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Vaciado deVaciado deTanquesTanques
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Pr oblemaPr oblema
Un r ecipiente con una seccin t r ansve r salUn r ecipiente con una seccin t r ansve r salconstante A, se llena con agua hasta laconstante A, se llena con agua hasta la
altu r a H. El agua fluye del tanque a t r avsaltu r a H. El agua fluye del tanque a t r avsde un o r ificio, de seccin t r asve r sal B, ende un o r ificio, de seccin t r asve r sal B, enla base del r ecipiente. Encuent r e la altu r ala base del r ecipiente. Encuent r e la altu r adel agua en cualquie r tiempo y encuent r edel agua en cualquie r tiempo y encuent r eel tiempo pa r a vacia r el tanque.el tiempo pa r a vacia r el tanque.
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sh
A
BB
RecipienteRecipiente
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h + hh
A
B
Desca r ga de aguaDesca r ga de agua
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De donde tenemosDe donde tenemos
Ah ( A ) * ( h ) = dV
s
B ( B ) * ( s ) =dV
( A ) * ( h ) = ( B ) * ( s )
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EntoncesEntonces
Si dividimos ambos lados de esa igualdadSi dividimos ambos lados de esa igualdadpo r po r t tenemos quet tenemos que
A h B ht t
Tomando esta igualdad como un limite
cuandot 0
tenemos queLim A h Lim B h
t 0 t t 0 t
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De donde sacamos queDe donde sacamos que
E n donde el A*( dh / dt ) es negativo debido aE n donde el A*( dh / dt ) es negativo debido a
que el tanque se va descargando o vaciandoque el tanque se va descargando o vaciando
!A dh
dt
B ds
dt
Ambos limites los podemos reconocer comoAmbos limites los podemos reconocer comolas razones de cambio de dos variableslas razones de cambio de dos variables
respecto del tiemporespecto del tiempo
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De donde obtenemos queDe donde obtenemos que
D onde v es la velocidad de salida del agua, por D onde v es la velocidad de salida del agua, por lo cual podemos decir quelo cual podemos decir que
!
B ds
dt Bv
E sto lo hacemos a modo de que podamosE sto lo hacemos a modo de que podamosresolver la ecuacin por separacin de variablesresolver la ecuacin por separacin de variables
A d h
d t v !A d h v d t
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Encont r ando la velocidadEncont r ando la velocidadE s preciso encontrar esa velocidad v lo cual loE s preciso encontrar esa velocidad v lo cual lopodemos hacer por conservacin de la energa,podemos hacer por conservacin de la energa,sabiendo quesabiendo que
m v2
2m g h !v 2 g h
or lo cual podemos decir :Por lo cual podemos decir :
!A dh B 2 g h dt
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Pr ocedemos a integ r a r Pr ocedemos a integ r a r
Y de esto obtenemos queY de esto obtenemos que
d
1
h
h d
B 2 g
At
d d
!2 h B2 g t A
c
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Encont r ando el valo r de cEncont r ando el valo r de cT eniendo el dato de que en un tiempo 0 ( t = 0 ) la alturaT eniendo el dato de que en un tiempo 0 ( t = 0 ) la alturaes igual a H ( h = H ) entonces podemos decir quees igual a H ( h = H ) entonces podemos decir que
2 H c
E ntones conociendo el valor de c ya podemos plantear E ntones conociendo el valor de c ya podemos plantear completa la ecuacin de la siguiente formacompleta la ecuacin de la siguiente forma
!2 h B 2 g t
A2 H
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En cuanto tiempo se vaca elEn cuanto tiempo se vaca el
tanquetanquePara encontrar el tiempo en el cual se vaca elPara encontrar el tiempo en el cual se vaca eltanque hacemos h = 0 y entonces nos quedatanque hacemos h = 0 y entonces nos quedaqueque
!t
A 2H
g B
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P a r a la p r acticaP a r a la p r actica
Tenemos un deposito en fo r ma de cilind r oTenemos un deposito en fo r ma de cilind r or ecto con una altu r a y un r adio con unr ecto con una altu r a y un r adio con uno r ificio de salida en la base del depositoo r ificio de salida en la base del depositocon un r adio decon un r adio de
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GRACIASGRACIAS
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