I.E.S. _______________________
CUADERNO Nº 2 NOMBRE: FECHA: / /
Polinomios - 1 -
Polinomios
Contenidos
1. Monomios y polinomios Expresiones algebraicas Expresión en coeficientes Valor numérico de un polinomio
2. Operaciones Suma y diferencia Producto Factor común
3. Identidades notables Suma al cuadrado Diferencia al cuadrado Suma por diferencia
Objetivos
Manejar las expresiones algebraicas y calcular su valor numérico.
Reconocer los polinomios y su grado.
Sumar, restar y multiplicar polinomios.
Sacar factor común.
Conocer y utilizar las identidades notables.
Autora: Conxa Sanchis Sanz Bajo licencia
Adaptación a Descartes JS: Xosé Eixo Creative Commons Si no se indica lo contrario.
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Polinomios - 2 -
1. Monomios y polinomios 1.a. Expresiones algebraicas EJERCICIO. Completa el siguiente texto:
Un monomio es una _____________________ que sólo contiene _____________________
y ____________________________________ .
Un polinomio es una ______________________ de varios __________________. A cada
uno de ellos se le llama ______________
Completa las soluciones de las cuestiones:
Calcula la expresión algebraica que nos da el número e cuadraditos del rectángulo:
Expresión Grado Coeficientes
¿Qué monomio nos da el área del rectángulo de base x y altura y?
Expresión Grado Coeficientes
¿Qué expresión nos da el volumen de un cubo de arista x?
Expresión Grado Coeficientes
Indica qué polinomio nos da la longitud del segmento marrón con la ?
Expresión Grado Coeficientes
¿Qué polinomio nos da la media aritmética de dos números x e y?
Expresión Grado Coeficientes
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Polinomios - 3 -
1.b. Valor numérico de un polinomio
Completa:
El valor numérico del polinomio 5x2 + 2x + 3 para x = 10 es ________________________
El valor numérico del polinomio 5x2 + 2x + 3 para x = 60 es ________________________
Opción P(x) x Valor numérico
322)( 2 xxxP 3 P( ) = =
4)( 23 xxxxP -1 P( ) = =
355)( 23 xxxP -2 P( ) = =
45
312
213
21)( xxxxP 4 P( ) = =
Ejemplos de cálculo del valor numérico
Fíjate en el orden de las operaciones.
Polinomio: P(x) = 2546)( 23 xxxxP Valor numérico en x = -3
Operación que hay que resolver:
Primero las potencias =
Ahora los productos =
Por último sumas y restas
=
Resultado
Ejercicios Realiza dos ejercicios de cada uno de los siguientes apartados anotando los datos y resultados en los siguientes recuadros
P(x) x Valor numérico
246)( xxP 4
3 P( ) = =
4353)( 23 xxxxP 5 P( ) = =
447)( 2 xxxP 5
3 P( ) = =
25)( 342 xxxP 6 P( ) = =
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Polinomios - 4 -
EJERCICIOS
1. Halla las expresiones algebraicas asociadas a cada imagen
El triple de un número menos
cinco
La suma de los cuadrados de dos
números La diagonal de un cuadrado de lado x
La diagonal de un rectángulo de base
x y altura y
2. Escribe, con lo que aparece a la izquierda, un polinomio tal que:
3. Halla el valor numérico en 1, 0 y –2 de los siguientes polinomios:
POLINOMIO Valor en 1 Valor en 0 Valor en -2
x5-2x3 -x2
x2/5-1
- 2x3 + x2
-x3+1/2x2-1/5
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Polinomios - 5 -
2. Operaciones con polinomios 2.a. Sumas y restas A continuación se explica la forma de sumar y restar polinomios “linealmente”
xxxxQ
xxxxP
62)(
4353)(43
23
Nota sobre los grados: ))(),(()( QGPGmáxQPG
SUMA: RESTA:
43522
624353
624353
)()(
234
4323
4323
xxxx
xxxxxx
xxxxxx
xQxP
49542
624353
624353
)()(
234
4323
4323
xxxx
xxxxxx
xxxxxx
xQxP
Otro EJEMPLO Polinomios Operaciones
P(x) = 5
4x3 + x2 – x – 1
Q(x) = 5
1 x3 +
4
1x2 – 2x – 3
RESULTADO P(x) + Q(x) = 5
3 x3 +
4
5x2 – 3x – 4
En los ejercicios que siguen aparecen dos polinomios y la operación a efectuar (Los dos últimos en el Aula 204).
EJERCICIO 1 Operación
2
1
3
2
3
2
2
1)( 23 xxxxP
12
33)( 23 xxxxQ
Comprueba que P(x) − Q(x) =2
1
6
13
3
1
2
7 23 xxx
EJERCICIO 2 Operación
22
32
5
3)( 23 xxxxP
4
32
2
1)( 2 xxxQ
Comprueba que P(x) + Q(x) =4
11
2
7
2
5
5
3 23 xxx
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Polinomios - 6 -
EJERCICIO 3 Operación
P(x) = Q(x) =
P(x) Q(x) =
EJERCICIO 4 Operación
P(x) = Q(x) =
P(x) Q(x) =
2.b. Producto A continuación se explica la forma de multiplicar polinomios “linealmente”
6)(
353)(2
23
xxQ
xxxxP Nota sobre los grados: )()()( QGPGQPG
xxxxx
xxxxxx
xxxx
xQxP
18301553
183305183
6353
)()(
2345
32435
223
xxxxx
xxxxxx
xxxx
xPxQ
18301553
183018353
3536
)()(
2345
23345
232
Completa:
Los polinomios se multiplican _________ a _________, aplicando la propiedad ___________ del producto. Después
ordenamos los _____________ según su _______ y en orden ___________ y reducimos los términos semejantes.
P(x) Q(x) P(x)·Q(x)
45 42)( xxxP xxxQ 32)( 2
42)( 2 xxxP 23)( 2 xxxQ
14)( 2 xxxP 22)( 2 xxxQ
xxxP 4)( 3 53)( 2 xxxQ
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Polinomios - 7 -
2.c. Factor común
Atiende al profesor cuando explica en clase el procedimiento para sacar factor común.
42242182)(
1322212322264)(
3336
232245
xxxxxxxxxxxxxxQ
xxxxxxxxxxxxxxxxxxP
En la práctica, para poder extraer factor común en un polinomio:
Éste debe carecer de término independiente (debe ser cero)
Como máximo puede extraerse el producto del Mcd(coeficientes)·xmenor exponente
Haz los primeros cinco ejercicios de la tabla siguiente en clase y los cinco últimos en el aula 204:
P(x) Mcd(coeficientes)
Factor común Resultado de extraer factor
246 2182)( xxxxP
45 126)( xxxP
xxxxP 23 5)(
46 48)( xxxP
xxxxP 15510)( 34
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Polinomios - 8 -
3. Identidades notables 3.a. Cuadrado de una suma
En la escena aparece un puzzle que te permitirá
deducir la fórmula para obtener el cuadrado de una
suma. Tienes:
Un cuadrado azul de lado 3, por tanto de área
____
Otro rojo de lado 4 y área ____
Dos rectángulos de lados 3 y 4, luego el área de
cada uno es ____
Un cuadrado de lado 3+4, cuya área es _______
Resulta la expresión:
EJERCICIOS
4. Halla P(x)—Q(x) y 3·P(x)-Q(x)
P(x)=x4+2x3+3x Q(x)=2x3+x2-3x+5
5. Multiplica P(x)=x3+6x2+4x-6 por Q(x)= x3+3x2+5
6. Suma P(x) y Q(x) Multiplica P(x) y Q(x)
7. Saca factor común:
P(x)= 4x6 – 4x5 - 6x3 – 3x2 P(x)=
P(x)= -8x4 + 6x3 – 2x2 – 4x P(x)=
P(x)= 6x5 + x2 – 4x P(x)=
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Polinomios - 9 -
Completa como en el ejemplo:
a b Fórmula para (a+b)2 a b (a+b)2=(a+b)·(a+b)
3 4 (3+4)2 = 32 + 2 · 3 · 4 + 42 = 49 4 2x
2
2
41616
488162424
xx
xxxxx
1 2x 3x 1
x 5 6 x
Copia en este espacio la fórmula que nos da el cuadrado de una suma:
Significado:
Debes reconocer esta igualdad también al contrario, de manera que identifiques el polinomio x2+6x+9 con la expresión (x+3)2 3.b. Cuadrado de una diferencia
En la escena aparece un puzzle que te permitirá
deducir la fórmula para obtener el cuadrado de una
diferencia. Tienes:
Un cuadrado azul de lado 7, por tanto de área
____
Otro rojo de lado 3 y área ____
Dos rectángulos de lados 3 y 7, luego el área de
cada uno es ____
Un cuadrado de lado 7–3, cuya área es _______
Resulta la expresión:
Completa como en el ejemplo:
a b Fórmula para (a–b)2 a b (a–b)2=(a-b)·(a-b)
7 3 (7–3)2 = 72 – 2 · 7 · 3 + 32 = 16 4 x
2
2
816
441644
xx
xxxxx
4 2x 2x 3
x 1 x 2
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Polinomios - 10 -
Copia en este espacio la fórmula que nos da el cuadrado de una diferencia:
Significado:
Debes reconocer esta igualdad también al contrario, de manera que identifiques el polinomio x2–10x+25 con la expresión (x–5)2
3.c. Suma por diferencia
En la escena aparece una demostración geométrica
de la fórmula que nos da la expresión para la suma
por diferencia. Tienes:
Un cuadrado azul de lado 7, por tanto de área
____
Otro gris de lado 3 y área ____
En azul aparece la diferencia de los dos
cuadrados, ___________
Arrastra y gira el rectángulo inferior hasta el
contorno rojo. Se habrá formado un rectángulo de
lados: _____ y _____ y su área será _______.
Resulta la expresión:
Completa como en el ejemplo:
a b (a+b) · (a–b) a b (a+b) · (a–b)
7 3 (7+3) · (7–3) = 72 – 32 = 40 4 x
2
2
16
441644
x
xxxxx
5 2x 2x 1
x 3 2 3x
Copia en este espacio la fórmula que nos da producto de suma por diferencia:
Significado:
I.E.S. _______________________
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Polinomios - 11 -
Debes reconocer esta igualdad también al contrario, de manera que identifiques el polinomio x2–16 con la expresión (x+4) · (x–4).
EJERCICIOS
8. Desarrolla las siguientes expresiones
Expresión Solución Expresión Solución
(x+1)2 (x-1)2
(2x+1)2 (3-2x)2
(3x/2+5)2 (x/3-2)2
9. Halla la expresión en coeficientes de los siguientes productos
Productos Solución Productos Solución
(x+2)·(x-2) (x-1/4)·(x+1/4)
(3x+7)· (3x-7) (1+2x)·(1-2x)
12 MATEMÁ
Ex
Valen x
en x
Polin
ÁTICAS Orientada
Recuelo má
xpresiones
lor numérx=4
2·42 +
x=-2 2·(-2)2
omios
as a las Enseñanz
erda ás impo
s algebraic
ico de la e
3·4 = 2·16
+ 3·(-2) =
s
zas Aplicadas 3º E
ortant
cas
expresión
6 + 3·4= 32 + 1
= 2·4 + 3·(-8
ESO
e
12 = 44
-2)= - 6 = 2
10 MATEMÁ
1. Halla númersabienes tres
2. De ludiarioscada dque dseman
3. Si pramediaal mesun año
4. Mi suaño asueldo
5. 2·Π·ralongitufuncióvariab¿la lon
6. ·radioárea radio.¿el code 12
7. 4· ·rel áreradio.¿el code 15
8. 4·/3definefuncióvariab¿el vo
9. ¿Cuál−6x2 ¿dos? ¿valor n
10. ¿Qué y 14como polino
Polino
ÁTICAS Orientada
Para
la expresiro de cndo que la s veces la c
unes a jus y de vierndía. Halla lada los Kmnas
actico ciclisa de 45 Kms.¿Cuántoso?
eldo mensuaumenta uo mensual d
adio es la eud de la
ón de su ble? ¿el grngitud para
o2 es la exdel círculo¿Cuál es la
eficiente? ¿cm?
radio2 es laa de la esf¿Cuál es la
eficiente? ¿cm?
·radio3 ese el volumón de su ble? ¿el grlumen para
es el grad¿Cuál es su¿y el de gnumérico e
fracción desegundosel valor
omio de 2º
omios
as a las Enseñanz
practic
ión algebracuatro cifcifras de lacifra de las
eves camines a domia expresión
m. que cam
smo a unam./h. Duras Km. hago
ual es de 1un x%. Cdentro de d
xpresión qua circunfe
radio. ¿Crado? ¿el ca un radio d
xpresión quo en funca variable?¿el área pa
a expresiónfera en funa variable?¿el área pa
s la exprmen de la
radio. ¿Crado? ¿el ca un radio d
o del polinu coeficientrado uno?
en x=-1
e hora son s? ¿Sabes r numéricgrado?
s
zas Aplicadas 3º E
car
aica de unras, xyztas unidadesdecenas.
ino x Kmngo, 6 Km
n algebraicamino en z
a velocidadnte t horas al cabo de
400€. CadaCalculara edos años.
ue define laerencia enCuál es lacoeficiente?de 3 cm?
ue define eción de su? ¿el grado?ara un radio
que definención de su? ¿el grado?ara un radio
resión queesfera en
Cuál es lacoeficiente?de 6 cm
nomio –4x3
te de gradoCalcula su
51 minutosexpresarla
co de un
ESO
nt, s
.
. az
dse
ael
ana?
el u?o
eu?o
ena?
ou
san
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
. ¿Cuántosy 53 segel valor n2º grado?
2. ¿Cuántasgruesas expresarlde un pol
Una masadocenas, u
3. Halla los
P(x)=-7xQ(x)=6x3
4. Halla los c
P(x)=7x2
5. Saca fac4x12+24x
6. ¿Cuántasa x2+16xen el cuad
7. Calcula a)
c) (2x-3/2
8. Calcula m
9. Halla ladefine elenteros cnúmero c
0. Simplifica
a) 2x 4x3x 6
c) 2
2
4x 4x8x
segundos .? ¿Sabes
numérico d?
unidades hy 6 d
as como einomio de t
=12 gruesauna docena
coeficientes3+2x2-x-2 -2x2+x-2
coeficientes
+5x Q(x)
tor común7
unidades x para convdrado de ot
) (x+6)2 b
2)·(2x+3/2)
mentalmente
expresiónproducto
onsecutivocentral.
a las fraccio
46 b)
x
x 12 d)
2x
hay en 5h.expresarloe un polino
hay en 5 mdocenas? el valor ntercer grad
as, una grua= 12 unida
s de P(x)-3
s de P(x)·Q
)=-4x3+7x2
n en el po
tienes quevertir este tro binomio
b) (-2x+5)2
)
e 322-312 y
n algebraide tres n
s. Toma co
ones 2
2
4x 4x 2x 1
2 2
2 2
2xy y2x 2y
. 35min. os como omio de
masas, 8 ¿Sabes
umérico do?
uesa=12ades.
3·Q(x)
Q(x) 2-x-3
olinomio
e añadir binomio
o?
2
y 19·21
ca que números omo x el
1. HaP(x
2. Ca
3. Hacu
4. ¿E
5. Ha
6. ¿Qcu
7. Ca
8. Ca
9. Sim
10. Sa
MA
alla el result do de P cx)=6x+1, Q
alcula el valo
alla la expradrados de
s cierta la ig
alla los coefic
Qué constantadrado de u
alcula el coef
alcula menta
mplifica la fr
aca factor c
ATEMÁTICAS Orie
Auto
c ((x)=3x2-2 y
or numérico d
resión algeblado x+y y 6
gualdad 9x2+
cientes de (2
te hay que n binomio?
ficiente de p
lmente en m
racción 2xx
común la m
entadas a las Ens
oevalu
(x)·Q(x)+ P(R(x)=x2+14
de 2x3-5x2+
braica que 6 rectángulo
+30x+25=(3
2x+1)2 .
sumar a 25
rimer grado
menos de 10
2bb
.
mayor potenc
P
señanzas Aplicada
uación
(x)·R(x) sien4x.
+4 en x=2.
define el os de base x
3x+5)2?
5x2-30x para
de (4x-5)2.
segundos 3
cia de x en
Polino
as 3º ESO 13
ndo
área de 6y altura y.
a obtener el
342-332.
n 5x19+8x8.
omios
3
6
l
.
s
14 MATEMÁ
1. 1
2. 4
3. 5
4. 1
5. VG~
6. VG
7. VG
8. VG
9. GC
10.
Polino
SolAUT1. 2
2. 0
3. 6
4. S
5. 4
6. 9
7. –
8. 6
9. x
10. x
ÁTICAS Orientada
So
1000x+100y
4xz+18z
540·t
1400+28x+0
Variable=radGrado=1, Lo~18,84cm
Variable=radGrado=2, Ár
Variable=radGrado=3, Ár
Variable=radGrado=2, Vo
Grado=3, CoCoeficiente g
1537 valor1800
omios
ucionesTOEVAL24 88 2 -2
0
6x2+6y2+18
Sí
4 4 1
9
–40
67
x-b
x8(5x11+8)
as a las Enseñanz
luciones
y+13z
0,14x2
dio, coeficienongitud=6 c
dio, coeficienrea en cm2=1
dio, coeficienrea en cm2=9
dio, coeficienol. en cm3=28
oeficiente grgr2=-6, Valo
1r en60
de 5
s
UACIÓN2
xy
zas Aplicadas 3º E
s de los
nte=2 cm
nte= 44Π ~452,16
nte=4/3 00Π ~2826
nte=4 88Π ~2826
1=0, or en –1=-2
51x+14x2
N
ESO
ejercicio
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
os para
. 20153 val
. 9864 valo
. 8 0 4
. –28 29 0
. 4x7(x5+6)
. 64
. a) x2+12xc)4x2-9/4
. 63; 19·21
. x3-x
. x 2a)3
2x 1c)2(2x
practica
or en 60 de
r en 12 de 5
0 -26 -15 0
x+36 b)4x2
1=202-12=39
4(xb)x
1 xd)1) 2x
ar
5x2+35x+5
5x3+8x2+6x
0
-20x+25
99
1)1
y2y
3
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