EL JUEGO.
Por lean-Charles MOREUX
DE PITAGORAS A VITRUVIO:"SYMETRIA" I
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mensurabilidad entre el todo y las partes. Principios que conducen a la Harmonía. Harmonía de los elementos arquitectónicos con el conjunto de un edificio. Harmonía entre los miembros yel cuerpo del hombre, que considera como un Microcosmos. En fin, euritmiaideal del Microcosmos y del Macrocosmos, es decir del hombre y del Universo. 3
y fue sobre estos principios básicos,sobre estas sublimes proporciones, como se fundaron las teorías filosóficas,esréticas y científicas de los gnósticos,de los cabalísticos,' de los pre-humanistas de la Edad Media, y de los humanistas del Renacimiento. Los geómetrasde la antigüedad, nos han dejado innumerables figuras, cuyos trazos se aplicana las artes, tales como el tri{lI1gulo cuyos lados tienen 3, 4 Y 5 unidades delongitud, y que es rect{lllgulo u ortogonal, puesto que 32 + 42 = 52. Estetriángulo tuvo gran importancia en laantigüedad; era sagrado y su recíprocallevaba, entre los persas, el nombre deH ennana de la desposada. Platón lo sitúa en su número nupcial, Plutarco, enlsis y Osiris, le llama "el más bello delos triángulos". Tiene además la siguiente propiedad: 63 = 33 + 43 + 53. Citemos también el triángulo equilátero oisopleure y el triángulo sublime cuyoángulo en el vértice es de 3ho.
De estos triángulos han surgido losrectángulos harmónicos: 3/4, 3/5, 4/5en donde la relación de los lados es <Den el que la altura es 1 y las basess1l.Cesivamente iguales a~ y2, y3, y4,(o 2) y5 (serie de Fibonacci) . 4
Todos estos trazados los aplicaron losescultores, pintores, ceramistas y sobretodo los arquitectos. Todos contienenun carácter criptográfico, pero con unpoco de experiencia y mucha prudencia, es relativamente fácil comprenderlo.Encontramos los primeros vestigios, entre los egipcios, en la forma y en lasección de las Pirámides (las cuales son
SABIO
Armario con símbolos, en maqueta. (En el estudio del Duque de Urbina.)
racteriza solamente algunas corrientesdel arte y del pensamiento, preocupadapor la nobleza hierática y ya, en ciertosentido "reaccionaria". Había con todoel apoyo de la investigación matemática, que ilustran en Alejandría un Nicomaco de Gerasia y los maestros de laAcademia platónica: Teofrasto, Eude·.mo, Eudoxio de Cnido y Menecmo, antes de los descubrimientos de Euclidesy de Arquímedes. La segunda época alejandrina, caracterizada por el sincretismo - de los neoplat' nicos durante losprimeros siglos de la era cristiana, viouna nueva conjunción de la "cienciaesotérica" y de la filosofía religiosa, conManelao, Tolomeo, Proclo y, más tarde el romano Boecio que fue durantela Edad Media el eminente defensor detodas estas especulaciones. 2
Entre las raras obras de estos filósofosabstrusos, de sus apologistas y de susgeómetras citaremos: El iéTOS logos atribuido a Pitágoras según Jámblico. ElEpinomis, el Teeteto y el Timeo dePlatón. El De Divisionibus (o Divisiónde los polígonos de Euclides. El libTOde los rectángulos y el Tmtado de lostrece poliedTOs semi-regulares de Arquímedes, Syntaxismathématica o A lmageste de Tolomeo, el manual de Harmonía,los Theologumenes aritméticos de Nicomaco de Gerasia. Pero conviene dcjarun lugar muy especial a De Architectum de M. P. Vitruvio (85 a. J. c., 25 a..J. C.) en el cual desarrolla con unaclaridad relativa los principios pitagóricos de la analogía y de la simetría.El primero se refiere al uso de las proporciones y a la equivalencia de lasrelaciones que engendran formas semejantes recurrentes. El segundo que no'tiene el sentido moderno de la semejanza concurrente sino el sentido de con-
(1398) .UA'fS sine sciencia nihil."Jean Vignot, magíster operis
LA TRADICION ESOTERICAEN EL ARTE
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L A. ARQUITECTURA es el modelo de. todo -arte: pues ella puede mejorarque ninguna otra forma est~tica
sujetarse a una norma a la vez ul1lversal y secreta. El edificio de piedra no esmás que la materialización más o menos ríerfectade un sólido invisible y puro: una figura, totalmente matemáticay transparente la exalta y la justificaa los ojos de ese observador ideal delcual Platón, Leonardo, Valéry, han evocado, sucesivamente, su severidad y susexigencias admirables. La belleza, es,según estos maestros, evocación, disfrute y, en cierto modo, p~sesión del orden cósmico más secreto. Esta obsesiónque añade al arte el prestigio de la ciencia, y no se sabe qué sortilegio esotéricoha marcado épocas enteras, esta lejos deser extraiía a las formas más osadas delarte contemporáneo. Esta búsqueda hacaracterizado y caracteriza tal vez profundamente al Occidente, y es su historia la que va a ser abocetada aquí.
Desde el origen de las civiliza~i~mes
existían doctrinas secretas transmItIdas,oralmente, sólo a los iniciados. :Estasdoctrinas son las llamadas acroamáticasy esotéricas. Es así como, en una cartade Alejandro a Aristóteles, Plutarc~ lehace decir: Has hecho mal en pubilcartus tmtados acroamáticos. Estas doctrinas fueron mágicas en sus cOl:nienzo~,
tendiendo, insensiblemen te, haCia la filosofía y las ciencias.
Uno de los filósofos griegos más antiguos, es tal vez Ferecides que vivióhacia el año 600 antes J. C. y que tuvopor alumno a Pit,ígoras de Samas, elcual fundó la escuela itálica de Crotona, donde los alumnos eran admitidossolamente después de un largo y severonoviciado. Pitágoras dio los númeroscomo principio de las cosas; teniendo,los números en sí mismos como principio la unidad o mónada. Identificabaa Dios como la memada de las món:ldas, o sea con la unidad absoluta y primordial. Por último afirmab:l que losdiez primeros números estaban dotadosde virtudes, y que el número diez cr:lperfecto o divino.
Esta enseñanza prestigiosa que fundaba una ética, un:! metafísica y una estética nuevas basadas en la ciencia dclos números fecundó todo el p~nsamien
LO griego. Asimilada por Platón, dominó las especulaciones del Timeo y delCritias, lo mismo que pJ.saba en la pr,íctica en los talleres de arquitectura y dee:;cultura. Pero incluso las polémicas entabladas por Platón contra' el arte desu tiempo prueb:m que, desde el sigloIV, no siempre se había respetado el rigor primitivo de la doctrina. 1 Desde elfin de la antigüedad y durante el período romano, l::t tradición "sabia" Gl
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DIseño para la catedral de Milán
cumbres de conocimientos). Entre losgriegos los encontramos en sus t,e~plo~.El gran templo de Poestum esta mscnto en un rectángulo 3/5. El Arsenal delPireo, está regulado por dos triángulosadosados 3/4/5, etc.
"EL ARTE DE LA GEOMETRIA",EN LA EDAD MEDIA
N uestro conocimiento de la Edad Media no es muy profundo, por tanto nopodemos dar entre los siglos VIII Y XIII,
sino algunos nombres, de los cuales varios brillan como diamantes negros:Alcuin, Geribert, el futuro papa Silvestre n, el Papa del año mil. Mucho mástarde, en la mitad del siglo XI{, Abelardo de Bath y Gerardo de Cremona, tradujeron a Euclides según una versiónsarracena. En el siglo XIII, Leonardo dePisa escribió la P¡'áctica geométrica,obra inspirada en los trabajos árabes.R. Bacon y Raymundo Lulio, esos dosespíritus universales. En la misma época, Campanus de Novare y DominicusParisiensis redactaron dos tratados deGeometría casi al mismo tiempo quela Geometria speculativa del Arzobispoinglés Bradwardin. Mencionemos aquí,el inestimable álbum del "magister operi" Villard de Honnecourt que, segúnsu propio decir, es "un método paradibujar a línea, según el arte de le geometría lo manda y enseña". Por últimoa mediados del siglo XIV, Rosenkrutzprobó a renovar la doctrina de los neopitagóricos, que reiniciaron, sucesivamente J. Valentín Andrea (hacia 1614)y en el siglo XIX el Sal' Peladán.
Los maestros de obra guardaban celosamente sus secretos inspirados por lospitagóricos y no los transmitían más quepor tradición oral. 5 El álbum de Villardde Honnecourt, que es una excepetónnos permite ver cómo los planos y lasfachadas de las catedrales eran ~l resultado de trazados rectangulares barmónicos y cómo las figuras humanas ylos adornos, obedecían a formas trianguIares. o poligonales. Las "Cuadraturas" de los maestros góticos proceden deuna búsqueda geometrizante que se remonta lejanamente a Vitruvio, cuyo
prinCIpIO final está expuesto en l~s definiciones del Meno y del Tzmeo_Se puede decir en este sentido que "elsecreto de los albañiles de la Edad Media se deriva remotamente de Platón".N uestra Señora de París está construidacon nueve rectángulos 3/2 (proporcióndada en el Critias a propósito de laAtlántida). Podemos añadir que raravez se encuentran figuras escritas -siosáramos hacer esta metáfora- en cartas de piedra, como el pentagrama de lagran rosa de Amiens y el rosetón de laSanta Capilla.
Independientemente de sus implicaciones esotéricas, el recurrir a las proporciones, como regla arquitectónica,era una receta p(áctica indispensablf1para compensar la ausencia de unidadmétrica en los talleres. Las discusionesque, más adelante, se han multiplicadoen torno a la conclusión de la catedralde Milán, revelan claramente las antiguas preocupaciones de los maestros deobra. Antonio di Vicenza, y más tardeStornáloco fueron llamados en consultaen 1390 y 1391, Y sus discusiones no fueron sino "una disputa entre los partidarios del cuadrado, del triángulo pitagórico y del triángulo equilátero". En elmomento en que las antiguas sociedades artesanales de maestros de obra comienzan a disolverse, se revelan así susprocedimientos de cálculo y el espíritud€ su arte. Estaban por otra parte máso menos reinterpretados a la luz de losnuevos textos esparcidos por el humanismo y la imprenta, y es así que Cesare di L. Cesariano, que fue en un momento el alumno de Bramande, ilustrasu Vitruvio con el famoso trazado de"Triangulación" de la catedral de Milán, que es la coronación y tal vez ladesviación final del 'Arte geométrico"de la Edad Media.
EL "NUMERO DE ORO"Y EL ARTE MODERNO
En la época del Renacimiento, losarquitectos abrazan con entusiasmo elpensamiento de los filósofos, traducen einterpretan a Vitruvio (entre 1486 y1609, se hicieron más de 30 ediciones)y crearon obras originales aplicando lasteorías geométricas, aritméticas y modulares revivificadas.
L. B. Alberti encarna, por antonoma- .sia, el arquitecto humanista. 6 Fijará enDe re aedificatoria las leyes de la harmonía aplicadas a la arquitectura pormedio del Numerus o número regidorde las proporciones; por la Finitio quees el límite del número, por la Figuraque es la línea melodiosa, y, en fin, porla Collocatio o buen reparto de las partes del edificio previamen te determinadas por el número. Encierra de unamanera ideal la construcción en unacaja transparente y regula las relacionesnuméricas entre las tres dimensiones:anchura, largura y altura, utilizandociertas relaciones-tipo "mediaciones" (enlatín mediocTitas) que desarrolla en seguida en el interior del edificio por eljuego analógico de las partes. Ahora.bien, estas "relaciones" fundamentalesson precisamente las que habían establecido los pitagóricos y que Platón habíasituado en el principio de "el alma lidmundo". 7 Nunca se ha manifestado conmás claridad que en el Renacimiento, elpaso de la Cosmología a la Estética, yla preocupación por la belleza como"cálculo escondido del alma".
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Paolo Uccello, D. Barbara, A. Durero, se apasionan por los mismos asuntos, los estudian y los adaptan a su arte.y es así como vemos a Paolo Uccello dibujar sólidos denominados mazzochi queson torés, donde se inscriben las partesde polígonos o de poliedros regulares, 8
a Leonardo de Vinci trazar con tantaprecisión los poliedros regulares y semiregulares de la Divina .proportione; aDurero grabar las figuras de sus cuatrolibros llamados: GeometTÍa de la simetría del cuerpo del hombre y su Melancolía con 'su indefinible y misteriosa solidez; a Christofer Jammitzer ilustraruna Perspectiva C01'porum Regular'ium;a Rafael el amplio quicio de las ventanas de las "Stanze", en el Vaticano,pintar, ilusionariamente, dos armariosentreabiertos, en cuyos entrepaños hayun icosaedro, un dodecaedro, el huevosimbólico de la creación y algunos instrumentos de matemáticas; a J. de Barbari, en su cuadro de Nápoles, representar al maestro-geómetra Luca Paccioli y un discípulo, a los cuales un dodecaedro y un icosaedro parecen servir detema de iniciación.
Luca Paccioli di Borgo, en su tratado intitulado De Divina Pmportione(1509), reinventará, según Euclides y
Tolomeo, la forma de dividir una rectaen media y extrema razón. Demostrará,en fin y sobre todo, cómo esta divisiónpuede intervenir en la composición dela obra de arte y, hecho esto, cómo puede generar belleza. Esta divina proporción se llama también sección de OTO,
correspondiente a un invariante que losmatemáticos actuales designan por laletra <I> y cuyo valor es \/5 + 1. Kepler
2apreciaba su gran valor y la consideraba, con el teorema de Pitágoras, con"las dos joyas de la geometría". El número <I>, y por tanto, la sección de orose encuentran en el trazado de los polígonos (pentágono, decágono y sus de-
Rosetón de la catedral de Amiens
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Instrumento de cálculo y símbolos del esoterismo
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rivados estrellados), así como en la relación entre las aristas del dodecaedroy del icosaedro. Estos dos poliedros regulares forman con el cubo, el octaeuroy el tetraedro, los cinco cue1'pos platónicos citados en el Timeo, teniendo unarepresentación tanto física como metafísica. Pietro de la Francesca los estudió en su Quinque Corporibus y lesañadió los poliedros semi-1'egulares deA1'químedes. ¿No es este el momento deseñalar la fundación por Cosme de Médicis, de la Academia Platónica quereunía a Ficino, Alberti, el griego Plethon y, más tarde, Pico de la Mirandola,que trataron de hacer la santa alianzade la doctrina pitagórica y del dogmacatólico por el trujamán Hermes Trismegisto?
Entre los autores de tratados, hay queanotar particularmente a: D. Barbara,Cataneo, Labacco, Lomazzo, Rusconi,etc. Pero es sobre todo en Andrea Palladio donde conviene detenerse. En susQuatro lib,·i del['Architettura, da lamanera de trazar, armoniosamente,planos, cúpulas y fachadas por mediode los números. Se puede constatar enestas creaciones los más imprevistos resultados, ya sea en Vicencio (basílica),en Venecia (iglesia de San GiorgioMaggiore o de San Francesco della Vigna); (villas: Rotonda, Maser, Malcontenta), etc. 9
En Francia, las teorías arquitectónicas humanistas fueron introducidas porlos aristas llamados por los reyes: FraGioconco, D. de Cortane, Serlio y Leonardo, que fue a morir allí.
Alberti fue traducido desde ]51~ yVitruvio, por Jean Martin (1547). Ph.Delorme publica, en 1541, su Primer libro de arquitectura que será la bibliade los arquitectos franceses. Iba a publicar un segundo libro en el cual sehabría extendido particularmente .wbr-elas proporciones, como nos dice en suprimer escrito: "Pero sobre el discursode tales proporciones, no debo extenderme más, puesto que en el segundotomo de Las divinas proporciones (elcual espero hacer imprimir si Dios meda gracia), veréis no sólo el medio ynuevo invento para hacer las cornisas,sino también" cómo encontrar todas lasproporciones de toda clase de planos yedificar las construcciones que deseéis,basándose en las medidas del cuerpohumano." No lo escribió, desgraciadamente, lo que no le impidió probarnosen sus obras construidas el uso admirable de tales principios. La capilla delcastillo de Anet ¿no es una especie dehomenaje a la geometría? Freart deCambray, A. Bosse, Le Muet (que dioa conocer en Francia Palladio) C. Perrault, J. F. Blondel fueron los continuadores de Ph. Delorme. Descubrimossin cesar, diseños geométricos o relaciones armónicas en las composiciones delos grandes arquitectos del pasado. Perrault y Gabriel dividen, según la sección de oro, la fachada del Louvre ylas de los pabellones de la plaza de LaConcordia donde se refleja en las fajasdel primer piso. C.-N. Ledoux aplica,a sus fachadas de las murallas de París,el trazado de rectángulos armónicos(2, 3, 4, 5). 10 Pero, insensiblemente, se
diluye esta sabia teoría de las propor-ciones y desaparece en el siglo XIX. Ennuestros días, ciertos autores y distinguidos artistas rec?bran un poc<? del entusiasmo que antIguamente ammaba alos amigos de Cosme de Médicis, redes-
cubren los textos, los números y lostr~zados puestos al alcance del hombrepara crear belleza. Pero como escribePaul Valéry, a propósito de <1>: "Estenúmero no debe ser ciega y brutalmente utilizado. Hay que mirarlo como uninstrumento que no prescinda de la habilidad y de la inteligencia del artista."y dice también y ésta será la conclusiónfinal de nuestra exposición: "El secretl)seduce y estimula."
NOTAS
1 P. M. Schuhl, Platón y d al·te de sutiempo. París, 1933.
2 E. Delatte, Estudios sobre la literaturapitagórica. París, 1919; y sobre el conjunto delmovimiento la obra de divulgación de M. C.Ghyka, El númeTO de OTO, ritos y ritmos pita·góricos en el desarrollo de la civilización occidental, 2 vol. París, 1931.
3 Sobre la dirección de la enseñanza deVitruvio, J. Ch. Moreaux, Histo"ia de la arquitectuTa, col. "Que sais-je" No. 18. reed.1948.
4 Sobre estos ritmos y estas series, M. C.Ghyka, Estética de las jJrolJorciones en la na·tumleza y en las artes. París, 1927, c. 4 y 5.
5 Fuera de capítulo de H. Focillon, El a.-tede los escult01'es romanos. París, 1925, en loque concierne a la escultura, para la arquitectura se puede recurrir a G. Dehio, Untersuchungen übe,' das Gleichseitige Dreieckals Non.nGotischer ProportlOnen, Stuttgart, 1894, y masrecientemente a P. Frankl, The secret of themedieval masons, en The Art Bulletin, XXVIt
(1945), pp. 46-59, seguido de un estudio de E.Panofsky sobre la fórmula llamada de Stomaloco.
6 P. H. Michcl, El pensamiento de L. B.A lbe·rti. París, 1933, y del mismo: Una aplica·ción de las meditaciones pitagóricas a la esté·tica arquitectónica en Mezclas de filosofía, dehistoria y de literatura, editado por H. Hauvette, París, 1934, pp. 181-189, del cual tomamoslos pasajes citados en la nota siguiente.
7 Los griegos llamaban mediaciones a "ungrupo de tres números, de los cuales dos desus diferencias tenían entre ellas la misma relación que dos de estos números", de los cuaJes distinguían tres principales:
a-m aari tmética: ---- - 1 es decir a + b
m-b a
- 2 ma-m a
geométrica: ---- - - o sea ab - m3m-b ma-m a
armónica:m-b b
Sobre las tres "mediaciones pitagórícas" en laantigüedad: P. Tannery, Ciencias exactas el/.la antigüedad. París, 1912, J, p. 90.
8 G. 1. Kern, Der "mazzocchio" das PaoloUccello, en ]ahrbuch del' P,·euss. Kunstsalll'>'lungen, XXXVI, (1915) '. G. Nicco. Fasola, . ed.crit., del De prospettlVa pmgendl, de p¡erodella Francesca, Florencia, 1942.
9 Ver el estudio decisivo de R. Wittkower,PrincilJles of Palladio's A"chitecture, I y 11, ell
]oumal of the Warburg and Cou.-tauld 1nstitutes, VII, (1944), Y VIII, (1945), sobre el fu~
damento "platónico y pitagórico" de la arqUItectura pallatlina y el artículo reciente de J.Ch. Moreux, Las Villas de Andrea PalladLO enA,·te y Decomción, No. 12 (primavera, 1949).
10 J. Raval y J. Ch. Moreux, Nicolas Ledoux. París, 1947.
(Tmducción de Pío Gil)