Curso
2011-
2012
2º ESO
UNIDADES 6 Y 7: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES
Departamento de Matemáticas IES Fray Bartolomé de las Casas de
Morón
Unidades 6 y 7: Expresiones algebraicas y
ecuaciones
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OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 1. Utilizar el lenguaje algebraico y
comprender sus reglas.
2. Hallar el valor numérico de una
expresión algebraica.
3. Realizar operaciones de suma,
resta, multiplicación y división de
monomios.
4. Comprender qué son los
polinomios y conocer las nociones
básicas: término, término
independiente, grado. Operaciones
• Lenguaje algebraico. Normas y
valor numérico.
• Monomios. Operaciones.
• Polinomios. Suma y resta.
• Producto de polinomios.
• Productos notables
• Traducción a lenguaje algebraico
de enunciados de la vida real.
• Cálculo del valor numérico de
expresiones algebraicas.
• Operaciones y reducciones con
monomios.
• Operaciones de sumas y/o restas
con polinomios.
• Cálculo de productos de
polinomios.
• Cálculo de productos notables.
• Extracción del factor común en
expresiones algebraicas.
5. Distinguir identidades y ecuaciones
con solución y sin solución.
6. Determinar si un número es
solución o no de una ecuación.
7. Identificar y resolver ecuaciones de
primer grado.
8. Utilizar las ecuaciones para
resolver problemas.
• Identidades. Ecuaciones.
• Ecuaciones equivalentes.
• Ecuaciones de primer grado.
• Ecuaciones de primer grado con
denominadores.
• Ecuaciones de segundo grado sin
término lineal.
• Identificación de identidades y
ecuaciones.
• Comprobación de la validez de un
valor como solución de una
ecuación.
• Resolución de ecuaciones de
primer grado.
• Obtención y resolución de la
ecuación necesaria para resolver
problemas.
RESUMEN DE LA UNIDAD (1)
• El lenguaje algebraico utiliza letras en combinación de números signos. La parte de las
Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama Álgebra.
• Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras que se combinan con los
signos de las operaciones matemáticas.
• Podemos hallar el valor numérico de una expresión algebraica: sustituimos las letras por
números y realizamos las operaciones.
• Los monomios son las expresiones algebraicas más sencillas: Están formados por
productos de números (coeficientes) y letras (parte literal o indeterminadas).
• Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma (o resta) de dos o más
monomios. Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir monomios (y también
polinomios).
• Una ecuación es una igualdad algebraica que sólo se cumple para algunos valores
concretos de la indeterminada que se llama incógnita.
• Resolver ecuaciones es encontrar el valor numérico de la incógnita. Se utilizan técnicas
concretas para la resolución de ecuaciones, incluso con denominadores y paréntesis.
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OBJETIVO 1
Ejemplo:
Lenguaje cotidiano Lenguaje numérico
Diez más quince son veinticinco 10+15=25
Dos elevado al cuadrado es cuatro 2� = 4
La tercera parte de dieciocho es seis ��� =6
Lenguaje algebraico • El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos se llama lenguaje
algebraico. • La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se
llama Álgebra. • Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras que se combinan con los
signos de las operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación, división y
potenciación.
Ejemplo:
Lenguaje cotidiano Lenguaje algebraico
La suma de dos números (cualesquiera) a+b
El cuadrado de un número (cualquiera) ��
La mitad de un número (cualquiera) 2
1. Expresa en lenguaje algebraico.
Lenguaje usual Lenguaje algebraico
El doble de un número más dos unidades
Un número disminuido en cinco unidades
La tercera parte de un número
El cubo de un número
La diferencia de dos números
El número siguiente a otro cualquiera
El doble de x más dos unidades
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2. Escribe en cada caso su correspondiente expresión algébrica.
Expresión escrita Expresión algebraica
El doble de un número b 2 ∙
El doble de la suma de dos números (m y n)
La edad de cualquier persona hace dos años.
El cuadrado de un número x más 4 unidades
La edad de cualquier persona dentro de
quince años
El número siguiente a otro cualquiera n
3. Inventa frases para estas expresiones algebraicas.
Expresión escrita Expresión algebraica
� + 1
� +
2
2(m-n)
��-1
2 ∙ � + 1
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OBJETIVOS 2
Valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras
por los números y realizar a continuación las operaciones que se indican.
Ejemplo: Halla el valor numérico de la expresión algebraica 3 ∙ � + 2 cuando � = 1
3 ∙ �1� + 2 = 5
4. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas de acuerdo a los distintos
valores de x:
� � − � � − � �� − � �� + � ��� − �� �� � ��
1
2
-1
-2
0
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OBJETIVO 3
Monomios
• Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número por una
o varias incógnitas.
−������� �� !"$%!" �$:���'(")%*%"+!":−�,-./�0102-�3�4ó.�36�7282,-./�0102-�3�4ó.�36��281 → ,-: �;(;"$<(+(<%(282 + 1 = �
=
• Los monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.
−2���, 16��� son semejantes
5. Completa la tabla:
���@� −��� A���� −����A ����B�� C�@ Coeficiente
Parte literal
Grado
6. Escribe un monomio que cumpla las condiciones dadas en cada caso:
a) Tener grado 3 y tres incógnitas _________________________________
b) Tener coeficiente negativo, dos incógnitas y grado 5 ________________
c) Tener coeficiente 5, una sola incógnita y grado 5 ___________________
d) Tener coeficiente fraccionario, una incógnita y grado 4 ______________
7. Escribe dos monomios semejantes a cada uno de los monomios dados:
�D����
−��@�
−B��@
A����
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• Suma y resta Sólo se pueden sumar o restar monomios semejantes. Para ello operamos los coeficientes y
mantenemos la parte literal.
��� − E�� + ��� = �3 − 8��� + 5�7 = −��� + ���
• Multiplicación y división Para multiplicar o dividir monomios se multiplican o dividen los coeficientes por un lado y las
partes literales por otro. B��� ∙ ���� = ���B��( Recuerda que para multiplicar potencias de igual base, se deja la misma base y se suman los
exponentes)
�D����: ���� = B�� (Recuerda que para dividir potencias de igual base, ponemos la misma base y restamos los
exponentes)
8. Siguiendo el ejemplo, opera hasta obtener una expresión más sencilla:
�� − �� + E� + �� = ��� + E�� + �−�� + ��� = ��� + �−��� = ��� − ��
��2� + 5� − 4� =
�2�� + 7�� − 3�� =
4� 12 �7 + 3��7 − 25�7 + 5��7 =
0�3H + 5� − 8H − � =
e)7� − 3 + 4� − 2� + � =
9. Siguiendo el ejemplo, calcula el producto de los siguientes monomios:
����� ∙ I−����J = � ∙ �−�� ∙ I� ∙ � ∙ � ∙ ��J = −�D���B
������ ∙ I−��J ∙ I−���J =
K��−CK� ∙ I�KBJ ∙ I�K�J =
*�� ∙ �−B�K� ∙ �−�K� =
;��−��K� ∙ I����KJ =
"��−��� ∙ I����J ∙ I����J =
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10. Observa el ejemplo y divide los siguientes monomios:
IA��KJ: �B�K� = A��KB�K = ���
��I−������J: ����� =
K�I�B�AJ: I���J =
*�I−A��J: I��BJ =
;��B*;�: �;*� =
11. Realiza las siguientes operaciones con monomios, efectuando primero las operaciones de los
paréntesis:
��� + ��� ∙ ��� − ��� = �� ∙ �� = �D��
Nota: Recuerda cómo se suman monomios semejantes
��IB�� + ��� + ��J: �� =
K�IA�A − L�AJ: I��� + ��J =
*�IE�� + A��J: � =
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OBJETIVO 4
Polinomios
• Una expresión algebraica formada por suma y/o restas de dos o más monomios no semejantes se llama polinomio.
• Cada uno de los sumandos se denominan términos.
• Cada término puede tener coeficiente y parte literal, o sólo coeficiente y/o parte literal.
• Existen términos que sólo llevan números, se les llama términos independientes.
• Los polinomios también se pueden clasificar por grados. El término que tenga mayor
grado determina, sumando los exponentes de su parte literal, el grado del polinomio.
Ejemplo Polinomio Términos Término independiente Grado del polinomio ��� − �� − � ���, −��,−� −� 3; el grado de ��es 3 −��� + L −���, L L 2; el grado de ���� es
2 ��� + �� ���, �� D 3; el grado de ��es 3
Suma y resta de polinomios
• Para sumar y restar polinomios, sumamos y restamos los monomios semejantes.
Ejemplo:
Dados A=5�M − 6�� + 4� − 5 y B=2�M + �� + 8�� − 3� + 8, calcula A+B y A-B
5�M − 6�� + 4� − 5
+ 2�M + �� + 8�� − 3� + 8 _____________________________
7�M − 5�� + 8�� + � + 3 = N + O
5�M − 6�� + 4� − 5
+ −��B − �� − E�� + �� − E _____________________________
3�M − 7�� − 8�� + 7� − 13 = N − O = N + �−O�
12. Dados los polinomios siguientes, calcula A+B y A-B:
a) P = C�� − ���B − ��� + ��� + �� − � Q = −B�B + ��� − �D� + �
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b) P = ��B + ��� − �D� + �� Q = A�B − �� + ���� − �� − ��
c) P = A�� + E�� − ��� + � Q = A�� − �� + ��� − �
d) P = �D�B − ��� − ��� + A� Q = −��� + ���� − �� − �
Producto de polinomios
• Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio del primer polinomio por
cada monomio del segundo.
Ejemplo 1:
2� − 5
X 4��
________ E�� − �D�� O también: �2� − 5� ∙ �4��� = 8�� − 20��
Ejemplo 2:
��� + B�� − �� + C
X ��– � ___________________
4�M + 8�� − 6�� + 14�
−6�� − 12�� + 9� − 21
____________________________
B�B + ��� − �E�� + ��� − ��
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13. Calcula los siguientes productos:
��IB�� − �� + �J ∙ I���J
K�IA�� + �� − �J ∙ I�� + �J
*�I�D�� − �� + �J ∙ U���V
;�IB�� + A�� + �DJ ∙ U� − ��V
e) �� − �� ∙ I�B − � + �J
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Productos notables
• Cuadrado de la suma:�� + K�� = �� + � ∙ �� + � = �� + ��K + K� ��� + ��� = �3� + 5� ∙ �3� + 5� = �3��� + 2 ∙ �3�� ∙ �5� + �5�� = L�� + �D� + ��
• Cuadrado de la diferencia:�� − K�� = �� − � ∙ �� − � = �� − ��K + K� ��� − ��� = �3� − 5� ∙ �3� − 5� = �3��� + 2 ∙ �3�� ∙ �−5� + �−5�� = L�� − �D� + ��
• Suma por diferencia:�� + K� ∙ �� − K� = �� − K� ��� + �� ∙ ��� − �� = �3��� − 5� = L�� − ��
14. Calcula, utilizando las “fórmulas” anteriores, los siguientes productos notables:
���� + 5�� =
��8 − 7�� =
4��4� − 2�� =
0��5 + 27�� =
2��� − 7� ∙ �� + 7� =
W� U12 − �V� =
.� X3 + �3Y� =
ℎ��−2� + 7�� =
3��2� + 3� ∙ �2� − 3� =
[� U� + 15V ∙ U� − 15V =
15. Encuentra el producto notable asociado a cada expresión:
��36 − �� =
�25 − 20� + 4�� =
4��� + 16� + 64 =
0��� − 49 =
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División de un polinomio entre un monomio (La división entre polinomios no es para este curso de 2º)
• Para dividir un polinomio entre un monomio dividimos cada monomio del polinomio
entre el monomio en cuestión.
• Una fracción algebraica es una fracción con indeterminadas en el denominador ��� + �� = �� + �� �\("]^+_($%+(<%(, "]^+�) �**%ó+�$:"K �%*��
B�� + A����� = �� + ��`í"]^+_($%+(<%(�
16. Realiza las siguientes divisiones:
����b − 2�M + 5�� − 2��: � =
��6�b + 12�M − 3���: 3�� =
4��−47b + 67M + 27��: 37� =
Extraer factor común
• La siguiente igualdad se verifica por la propiedad distributiva del producto respecto
de la suma: ����� − ���� + ���@ = ���∙I�� − � + @J
• El factor común ���se puede extraer porque está en todos los sumandos
17. Extrae factor común:
��30�M + 5�� − 15�� =
�6��7c + 12�7 − 3�c − 15�� =
4���7M − �M7� + ��7 − ��7�
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OBJETIVO 5 y 6
Ecuaciones e identidades
• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es cierta o se
verifica para algunos o un solo valor de la incógnita. �� − � = � (sólo es cierta la igualdad para � = 1)
• Miembros de una ecuación son las dos expresiones algebraicas que hay a cada lado
de la igualdad: a izquierda y a derecha (por lo tanto tiene sólo dos miembros)
• Términos de una ecuación son los sumandos que forman los miembros.
• Una identidad es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es cierta siempre. �� + �� = �� ( es cierta cualquiera que sea el número que pongamos en el lugar de x)
• Solución de una ecuación es el valor de la incógnita que cumple la igualdad � = � es la solución de la ecuación �� − � = �, ya que ���� − � = �
• Si una ecuación no se verifica para ningún valor de la incógnita, se dice que es incompatible (ecuación sin solución).
18. Comprueba, siguiendo el ejemplo, si los valores indicados para � son o no soluciones de las
siguientes ecuaciones:
Valor Ecuación Cálculo Solución (Sí/No) � = � �� + � = C
� ∙ � + � = C Sí
� = B �� − B = E
� = � B� − � = �
� = B � + �� + �� = E
� = � ��� + �� = ��� + �� − �
� = −� ��� + �� = � + �
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OBJETIVO 7
Ecuaciones equivalentes. Resolución
• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones Son equivalentes: 6 + � = 8 y � + 3 = 5
• Para obtener ecuaciones equivalentes: ��deH�/1/286�/-�H38H�2�f/283ó��-18018H32H/1802-�24e�43ó��ge-63f-34�/103h303/-18018H32H/1802-�24e�43ó�f1/e��4��630�003863�6�0242/1
• Resolución de ecuaciones: Despejamos la incógnita (la dejamos sola), utilizando los
procedimientos de obtención de ecuaciones equivalentes:
B� + � = �D ]^<�<(]�i��jkkkkkkkkkl4� + 2 − 2 = 10 − 2 ";^*%<(]jkkkkkkl4� = 8 ;%m%;%<(]_( Bjkkkkkkkkkkkl 4�4 = 84
]%<_$%)%*�<(]jkkkkkkkkkkl� = � ← d1-e43ó�
Este proceso es equivalente al siguiente, mas simplificado:
B� + � = �D �o^""]!á]^<�+;(�$�%@o^%" ;�,_�]� "]!�+;(�$�;" "*q�jkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkklB� = �D − � ";^*%<(]jkkkkkkl
B� = E "$*(")%*%"+!";"�,o^""]!á<^$!%_$%*�+;(�$�%@o^%" ;�,_�]�;%m%;%"+;(�$�;" "*q�jkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkl� = EB]%<_$%)%*�<(]jkkkkkkkkkkl� = �← d1-e43ó�
19. Resuelve las siguientes ecuaciones despejando la incógnita:
��� + �� = �A K�� − A = �� *�� − �D = −�� ;��� − � = C "��� + � = �� + A
)��� − � = −�� + �D :��� + � = �� + A q���� − �� = � − � %�B + B� = �D + �D� r�A� + L = −� + E
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Resolución de ecuaciones con paréntesis ���� − �� = B� − �D 1. Quitamos los paréntesis: 2 ∙ 5� − 2 ∙ 2 = 4� − 10 → �D� − B = B� − �D 2. Resolvemos la ecuación:
10� − 4� = −10 + 4 → 6� = −6 → � = −66 → � = −�
20. Resuelve paso a paso:
����� − �� = �D K����−�� + �� = −�� *�A��� − �D� = −�� ;���� − �� = ��� + �� "��� = B�� + ��
)� − C + � = −B�� − C� :����� − A� = ���� − �� q����� − �� = ��B� − �� %���� − �� = B�� − �� r��� − A� = L�� − ��
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Resolución de ecuaciones con denominadores ��� − � = �� + EB
1. Reducimos a común denominado todos los términos de la ecuación:
El m.c.m. es 4 3�2 − 1 = 2� + 84 → A�B − BB = E�B + EB
2. Quitamos denominadores y resolvemos:
6� − 4 = 8� + 8 → −4 − 8 = 8� − 6� → −12 = 2� → −122 = � → −A = �
21. Calcula la solución de las siguientes ecuaciones con denominadores:
����� − � = �
K�B�� − � = A + ��
*�� − �� − � = �A + �
;� �� − A = B
"� �A − � = � − ��
)�� − ��� + ��� = ���− �A (Conviene simplificar antes de reducir a común denominador)
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Resolución de ecuaciones con paréntesis y denominadores
�X�� − �Y = �U�A� − ��V
1. Quitamos paréntesis:
5 X�2 − 2Y = 3U162 − 2�V → ��� − �D = BE� − A�
2. Reducimos a común denominador ambos miembros. El m.c.m. es 2: ��� − �D = BE� − A� → ��� − �D� = BE� − ����
3. Quitamos denominadores y resolvemos la ecuación: �� − �D = BE − ��� → 5� + 12� = 48 + 20 →
17� = 68 stuvtswxyvttzu{t|}u}t~�twt�yvtt��á�vz�}�z}ux~w{,�x�xw}�}w}t~w{jkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkl � = AE�C
22. Resuelve las siguientes ecuaciones:
��A U� − �� V = ��B
K�L X�� − �Y = ��
*���� − �� = −�U� − ��A V
;� UA�� − ��V = �U�� + BC V
"� �� + B = � − UE − ��B V
)�� X�� − �Y = A�� − L�
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OBJETIVOS 8
Resolución de problemas mediante ecuaciones
• Leer atentamente el enunciado
• Identificar y dar nombre a la incógnita
• Traducir al lenguaje algebraico las relaciones entre los elementos del problema
• Resolver la ecuación
• Interpretar la solución y responder a la pregunta formulada
Ejemplo: “Busca dos números naturales consecutivos cuya suma sea 15”
DATOS INCÓGNITAS FÓRMULAS Y/O RESOLUCIÓN
La suma de ambos números
naturales, es 15
+ = �º��6e/�-,+ + � =8e41�824e63h1183.e32�62
(Relación entre ambos) + + �+ + �� = �� + + �+ + �� = �� → + + + + � = �� → �+ = �� − � → �+ = �B → + = �B� → + = C
Solución : Los números
buscados son 7 y 8
23. Si sumo 4 al número de mi camiseta de fútbol, resulta un número equivalente al doble del
anterior al que llevo. ¿Cuál es el número de mi camiseta?
DATOS INCÓGNITAS FÓRMULAS Y/O RESOLUCIÓN
Solución :
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24. El procesador de mi ordenador ha costado 550€ más que el monitor. Si los dos elementos
juntos valen 1374€, ¿cuánto cuesta cada uno?
25. Si un hijo tiene 12 años y su padre 38, ¿cuántos años deberán pasar para que el padre tenga
el triple de la edad de su hijo?
26. He comprado 3 pantalones y me han sobrado 10€. Si hubiera comprado 4 pantalones me
hubieran faltado 3€. ¿Cuánto cuesta un pantalón?
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27. Tengo el triple de billetes de 10€ que de 20€. Si en total tengo 200€, ¿cuántos billetes hay de
cada valor?
28. La altura de un rectángulo mide 14 cm menos que la base. Si el perímetro del rectángulo es
de 32 cm, ¿cuánto mide la base?
Ecuaciones de segundo grado sin término lineal
• Una ecuación de segundo grado es de la forma: ��� + K� + * = D
• Nos referiremos en lo sucesivo, sólo a las ecuaciones de la forma ∶ ��� + * = D, es decir
sin el término lineal �K��. • Término cuadrático, ���
• Término independiente, *
• Resolución de ��� + * = D:
��� + * = D → ��� = −4 → �� = −4� → � = ±�−*� (Si
iux < 0, 280243/, �2.�63h1, -�24e�43ó��1632�281-e43ó�/2�-� Ejemplo:
Resolver la ecuación 3�� − �C = D
3�� − �C = D →3�� = �C → �� = �C� →�� = L → � = ±√L → � = ±�
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29. Resolver las ecuaciones:
���� = �� K��� − �DD = D
*���� − E = D ;�B�� + �A = D =
30. ¿Cuánto debe medir la base de un triángulo para que valga el doble que su altura si dicho
triángulo tiene un área de �A*<�?