UNIDAD 7
Medidas de dispersin
UNIDAD 7
MEDIDAS DE DISPERSIN
Al calcular un promedio, por ejemplo la media
aritmtica no sabemos su representatividad
para ese conjunto de datos. La informacin
suministrada por ella es limitada y nada nos
dice sobre la forma como estn diseminados
los datos con relacin a la tendencia central.
Si existe concentracin de datos alrededor del
promedio, nos indica una buena aplicacin en
su uso, por el contrario una gran dispersin
est indicando poca representatividad, por lo
tanto no ser confiable.
Las medidas de dispersin son las indicadas
cuando queremos evaluar dos o ms
promedios.
Las medidas de dispersin ms conocidas y
utilizadas son la varianza, la desviacin tpica o
estndar.
7.1 VARIANZA ( )
La varianza se define como la media aritmtica
de los cuadrados de las diferencias entre los
valores que toman la variable y su media
aritmtica. Se simboliza en la muestra y en la poblacin.
Datos sin agrupar: al trabajar con datos sin agrupar utilizamos:
=
y
=
EJEMPLO 1.
Con los siguientes datos 5, 3, 1, 6, 10 calcule la
varianza
=
=5 + 3 + 1 + 6 + 10
5= 5
=
=5 5 + 5 3 + 5 1 + 5 6 + 5 10
5
= 9,2
Datos agrupados: al trabajar con datos agrupados utilizamos:
=
y
=
EJEMPLO 2.
Calcular la varianza para las siguientes
distribuciones:
xi ni ni xi (
5
10
15
20
25
2
4
8
5
1
10
40
120
100
25
-9,75
-4,75
0,25
5,25
10,25
-19,50
-19,00
2,00
26,25
10,25
190,1250
90,2500
0,5000
137,8125
105,0625
20 295 - 0,00 523,7500
=
=
29520
= 14,75
=
=
523,7520
= 26,1875
Medidas de dispersin 49
7.2 DESVIACIN TPICA ( )
La desviacin tpica es la raz cuadrada de la
varianza, considerada siempre positiva.
= - y
= -
La desviacin tpica, es la medida de dispersin
ms utilizada y de mayor utilidad, dado que las
unidades son expresadas en la misma de la
variable; mientras que, la varianza se expresan
en las mismas unidades pero al cuadrado.
EJEMPLO 3.
Si la varianza es = 26,1875, la desviacin tpica es:
= - = -26,1875 = 5,12
7.3 COEFICIENTE DE VARIACIN (./)
Se utiliza para comparar la variabilidad entre
dos series de datos. Es frecuente encontrar que
dos series de datos no tienen las mismas
unidades, por lo tanto no podrn compararse
con sus varianzas, entonces el coeficiente de
variacin es un buen aplicativo
01 =
2
01 =
100
EJEMPLO 4.
= 5,12
= 14,75
01 =
100 =5,12
14,75 100 = 34,71%
EJEMPLO 5.
Para la media y la varianza de un conjunto se
han hallado, respectivamente los valores 4 y 25
qu opinin merece la media aritmtica?
01 =
100 =54
100 = 125%
Esta media aritmtica no lo es suficientemente
representativa de la distribucin, debido a
variabilidad tan alta.
7.4 PUNTAJE TPICO O ESTANDARIZADO (5, 6)
Es el estadgrafo de dispersin muy utilizado en
la distribucin normal y en el anlisis de
coeficiente de correlacin, mide la desviacin
de una observacin con respecto a la media
aritmtica en unidades de desviacin tpica,
determinando la posicin de una observacin
dada, dentro de un conjunto de observaciones.
7 =
=
El puntaje tpico sirve para comparar dos o ms
datos individuales, aunque pertenezcan a
distribuciones diferentes, an en casos en que
la media y/o la varianza no coincidan. Se utiliza
a Z cuando la muestra es mayor de 30 y t
cuando es menor
EJEMPLO 6.
En un examen final de estadstica la puntuacin
media de un grupo de 150 estudiantes fue de
78 y la varianza 64. En contabilidad general, sin
embargo, la media final del grupo fue de 73 y la
desviacin 7,6. En que asignatura hubo mayor
a. Dispersin absoluta
b. Dispersin relativa
c. Si un estudiante consigui 75 en estadstica y 71 en contabilidad general en qu
asignatura fue su puntuacin relativa
superior?
50
Carlos Merlano Blanco Estadstica Descriptiva
Solucin
a. Dispersin absoluta =
( = 64 57,76
( 8 7,6
En estadstica hubo una mayor dispersin
absoluta
b. Dispersin relativa CV ;
?>
@
7( 75 78
8 0,37
7 71 73
7,6 0,26
En contabilidad general hubo una mayor
puntuacin relativa del estudiante
7.5 MEDIDAS DE ASIMETRA O DE DEFORMACIN
Una distribucin simtrica no tiene riesgo; si
AB AC consideramos que la distribucin
es normal y tiene la forma de una campana,
denominada de Gauss o normal, ya que el
promedio se ubica en el centro de ella
En los problemas prcticos las distribuciones
dejan de ser simtricas para convertirse en
asimtricas positivas o negativas y las tres
medidas media, median y moda no tienen igual
valor. As:
D AB D AC E 2
G AB G AC H I2
7.6 MEDIDAS DE APUNTAMIENTO (AP)
Kurtosis o estadgrafo de apuntamiento, mide
el grado de agudeza en la cima de la curva que
la representa. Esta agudeza que se observa en
la regin del modo, comparada con las
condiciones halladas para el mismo sitio en la
curva normal, es lo que se llama curtosis.
Si la curva es plana con relacin a la normal, se
denomina platicurtica; si es ms aguda se llama
leptocurtica; si es igual a la normal se
denomina mesocurtica.
AB AC
Leptocrtica
Platicrtica Mesocrtica
Medidas de dispersin 51
7.7 TALLER DE COMPETENCIAS 7
1. Dados los nmeros: 19, 25, 18, 24, 21, y 15 encuentre la varianza, la desviacin tpica,
coeficiente de variacin relativo
2. Un examen presentado por 40 estudiantes se calific de 1 a 50 los resultados fueron:
31 13 34 32 31 29 7 39
27 30 37 36 38 36 29 38
12 41 30 27 11 29 13 26
35 29 34 9 46 12 27 19
41 32 36 38 44 14 39 40
a. Ordene los datos.
b. Construya la tabla de frecuencias agrupadas
c. Calcule la media, la mediana y la moda
d. la varianza, la desviacin tpica, coeficiente de variacin relativo
3. Los salarios semanales (en miles de pesos) pagados a los empleados de la compaa
La Tacaa ltda son como se muestra en
la siguiente tabla:
152 45 125 45 25 48 48 63 48 125
124 78 63 148 85 135 146 122 123 135
125 127 58 35 123 123 65 129 65 65
45 120 52 89 56 118 75 135 104 69
64 87 85 87 65 65 87 178 97 107
87 96 62 96 78 78 96 89 85 87
98 66 45 84 73 105 125 120 125 152
125 129 56 105 45 130 100 129 135 77
139 135 125 120 65 127 106 17 127 89
150 120 46 63 56 126 126 106 126 65
Construya una tabla de frecuencias
acumuladas, empleando las tcnicas
estadsticas aprendidas para ello y
encuentre las medidas de tendencia
central y las medidas de desviacin
4. El administrador de la tienda de ropa para nio El Agchate registr el nmero de
prendas vendidas en un da durante el
ltimo mes. Los resultados son:
15 32 24 18 28 32 10
25 32 25 16 28 16 10
40 26 19 9 17 35 29
16 38 19 9 16 20 16
38 24
a. Construir un cuadro de frecuencias agrupadas, utilizando las reglas dadas
anteriormente.
b. En un mismo plano, dibuje el histograma y el polgono de frecuencia. Haga una
interpretacin del mismo
c. En un mismo plano dibuje las ojivas.
d. Determine la mediana, la moda y la mediana
e. El cuartil 3, el decil 3, el percentil 70
f. Realizar el anlisis estadsticos de acuerdo con la informacin del cuadro y
las calculadas
g. Calcule la varianza, la desviacin tpica, coeficiente de variacin relativo
5. En el departamento mdico del colegio El descalabrado se mantiene un registro de
las estaturas, en centmetro, de los
estudiantes de los grados noveno y
dcimo. A continuacin, se muestran estos
datos.
Noveno Dcimo
174 159 147 153 144 175 200
144 197 170 176 180 200 160
170 130 157 178 156 199 139
161 182 144 142 137 197 158
171 153 133 191 136 134 144
162 183 169 180 142 149 144
186 200 138 170 150 152 150
135 168 153 200 162
a. construir un cuadro de frecuencias agrupadas para cada uno de los grados,
usndolos intervalos: 130 a 139, 140 a
149, etc.
b. Construir los histogramas de frecuencias para cada uno de los grados
52
Carlos Merlano Blanco Estadstica Descriptiva
c. En el mismo plano y usando colores diferentes para cada grado, construir los
polgonos de frecuencias
correspondientes.
d. En el mismo plano y usando colores diferentes para cada grado, construir las
ojivas correspondientes.
e. De acuerdo con los polgonos, establecer las semejanzas y diferencias entre los
estudiantes de grado dcimo y noveno.
f. Calcule para cada grupo la varianza, la desviacin tpica, coeficiente de variacin
relativo
g. Utilizar las tablas de frecuencias, la media aritmtica, la moda y las medidas de
dispersin para establecer las semejanzas
y diferencias entre los estudiantes de
grado dcimo y noveno.
6. Se pregunt a 32 nios, del mismo estrato, entre 4 y 9 aos sobre las horas que
dedican a ver televisin en un da hbil de
la semana. Los resultados son:
4 5 5 5 4 5 6
8 5 5 5 3 6 6
4 4 4 4 4 6 7
7 4 4 5 3 7 5
3 4 5 7
a. Construir una tabla de frecuencias agrupadas, utilizando las reglas dadas en
esta seccin.
b. En un mismo plano, dibuje el histograma y el polgono de frecuencia. Haga una
interpretacin del mismo
c. En un mismo plano dibuje las ojivas.
d. Realizar el anlisis estadsticos de acuerdo con la informacin del cuadro,
las grficas y la medidas de tendencia
central y las medidas de dispersin
7. Determine la medidas de tendencia central y de dispersin con la informacin que se
sumista
Intervalo Frecuencia
27,5 32,5
32,5 37,5
37,5 47,5
47,5 62,5
2
5
6
3
8. Los jornales por hora de los operarios de Industrias Manufactures el Mocho son:
62 58 57 46 45 46 44 50 49 43
51 47 42 43 41 37 40 54 39 30
43 38 52 55 37 41 42 54 38 53
32 52 36 46 42 52 30 37 52 36
40 42 47 43 49 45 50 43 58 46
64 47 46 50 40 44 45 45 57 51
a. Elabore un cuadro de frecuencias agrupadas.
b. Dibuje el histograma, el polgono de frecuencia y las ojivas.
c. Determine las medidas de tendencia central
d. Y la varianza, la desviacin tpica, coeficiente de variacin relativo
9. En la institucin educativa El Machete se efectu un estudio para analizar la
capacidad intelectual; se trabajo con 40
alumnos que registraron las siguientes
puntuaciones:
161 138 146 168 146 164 158 126
145 173 138 150 140 135 142 178
147 132 142 147 150 153 145 128
140 165 135 152 149 144 144 136
163 135 118 148 125 153 154 157
a. Elabore un cuadro de frecuencias agrupadas.
b. Dibuje el histograma, el polgono de frecuencia y las ojivas.
c. Calcule las medidas de tendencia central y las medidas de dispersin
d. Realice los anlisis correspondientes