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ESTADISTICAVARIABLES ALEATORIAS
Alberto LucenoFrancisco J. Gonzalez
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Copyright c© 2000Actualizado el: 11 de noviembre de 2003 Version 2.00
Tabla de Contenido
3. Variables aleatorias3.1. Variables aleatorias discretas3.2. Variables aleatorias continuas3.3. Cambio de variableSoluciones de Ejercicios
Seccion 3: Variables aleatorias 3
3. Variables aleatorias
3.1. Variables aleatorias discretas
Ejercicio 39. En algunos casinos se realiza el siguiente juego: se eligeuno de los numeros 1, 2, 3, 4, 5, 6. A continuacion se lanzan tresdados. Si el numero elegido aparece 1, 2, 3 veces, se recibe 1, 2, 3veces lo apostado, y se recupera este. Si no aparece el numero elegido,se pierde lo apostado. Sea X la variable aleatoria que proporciona laganancia. Obtener E(X).
Ejercicio 40. Una variable aleatoria tiene la siguiente funcion deprobabilidad,
x 1 2 3 4 5P (x) 0,05 0,20 0,05 0,45 0,25
1. Comprobar que es una funcion de probabilidad.
2. Calcular P (x ≤ 3).
3. Calcular P (x > 3).
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Seccion 3: Variables aleatorias 4
4. Calcular P (x = 1 ∪ x = 3 ∪ x = 5).
5. Calcular E(X).
6. Representar la funcion de distribucion FX(x).
Ejercicio 41. Fiabilidad de un componente. Para una componentede un sistema, sea A el suceso “la componente funciona”. Se define lafuncion indicatriz del suceso A como aquella funcion IA tal que IA = 1si A es cierto e IA = 0 si A es falso. ¿Que indica E(IA)?
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Seccion 3: Variables aleatorias 5
Ejercicio 42. A partir la figura
1. Determinar la funcion indicatriz de los sistemas.
2. Determinar la fiabilidad de los sistemas.
3. Suponiendo p1 = p2 = p3 = 0,90, determinar la fiabilidad de lossistemas y compararlos.
3. VARIABLES ALEATORIAS
3. Variables aleatorias
3.1. Variables aleatorias discretas
39.En algunos casinos se realiza el siguiente juego: se elige uno de los numeros 1, 2, 3, 4, 5, 6. Acontinuacion se lanzan tres dados. Si el numero elegido aparece 1, 2, 3 veces, se recibe 1, 2, 3 veceslo apostado, y se recupera este. Si no aparece el numero elegido, se pierde lo apostado. Sea X lavariable aleatoria que proporciona la ganancia. Obtener E(X).
I E[X] = −0, 078
40.Una variable aleatoria tiene la siguiente funcion de probabilidad,
x 1 2 3 4 5P (x) 0,05 0,20 0,05 0,45 0,25
a) Comprobar que es una funcion de probabilidad.
b) Calcular P (x ≤ 3).
c) Calcular P (x > 3).
d) Calcular P (x = 1 ∪ x = 3 ∪ x = 5).
e) Calcular E(X).
f ) Representar la funcion de distribucion FX(x).
I b) 0,3 c) 0,7 d) 0,35 e) 3,65
41.Fiabilidad de un componente. Para una componente de un sistema, sea A el suceso “la componentefunciona”. Se define la funcion indicatriz del suceso A como aquella funcion IA tal que IA = 1 si Aes cierto e IA = 0 si A es falso. ¿Que indica E(IA)?
42.A partir la figura 3.1
a) Determinar la funcion indicatriz de los sistemas.
b) Determinar la fiabilidad de los sistemas.
c) Suponiendo p1 = p2 = p3 = 0,90, determinar la fiabilidad de los sistemas y compararlos.
1
3
2
(a) Circuito1
1 2
(b) Circuito2
1 2
3
(c) Circuito3
Figura 3.1: Funcion indicatriz y fiabilidad
I a) 1− (1− I1)(1− I2)(1− I3), I1I2, 1− (1− I1I2)(1− I3) b) 1− q1q2q3, p1p2, 1− (1− p1p2)q3
Universidad de Cantabria. Alberto Luceno y Fco. Javier Gonzalez 25
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Seccion 3: Variables aleatorias 6
Ejercicio 43. Determinar la funcion indicatriz y la fiabilidad de cadauno de los sistemas de la figura
3. VARIABLES ALEATORIAS
43.Determinar la funcion indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la figura 3.2
1 2
3 4
(a) Circuito4
1
2
1
2
(b) Circuito5
Figura 3.2: Funcion indicatriz y fiabilidad
Ia) I = 1− (1− I1I2)(1− I3I4), R = 1− (1− p1 p2)(1− p3 p4)
b) I = [1− (1− I1)(1− I2)][1− (1− I3)(1− I4)], R = (1− q1 q2)(1− q3 q4)
44.Determinar la funcion indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la figura 3.3
1 2
4 5
3
(a) Circuito6
1
2
3
4
(b) Circuito7
Figura 3.3: Funcion indicatriz y fiabilidad
Ia) I = 1− (1− I1I2)(1− I3)(1− I4I5), R = 1− (1− p1 p2)(1− p3)(1− p4 p5)
b) I = I1 + I2(1− I1)(I3 + I4 − I3 I4), R = p1 + p2(1− p1)(p3 + p4 − p3 p4)
45.Sea una variable aleatoria definida por su funcion de distribucion:
F (x) =
0 x < −20,4 −2 ≤ x < 0,50,8 0,5 ≤ x < 31 x ≥ 3
a) Representar F (x) y calcular la funcion de probabilidad de esta variable.
b) Calcular E(X).
I a) P (−2) = 0,4, P (0,5) = 0,4, P (3) = 0,2 b) E(X) = 0
46.Se lanza una moneda tres veces; sea X el numero de caras obtenidas. Hallar la funcion de probabi-lidad y de distribucion de X.
I P (0) = 1/8, P (1) = 3/8, P (2) = 3/8, P (3) = 1/8 ; F (0) = 1/8, F (1) = 4/8, F (2) = 7/8, F (3) = 1
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Ejercicio 44. Determinar la funcion indicatriz y la fiabilidad de cadauno de los sistemas de la figura
3. VARIABLES ALEATORIAS
43.Determinar la funcion indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la figura 3.2
1 2
3 4
(a) Circuito4
1
2
1
2
(b) Circuito5
Figura 3.2: Funcion indicatriz y fiabilidad
Ia) I = 1− (1− I1I2)(1− I3I4), R = 1− (1− p1 p2)(1− p3 p4)
b) I = [1− (1− I1)(1− I2)][1− (1− I3)(1− I4)], R = (1− q1 q2)(1− q3 q4)
44.Determinar la funcion indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la figura 3.3
1 2
4 5
3
(a) Circuito6
1
2
3
4
(b) Circuito7
Figura 3.3: Funcion indicatriz y fiabilidad
Ia) I = 1− (1− I1I2)(1− I3)(1− I4I5), R = 1− (1− p1 p2)(1− p3)(1− p4 p5)
b) I = I1 + I2(1− I1)(I3 + I4 − I3 I4), R = p1 + p2(1− p1)(p3 + p4 − p3 p4)
45.Sea una variable aleatoria definida por su funcion de distribucion:
F (x) =
0 x < −20,4 −2 ≤ x < 0,50,8 0,5 ≤ x < 31 x ≥ 3
a) Representar F (x) y calcular la funcion de probabilidad de esta variable.
b) Calcular E(X).
I a) P (−2) = 0,4, P (0,5) = 0,4, P (3) = 0,2 b) E(X) = 0
46.Se lanza una moneda tres veces; sea X el numero de caras obtenidas. Hallar la funcion de probabi-lidad y de distribucion de X.
I P (0) = 1/8, P (1) = 3/8, P (2) = 3/8, P (3) = 1/8 ; F (0) = 1/8, F (1) = 4/8, F (2) = 7/8, F (3) = 1
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Seccion 3: Variables aleatorias 7
Ejercicio 45. Sea una variable aleatoria definida por su funcion dedistribucion:
F (x) =
0 x < −2
0,4 −2 ≤ x < 0,50,8 0,5 ≤ x < 31 x ≥ 3
1. Representar F (x) y calcular la funcion de probabilidad de estavariable.
2. Calcular E(X).
Ejercicio 46. Se lanza una moneda tres veces; sea X el numero decaras obtenidas. Hallar la funcion de probabilidad y de distribucionde X.
Ejercicio 47. El numero medio de personas que acuden a un local esde 1000 con una desviacion tıpica σ = 20. ¿Cual es el numero de sillasnecesarias para asegurar que todos los asistentes puedan sentarse, conuna probabilidad de 0,75? (Usar la desigualdad de Chebyschev.)
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Seccion 3: Variables aleatorias 8
Ejercicio 48. Sea X variable aleatoria cuya distribucion de proba-bilidad viene dada por
P (X = r) =32
1r! (4− r)!
r = 0, 1, 2, 3, 4
P (X = r) = 0 para otros valores
Hallar P (X = 3); P (1 ≤ X ≤ 2,5) y P (X ≤ 2,5).
Ejercicio 49. Los artıculos en venta en unos grandes almacenes sesometen al control diario y , se estima que la probabilidad de que en
un dıa sean vendidos r artıculos defectuosos es23
(13
)r
. Determinar
la probabilidad de que en un dıa de los artıculos vendidos:
1. Dos o mas sean defectuosos.
2. Cinco sean defectuosos.
3. Tres o menos sean defectuosos.
4. Determinar la esperanza.
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Seccion 3: Variables aleatorias 9
3.2. Variables aleatorias continuas
Ejercicio 51. Sea X una variable aleatoria que tiene como funcionde densidad de probabilidad f(x) = a(1 + x2) si x ∈ (0, 3) y f(x) = 0en los demas casos. Se pide:
1. Hallar a y la funcion de distribucion de X.
2. Hallar la probabilidad de que X este comprendido entre 1 y 2.
3. P (X < 1).
4. P (X < 2|X > 1).
5. Calcular P (|X − µ| ≥ k σ), con k = 2.
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Seccion 3: Variables aleatorias 10
Ejercicio 52. Sea Y una variable aleatoria con funcion de densidaddada por:
pY (y) =
0,2 −1 ≤ y ≤ 00,2 + k y 0 < y ≤ 10 en el resto
1. Determinar el valor de k.
2. Determinar la funcion de distribucion, FY (y).
3. Calcular P (0 ≤ Y ≤ 0,5).
4. P (Y > 0,5|Y > 0,1).
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Seccion 3: Variables aleatorias 11
Ejercicio 53. La cantidad aleatoria de dinero ahorrado por una per-sona en un mes sigue una ley de probabilidad dada por:
F (x) =
0 x < 0x2 0 ≤ x < 112 1 ≤ x < 2x4 2 ≤ x < 41 4 ≤ x
donde x viene expresado en cientos de euros. Determinar la probabil-idad de que, en un mes la cantidad de dinero ahorrado:
1. Sea superior a 200 euros.
2. Sea inferior a 450 euros.
3. Sea superior a 50 euros y menor o igual a 250 euros.
4. Calcular el ahorro mensual medio.
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Seccion 3: Variables aleatorias 12
Ejercicio 54. Con objeto de establecer un plan de produccion, unaempresa ha estimado que la demanda aleatoria de sus potencialesclientes se comportara semanalmente con arreglo a la ley de probabil-idad definida por la funcion de densidad
pX(x) ={
38 (4x− 2x2), 0 ≤ x ≤ 2
0, en el resto
donde x viene expresada en millones de unidades. ¿Que cantidad Cdebera tener dispuesta a la venta, al comienzo de cada semana, parapoder satisfacer la demanda en dicho periodo con una probabilidadde 0,5?
Ejercicio 55. Cierta aleacion se forma con la mezcla fundida de dosmetales. La aleacion que resulta contiene cierto porcentaje de plomoX, que puede considerarse como una variable aleatoria. Suponiendoque X tiene la siguiente funcion de densidad de probabilidad:
pX(x) = 10−5 3x(100− x)5
, 0 ≤ x ≤ 100,
y que el beneficio neto G obtenido al vender esta aleacion, es una
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Seccion 3: Variables aleatorias 13
funcion del porcentaje de plomo: G = A + BX, se pide calcular elbeneficio esperado.
Ejercicio 56. Si la duracion en horas de cierto tubo de radio es unavariable aleatoria continua X con funcion de densidad
pX(x) =100x2
, x > 100,
SE PIDE:
1. Probabilidad de que un tubo dure menos de 200 horas si se sabeque el tubo funciona todavıa despues de 150 horas de servicio.
2. Si se instalan tres de estos tubos en un conjunto, probabilidadde que exactamente uno tenga que ser sustituido despues de 150horas de servicio.
3. ¿Cual es el numero mınimo de tubos n que se pueden poneren un sistema en paralelo, de modo que haya una probabilidad0,999 de que despues de 150 horas de servicio funcione todavıael sistema?
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Seccion 3: Variables aleatorias 14
Ejercicio 57. El tiempo de vida (en cientos de horas) de un transistores una variable aleatoria Z con funcion de distribucion
FZ(z) ={
0 z < 01− e−z2
0 ≤ z
SE PIDE:
1. Demostrar que FZ(z) es una funcion de distribucion.
2. Obtener la funcion de densidad de probabilidad pZ(z).
3. Calcular la probabilidad de que un determinado transistor duremas de 200 horas.
Ejercicio 58. Una estructura metalica puede sufrir, debido al calor,una dilatacion que (medida en cm) es una variable aleatoria X confuncion de densidad de probabilidad dada por:
pX(x) =
ax 0 ≤ x ≤ 3b 3 < x < 5
b3 (8− x) 5 ≤ x ≤ 8
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Seccion 3: Variables aleatorias 15
1. Sabiendo que la funcion de densidad de probabilidad es unafuncion continua de x, determinar a y b.
2. Calcular e interpretar la probabilidad de que la dilatacion seainferior a 3.
3. Si con un aparato se ha observado que la estructura ha dilatadomas de 3 cm, ¿con que probabilidad la dilatacion estara entre 3y 5 cm?
Ejercicio 59. Sea una variable aleatoria X, que tiene como funcionde densidad:
pX(x) =
{x + 650
−6 ≤ x ≤ 4
0 resto
1. Calcular la funcion de distribucion de X.
2. Hallar k, si P (k ≤ x ≤ k + 1) = 0,09.
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Seccion 3: Variables aleatorias 16
Ejercicio 60. La demanda, expresada en toneladas, de un determi-nado producto es una variable aleatoria cuya funcion de densidad es:
pX(x) =x
62 ≤ x ≤ 4
¿Cuales son la media, la varianza y la mediana de esta demanda?El fabricante del producto sabe que cada kilo vendido reporta unbeneficio de 12 euros, y cada kilo que queda sin vender supone unaperdida de 6 euros. Es por tanto, importante para el establecer cual esla cantidad a fabricar. Si el criterio para establecer dicha cantidad esel maximizar la ganancia esperada, determinar cual es la fabricacionoptima.
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Seccion 3: Variables aleatorias 17
3.3. Cambio de variable
Ejercicio 61. Sea X una variable aleatoria con E(X) = 2 y V ar(X) =0,5. Sea Y = 3X − 8. Hallar E(Y ) y V ar(Y ).
Ejercicio 62. Supongamos que una variable aleatoria X tiene funcionde densidad de probabilidad:
pX(x) = 2x 0 < x < 1
Determinar la funcion de densidad de probabilidad de las variables
1. Y = H1(X) = 3X + 1,
2. Z = H2(X) = e−X
3. W = H3(X) = X2
Ejercicio 63. Para medir la velocidad del aire se usa un tubo quepermite medir la diferencia de presion. Esta diferencia esta dada porR = 1
2d V 2, con d la densidad del aire (supuesta constante) y V lavelocidad del viento (en km/h). Si V es una funcion de densidad de
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Seccion 3: Variables aleatorias 18
probabilidad uniforme en (10, 20), encontrar la funcion de densidadde probabilidad de R.
Ejercicio 64. La tabla siguiente representa la distribucion de proba-bilidad conjunta de la variable aleatoria discreta (X, Y ). Determinar
Y \X 1 2 3
1 112
16 0
2 0 19
15
3 118
14
215
1. Calcular P (X = 2, Y = 1); P (X = 2); P (Y = 1) y P (X =3|Y = 2).
2. Calcular E(X); E(Y ) y Cov(X, Y ).
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Seccion 3: Variables aleatorias 19
Ejercicio 65. Dos lıneas de produccion fabrican artıculos. Supongaseque la capacidad es de 5 artıculos para la lınea I y de 3 artıculospara la lınea II. Sea (X, Y ) la representacion de la variable aleatoriabidimensional que da el numero de artıculos producidos por la lınea Iy por la lınea II:
Y \X 0 1 2 3 4 50 0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,091 0,01 0,02 0,04 0,05 0,06 0,082 0,01 0,03 0,05 0,05 0,05 0,063 0,01 0,02 0,04 0,06 0,06 0,05
1. Determinar la probabilidad del suceso: la lınea I produce masartıculos que la lınea II.
2. Hallar las distribuciones marginales.
3. Calcular P (X = 3) y P (Y = 1).
4. Calcular E(X) y E(Y ).
5. Calcular P (X = 2|Y = 2).
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Soluciones de Ejercicios 20
Soluciones de Ejercicios
Ejercicio 39. Sea x la variable aleatoria que proporciona la ganancia
x −1 1 2 3P (x) 125
21615216
75216
1216
E[X] = −1× 125216
+ 1× 15216
+ 2× 75216
+ 3× 1216
= −0,078
Ejercicio 39
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Soluciones de Ejercicios 21
Ejercicio 40.
1. Se verifica que P (xi) ≥ 0,∀i y∑n
i=1 P (xi) = 1
2. P (x ≤ 3) = Fx(3) = 0,3
3. P (x > 3) = 1− P (x ≤ 3) = 1− Fx(3) = 0,7
4. P (x = 1 ∪ x = 3 ∪ x = 5) = P (x = 1) + P (x = 3) + P (x = 5) =0,35
5. E[X] = 1× 0,05 + 2× 0,20 + · · ·+ 5× 0,25 = 3,65
Ejercicio 40
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Soluciones de Ejercicios 22
Ejercicio 41. Sea IA la variable aleatoria definida como
IA(x) =1 x ∈ A0 x 6∈ A
}E[IA] = 1× P (A) + 0× P (A) = P (A)
luego E[IA] indica la probabilidad de que la componente funcione.Ejercicio 41
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Soluciones de Ejercicios 23
Ejercicio 42.
1. Funcion indicatriz
a) 1− (1− I1)(1− I2)(1− I3)
b) I1I2
c) 1− (1− I1I2)(1− I3)
2. Fiabilidad
a) 1− q1q2q3,
b) p1p2
c) 1− (1− p1p2)q3
Ejercicio 42
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Soluciones de Ejercicios 24
Ejercicio 43.
1. Circuito 4I = 1− (1− I1I2)(1− I3I4)R = 1− (1− p1 p2)(1− p3 p4)
2. Circuito 4I = [1− (1− I1)(1− I2)][1− (1− I3)(1− I4)]R = (1− q1 q2)(1− q3 q4)
Ejercicio 43
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Soluciones de Ejercicios 25
Ejercicio 44.
1. Circuito 6I = 1− (1− I1I2)(1− I3)(1− I4I5)R = 1− (1− p1 p2)(1− p3)(1− p4 p5)
2. Circuito 7I = I1 + I2(1− I1)(I3 + I4 − I3 I4)R = p1 + p2(1− p1)(p3 + p4 − p3 p4)
Ejercicio 44
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Soluciones de Ejercicios 26
Ejercicio 45.
1.p(−2) = P (x = −2) = F (−2)− F (−2−) = 0,4− 0 = 0,4p(0,5) = P (x = 0,5) = F (0,5)− F (0,5−) = 0,8− 0,4 = 0,4p(3) = P (x = 3) = F (3)− F (3−) = 1− 0,8 = 0,2
2. E[X] = −2× 0,4 + 0,5× 0,4 + · · ·+ 3× 0,2 = 0
Ejercicio 45
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Soluciones de Ejercicios 27
Ejercicio 46. Sea x la variable aleatoria, numero de caras obtenidas:
funcion de probabilidad
p(0) =18
p(1) =38
p(2) =38
p(3) =18
funcion de distribucion
F (x) =
0 x < 018 0 ≤ x < 148 1 ≤ x < 278 2 ≤ x < 3
1 x ≤ 3
Ejercicio 46
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Soluciones de Ejercicios 28
Ejercicio 47. Sea x la variable aleatoria, el numero de personas queacuden. Nos piden hallar n con
P (x ≤ n) ≥ 0,75 =⇒ P (x > n) ≤ 0,25
restando µ = E[X] = 1000
P (x− µ > n− µ) ≤ 0,25
Comparando con la desigualdad
P (|x− µ| > kσ) ≤ 1k2
1k2
= 0,25 =14
=⇒ k = 2 n− µ = 2× 20
Se obtienen = 1040
Ejercicio 47
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Soluciones de Ejercicios 29
Ejercicio 48. Hallamos primero:
P (X = 0) =32
10! 4!
=116
P (X = 4) =32
14! 0!
=116
P (X = 1) =32
11! 3!
=14
P (X = 3) =32
13! 1!
=14
P (X = 2) =32
12! 2!
=38
P (X = 3) =14
P (1 ≤ X ≤ 2,5) = P (X = 1) + P (X = 2) =58
P (X ≤ 2,5) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) =1116
Ejercicio 48
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Soluciones de Ejercicios 30
Ejercicio 49. Sea x el numero de artıculos defectuosos vendidos enun dıa:
P (X = r) = p qr p =23
q =13
Es util hallar P (X > r) = qr+1. Pues:
1. P (X > 1) = q2.
2. P (X = 5) = p q5.
3. P (X ≤ 3) = 1− P (X > 4) = 1− q5.
4. Por ser x geometrica E[X] = 3
Ejercicio 49
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Soluciones de Ejercicios 31
Ejercicio 51.
1.∫ 3
0a (1 + x2) dx = 1 =⇒ a = 1
12 .
F (x) =∫ x
0
a (1 + s2) ds = a
[s +
13s3
]x
0
=112
(x +13x3)
2. P (1 < X < 2) = F (2)− F (1) =518
.
3. P (X < 1) = F (1) =19.
4. P (X < 2|X > 1) =P (1 < X < 2)
P (X > 1)=
F (2)− F (1)1− F (1)
=45144
.
Ejercicio 51
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Soluciones de Ejercicios 32
Ejercicio 52.
1. ∫ 0
−1
0,2 dy +∫ 1
0
(0,2 + ky) dy = 1 =⇒ k = 1,2
2.
F (y) =
0,2y + 0,2 −1 ≤ y ≤ 00,6y2 + 0,2 y + 0,2 0 < y ≤ 10 en el resto
3. P (0 ≤ Y ≤ 0,5) = F (0,5)− F (0) = 0,25.
4. P (Y > 0,5|Y > 0,1) =P (Y > 0,5)P (Y > 0,1)
=1− F (0,5)1− F (0,1)
= 0,71.
Ejercicio 52
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Soluciones de Ejercicios 33
Ejercicio 53.
1. P (X > 2) = 1− F (2) = 0,5.
2. P (X < 4,5) = F (4,5) = 1.
3. P (0,5 < X ≤ 2,5) = F (2,5)− F (0,5) = 3/8.
4. E[X] =∫ 4
0x f(x) dx = 1,75
Ejercicio 53
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Soluciones de Ejercicios 34
Ejercicio 54. Nos piden C de forma que
P (X < C) ≥ 0,5 ⇐⇒ FX(C) ≥ 0,5
luego ∫ C
0
38(4x− 2x2)dx ≥ 0,5
34C2 − 1
4C3 ≥ 0,5
3C2 − C3 − 2 ≥ 0 ⇐⇒ (C − 1)(C2 − 2C − 2) ≤ 0Como 0 ≤ C ≤ 1, C = 1.
Ejercicio 54
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Soluciones de Ejercicios 35
Ejercicio 55.Hallamos la E[X]
E[X] =10−5
5
∫ 100
0
3x2(100− x)dx = 50
luegoE[G] = A + 50 B
Ejercicio 55
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Soluciones de Ejercicios 36
Ejercicio 56.La funcion de distribucion es
FX(x) = 1− 100x
1.
P (x < 200|x > 150) =P (150 < x < 200)
P (x > 150)=
14
2. Sea Y el numero de tubos a sustituir de los tres, con p =FX(150) = 1/3 la probabilidad de que dure menos de 150 horas
P (Y = 1) =(
31
)p q2 =
49
3. Para el tiempo TP del sistema en paralelo dure menos de 150horas, es necesario que las n componentes duren menos de 150horas, luego:
P (TP > 150) = 1− pn ≥ 0,999 =⇒ n ≥ − log 0,001log 3
= 6,29
Ejercicio 56
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Soluciones de Ejercicios 37
Ejercicio 57.
1. Comprueba que se cumplen las propiedades dadas en la pagina84 del libro de teorıa.
2.
fZ(z) =dFZ(z)
dz= 2ze−z2
z > 0
3.P (Z > 2) = 1− P (Z < 2) = 1− (1− e−4) = e−4
Ejercicio 57
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Soluciones de Ejercicios 38
Ejercicio 58.
1. Por continuidadf(3−) = f(3+) =⇒ 3a = bf(5−) = f(5+) =⇒ b = b∫
f(x)dx = 1 = a
∫ 3
0
xdx + 3a
∫ 5
3
dx + a
∫ 8
5
(8− x)dx = 1
a =115
b =15
2.
P (X < 3) =115
∫ 3
0
xdx =310
3.
P (3 < x < 5|x > 3) =P (3 < x < 3)
P (x > 3)=
47
Ejercicio 58
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Soluciones de Ejercicios 39
Ejercicio 59.
1.FX(x) =
∫ x
−6
x + 650
dx =150
(12x2 + 6x + 18)
2.
P (k ≤ x ≤ k + 1) = FX(k + 1)− FX(k) = 0,09 =⇒ k = −2
Ejercicio 59
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Soluciones de Ejercicios 40
Ejercicio 60.Sea c la cantidad a fabricar y G(c, x) la ganancia
G(c, x) ={
12x− 6(c− x) 2 ≤ x ≤ c12c c < x ≤ 4
E[G(c, x)] =∫ c
2
(18x− 6c)x
6dx +
∫ 4
c
12cx
6dx
E[G(c, x)] = −12c3 + 18c− 8
dE[G(c, x)]dc
= −32c2 + 18 = 0 =⇒ c =
√12
Ejercicio 60
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Soluciones de Ejercicios 41
Ejercicio 61.
E(Y ) = E(3X − 8) = 3E(X)− 8 = −2V ar(Y ) = V ar(3X − 8) = 9V ar(X) = 4,5
Ejercicio 61
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Soluciones de Ejercicios 42
Ejercicio 62.Calculamos la funcion de distribucion de X:
FX(x) =∫ x
0
f(s)ds =∫ x
0
2sds =[s2]x0
= x2
1.
FY (y) = pY (Y ≤ y) = pX(3X + 1 ≤ y) = pX(X ≤ y − 13
) =
= FX
(y − 1
3
)=(
y − 13
)2
1 < y < 4
f(y) =23
(y − 1
3
)1 < y < 4
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Soluciones de Ejercicios 43
2.
FZ(z) = pZ(Z ≤ z) = pX(e−X ≤ z) = pX(X > − ln z) == 1− FX(− ln z) = 1− ln2 z e−3 < z < e−1
f(z) = −2ln z
ze−3 < z < e−1
3.
FW (w) = pW (W ≤ w) = pX(X2 ≤ w) = pX(−√
w ≤ X ≤√
w) == FX(
√w)− 0 = w 0 < w < 1
f(w) = 1 0 < w < 1
Ejercicio 62
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Soluciones de Ejercicios 44
Ejercicio 63.Calculamos la funcion de distribucion de v:
fV (v) =110
FV (v) =v − 10
1010 < v < 20
FR(r) = pR(R ≤ r) = PV
(12d V 2 ≤ r
)= PV
(0 ≤ V ≤
√2r
d
)=
= FV
(√2r
d
)=
√2rd − 10
1050d < r < 200d
fR(r) =1
10√
2dr50d < r < 200d
Ejercicio 63
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Soluciones de Ejercicios 45
Ejercicio 64.
Y \X 1 2 3 P (y)
1 112
16
0 312
2 0 19
15
1445
3 118
14
215
67180
P (x) 536
1936
13
1
1.
P (X = 2, Y = 1) =16
P (X = 2) =16
+19
+14
=1936
P (Y = 1) =112
+16
+ 0 =14
P (X = 3|Y = 2) =P (X = 3, Y = 2)
P (Y = 2)=
914
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Soluciones de Ejercicios 46
2. Calcular E(X); E(Y ) y Cov(X, Y ).
E(X) =1 · 536
+ 2 · 1936
+ 3 · 1236
=7939
E(Y ) =1 · 312
+ 2 · 1445
+ 3 · 67180
=358180
Cov(X, Y ) =1 · 1 · 112
+ 2 · 1 · 16
+ · · ·
= + · · ·+ 2 · 3 · 14
+ 3 · 3 · 215− E[x]E[y]
=0,7879
Ejercicio 64
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Soluciones de Ejercicios 47
Ejercicio 65.
1.
p(X > Y ) = p(X,Y )(1, 0) + p(X,Y )(2, 0) + · · ·+ p(X,Y )(5, 3)= 0,01 + 0,03 + 0,04 + · · ·+ 0,05 = 0,13
2. En la tabla figuran, la distribucion conjunta, y las distribucionesmarginales pX(x) y pY (y) de X e Y .
Y −X 0 1 2 3 4 5 pY (y)0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.251 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.262 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.253 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 0.24
pX(x) 0.03 0.08 0.16 0.21 0.24 0.28 1
3. Con la marginal de X, pX(x = 3) = 0,21. Con la marginal deY , pY (y = 1) = 0,26.
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Soluciones de Ejercicios 48
4.
E[X] = x1 · p(x1) + x2 · p(x2) + · · ·+ x5 · p(x5)= 0 · 0,03 + 1 · 0,08 + · · ·+ 5 · 0,28 = 3.39
E[Y ] = y1 · p(y1) + y2 · p(y2) + y3 · p(y3) + y4 · p(y4)= 0 · 0,25 + 1 · 0,26 + 2 · 0,25 + 3 · 0,24 = 1.48
5. p(X = 2|Y = 2) =p(X,Y )(x = 2, y = 2)
pY (y = 2)=
0,050,25
=15
Ejercicio 65
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