1
MODELOS VAR Y VAR ESTRUCTURAL
Los modelos económicos tratan de describir teorías económicas basados en
las interrelaciones existentes entre ciertas variables macoeconómicas.
Tales interrelaciones suguieren ciertos comportamientos regulares del pasado
que afectan a las observaciones presentes*. Sin embargo, dado que el pasado
no determina completamente el presente, se genera una parte no explicada, la
cual está asociada a un conjunto de:
“shocks” estocásticos
Los cuales juegan un papel importante en relación a las diferentes
teorías macroeconómicas
*Véase, M. Hatanaka, Time-Series based Econometrics Unit Roots and Cointegration,
Advanced Text in Econometrics, 1996.1
En algunas ocasiones, las formas funcionales que gobiernan el conjunto de
interrelaciones no son determinadas de manera específica por la teoría económica
La econometría adopta al modelo lineal de ecuaciones simultáneas (1)
como método de aproximación
tttt XXX εβββ +++= −− L22110
[ ][ ] Ω=
='
0
tt
t
t
E
E
iid
εε
ε
ε
siendo ttX ε,procesos estocásticos vectoriales de orden k:
observable y no observable.
las matrices de coeficientes: L,, 10 ββ reflejan los postulados de las diferentes
teorías económicas sobre las interrelaciones de las variables bajo estudio.
(1)
2
La econometría estructural, especialmente la modelación (1), tuvo un gran auge entre
1950 – 1960. Bajo este esquema, el trabajo teórico se concentró en el desarrollo de
métodos de estimación que tuviesen en cuenta el sesgo de simultaneidad:
El cual resulta de la correlación entre:
los términos de error y algunas variables explicativas
El trabajo práctico giró en torno a la construcción de grandes y complicados modelos
económicos que consideraban un gran número de variables endógenas bajo el enfoque
de la Comisión Cowles1.
1/ Charemza y Deadman, 1997, New Directions in Econometric Practice.
Sims 1980 muestra como para lograr la fase de identificación en la aplicación del
modelo de ecuaciones simultáneas se requiere de un conjunto de restricciones
lineales o de exclusión no necesariamente soportadas por la teoría económica.
3
Es de mencionar, que tales restricciones presuponen causalidades unidireccionales
y definen como equivalentes a los conceptos de causalidad y exogeneidad. Una de
las mayores objeciones al modelo de ecuaciones simultáneas se desprende de la
famosa crítica de Lucas. Es decir, no hay razón para pensar que la estructura de las
relaciones económicas permanece invariante ante intervenciones de política.
Sims sugiere como modelo alternativo el modelo VAR definido como:
tttt eXAXAX +++= −− L2211
[ ] 0=t
t
eE
iide
el cual se considera como un modelo de series de tiempo de forma reducida,
donde no se considera de manera explícita las relaciones contemporáneas entre
las variables bajo análisis dado que todas tienen carácter endógeno..
(2)
El interés inicial sobre la modelación VAR surge de la incapacidad de los
economistas para reconocer la verdadera estructura de la economía4
En este modelo se evita el problema del manejo de restricciones teóricas para la
identificación. Por consiguiente, este modelo se convierte en la antítesis de la
modelación bajo ecuaciones simultáneas donde el soporte es dado por una teoría
económica particular.
Como lo presentan Darnell y Evans1, el trabajo de Sims sobre modelación VAR
se desarrolla en un momento caracterizado por:
(1) pronósticos inadecuados de los modelos macroeconómicos, basados en ecuaciones
simultáneas, siguiendo la tradición de la comisión Cowles. Hechos que Amisano y
Giannini2 asocian con: (i) el colapso del Sistema Bretton Woods y (ii) los “shocks”
petroleros.
(2) Gran desarrollo de los modelos de series de tiempo.
5
1/ Véase, Darnell y Evans (1990), The Limits of Econometrics.
2/ Véase, Amisano y Giannini (1997), Topics in Structural VAR Econometrics.
3/ Véase, Plosser y Schwert (1978)
Algunas críticas a la Modelación VAR
Darnell y Evans (1990)
(1) La exigencia de un comportamiento estacionario en las variables puede
conducir a transformaciones que de acuerdo a Plosser y Schwert puden llevar
a resultados erróneos
(2) gran sensibilidad de los modelos ante la inclusión de nuevas variables al
conjunto inicial de información.
(3) el efecto de la selección de la longitud del rezago sobre el desempeño del
pronóstico
(4) la falta de sentido económico en el proceso de ortogonalización de las
innovaciones
(5) la reordenación del sistema, mediante el esquema de triangulación inferior,
llevada a cabo con el fin de aislar los efectos de las diferentes políticas o “shocks”
aleatorios, presenta problemas de interpretación, ya que por una parte, en la
concepción general del modelo VAR no se hace referencia alguna a ecuaciones de
tipo estructural, sin embargo, en el análisis de impulso respuesta éste parece ser un
sistema de forma reducida derivado de uno estructural.
6
La conexión entre el sistema de ecuaciones simultáneas y el modelo VAR estándar
se tiene algebraicamente, puesto que el modelo (2) puede obtenerse a partir de (1)
premultiplicando por B0, así:
tt Be
BBA
BBA
ε10
2
1
02
1
1
01
−
−
−
=
=
=
M
En la práctica, la estimación del sistema se lleva a cabo a través del VAR estándar (2).
Si la matriz B0 fuese conocida tanto los parámetros del modelo estructural (1) como
como los “shocks” estructurales podrían ser determinados.tε
(3)
(6) Las funciones de impulso-respuesta y de descomposición de varianza que
ilustran las características dinámicas del modelo empírico son obtenidas a través
de una técnica mecánica que se entendió como no relacionada con la teoría
económica. Sin embargo, ésta implica una estructura económica particular que
en la mayoría de las ocasiones es difícil de reconciliar con la teoría económica.
Conexión entre el VAR Estándar y los Sistemas de Ecuaciones Simultáneos
7
Las diferentes críticas a la modelación VAR conduce al desarrollo del enfoque VAR
estructural. Técnica que permite al investigador el uso de la teoría económica para
transformar el modelo VAR de forma reducida en un sistema de ecuaciones estructurales
(1) Los parámetros son estimados imponiendo restricciones estructurales
contemporáneas o de largo plazo.
(2) El impulso-respuesta y la descomposición de varianza pueden ser interpretados
estructuralmente.
Una alternativa de VAR Estructural es el desarrollado por Shapiro y Watson (1988),
y Blanchard y Quah (1989), donde se utilizan restricciones de largo plazo para
identificar la estructura económica de la forma reducida. Tales modelos tienen
características de largo plazo que son consistentes con restricciones teóricas usadas
para la identificación de los parámetros.
8
SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTANEAS O SISTEMA PRIMITIVO
En algunas ocasiones las formas funcionales que gobiernan el conjunto de
interrelaciones no son determinadas de manera específica por la teoría
económica.
La econometría adopta al modelo lineal de ecuaciones simultáneas
(1)
[ ][ ]
singularNo
0
0
'
B
E
E
iid
tt
t
t
Ω=
=
εε
ε
ε
tttt YBYBYB ε+++= −− L22110
9
VAR ESTANDAR
Modelo de forma reducida donde no se tiene como propósito explicar la
relación contemporánea entre las variables del sistema.
Y W Y Y Vt t p t p t= + + + +− −Θ Θ1 1 . . .
Θi
i M i
M i M M i
=
θ θ
θ θ
11 1
1
, ,
, ,
....
.
.
.
.
.
.....
Vector ruido blanco
E V t
E V t V t
E V t V s s t
[ ]
[ ' ]
[ ' ]
=
=∑
= ∀ ≠
0
0
ν
W yp v, , , ... ,Θ Θ Θ1 2 ∑[ ]',,11,1,1 ,,,,,,, pmMpmmMmmm w θθθθ LLL=Θ
(2)
10
Modelo Estructural y Modelo de Forma Reducida
Sistema bivariado:
z
ttttt
y
ttttt
zyybbz
yyzbby
εγγ
εγγ
+++−=
+++−=
−−
−−
1221212120
2121111210
Estacionarias
Perturbaciones ruido blanco
No correlacionadas entre si
Sistema que incorpora feedback.
Si tiene un efecto contemporáneo indirecto
sobre . Igualmente, tiene un efecto
contemporáneo indirecto sobre
y
tb ε⇒≠ 021
tzz
tb ε⇒≠ 012
ty
Shocks estructurales
En forma matricial:
1
1
12
21
10
20
11 12
21 22
1
1
b
b
y
z
b
b
y
z
t
t
t
t
y
z
t
t
=
+
+
−
−
γ γγ γ
εε
Ω =
σσ
y
z
2
2
0
0
VAR estructural o primitivo
B Xt 0Γ Γ1 Xt-1 += + εt
Tal sistema no puede ser estimado ya que está correlacionado con y
tεy con
tzty
z
tε 11
A través de manejo algebráico matricial se tiene:
B B X B B X Bt t t
− − −−
−= + +1 1
0
1
1 1
1Γ Γ ε
El VAR estándar: X A A X et t t= + +−0 1 1
y
z
a
a
a a
a a
y
z
e
e
t
t
t
t
t
t
=
+
+
−
−
10
20
11 12
21 22
1
1
1
2
VAR estándar
−
−
−=−
1
1
1
1
21
12
2112
1
b
b
bbB
eb
b bt
t ty z
1
12
12 211=
−
−
ε ε
2112
21
21 bb
be tt
t
yz
−
−=
εε
X B B X Bt t t= + +− −−
−1
0
1
1 1
1Γ Γ ε
===
−−z
t
y
t
tt
t
tBBe
e
e
εε
ε 11
2
1
12
Propiedades estadísticas de e et t1 2y
[ ] [ ]E e E et t1 20 0= =,
( ) ( )VAR e
b
b bt
y z
1
2
12
2 2
12 21
2
1=
+
−
σ σ ( ) ( )VAR e
b
b bt
z y
2
2
21
2 2
12 21
2
1=
+
−
σ σ,
[ ] [ ]E e e E e et t t t1 1 2 21 1
0 0− −
= =,
[ ] ( )( )
E e eb b
b bt t
y z
1 2
21
2
12
2
12 21
2
10=
− +
−≠
σ σ
Se define su matriz de VAR-COV:( ) ( )( ) ( )=
∑
VAR COV
COV VAR
e e e
e e e
t t t
t t t
e e
1 1 2
2 1 21 2
13
Sistema Primitivo o de
Ecuaciones simultáneas
VAR estándar
A B B
A B B
e Bt t
1 0
1
1
2 0
1
2
0
1
=
=
=
−
−
−
M
ε
Relaciones contemporáneas implícitas en la
estructura de la matriz de varianza-covarianza
¿ Es la forma primitiva identificable dadas las estimaciones OLS del modelo
VAR estándar ?
La respuesta es NO a menos de que se impongan restricciones adecuadas
al sistema primitivo. La explicación se ve claramente al comparar el número
de parámetros del VAR estructural con el número de parámetros del estándar.
14
VAR estándar :
( ) ( ) ( ) a a a a a a e e e et t t t10 20 11 12 21 22 1 2 1 2, , , , , , var , var ,cov 9 parámetros
VAR estructural o primitivo:
b b b b y z10 20 12 21 11 12 21 22
2 2, , , , , , , , ,γ γ γ γ σ σ 10 parámetros
No es posible la
identificación
VAR Estructural
Véase, W Enders, (1995), Applied Econometric Time Series, Wiley. 15
Métodos para llevar a cabo la identificación:
Sistema recursivo Sims (1980):
Si sobre el sistema primitivo (1) se supone que b21=0 ⇒ =−
−Bb
1 121
0 1
VAR estructural :
y
z
b b b
b
b b y
z
bt
t
t
t
y z
z
t t
t
=
−
+
− −
+
−
−
−
10 12 20
20
11 12 21 12 12 22
21 22
1
1
12γ γ γ γγ γ
ε εε
La estimación OLS del sistema conduce a los parámetros estimados del
siguiente VAR estándar:
y
z
a
a
a a
a a
y
z
e
e
t
t
t
t
t
t
=
+
+
−
−
10
20
11 12
21 22
1
1
1
2
De esta forma se tiene:
a b b b
a b
1 0 1 0 1 2 2 0
1 1 1 1 1 2 2 1
= −
= −γ γ16
a b
a b
a
a
1 2 1 2 1 2 2 2
2 0 2 0
2 1 2 1
2 2 2 2
= −
=
=
=
γ γ
γγ
Dado que:
e b
e
t t t
t t
y z
z
1 12
2
= −
=
ε ε
ε
( )( )( )
var
var
cov
e b
e
e e b
t
t
t t
y z
z
z
1
2
12
2 2
2
2
1 2 12
2
= +
=
= −
σ σ
σ
σ
Se tienen 9 parámetros tanto en el
VAR estructural como en el VAR
estándar. Por consiguiente, los
parámetros estructurales pueden
ser recuperados al igual que los
“shocks” estructurales:
ε εy zt t,
Bajo este esquema de restricción los dos “shocks” estructurales afectan a yt
en tanto que zt tan solo es afectada por εzt17
Representación MA*
Véase, H Lutkepohl, (1993), Introduction to Multiple Time Series Analysis, Springer-Verlag
Todo VAR(P) tiene una representación MA.
X A A X A X et t p t p t= + + + +− −0 1 1 L ,
e∑ Representación VAR
X et i t ii
= + −=
∞
∑µ Φ0
Representación MA
( )( )
µ = − − −
= =
−
=−∑
I A A A
I A
p
i jj
min p i
i j
1
1
0
01
L
Φ Φ Φ;
,
( )A L X A et t= +0 donde ( ) ( )A L I A Ap= − − −1 L
18
En general se puede llevar a cabo la siguiente tranformación, la cual evita tener
correlación contemporánea entre los residuales del VAR:
Dado que e∑ es definida positiva ∃ P no singular / P e∑ p’ = I
X P Pet i t ii
= + −−
=
∞
∑µ Φ 1
0
X C wt i t ii
= + −=
∞
∑µ0
[ ]E w w It t
' =
Análisis de Impulso - Respuesta:
M
011
000
wCX
wCX
=
=
donde:w w0 0
0
1
1
0=
=
o
19
Para el ejemplo ya analizado:
y
z
a
a
a a
a a
y
z
e
e
t
t
t
t
t
t
=
+
+
−
−
10
20
11 12
21 22
1
1
1
2
y
z
a a
a a
e
e
t
t
y
z i
i
t i
t i
=
+
=
∞
∑ −
−
µµ
11 12
21 220
1
2
pero dado que:e
e b b
b
b
t
t
t
t
y
z
1
2 12 21
12
21
1
1
1
1
= −
−
−
εε
y
z b b
a a
a a
b
b
t
t
y
z i
i
y
z
t i
t i
=
+ −
−
−
=
∞
∑ −
−
µµ
εε
1
1
1
112 21
11 12
21 220
12
21
20
C
Ab
b
b bi
i
=
−
−
−
1
1
1
12
21
12 21
si definimos
se tiene:
( ) ( )( ) ( )
y
z
c i c i
c i c i
t
t
y
z i
y
z
t i
t i
=
+
=
∞
∑ −
−
µµ
εε
11 12
21 220
Xt = µ + ( )C ii
t i=
∞
−∑0
ε
Los ( )C i son utilizados para generar los efectos de ε yty εzt
sobre los “path” de
yt y zt .
21
22
23
24
( ) tt KeyLKA =
( )',0~ KKKe ett Σ=Σ= εε
Una selección adecuada de producirá una matriz de covarianza diagonal K
Representación MA: Asociada a shocks estructurales
2211
11
−−
−−
++=
+++=
ttt
tptptt
eee
eyAyAy
φφ
L AR
MA
L+++= −− 22110 tttty εθεθεθ
tptpititt yAyAyAKy ε+++++= −−−**
1
*
1 LLii KAA =:*donde
donde1: −= Kjj φθ
•Representan la respuesta del sistema ante
Shocks estructurales
•Si una forma estructural es identificada, el
Impulso-Respuesta será único
Modelo A: Lutkepohl
: Amisano y Giannini
25
[ ] [ ]'''
tttt
tt
EKeKeE
Ke
εε
ε
=
=
εΣ=Σ 'KK e
Para resolver de forma única para elementos de se necesitan ecuaciones
εΣ Matriz diagonal
'KK eΣ ( )2
1−nnElementos por encima de la diagonal iguales a cero
Ecuaciones independientes
2n K2n
Son necesarios restricciones adicionales sobre ( )2
1+nnK
Los elementos sobre la diagonal de 1 K
( )n
nn−
+2
1Restricciones adicionales sobre
( )2
1−nnK
26
=
1
01
001
21
21
L
OMM
L
L
nn kk
kK
El impulso-Respuesta está identificado
Cadena Causal de Wold
No necesariamente triangular Los ceros o restricciones pueden aparecer en
cualquier parte de la matriz
•Si se tiene exacta identificación de los shocks I-R estará identificado
•Un mayor número de restricciones pueden ser impuestas Test de compatibilidad
•Si es triangular inferior el impulso resultante es el mismo que el obtenido a través
de la descomposición de choleski
Kjθ
•Las restricciones sobre deben ser adecuadas. K
( ) KK dKvecR =
+→ 2 X )1(2
1nnnRK
Matriz de selección
+→ 1 X )1(2
1nndK Vector fijo
Sujetas a: 1'1 −− Σ=Σ KKe ε
Sistema *
27
Proposición 9.1 Lutkepohl:
Condición necesaria y suficiente para alcanzar identificación local
Dada una matriz diagonal definida positiva y una matriz no singular.
Se tiene que para una matriz simétrica y definida positiva y una matriz
y un vector fijo el sistema * tiene una única solución para y los
elementos de la diagonal si y solo si
( )nn x εΣ ( )nnK x
( )nne x Σ ( )2 x nrRK
( )1 x ndK K
εΣ
( ) ( )( )1
2
1
0
0
2
rango 2
111
++=
⊗⊗Σ− −−+−+
nnn
C
R
DKKDKD
K
KKeK
σ
Donde es una matriz de duplicación ( )
+→ 12
1 x 2 nnnDK
( ) : '-1'
KKKK DDDD =+
( ) ( )
+−→ 12
1 x 1
2
1 nnnnCσ
Matriz de selección de los elementos de por
debajo de la diagonal principal
( )εΣvech
Demostración basada en Rothenberg (1971)
•La solución global única se obtiene si los elementos de la diagonal son restringuidos a 1
28
: Amisano y Giannini
Modelo B: Lutkepohl
29
Proposición 9.2 Lutkepohl:
Sea matriz no singular. Se tiene que para una matriz simétrica y definida positiva
y una matriz el sistema ** tiene una única solución local si y solo si:
( )nnC x →
( )nne x →Σ ( )2 x nrRC →
Las restricciones para la identificación ( ) Cc dCvecR =
Sistema **: sujeto a eCC Σ='
( ) 22rango n
R
ICD
C
nK =
⊗+
( ) Cc dCvecR =
Restricciones adicionales sobre( )2
1−nn
30
31
Proposición 9.3 Lutkepohl:
Sean matrices no singulares . Entonces para una matriz simétrica y definida
positiva , el sistema de ecuaciones (*) tiene una solución única si y solo si:
BA y nnx
eΣ
(*)
( ) ( )2
111
2
0
0
22
rango n
R
R
ABADAD
C
K
KeK
=
⊗⊗Σ− −−+−+
32
Son sobre la identificación y la estimación FIML de los parámetros de los modelos
K, C, y AB se basa en el análisis de funciones de verosimilitud.eΣ
•En general
( )ΣΣ−Σ−= − ˆ2
ln2
1trTT
clFunción de verosimilitud dondeT
VV 'ˆˆˆ =Σ
Concentrada con respecto a Π
Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics,
J. Magnus and H. Neudecker, Wiley, 1999. 33
34
35
36
37
38
Ejemplo: Modelo AB
Sean
real Dinero:
interés de Tasa :
Producto :
t
t
t
m
i
q
:te Residuales del VAR de forma reducida ( )',, m
t
i
t
q
t eee
Modelo de Pagan (1995)
m
t
m
t
LM
t
m
t
q
t
i
t
IS
t
i
t
q
t
be
beaeae
beae
ε
ε
ε
33
222321
1112
=
+−−=
+−= Curva IS
Curva inversa LM
Regla de oferta monetaria
( ) ( )3'
,0~,, Im
t
LM
t
IS
tt εεεε =
tt
b
b
b
eaa
a
ε
=
33
22
11
2321
12
00
00
00
100
1
01
39
Conjunto de restricciones en forma implícita:
( )
+
=
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
000
100
000
000
000
010
000
001
000
1
0
0
1
0
1
23
12
21
23
12
21
a
a
a
a
a
a
AvecK
( )
=
=
33
22
11
33
22
11
100
000
000
000
010
000
000
000
001
0
0
0
0
0
0
b
b
b
b
b
b
BvecC
Son necesarias restricciones( )12
12 2 +− nnn
3=n 12
40
Conjunto de restricciones en forma explícita:
=
0
0
0
0
0
0
010000000
001000010
000100000
000001000
000000100
000000010
33
23
13
32
22
12
31
21
11
b
b
b
b
b
b
b
b
b
=
1
0
0
1
0
1
010000000
001000010
000100000
000010000
000000100
000000001
33
23
13
32
22
12
31
21
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
41
Hamilton:
42
43
44
45
46
La condición de rango se cumple si el número de columnas de la matriz J
son linealmente independientes.
( )
=Ω
2
2
2
0
0
0
0
0
0
w
s
d
vec
σ
σ
σ
=Ω
100
000
000
000
010
000
000
000
001
S
=Ω2
2
2
w
s
d
σσσ
γ
=Ω
0
0
0
0
0
0
0
0
0
s
1xnd
dnxn2
Donde
( )[ ] [ ][ ]Ω−−+−+ ⊗⊗Σ−= SBBDSBDJ nBn
1
0
1
0
1
02
( ) ( )Σ=Σ vecvechDn
( ) '1'
nnnn DDDD−+ =
4047
Modelo C
Sea matriz invertibleC ( )nnx
tt Ce ε=
donde ( )( ) ntt
t
IE
E
=
='
0
εε
ε
Dado el modelo VAR ( ) tt eyLA =
Generado por una combinación lineal de perturbaciones
ortonormales.
tt Ce ε=
[ ] [ ]''' CCEeeE tttt εε=e
en
CC
CCI
Σ=
Σ='
'
( ) [ ] ( )Σ−−=−ˆ
2log
2
1'2CCtr
TC
TcCl
'CCe =Σ
( ) 1'1'1 1 −−− −
==Σ CCCCe
Función de verosimilitud
4148
Amisano y Giannini
La condición eCC Σ=' Impone un conjunto de restricciones no lineales sobre
el espacio de parámetros
Con el propósito de ganar identificación, se supone que los parámetros contenidos en la
matriz C satisface el siguiente conjunto de restricciones no lineales, independientes y no
contradictorias:
dCvecR = sSCvec += γ
2xnr
Rango fila completo
1xr ln x2
Rango columna completo
rnl −= 2
1xn 2[ ]dRs
RS
=
= 0
lrx
1xr
Estimación F.I.M.L.
sSCvec += γ Utilizando la regla de la cadena se encuentra el vector score
del vector de elementos libres de γ
( ) ( )SCvecff '' =γ
4249
Condiciones necesarias y suficientes para identificación local
Dada la matriz de información ( ) ( ) ( )[ ]( )( ) ( )( )[ ]
( ) ( )[ ]SCvecISI
SCvecfCvecf
ffEI
TT
T
'
''
'
S
=⇒
=
=
γ
γγγ
Utilizando dicha matriz de información y el vector Score se puede implementar
el algoritmo score para encontrar un estimador F.I.M.L. de γ( )γTI ( )γf
( )[ ] ( )nnTnn fI γγγγ 1
1
−+ += γ~
C~
sSCvec += γ~~
( ) ( ) [ ] lSCvecff 1x
'' 0==γ
4350
Condiciones de primer orden para la maximización de la función de verosimiliitud respecto a γ
En fila
( ) ( ) [ ] x1
' 0 lCvecfSf ==γ En columna
50
Condición de orden ( )2
1−nn restricciones Necesaria pero no sufuciente
Condición de rango
Si suponemos que la matriz es invertible, el verdadero vector es localmente
Identificado si y solo si:
• el sistema con la matriz evaluada en tiene
una única solución admisible en
C ( )*Cvec
( ) [ ]0~ =⊗ xDCIR n ( ) nDCIR~⊗ *C
[ ] 0=x
•La matriz evaluada en tiene rango columna ( ) nDCIR~⊗ *C
( )2
1−nn
Permiten alcanzar un modelo identificado o sobre-identificado
validación de las restricciones ( ) ( )( )Σ−Σ= ~ˆ2 LLLR ~ ( )m2χTest
( ) completo columna rango 2/1x :~ 2 −nnnDn
( ) libres elementos de vector 2/1x: −nnx
→m Número de restricciones de sobre identificación
51
W. Enders, 1995. Applied Econometric Time Series, Wiley.
Xy
zt
t
tt
t
t
=
=
∆ε
εε1
2
Esta metodología investiga los efectos dinámicos de perturbaciones o “shocks”
de naturaleza dicótoma sobre un sistema bivariado estacionario bajo el supuesto
de que:
el “shock” t1ε no tiene efecto de largo plazo sobre el nivel de la variable yt
en tanto que el “shock” t2ε si afecta tal nivel en el largo plazo.
Así, se parte del siguiente sistema bivariado estacionario:
El primer paso consiste en estimar un modelo VAR estándar adecuado sobre el
sistema bivariado
X A X A X et t P t p t= + + +− −1 1 L
Σe matriz de varianza-covarianza
METOLOGIA DE BLANCHARD Y QUAH (1989):
RESTRICCIONES DE LARGO PLAZO
52
Caso Triangular
Dado que el sistema es estacionario, bajo el teorema de descomposición de Wold , se tiene
la siguiente representación VMA:
X e e et t t t= + + +− −Φ Φ Φ0 1 1 2 2 L Φ0 2= Idonde
Igualmente, el sistema puede ser planteado a través de “shocks” estructurales :
X C C Ct t t t= + + +− −0 1 1 2 2ε ε ε L
∆ y
z
c c
c c
c c
c c
t
t
t
t
t
t
=
+
+
−
−
11
0
12
0
21
0
22
0
1
2
11
1
12
1
21
1
22
1
1 1
2 1
εε
εε
L
c k
k11
0
0=
∞
∑ = ⇒ ε1t no tiene efectos sobre el nivel de yt
ck
11es el efecto de ε1t sobre ∆yt
k períodos adelante
53
de tal forma que se puede presentar a través de las siguientes ecuaciones:
∆y c ct
k
kt k
k
kt k= +
=
∞
−=
∞
−∑ ∑11 12
01
02ε ε
z c ct
k
kt k
k
kt k= +
=
∞
−=
∞
−∑ ∑210
1 220
2ε ε
donde las perturbaciones ε1t y ε 2 tson independientes y ruido blanco
Ω =
1 0
0 1
54
De las ecuaciones anteriores se tiene:
( ) ( )Φ L e C Lt t= ε
Suponiendo que Co es no singular puede ser reescrita como sigue:
( ) ( )Φ L e C L C Ct t= −0
1
0ε
de donde se deriva:
( ) ( )Φ L C L C= −0
1
e Ct t= 0 ε
55
Es decir:
e
e
c c
c c
t
t
t
t
1
2
11
0
12
0
21
0
22
0
1
2
=
εε
De donde se generan las siguientes 3 ecuaciones:
Matriz C
del Modelo C
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
Var e
Var
Cov
1t = +
= +
= +
c c
e c c
e e c c c c
t
t t
11
02
12
02
2 21
02
22
02
1 2 11
0
21
0
12
0
22
0
La restricción adicional se deriva del hecho de que ε1t no tiene efectos de largo plazo sobre
yt, es decir que:
c k
t kk
11 10
0ε −=
∞
=∑
56
( ) ( )( ) ( )
+
∆
=
∆
−
−
t
t
t
t
t
t
e
e
z
y
LALA
LALA
z
y
2
1
1
1
2221
1211 ( ) ttt eLXLAX +=
( )[ ] tt eXLLAI =−
( )[ ] tt eLLAIX1−−=
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
−
−=
−
−=
∆
∑∑∑∑
++
++
t
t
kk
kk
t
t
t
t
e
e
LkaLka
LkaLka
D
e
e
LLALLA
LLALLA
Dz
y
2
1
1
11
1
21
1
12
1
22
2
1
1121
1222
1
11
1
11
D :determinante
57
( ) ( )[ ] ( )[ ] t
k
t
k
t eLkaeLkaD
y 2
1
121
1
2211 ∑∑ ++ +−=∆
Así:
( )[ ] ( )[ ] 01 1
0
21
1
121
0
11
1
22 =+− ∑∑ ++t
k
t
k cLkacLka εε
t1ε No tiene efectos de largo plazo sobre ty
( )[ ] ( )[ ] 01 0
21
1
12
0
11
1
22 =+− ∑∑ ++ cLkacLka kk
Cuarta restricción:
58
La solución del sistema de ecuaciones no lineales conformado permite
determinar 4 posibles soluciones para Co.
La selección específica de Co se deriva del análisis de impulso-respuesta.
Una vez determinada Co se pueden construir las matrices Ci i=1,2,... y
recuperarsen los “shocks” estructurales.
Análisis de impulso respuesta
Descomposición de varianza
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
Var e
Var
Cov
1t = +
= +
= +
c c
e c c
e e c c c c
t
t t
11
02
12
02
2 21
02
22
02
1 2 11
0
21
0
12
0
22
0
( )[ ] ( )[ ] 01 0
21
1
12
0
11
1
22 =+− ∑∑ ++ cLkacLka kk
Sistema no lineal 4 ecuaciones
y 4 incógnitas
59
Blanchard y Quah (1989)* investigan los efectos dinámicos de largo plazo de “shocks”
de oferta y de demanda en un sistema bivariado:
*Blanchard, O and D, Quah, (1989) “The Dynamics Effects of Aggregate Demand and Supply Disturbances”,
American Economic Review 79.
Sistema Estacionario
=
t
t
d
s
t εε
ε
Shocks estructurales
( )[ ] 2
'
110
IE
LZ
tt
tttt
=
Γ=+Γ+Γ= −
εε
εεε L
Representacion MA asociada al modelo estructural:
∆=
t
t
tX
XZ
2
1 PIB
Tasa de desempleo
No tiene efectos de largo plazo
sobre el producto real
60
[ ] ∑
∑
=
+Φ==
−
ett
p
ititit
eeE
eZZ
'
1Representación VAR estándar
Estacionario
Representación VMA ( ) ttttt eLCeCeCeZ =+++= −− L2211
Teorema de Descomposición de Wold
( ) ( ) tt LeLC εΓ=
Relación entre los shocks estructurales y las innovaciones de la forma reducida:
61
tte ε0Γ=
( ) ( ) 1
0
−ΓΓ= LLC
( ) ( )( ) ( )11
11
1
0
0
Γ=Γ
Γ=Γ−
C
C
Relación entre la matriz de efectos de largo plazo de los residuales de la forma
reducida y la matriz equivalente de los shocks estructurales:
Matriz de varianza-covarianza de la forma reducida:
'
00ΓΓ=∑e
Sistema de 3 ecuaciones y 4 incógnitas62
La identificación de 0Γ
requiere de la imposición de una restricción adicional
La descomposición de Blanchard-Quah consiste en la imposición de
restricciones sobre la matriz de efectos de largo plazo de los shocks
estructurales ( )1Γ
( ) ( )'11 CCF eΣ=
( ) ( ) 1131−Φ−−Φ−= PIC L
( ) ( )'11 ΓΓ=F
Restricciones de neutralidad de largo plazo
63
donde ( ) ∑∞
=
Γ=Γ0
1j
j
ΓΓ
ΓΓ=Γ
22,21,
12,11,
jj
jj
j
Por consiguiente puede ser definido como:( )1Γ
( )
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
ΓΓ
ΓΓ=Γ
−∞→
−∞→
−∞→
−∞→
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∑∑
∑∑
kt
tk
kt
tk
kt
tk
kt
tk
j
j
j
j
j
j
j
j
Xlim
Xlim
Xlim
Xlim
,2,1
,2,1
0
22,
0
21,
0
12,
0
11,
22
11
1
εε
εε
La restricción de neutralidad de largo plazo 01
,2
=∂∂
⇒−
∞→kt
tk
Xlim
ε
64
( )1ΓPuede ser estimada mediante
la descomposición de Choleski
Triangular inferior
Por consiguiente es de la forma:( )1Γ
( )
ΓΓ
Γ=Γ
∑∑
∑∞
=
∞
=
∞
=
0
22,
0
21,
0
11, 0
1
j
j
j
j
j
j
65
Caso no triangular
Recent behavior of output, unemployment, wages and prices in Colombia: what went wrong?
L. E. Arango, A.M. Iregui y L.F. Melo
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
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