probar dicha propiedad.
Determine si las series convergen o divergen:
1
1 11...
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11.1
n
n
n
1 14
31.2
n
n
n
n
13
21
11.3
n
n
n
n
EJEMPLOS
CONVERGENCIA ABSOLUTA
Una serie es denominada absolutamente convergente
si la serie de los valores absolutos es convergente.
1,n
na
1,n
na
Una serie se llama condicionalmente convergente
si es convergente, pero no absolutamente convergente.
1,n
na
...5
1
4
1
3
1
2
11
11.1
22221
21
n
n
n
Determine si las series son condicionalmente convergentes, absolutamente convergentes ó divergentes.
EJEMPLOS
...5
1
4
1
3
1
2
11
11.2
1
1
n
n
n
Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente.
Nota: El enunciado inverso no es cierto
TEOREMA
EJEMPLO
La serie es convergente,
pero no es absolutamente convergente.
1
1 1)1(
n
n
n
CRITERIO DE D´ALEMBERT
.econvergent esserie la entoncesSi1
a 1,L -n
n
La
alímSea
n
n
n
1
.divergente es serie la entonces, ó1Si -1
n
naLL
n.informació da no criterio el,1Si - L
1
:deiaconvergenclaEstudiemosn
na
1. Diga si la serie es absolutamente
convergente.
1
3
31
nn
n n
2. Diga si la serie es convergente.
1 !n
n
n
n
EJEMPLOS
SERIES DE POTENCIAS
Una serie de potencias tiene la forma:
...2210
0
axcaxccaxcn
nn
Potencias en:
con centro en:
ax a
Nota: Se toma la convención de que (x – a)0 = 1, incluso si .ax
REPRESENTACION DE FUNCIONES POR SERIE DE POTENCIAS
La función exponencial se puede representar como
una serie de potencias alrededor del cero:
Ver Applet
...!3!2
132
xxxex
0
!n
nx
n
xe
REPRESENTACION DE FUNCIONES
POR SERIE DE POTENCIAS
La función seno se puede representar como una
serie de potencias alrededor del cero :
...!7!5!3
sen753
xxx
xx
12
1
1
!)12(
1)1(sen
n
n
n xn
x
Ver Applet
INTERVALO DE CONVERGENCIAINTERVALO DE CONVERGENCIA
El intervalo de convergencia de una serie
de potencias está formado por los valores de
para los cuales la serie converge.
Puede ser un intervalo abierto, cerrado ó
semi-cerrado. También hay casos en que
la convergencia solo se produce en un punto.
x
RADIO DE CONVERGENCIA
Para cada serie existe un número
llamado radio de convergencia de la serie de
potencias, tal que ésta converge para
y diverge para
Nota: Si R = 0, la serie solo converge en un punto.
0n
nn axc ,R 0
Rax
.Rax
RADIO DE CONVERGENCIA
Teorema
Para una serie de potencias
hay sólo tres posibilidades:
i) La serie converge sólo en un punto cuando
ii) La serie converge para todo
iii) Existe un número tal que la serie converge
si y diverge si
.ax
.Rx0R
.Rax Rax
0n
nn axc
EJEMPLOS Exprese como una serie de potencias alrededor del cero de
las siguientes funciones señalando su radio de convergencia.
a.
c. 42
)(
x
xf16
22)( 2
xxx
xf
d. xexxf 42)(
b.
3
2
8)(
xx
xf
R R
a R a Ra
Convergencia para
Divergencia para
x a R
x a R
RADIO DE CONVERGENCIA
EJEMPLOS
Determine el radio de convergencia de las
siguientes series de potencias:
k k
k k
n n
n
k ! x xk !
x
n
0 0
0
11 233 1
0
)(k
kk axcxfSi una serie de potencias
1.
1
1)(k
kk axkcxf
2.
.; Ix
DERIVACIÓN DE SERIES
es convergente en un intervalo abierto I, entonces
es derivable en I y se cumple:
.; Ix
2
2)1()(''k
kk axckkxf
0
)(k
kk axcxfSi una serie de potencias
0
1
1)(
k
kk
kaxc
Cdxxf
INTEGRACIÓN DE SERIES
es convergente en un intervalo abierto I, entonces es
integrable en I y se cumple:
.; Ix
1. En base a lo anterior, deduzca una representación en
serie de potencias de las siguientes funciones:
21
1)(
xxf
xxf arctan)(
EJEMPLOS
2. Exprese la integral como una serie numérica.
dxx
x
4
3
2
1
)1ln(
SERIE DEL BINOMIO
Si es un número real y , entonces:
m 1x
...!2
)1(11 2
0
xmm
mxxn
mx n
n
m
EJEMPLO
Represente en serie de potencias alrededor del
cero de la función:
Además encuentre su radio de convergencia.
x.
4
1)(
xxf
0 !n
nn
axn
af
SERIE DE TAYLOR
Si f tiene derivadas de todo orden en
, Ia
entonces:
se llama la serie de Taylor de f alrededor de . a
MODELACIÓN DE SERIES TRUNCADAS
Si donde es el
polinomio de Taylor de n-ésimo grado de en
y para entonces es
igual a la suma de su serie de Taylor en el intervalo
),()()( xRxTxf nn )(xTn
f a
0)(lim
xRnn
Rax
.Rax
EJEMPLO
Obtenga una aproximación de por medio
del polinomio de Taylor de grado 2 en
3)( xxf .8a
OBSERVACIONES
La serie de Taylor de alrededor de
f
converge a , a
en un punto Ix1.
2. Si en la Serie de Taylor se le da el
nombre especial de la Serie de Macclaurin.
,0 a
0)(lím
xRnn
Rn (x) es el residuo de orden n.
ALGUNAS SERIES DE TAYLOR
1
1)1()1ln(k
kk
kx
x
Rxk
xx
k
kk
;!2
1cos0
2
1x
EJEMPLOS
1) Utilice una serie conocida y represente f como serie de potencias:
)1ln()( xxf
2) Desarrolle f en serie de Taylor alrededor de : 3
xxf cos)(
ANALITICIDAD DE FUNCIONES
Definición:
Una función f es analítica en un punto a si se puede
expresar mediante una serie de potencias alrededor
de a.
PUNTOS ORDINARIOS Y SINGULARES DE UNA EDOL Sea la EDOL:
Se puede escribir en la forma:
0)(')('')( 012 yxayxayxa
0)(')('' yxQyxPy
Definición:
Se dice que x0 es un punto ordinario de la ecuación dada si
P(x) y Q(x) son analíticas en x0. Un punto que no es
ordinario se llama punto singular de la ecuación.
Si x0 es un punto ordinario de la EDOL, existen dos
soluciones L.I. en forma de series de potencias centradas en
x0, es decir, dos soluciones de la forma:
TEOREMA Sea la EDOL:
0)(')('')( 012 yxayxayxa
0
0n
nn xxcy
CORRIMIENTO DE ÍNDICES
Escriba la expresión siguiente como una sola
serie de la forma : nn xa
2 0
121n n
nn
nn xcxcnn
CORRIMIENTO DE ÍNDICES
Escriba la expresión siguiente como una sola
serie de la forma: n
n xa
02 1
122 11n
nn
n n
nn
nn xcxncxxcnnx
SOLUCIÓN DE EDOL HOMOGÉNEA MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS
Encuentre dos soluciones L.I. en forma de series de
potencia alrededor de 0 de la EDOL:
0'' xyy
Encuentre dos soluciones L.I. en forma de series de
potencia alrededor de 0 de la EDOL:
0''')1( 2 yxyyx
EJEMPLO
SOLUCIÓN DE EDOL HOMOGÉNEA MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS
Halle la solución general de la ecuación diferencial:
01 y)x("xy
SOLUCIÓN DE EDOL NO HOMOGÉNEA MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS
Halle la solución del PVI:
0)0(')0(,2''' yyeyxyy x
SOLUCIÓN DE EDOL NO HOMOGÉNEA MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS
Halle la solución general de la ecuación diferencial:
32 10252''' xxxyyxy
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