Diapositiva 1
Docente: Elmo David Leonardo Fabin CICLO 2014-IInidad: I Semana: 1CALCULO DIFERENCIAL
LMITE DE FUNCIONESSemana 05
NOCIN DE LMITE DE UNA FUNCINLMITE
ACERCAMIENTO Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se aproxima a un valor a, podemos escribir:
SABERES PREVIOS -EJEMPLO 1Lim f(x) no existex 1
y
x1
521
Qu ocurre con f(x) cerca de x=1?
SABERES PREVIOS- EJEMPLO 2Qu ocurre con f(x) cerca de x=1?Lim f(x) = L =2x 1
y
x1
532
SABERES PREVIOS - EJERCICIO 3Qu ocurre con f(x) cerca de x=1?Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1)x 1
x1y
521
SABERES PREVIOS - EJEMPLO 4Dado el grfico de f(x) :
35
-33-2
xf(x)
3.5
Encuentre:
DEFINICIN FORMAL DE LMITE
Definicin formal de lmite:Consideremos un intervalo abierto que contenga al nmero a. Sea f una funcin definida en todos los nmeros del intervalo excepto posiblemente en a y sea L un nmero real. Entonces:
Significa que para todo > 0 existe una > 0 tal que: Si 0 < | x a | < , entonces | f (x) L | <
Interpretacin geomtrica:
L + a - La -
aL -
Ejemplo:1. Sea la funcin f definida por f (x) = 4x 7. Suponiendo que
a) Utilizando una figura, para = 0.01, determinar una > 0 tal que si 0 < | x 3 | < entonces | f (x) 5 | < 0.01b) Usando las propiedades de las desigualdades, determinar una > 0 tal que si 0 < | x 3 | < entonces | f (x) 5 | < 0.01
Solucin:
5.014.9953x1x2
f (x) =4 x - 7
Solucin a)
4 x1 - 7 = 4.99 4 x2 7 = 5.01
Como 3 2.9975 = 0.0025Y 3.0025 3 = 0.0025Se elige = 0.0025, de tal forma que 0 < | x-3| < 0.0025 entonces | f (x) 5 | < 0.01 Lo cual es verdadero.
Solucin b) Para toda > 0 y > 0, se debe cumplir que:
Donde a = 3, L = 5 y f (x) = 4 x 7, = 0.01Entonces:0 < | x - 3 | < si y slo si | (4x 7) - 5 | < 0.01
Tomando la segunda ecuacin: | (4x 7) - 5 | < 0.01 ; | 4x 7 - 5 | < 0.01 | 4x 12 | < 0.01 : | 4 (x 3 ) | < 0.01 | 4 | | x 3 | < 0.01 ; 4 | x 3 | < 0.01
Si tomamos
entonces:0 < |x - 3 | < si y solamente si | (4x 7) - 3 | < es verdadero!
Puesto que: 0 < | x - 3 | < 0.0025 4 | x - 3 | < 4 ( 0.0025 ) | 4 (x 3) | < 0.01 | 4x - 12 | < 0.01| ( 4x 7) - 5 | < 0.01 | f (x) - 5 | < 0.01
QUEDA DEMOSTRADO!
PROPIEDADES DE LMITES
, c es una constante.
si n es par f(x)>0
Lmite de funciones Polinmicas, Racionales e IrracionalesRecurdese que una funcin polinomial f tiene la forma:
En tanto que una funcin racional f es el cociente de dos funciones polinomiales; esto es,
Lmite de una funcin polinomial y racional:Si f es una funcin polinomial o una funcin racional:
Siempre que el valor del denominador para c no sea cero, en el caso de una funcin racional.
Ejemplo 1: Hallar el siguiente lmite
Ejemplo 2: Hallar el siguiente lmite
Ejemplo 3: Hallar el siguiente lmite
EJERCICIOS - Hallar los siguientes limites:
3)5)
Top Related