Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
Matemática para Computación 1
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CLAVE-960-1-M-1-00-2018sB
CURSO: Matemática para Computación 1
SEMESTRE: Primer
CÓDIGO DEL CURSO: 960
TIPO DE EXAMEN: Primer Parcial
FECHA DE EXAMEN: Abril 2018
REVISION DEL EXAMEN: Lic. Carlos A. Morales S.
SOLUCION DEL EXAMEN: Luis Ramírez
COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz
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FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS MATEMATICA DE COMPUTO 1 1er. Examen parcial Lic. Carlos A. Morales S. abril/2018 Aux. Luis Ramírez
TEMARIO “LGSR”
TEMA 1 (24/100) a) Construya la tabla de verdad de la proposición compuesta:
(¬p nor ¬q) ⇔ (r nand s)
b) Expresar el conectivo ⇒ solamente en términos del conectivo nor TEMA 2 (25/100)
a) Utilice el método de inducción matemática para demostrar:
𝟐(𝟒) + 𝟒(𝟔) + 𝟔(𝟖) + ⋯ + 𝟐𝒏(𝟐𝒏 + 𝟐) =𝟒
𝟑𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)
b) Demostrar por contradicción: √𝟑 es irracional TEMA 3 (18/100) Utilice reglas de inferencia y equivalencias lógicas para demostrar que el siguiente argumento es correcto:
𝐩 ⇒ 𝐪 𝐪 ⇒ 𝐬
𝐫 ⇒ 𝐬 ____𝐩_____ ∴ (𝐬 ∧ 𝐪) ∨ 𝐰
TEMA 4 (15/100) Negar las siguientes proposiciones:
4.1 ∀ 𝐱 ∈ 𝐑, ∃ 𝐧 ∈ 𝐍, √𝐧 > 𝐱 4.2 x es par si y sólo si x no es divisible por 3
4.3 (𝐩 ⇒ ¬𝐪) ∧ r TEMA 5 (18/100) Utilice tablas de verdad para demostrar que:
(𝐩 ∧ (𝐪 ∨ 𝐫)) ⇔ ((𝐩 ∧ 𝐪) ∨ (𝐩 ∧ 𝐫))
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SOLUCIÓN DEL EXAMEN
Tema 1: 24 puntos a) Construya la tabla de verdad de la proposición compuesta: (¬p nor ¬q) ⇔ (r nand s)
p q r s ¬p ¬q (¬p or ¬q) (¬p nor ¬q) (r and s) (r nand s) (¬p nor ¬q) ⇔ (r nand s)
0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0
0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1
0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0
0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1
1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1
1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0
b) Exprese el conectivo ⇒ solamente en términos del conectivo nor
Proposición Propiedad
𝒑 ⟶ 𝒒 Premisa ¬𝒑 ∨ 𝒒 Implicación
¬(𝒑 ∨ 𝒑) ∨ 𝒒 Ley de Idempotencia (𝒑 ↓ 𝒑) ∨ 𝒒
¬¬[(𝒑 ↓ 𝒑) ∨ 𝒒] Doble Negación ¬[(𝒑 ↓ 𝒑) ↓ 𝒒]
¬[((𝒑 ↓ 𝒑) ↓ 𝒒) ∨ ((𝒑 ↓ 𝒑) ↓ 𝒒)] Ley de Idempotencia
((𝒑 ↓ 𝒑) ↓ 𝒒) ↓ ((𝒑 ↓ 𝒑) ↓ 𝒒)
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Tema 2: 25 puntos
a) Utilice el método de inducción matemática para demostrar:
𝟐(𝟒) + 𝟒(𝟔) + 𝟔(𝟖) + ⋯ + 𝟐𝒏(𝟐𝒏 + 𝟐) =𝟒
𝟑𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)
Base: Para 𝑛 = 1
𝟐(1)(2(1) + 2) =4
3(1)(1 + 1)(1 + 2) = 8 = 8
Hipótesis de Inducción
Para 𝑛 = 𝑘
2(4) + 4(6) + 6(8) + ⋯ + 2𝑘(2𝑘 + 2) =4
3𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
∑ 2𝑖(2𝑖 + 2) =4
3𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
𝑘
𝑖=1
Tesis: Para 𝑘 + 1
[∑ 2𝑖(2𝑖 + 2)
𝑘
𝑖=1
] + 2(𝑘 + 1)(2𝑘 + 2) =4
3(𝑘 + 1)((𝑘 + 1) + 1)((𝑘 + 1) + 2)
4
3𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) + 2(𝑘 + 1)(2(𝑘 + 1) + 2) =
4
3(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)
Expresión Procedimiento 𝟒
𝟑𝒌(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐) + 𝟐(𝒌 + 𝟏)(𝟐(𝒌 + 𝟏) + 𝟐)
Factorizar 2 de la expresión (2(𝑘 + 1) + 2)
𝟒
𝟑𝒌(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐) + 𝟐(𝒌 + 𝟏)(𝟐((𝒌 + 𝟏) + 𝟏))
Operar la expresión (2((𝑘 + 1) + 1))
𝟒
𝟑𝒌(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐) + 𝟐(𝒌 + 𝟏)(𝟐(𝒌 + 𝟐))
Operar la expresión 2(𝑘 + 1)(2(𝑘 + 2))
𝟒
𝟑𝒌(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐) + 𝟒(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐)
Factorizar 4(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) a la expresión
𝟒(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐) [𝟏
𝟑𝒌 + 𝟏] Operar
1
3𝑘 + 1
𝟒(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐) [𝒌 + 𝟑
𝟑]
Reescribir la expresión
𝟒
𝟑(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐)(𝒌 + 𝟑)
Conclusión: La expresión cumple para todo número entero mayor a 1
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b) Demostrar por contradicción √3 es irracional
Fundamento Lógico
¬ 𝒑 ⟹ 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒊𝒄𝒄𝒊ó𝒏
∴ 𝒑 Inicio
p : √3 es irracional
¬p : √3 es racional Hipótesis Auxiliar Definición de un racional
∃ 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑎, 𝑏 ≠ 0/ 𝑟 =𝑎
𝑏∧ 𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑏) = 1
Por definición
√3 =𝑎
𝑏 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 ≠ 0 ∧ 𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑏) = 1
√3 =𝑎
𝑏
√3𝑏 = 𝑎
3𝑏2 = 𝑎2 𝑎2 es divisible por 3 implica que 𝑎 es divisible por 3; sea 𝑎 = 3𝑘
3𝑏2 = (3𝑘)2 Sustituir 𝑎 por 3𝑘
3𝑏2 = 9𝑘2 De Igual manera para b
𝑏2 = 3𝑘2
Contradicción
3 es divisor de a y b y 𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑏) = 1 contradicción por lo tanto √3 es irracional
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Tema 3: 18 puntos
p ⟹ q q ⟹ r r⟹s
p___ ∴( s ∧ q) ∨ w
Pasos Razón 1 p → q Premisa 2 q → r Premisa 3 p → r Silogismo hipotético
Pasos: (1) y (2) [(p → q) ∧ (q → r)] ⇒ (p → r)
4 r → s Premisa 5 p → s Silogismo hipotético
Pasos: (3) y (4) [(p → r) ∧ (r → s)] ⇒ (p → s)
6 p premisa 7 s Método de Separación
Pasos: (5) y (6) [( p → s) ∧ p] ⇒ s
8 q Método de Separación Pasos: (1) y (6) [(p → q) ∧ p] ⇒ q
9 s ∧ q Conjunción Pasos: (7) y (8)
10 (s ∧ q) ∨ w Adición Pasos: (9), w
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Tema 4: 15 puntos Negar las siguientes expresiones
4.1 ∀ x ∈ R, ∃ n ∈ N, √n > x
∃ x ∈ R, ∀ n ∈ N, √n ≤ x 4.2 x es par si y sólo si x no es divisible por 3 Utilizando el conectivo o exclusivo: ó
x es par ó x no es divisible por 3 Utilizando los conectivos y, o p: x es par q: x no es divisible por 3
𝑝 ⟷ 𝑞 Proposición (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝) Doble Implicación
¬[(𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝)] Negación
¬(𝑝 → 𝑞) ∨ ¬(𝑞 → 𝑝) Ley de DeMorgan
¬(¬𝑝 ∨ 𝑞) ∨ ¬(¬𝑞 ∨ 𝑝) Implicación (𝑝 ∨ ¬𝑞) ∨ (𝑞 ∧ ¬𝑝) Ley de DeMorgan
x es par y x es divisible por 3 o x no es divisible por 3 y x no es par
4.3 (p ⇒ ¬q) ∧ r
(𝑝 ⇢ ¬𝑞) ∧ 𝑟 Proposición
¬[(𝑝 ⇢ ¬𝑞) ∧ 𝑟] Negación ¬[(¬𝑝 ∨ ¬𝑞) ∧ 𝑟] Implicación
¬(¬𝑝 ∨ ¬𝑞) ∨ ¬𝑟 Ley de DeMorgan (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ¬𝑟 Ley de DeMorgan
(𝒑 ∧ 𝒒) ∨ ¬𝒓
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Tema 5: 18 puntos Utilice tablas de verdad para demostrar que:
(p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))
p q r 𝐪 ∨ 𝐫 𝐩 ∧ (𝐪 ∨ 𝐫) 𝐩 ∧ 𝐪 𝐩 ∧ 𝐫 (𝐩 ∧ 𝐪) ∨ (𝐩 ∧ 𝐫)
(𝐩 ∧ (𝐪 ∨ 𝐫))
⇔ ((𝐩 ∧ 𝐪) ∨ (𝐩 ∧ 𝐫))
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0 0 0 1
0 1 1 1 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 1 1 1 0 1 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
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