Varianza de AllanVarianza de AllanHerramienta para el diagnóstico de fallas en osciladoresHerramienta para el diagnóstico de fallas en osciladores
J. Mauricio López R.J. Mauricio López R.
Centro Nacional de Metrología Centro Nacional de Metrología CENAMCENAM
ContenidoContenido
1. Introducción
2. Algunos métodos de medición en Tiempo y Frecuencia
3. Varianza de Allan
4. Barras de Incertidumbre
5. Ejemplos de análisis de desempeño de osciladores utilizando la varianza de Allan
IntroducciónIntroducciónIntroducciónIntroducción
VARIANZA ESTÁNDARVARIANZA ESTÁNDAR vs
VARIANZA DE ALLAN
El uso de la varianza estándar en el análisis de la dispersión de
VARIANZA DE ALLAN
El uso de la varianza estándar en el análisis de la dispersión devariables dependendientes del tiempo puede conducir a problemasde divergencia cuando el número de mediciones tiende a infinito.Dicha divergencia puede ser originada por una fuerte correlaciónDicha divergencia puede ser originada por una fuerte correlaciónentre mediciones que introduce ruidos no blancos en las series demediciones. En el caso de la metrología de tiempo y frecuencia, porejemplo, la presencia de ruidos no blancos como el llamado ruido enejemplo, la presencia de ruidos no blancos como el llamado ruido enfrecuencia de paso aleatorio (Random Walk Frequency Noise)introduce una rápida divergencia en el análisis de estabilidad defrecuencia cuando se usa la varianza estándar. El uso de la llamadaVarianza de Allan se ha generalizado a nivel internacional paraexpresar la estabilidad de osciladores ya que es convergente para losprincipales ruidos no blancos presentes en señales de frecuencia yen series de tiempo. La varianza de Allan es una herramienta muyútil para el diagnóstico de fallas en osciladores.
Algunos métodos de medición enAlgunos métodos de medición en
Tiempo y FrecuenciaTiempo y Frecuencia
Mediciones de Diferencia de FaseMediciones de Diferencia de Fase
MEDICIONES DE DIFERENCIA DE FASE
1 0
200
PC InterfaseInterfasedede
ComunicaciónComunicación
Frec encia PatrónFrec encia Patrón
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
0 20 40 60 80 100 120
DATOS t=1S)
Adquisición de datos automatizado
Frecuencia Patrón Frecuencia Patrón para amarrar en para amarrar en
frecuencia al frecuencia al contadorcontador
P t ó d f iP t ó d f i
Instrumento bajo
Instrumento bajo Contador de
Intervalos de Patrón de referencia Patrón de referencia calibracióncalibraciónIntervalos de Tiempo
Frecuencia Frecuencia BajoBajoFrecuencia PatrónFrecuencia Patrón BajoBajo
CalibraciónCalibraciónFrecuencia Patrón Frecuencia Patrón para la calibraciónpara la calibración
Método de medición de diferencia de faseMétodo de medición de diferencia de fase
MEDICIONES DE DIFERENCIA DE FASE
150
180
60
90
120
0
30
60
AD
OS
-60
-30GR
A
-120
-90
-180
-150
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
DATOS(τ=1 s)
MEDICIONES DE DIFERENCIA DE FASE
150
180
60
90
120
0
30
60
AD
OS
-60
-30GR
A
-120
-90
-180
-150
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
DATOS(τ=1 s)
Inestabilidad en frecuencia (ruido)Frecuencia estable (oscilador ideal)
Φ(t)1
Time
V1-1
T1 T2 T3
Unstable Frequency (Real Oscillator)
Time
(t)
V(t) = V0 sin(2πν0t) Φ(t) = 2πν0t
Φ(t)1-1
T T T
V
TimeT1 T2 T3
V(t) =[V0 + ε(t)] sin[2πν0t + φ(t)] Φ(t) = 2πν0t + φ(t)
)t(d1)t(d1 φΦ
V(t) = salida del oscilador, V0 = Amplitud nominal pico-a-picoε(t) = amplitud de ruido ν = frecuencia nominal
t d)t(d
21= t d
)t(d21 = )t( 0
φ+ννπ
Φπ
frequency, ousInstantane
4-16
ε(t) = amplitud de ruido, ν0 = frecuencia nominalΦ(t) = fase , and φ(t) =ruido de fase
Varianza de AllanVarianza de AllanVarianza de AllanVarianza de Allan
La Varianza de Allan es la herramienta usada para el análisis de La Varianza de Allan es la herramienta usada para el análisis de mediciones de Tiempo y Frecuencia siendo un estimador de la mediciones de Tiempo y Frecuencia siendo un estimador de la di ió d l di i d t i d í l t bilid d d ldi ió d l di i d t i d í l t bilid d d ldispersión de las mediciones, determinando así, la estabilidad del dispersión de las mediciones, determinando así, la estabilidad del oscilador bajo calibración.oscilador bajo calibración.
Concepto de la Varianza de Allan
iii
xxy −= +1
1 ( )21iii yyy −=∆ +1 iiii xxxx +−=∆ ++ 12
2 2τ
( )22y 2
1σ iy∆= ( )222
2y 2
1σ ix∆=τ
Frecuencia FaseFrecuencia Fase
Varianza de Allan para Mediciones de FrecuenciaVarianza de Allan para Mediciones de Frecuencia
( ) ( )∑−1N
22 1( ) ( ) ( )∑=
+ −−
=1i
2i1i
0
2y yy
1N2σ
ττ
donde:donde: 2donde:donde:Varianza de AllanVarianza de Allan
Número de datos espaciados Número de datos espaciados ττ00
2yσ
Nτ
ii é ié i di ió d fdi ió d fyTiempo de observación = mTiempo de observación = mττ00
ii--ésimaésima medición de fasemedición de faseiy
m =2=2nn cálculos posiblescálculos posibles
Varianza de Allan para Mediciones de Diferencia de FaseVarianza de Allan para Mediciones de Diferencia de Fase
( ) ( ) ( )∑−
++ +−=mN
imimiy xxxN
22
222 2
221τσ ( ) ( ) ( )∑
=− iy mN 1
222 τ
donde:donde: 2donde:donde:Varianza de AllanVarianza de Allan
ii--ésimaésima medición de fasemedición de fase
2yσ
ixNúmero de datos espaciados Número de datos espaciados ττ00
Tiempo de observación = mTiempo de observación = mττ
Ni
τ Tiempo de observación = mTiempo de observación = mττ00
m =2=2nn cálculos posiblescálculos posibles
Barras de IncertidumbreBarras de IncertidumbreBarras de IncertidumbreBarras de Incertidumbre
Distribución Distribución χχ22
Para df < 100Para df < 1002
2
22 )( ys
dfχ = 2yσ
donde:donde:
D
2ys
donde:donde:Estimado de la Varianza de AllanEstimado de la Varianza de Allan
df Número de grados de libertadNúmero de grados de libertad
Distribucdf Número de grados de libertadNúmero de grados de libertad
Varianza de Allan verdaderaVarianza de Allan verdadera2yσ
ción X2
Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre
22 )( ys
dfχ = 2)(y
dfσ
χ =Barra InferiorBarra Inferior Barra SuperiorBarra Superior
( ) ( )22 dfsdfs ( )( )
( )( )025,0975.0 2
22 χ
σχ
dfsdfs yy
y <<( ) ( )025,0975.0 χχ
Tablas XTablas X22
Tabla XTabla X22
Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre
Para df > 100Para df > 100
Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre
1
Para df > 100Para df > 100
( ) ( )22 96,121025,0 −= hχ Barra Barra
SuperiorSuperior
( ) ( )22 96119750 += hχ B I f iB I f i( ) ( )96,12
975,0 += hχ Barra InferiorBarra Inferior
12dfhdonde:donde:
12 −= dfh
Número de Grados de LibertadNúmero de Grados de Libertad
White Phase ModulationWhite Phase Modulation( )( )
( )NmNNdf −+
=2
21( )mN
f−2
Flicker Phase ModulationFlicker Phase Modulation( )( )
⎥⎤
⎢⎡ ⎞
⎜⎛ −+⎞
⎜⎛ −
=112ln1lnexp NmNdfFlicker Phase ModulationFlicker Phase Modulation ⎥
⎦⎢⎣ ⎠
⎜⎝⎠
⎜⎝
=4
ln2
lnexpn
df
White Frquency ModulationWhite Frquency Modulation ( ) ( ) 42213 2
⎥⎤
⎢⎡ −−
=mNNdfWhite Frquency ModulationWhite Frquency Modulation
542 2 +⎥⎦⎢⎣−=
mNmdf
NBS Technical note 679NBS Technical note 679
Número de Grados de LibertadNúmero de Grados de Libertad Continuación…Continuación…
( ) 122 −NdfFlicker Frequency ModulationFlicker Frequency Modulation
( )
25
19,43,2
2
≥
=−
=
Ndf
mparaN
df
( ) 234
≥+
= mparamNm
df
RandomRandom--Walk Frequency Walk Frequency ( ) ( )( )2
22 41312 +−−−−=
mNmNNdfq yq yModulationModulation ( )23−Nm
df
NBS Technical note 679NBS Technical note 679
Dependencia temporal de Dependencia temporal de σσyy((ττ))
τ-1
σy(τ) τ-1
τ0τ-1/2 τ1/2
Tipo de White Flicker White Flicker Random
Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una
ruido: phase phase freq. freq. walk freq.
Por debajo del ruido fliker , los cristales de cuarzo tipicamente tienen unadependencia τ-1 (white phase noise). Los patrones atómicos de frecuenciamuestran una dependencia del tipo τ-1/2 (white frequency noise) para tiempos depromediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y τ-1 para tiempos
d l ti d t Ti i t l ’ l id fli k 1
4-25
menores del tiempo de ataque. Tipicamente los τ’s para el ruido flicker son: 1 spara osciladores de cuarzo, 103s para relojes de rubidio y 105s para Cesio.
Dependencia temporal de Dependencia temporal de σσyy((ττ))
τ-1
σy(τ) τ-1
τ0τ-1/2 τ1/2
Tipo de White Flicker White Flicker Random
Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una
ruido: phase phase freq. freq. walk freq.
Por debajo del ruido fliker , los cristales de cuarzo tipicamente tienen unadependencia τ-1 (white phase noise). Los patrones atómicos de frecuenciamuestran una dependencia del tipo τ-1/2 (white frequency noise) para tiempos depromediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y τ-1 para tiempos
d l ti d t Ti i t l ’ l id fli k 1
4-25
menores del tiempo de ataque. Tipicamente los τ’s para el ruido flicker son: 1 spara osciladores de cuarzo, 103s para relojes de rubidio y 105s para Cesio.
Ejemplos de análisis de desempeño de osciladoresEjemplos de análisis de desempeño de osciladoresEjemplos de análisis de desempeño de osciladores Ejemplos de análisis de desempeño de osciladores utilizando la varianza de Allanutilizando la varianza de Allan
Con problemaCon problema
Universal Time Interval CounterUniversal Time Interval CounterSR620SR620
• 1 hora de medición.• τ de 1 s.• f=10 MHz
Con problemaCon problema
Universal CounterUniversal CounterHP53131A (Horneado)HP53131A (Horneado)
10 horas de medición.10 horas de medición.ττ de 1 s.de 1 s.f= 10 MHzf= 10 MHz
Sin problemaSin problema
Universal CounterUniversal CounterHP53131A (Horneado)HP53131A (Horneado)
10 horas de medición.10 horas de medición.ττ de 1 s.de 1 s.f= 10 MHzf= 10 MHz