UNIDAD 1:
VECTORES
Marc
os
Guerr
ero
1
Por: Marcos Guerrero.
2
Ma
rco
s G
ue
rre
ro REPASO DE VECTORES
3
Ma
rco
s G
ue
rre
ro
4
Ma
rco
s G
ue
rre
ro
5
Ma
rco
s G
ue
rre
ro
Marc
os
Guerr
ero
6
SISTEMAS DE COORDENADAS ESPACIALES.
x
y
z
z
x
y
y
z
x
Sistema de coordenadas espaciales que contiene:
•3 ejes que son perpendiculares entre sí x, y, z.
•3 planos x-y, x-z, y-z.
•8 octantes :
X(+), y(+),z(+). X(+), y(+),z(-). X(+), y(-),z(+). X(-), y(+),z(+).
X(-), y(-),z(+). X(-), y(+),z(-). X(+), y(-),z(-). X(-), y(-),z(-).
UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL SISTEMA DE COORDENADAS ESPACIALES.
Marc
os
Guerr
ero
7
• En el origen, las 3 coordenadas valen cero.
(0,0,0)
z
x
y
a
b
c
(a,0,0)
(0,b,0)
(0,0,c)
(a,b,0)
(a,0,c)
(0,b,c)
(a,b,c)
(x,y,z) Triada ordenada
Cuando el punto de coordenadas está:
• En el eje, 2 coordenadas valen cero.
• En el plano, una coordenada vale cero.
• En el espacio, las 3 coordenadas son diferente de cero.
VECTORES EN EL ESPACIO.
Marc
os
Guerr
ero
8
z
x
y
a
xa ya
za
z
x
y xa
ya
za
a
zyx aaaa
kajaiaa zyxˆˆˆ
son llamados componentes ortogonales del vector o proyecciones del vector a lo largo de los ejes x,y,z respectivamente.
zyx aaa
,,a
a Representación de un vector utilizando
vectores unitarios
Observar que la proyección del vector en el plano XZ son las componentes del vector en los ejes x y z respectivamente
a
a
Ma
rco
s G
ue
rre
ro
9
REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR
UTILIZANDO VECTORES UNITARIOS
(VECTORES BASES). ¿Qué es un vector base?
Es un vector unitario que posee dirección y cuya magnitud es igual a la
unidad. Se localizan en los ejes x, y e z tal como se muestra en la figura
10
Ma
rco
s G
ue
rre
ro
¿Para qué se utiliza los vectores base?
Se lo utiliza para darle dirección a las componentes de un vector
Marc
os
Guerr
ero
11
¿Qué ocurre si el vector se encuentra en un plano o en un eje?
Si el vector se encuentra en un plano sólo tiene dos componentes y si se encuentra en un eje sólo tiene una componente.
z
x
y
a
xaa
za
z
x
y
zx aaa
xa
MAGNITUD DE UN VECTOR EN EL ESPACIO.
Marc
os
Guerr
ero
12
a
Conociendo las 3 componentes ortogonales del vector , demostrar que su magnitud viene dada por la expresión:
222
zyx aaaa
DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN EL ESPACIO.
Marc
os
Guerr
ero
13
z
x
y
a
xa
ya
za
α
β
γ
α,β,γ se llaman ángulos directores y son los
ángulos que determinan la dirección de un
vector en el espacio.
α es el ángulo que forma el vector con el eje x(+) a
β es el ángulo que forma el vector con el eje y(+) a
γ es el ángulo que forma el vector con el eje z(+) a
Marc
os
Guerr
ero
14
¿Cómo se determinan los ángulos que forma el vector con los ejes negativos? a
x(+) x(-)
a
α 1800 -α
1800-α es el ángulo que forma el vector con el eje x(-) a
1800 -βes el ángulo que forma el vector con el eje y(-) a
1800 -γes el ángulo que forma el vector con el eje z(-) a
Marc
os
Guerr
ero
15
ax
a
α
ay
a
β
az
a
γ
Con ayuda de los cosenos directores.
¿Cómo se determinan los ángulos directores?
Conociendo las ángulos directores del vector , demostrar que los 3 ángulos directores están relacionados por la expresión:
a
a
aCos x
z
x
y
a
xa ya
za
a
aCos
y
1222 CosCosCos
a
aCos z
GRAFICANDO UN VECTOR EN EL ESPACIO.
Marc
os
Guerr
ero
16
)(4ˆ2ˆ3 mkjia
Graficar el vector
x
y
z
a
17
Ma
rco
s G
ue
rre
ro
18
Ma
rco
s G
ue
rre
ro
19
Ma
rco
s G
ue
rre
ro
Marc
os
Guerr
ero
20
VECTOR UNITARIO ( )
Es un vector que posee una dirección y cuya magnitud es igual a la unidad.
Todo vector posee su vector unitario.
z
x
y
a
a
Definición:
Los vectores y tienen la misma dirección.
a
a
a
El vector es adimensional.
a
aa
a : vector unitario del vector a
Marc
os
Guerr
ero
21
kajaiaa zyxˆˆˆ
a
kajaia zyx
a
ˆˆˆ
ka
aj
a
ai
a
a zyxa
ˆˆˆ
kCosjCosiCosaˆˆˆ
222
zyx aaaa
En función de las componentes y
la magnitud
En función de los cosenos
directores
Marc
os
Guerr
ero
22
Dos vectores, uno de velocidad y otro de fuerza, tienen magnitudes diferentes e iguales
direcciones. ¿Tienen el mismo vector unitario? Explique su respuesta.
V F
Ambos tienen el mismo vector unitario.
V
F
Ambos vectores unitarios tienen la misma magnitud y la misma dirección.
1 FV
MULTIPLICACIÓN ENTRE
VECTORES.
Marc
os
Guerr
ero
23
oPueden ser de igual o de diferentes unidades.
oExisten dos tipos:
•Producto punto o producto escalar.
vectorvectorescalar
•Producto cruz o producto vectorial.
vectorvectorvector
sFW
Fr
Marc
os
Guerr
ero
24
PRODUCTO PUNTO.
También llamado producto escalar.
Definición:
A
B es el ángulo entre los vectores
y .
CosBABA
Viene dado en unidades cuadradas sólo
si los vectores que se multiplican
tienen unidades u.
Marc
os
Guerr
ero
25
PROPIEDADES DEL
PRODUCTO PUNTO.
Propiedad Conmutativa: ABBA
Propiedad Distributiva: CABACBA
)(
Propiedad de
Homogenidad:
)()()( BmABAmBAm
donde m es un escalar
Propiedad de Positividad: 2
AAA
0
Asi
Marc
os
Guerr
ero
26
PRODUCTO PUNTO ENTRE
VECTORES UNITARIOS . kji ˆ,ˆ,ˆ
Producto punto entre vectores unitarios iguales .
1ˆˆ
0ˆˆˆˆ 0
ii
Cosiiii
Utilizando la definición de producto punto tenemos:
1ˆˆ jj 1ˆˆ kk
El producto punto entre dos vectores unitarios iguales siempre es
igual a 1.
En general, el producto punto entre dos vectores unitarios paralelos
y de la misma dirección siempre es igual a 1.
Marc
os
Guerr
ero
27
Producto punto entre vectores unitarios perpendiculares.
0ˆˆ
90ˆˆˆˆ 0
ji
Cosjiji
Utilizando la definición de producto punto tenemos:
0ˆˆ kj 0ˆˆ ik
El producto punto entre dos vectores unitarios perpendiculares
siempre es igual a 0.
Marc
os
Guerr
ero
28
PRODUCTO PUNTO ENTRE DOS
VECTORES.
Sean los vectores y : A
B
kBjBiBB
kAjAiAA
ZYX
ZYX
ˆˆˆ
ˆˆˆ
demostrar que: ZZYYXX BABABABA
Marc
os
Guerr
ero
29
ZZYYXX BABABABA
Para utilizar esta ecuación se considera el signo de las componentes.
Marc
os
Guerr
ero
30
APLICACIONES DEL PRODUCTO
PUNTO.
Se lo puede utilizar para:
•Determinar el ángulo entre dos vectores.
•Determinar proyecciones escalares y vectoriales de un vector
sobre otro vector.
ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES UTILIZANDO EL
PRODUCTO PUNTO.
Recordemos que para determinar el ángulo entre dos vectores deben
estar unidos por un mismo punto de aplicación.
Marc
os
Guerr
ero
31
Para determinar el ángulo entre dos vectores podemos utilizar la
ecuación:
BA
BACos
1
Marc
os
Guerr
ero
32
PROYECCIÓN ESCALAR Y VECTORIAL DE UN
VECTOR SOBRE OTRO VECTOR.
Proyección escalar de un vector sobre otro vector.
A
B
Imaginemos que tenemos dos vectores y unidos por un mismo
punto de aplicación. A
B
Vamos a determinar la
proyección escalar del
vector sobre el vector
que se lo denota como .
A
B
BA
BA
Marc
os
Guerr
ero
33
Del gráfico anterior tenemos:
CosAAB
Si comparamos con la definición de producto punto:
CosBABA
La ecuación anterior la podemos expresar como:
BABBA
Despejando : BAB
BAAB
Marc
os
Guerr
ero
34
Proyección vectorial de un vector sobre otro vector. Del gráfico anterior tenemos:
A
B
BA
Dibujemos el vector unitario
del vector ( ). B
B
Donde:
B
BB
B
BA Ahora dibujemos la
proyección vectorial del vector
sobre el vector y lo
denotamos .
A
B
BA
Marc
os
Guerr
ero
35
Del gráfico, podemos observar que:
BBB AA
36
Ma
rco
s G
ue
rre
ro
37
Ma
rco
s G
ue
rre
ro
38
Ma
rco
s G
ue
rre
ro
Marc
os
Guerr
ero
39
PRODUCTO CRUZ.
También llamado producto vectorial.
Definición:
A
B
es el ángulo entre los vectores
y .
Viene dado en unidades cuadradas sólo
si los vectores que se multiplican
tienen unidades u.
SenBABA
Magnitud
Marc
os
Guerr
ero
40
Con la regla de la mano derecha:
“Consiste en colocar la mano derecha en el primer vector de la operación,
luego rotar y cerrar los dedos hacia el segundo vector de la operación(la menor
rotación), al levantar el pulgar este dará la dirección del vector resultante”
¿Cómo se determina la dirección del vector ? BA
El producto vectorial sólo
existe en el espacio
tridimensional. CB
CA
Marc
os
Guerr
ero
41
¿Cómo se determina la dirección del vector ? AB
CB
CA
PROPIEDADES DEL
PRODUCTO CRUZ.
Marc
os
Guerr
ero
42
Propiedad homogenidad
escalar
BABABA
:
)()()(
ABBA
Propiedad anti-conmutativa
CABACBA
)(Propiedad distributiva
0
BA si BA
//
Marc
os
Guerr
ero
43
PRODUCTO CRUZ ENTRE
VECTORES UNITARIOS . kji ˆ,ˆ,ˆ
Producto cruz entre vectores unitarios perpendiculares.
kji ˆˆˆ
i
j
k
jik ˆˆˆ
ikj ˆˆˆ i
j
k
kij ˆˆˆ
jki ˆˆˆ
ijk ˆˆˆ
Marc
os
Guerr
ero
44
Producto cruz entre vectores unitarios iguales.
0ˆˆ
ii
0ˆˆ
jj
0ˆˆ
kk
El producto vectorial de dos
vectores unitarios iguales es el
vector nulo.
Marc
os
Guerr
ero
45
PRODUCTO CRUZ ENTRE DOS
VECTORES.
Sean los vectores y : A
B
kBjBiBB
kAjAiAA
ZYX
ZYX
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ZYX
ZYX
BBB
AAA
kji
BAC
ˆˆˆ
fila
columna
Marc
os
Guerr
ero
46
kBB
AAj
BB
AAi
BB
AA
BBB
AAA
kji
BACYX
YX
ZX
ZX
ZY
ZY
ZYX
ZYXˆˆˆ
ˆˆˆ
kCjCiCC ˆˆˆ131211
donde:
YZZY BABAC 11
XZZX BABAC 12
XYYX BABAC 13
Marc
os
Guerr
ero
47
A
B
¿Cómo se determina el área del paralelogramo formado
por los vectores y ?
A
B
Altura
Base
ABase
SenBAltura
B
AlturaSen
SenBAArea
AlturaBaseArea
Marc
os
Guerr
ero
48
Si la comparamos con la ecuación:
SenBABAC
Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores y
viene dada por la magnitud del vector .
A
B
C
BACArea
Marc
os
Guerr
ero
49
A
B
A
B¿Cómo se determina el área del triángulo formado por los
vectores , y ? BA
BA
Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores , y
viene dada por la mitad de la magnitud del vector .
A
B
C BA
22
BACArea
Marc
os
Guerr
ero
50
APLICACIONES DEL PRODUCTO
CRUZ.
Se lo puede utilizar para:
•Determinar un vector perpendicular al plano formado por dos
vectores.
•Determinar el área del paralelogramo formado por dos
vectores.
•Determinar el área del triángulo formado por tres vectores.
51
Ma
rco
s G
ue
rre
ro
52
Ma
rco
s G
ue
rre
ro
Marc
os
Guerr
ero
53
TRIPLE PRODUCTO ENTRE
VECTORES .
A
B
D
BAC
Vamos a determinar el producto
cruz entre los vectores y
( ). B
BAC
A
CD
Vamos a determinar la
proyección escalar del vector
sobre el vector ( ). D
C
CD
Marc
os
Guerr
ero
54
Podemos observar del gráfico anterior que la proyección escalar del vector
sobre el vector es la altura del paralelepípedo. D
C
C
CDDh C
BA
BADh
Donde es el área de la base del paralelepípedo. BA
Marc
os
Guerr
ero
55
Ahora si multiplicamos la altura del paralelepípedo por el área de la
base del paralelepípedo obtenemos el volumen del paralelepípedo,
entonces tenemos que:
BADBAhVolumen
BADVolumen
56
Ma
rco
s G
ue
rre
ro
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