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512.8F543ns2 Grupo Fénix
Matemática 10; Un Enfoque con base en laResolución de Problemas-4. Ed.- San José, C.R.: Grupo Fénix., 2013. 150p.
ISBN: 9768-14-754-01. Matemáticas – Estudio y Enseñanza.2. Matemáticas – Problemas, ejercicios, etc.
Copyright 2013
Grupo Fénix
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin autorización escrita del Grupo Fénix.
Pedidos al 2494-8133; 8301-8947 ó 8855-1678
Correo electrónico: [email protected]
Diseño y armado
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Diseño de portada
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INTRODUCCIÓNPrimero, es conveniente hacer una breve aclaración sobre nuestro nombre y símbolo (Ave Fénix Tribal),
se tiene como referente histórico-ideológico el mito del Ave Fénix que alimentó varias doctrinas y concepcionesreligiosas de supervivencia en el Plus Ultra, pues el Fénix muere para renacer con toda su gloria. Se trataba deun ave fabulosa que se consumía por acción del fuego cada 500 años, para luego resurgir de sus cenizas. Esdecir, el GRUPO FÉNIX representa un nuevo comienzo, un resurgimiento, levantarse de las cenizas, espor esta razón que es nuestro emblema.
Segundo, el presente texto pretende ser un material de apoyo en el proceso de enseñanza yaprendizaje de la matemática, exponiendo de forma pragmática y didáctica todos los Conocimientos,Habilidades Específicas e Indicaciones Puntuales expuesta y vigentes en el Programa de Estudio enMatemáticas (Transición 2013), con base en los Programas de Estudio en Matemática aprobados por elConsejo Superior de Educación el 21 de mayo de 2012, considerando como referente metodológico el enfoquecon base en la resolución de problemas, propuesto en los Nuevos Programas de Estudio.
Después de muchos años de trabajo, un grupo de profesionales en la Enseñanza de la Matemática nospropusimos elaborar una propuesta pragmática y didáctica basada en la resolución de problemas que propicieel desarrollo de competencias matemáticas en el estudiante, y hemos querido tomar siempre en cuenta a losdocentes en servicio, es así que, agradecemos en las siguientes páginas las sugerencias, los aportes, loscomentarios y hasta las inquietudes presentadas por los profesores de matemática de todo el país, quienes deuna u otra forma han permitido que tengamos un mejor libro de texto cada año.
Un problema que consideramos sustantivo, consiste en que algunos docentes guiados por otros textos,desconocen de forma fidedigna el Programa de Estudio con todos sus elementos que lo conforman, llámeseestos, Conocimientos, Habilidades Específicas e Indicaciones Puntuales, provocando que se trabaje en el aulacontenidos que no están en las directrices curriculares del MEP, o en su defecto, alcanzando niveles deprofundización de temas que no se consideran “importantes” para las habilidades generales previstas para eleducando en cada año de su respectivo ciclo. Es por este motivo, que hemos insertado textualmente dichoselementos (en algunos casos planteamos inclusive los mismos problemas que citan en las IndicacionesPuntuales, nunca con el afán de atribuirnos tales derechos de autor, por el contrario, respetamos y citamos quetales problemas pertenecen a los Programas de Estudio en Matemáticas del Ministerio de Educación de CostaRica), de modo que sean el verdadero referente para las actividades de mediación que el docente proponga.
Tercero, esta nueva edición 2013 contempla una situación problema al inicio de cada tema, permitiendoal docente y al estudiante incursionar en la nueva temática partiendo de un reto de la vida cotidiana, intentandoaprehender del estudiante los conocimientos previos y fomentar para la vida el principio filosófico queconsideramos eje transversal de la educación en general –los problemas son para resolverlos–
Sin embargo, teniendo en cuenta la diversidad de capacidades que presentan los estudiantes en lasaulas, el deseo de los docentes por preparar a sus estudiantes con bases sólidas en los principales contenidosde esta disciplina, hemos mejorado esta versión 2013 con una sugerencia de trabajo extraclase y ejercicios deprofundización para cada trabajo cotidiano propuesto.
El material está constituido por niveles de conocimiento, en el cual la teoría, los ejemplos y los trabajoscotidianos mantienen una dificultad partiendo de lo más elemental a lo más complejo, además toda la obra sedesarrolla en fichas didácticas para una mejor comprensión de los educandos.
Cuarto y último, en una investigación previa realizada por el Grupo Fénix con un grupo focal dedocentes de una Región Educativa, nos dicta que en la mayoría de los casos los estudiantes buscan primero lasrespuestas antes de resolver los ejercicios y problemas, incluso, algunos cuestionan y dudan de la capacidaddel docente cuando las respuestas de este último no coinciden con las ofrecidas por el libro, a pesar que enmuchos casos son errores de los diagramadores a la hora de transcribir las respuestas en los formatos digitalesantes de ser impresos; por tanto, no se adjuntan las respuestas. Sin embargo, junto a nuestros librosofrecemos a cada docente un dispositivo de almacenamiento masivo con las respuesta en electrónico para quelas utilice según considere mejor con sus estudiantes, e incluimos una serie de materiales de apoyo para eldocente de matemática, que busca simplificar al menos un poco tanto trabajo que tiene sobre sus hombroscada docente en su ejemplar labor como formador de nuestros jóvenes estudiantes que participan en suslecciones.
“El estudio de la matemática debe ser el comienzo del conocimiento depurado” (Los autores, 2009)
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RECONOCIMIENTOS
Sr. Adolfo Méndez CorralesProfesor de MatemáticaC.T.P. Santa Elena
Sra. Ana Cristina Herrera V.Profesora de MatemáticaI.E.G.B. Andrés Bello
Sr. Benjamín RodríguezProfesor de MatemáticaLiceo del Pacífico
Sra. Cindy Marín S.Profesora de MatemáticaVirtual Marco Tulio Salazar
Sra. Adriana MarínProfesora de MatemáticaI.E.G.B. América Central
Sra. Ana Grace AriasProfesora de MatemáticaLiceo Rural de CabecerasTilarán
Sr. Bernal LunaProfesor de MatemáticaLiceo Salvador Umaña
Sra. Cindy Ovando G.Profesora de MatemáticaI.P.E.C. Sindea Arabela Jiménezde Bolio
Sr. Alberto Rodríguez JirónProfesor de MatemáticaParrita
Sra. Ana Grace CarranzaProfesora de MatemáticaLiceo Purral de Cabeceras
Sr. Bryan Aguilar ÁlvarezProfesor de MatemáticaJorgue Bolio de la LuchaSabalito
Sr. Cristhian CalderónProfesor de MatemáticaLiceo Julio Fonseca Gutiérrez
Sr. Alex Canales BenavidesProfesor de MatemáticaSindea 28 Millas
Sra. Ana Isabel Noguera E.Profesora de MatemáticaLiceo Santa Cruz
Sr. Carlos Cordero CorderoProfesor de MatemáticaC.T.P. Mansión de Nicoya
Sr. Cristian Barrientos Q.Profesor de MatemáticaLiceo de Chomes
Sr. Alexander LópezProfesor de MatemáticaItskatzu Educación Integral
Sra. Ana Margarita Angulo C.Profesora de MatemáticaC.T.P. 27 de Abril
Sr. Carlos Edo Gómez GarcíaProfesor de MatemáticaSindea Jícara
Sr. Cristian CalderónProfesor de MatemáticaLiceo Julio Fonseca Gutiérrez
Sr. Alexander Solano G.Profesor de MatemáticaLiceo Unesco
Sra. Andrea AriasProfesora de MatemáticaC.T.P. de Heredia
Sr. Carlos Gónzalez A.Profesor de MatemáticaLiceo de Cervantes
Sr. Cristian Chávez Z.Profesor de MatemáticaLiceo Alejandro Aguilar Machado
Sra. Alexandra Mata DelgadoProfesora de MatemáticaC.T.P. General de PérezZeledón
Sra. Andrea Jiménez JiménezProfesora de MatemáticaLiceo Sta. Ana
Sr. Carlos MoraProfesor de MatemáticaColegio de los Ángeles
Sr. Cristian Peralta CruzProfesor de MatemáticaLiceo El Carmen de Nandayure
Sr. Alexis Torres OrtegaProfesor de MatemáticaLiceo San Diego Tres Ríos
Sra. Andrea MadrigalProfesora de MatemáticaLiceo León Cortez Castro
Sr. Carlos RetanaProfesor de MatemáticaGreen Valley
Sr. Cristian Rojas CarrilloProfesor de MatemáticasLiceo Experimental Bilingüe LosÁngeles.
Sr. Alfonso Mora FallasProfesor de MatemáticaJohn F. Kennedy High School
Sra. Andrea VenegasProfesora de MatemáticaDeportivo Santo Domingo
Sra. Carmen Liley MonteroProfesora de MatemáticaLiceo Experimental BilingüeGrecia, Alajuela
Sra. Cristina Sánchez LariosProfesora de MatemáticaRincón Grande de Pavas
Sr. Alfonso RojasProfesor de MatemáticaColegio Sta. Gertrudis
Sra. Andreina Vásquez RojasProfesora de MatemáticaC.T.P. Bolívar
Sra. Carmen Quesada V.Profesora de MatemáticaLiceo Escazú
Sr. Daniel CéspedesProfesor de MatemáticaLiceo Coronado
Sr. Allan Chanto ToleivaProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno San PedroPérez Zeledón
Sr. Andrés CubilloProfesor de MatemáticaSan Enrique de Osso
Sra. Carmen RodríguezProfesora de MatemáticaSan Paul College
Sr. Daniel LeónProfesor de MatemáticaC.T.P. Platanales
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Sr. Allan MairenaProfesor de MatemáticaLiceo San José
Sr. Ariel GómezProfesor de MatemáticaColegio Talamanca
Sra. Carolina FloresProfesora de MatemáticaSaint Benedicto
Sr. Danny Gaitán RodríguezProfesor de MatemáticaLiceo Francisco Amigutti
Sr. Álvaro Barbosa SalasProfesor de MatemáticaLiceo Pacto del Jocote
Sra. Beatriz MonteroProfesora de MatemáticaEsc. Internacionales Cristianas
Sra. Cecilia Pérez SalasProfesora de MatemáticaLiceo Poasito
Sr. David Alexis Alfaro AlfaroProfesor de MatemáticaLiceo Sta. Gertrudis Norte
Sr. David Alfaro VíquezProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno NuevasOportunidades
Sr. Eliecer Madrigal DelgadoProfesor de MatemáticaBilingüe Naciones Unidas
Sr. Francisco Quesada S.Profesor de MatemáticaInst. Pedagógico Caminante
Sra. Hannia Leiva FallasProfesora de MatemáticaLiceo Sinaí Diurno
Sr. David SolanoProfesor de MatemáticaEnrique Malavassi Vargas
Sr. Emanuel Alvarado R.Profesor de MatemáticaColegio Telesecundaria MaríaDrake
Sra. Gabriela BonillaProfesora de MatemáticaInstituto CentroamericanoAdventista
Sr. Harold CamposProfesor de MatemáticaCentro Educativo CatólicoSan José
Sra. Denia RodríguezProfesora de MatemáticaBilingüe del Caribe
Sr. Erick Araya UrtadoProfesor de MatemáticaLiceo las Delicias
Sra. Gabriela ZúñigaProfesora de MatemáticaLiceo Experimental Moravia
Héctor Castro CastilloProfesor de MatemáticaColegio Marco Tulio Salazar
Sra. Denia Salas NuñesProfesora de MatemáticaColegio Patriarca San José
Sr. Erick Gómez U.Profesor de MatemáticaC.T.P. Ambientalista Isaías Ret.Arias
Sr. Gerardo Arroyo BrenesProfesor de MatemáticaLiceo Ambientalista
Sra. Heilyn Vargas C.Profesora de MatemáticaC.T.P Platanales
Sr. Diego Gómez ChavarríaProfesor de MatemáticaLiceo Costa Rica
Sra. Erika Ureña FallasProfesora de MatemáticaC.T.P. Pérez Zeledón San Isidro
Sr. Gerardo RamírezProfesor de MatemáticaLiceo regional de Flores
Sr. Henrry VillarrealProfesor de MatemáticaColegio Los Delfines
Sra. Dilsia Navarro DuránProfesora de MatemáticaI.E.G.B. Limón
Sr. Ernesto Villareal BarrantesProfesor de MatemáticaC.T.P. Cartagena
Sr. Gerardo Rodríguez BarriosProfesor de MatemáticaLiceo Turrúcares
Sra. Mariela SolanoProfesora de MatemáticaColegio Los Delfines
Sra. Doriana Quirós AriasProfesora de MatemáticaLiceo Coronado
Sra. Estefannie BarbosaProfesora de MatemáticaColegio Nocturno Hernán LópezHernández
Sr. Gilberto MonteroProfesor de MatemáticaLiceo Samuel Sáenz Flores
Sr. Helbert Jiménez ChinchillaProfesor de MatemáticaLiceo Costa Rica
Sr. Edgar CamposProfesor de MatemáticaLiceo Diurno de Ciudad Colón
Sra. Estrella León HernándezProfesora de MatemáticaLiceo Santa Cruz
Sra. Gloria BadillaProfesora de MatemáticaColegio Pacto del Jocote
Sr. Hubert MongeProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno MonseñorRubén Odio
Sr. Eduardo Robles UreñaProfesor de MatemáticaSindea Upala
Sra. Ethilma Jiménez R.Profesora de MatemáticaInstituto Guanacaste
Sra. Gloria BadillaProfesora de MatemáticaLiceo Sabanilla
Sra. Ileana Cascante V.Profesora de MatemáticaLiceo Nocturno Juan Santamaría
Sr. Eduardo RodríguezProfesor de MatemáticaLiceo Edgar Cervantes Villalta
Sra. Eva Arevalo PorrasProfesora de MatemáticaI.P.E.C. de Barva de Heredia
Sra. Grettel Guitiérrez RuizProfesora de MatemáticaLiceo Utilio Ulate Blanco
Sra. Ileana Lescano R.Profesora de MatemáticaC.T.P Talamanca Bribri Limón
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Sr. Edwin Alfaro ArceProfesor de MatemáticaLiceo Sto. Domingo
Sra. Evelin Urbina GuzmánProfesora de MatemáticaLiceo San Carlos
Sra. Grettel LeónProfesora de MatemáticaColegio Nacional Virtual
Sra. Isabel VásquezProfesora de MatemáticaColegio Francis J. Orlich
Sr. Eitel Vega RodríguezProfesor de MatemáticaRedentorista San Alfonso
Sr. Francisco CortezProfesor de MatemáticaLiceo de Sta. Ana
Sra. Guisella TrejosProfesora de MatemáticaColegio Vicente Laghner
Sr. Iván Parra VenegasProfesor de MatemáticaLiceo Platanillo Barú de Quepos
Sr. Eliécer MadrigalProfesor de MatemáticaAbelardo Bonilla
Sr. Francisco CortezProfesor de MatemáticaU.P. José Rafael Araya
Sra. Hannia CecilianoProfesora de MatemáticaLiceo de Cot Cartago
Sr. Javier Calvo CorderoProfesor de MatemáticaLiceo Julio Fonseca
Sr. Jeffrey Álvarez PérezProfesor de MatemáticaColegio Nuevo Mundo
Sr. Jose Luis MasísProfesor de MatemáticaLiceo José Fidel Tristán
Sr. Kenneth MoreraProfesor de MatemáticaEscuela República de Nicaragua
Sr. Luis Ángel RíosProfesor de MatemáticaC.T.P Valle de la Estrella
Sr. Jeremy Chacón CéspedesProfesor de MatemáticaColegio Talamanca Cahuita
Sr. Jose Rolando Cascante R.Profesor de MatemáticaColegio Cindea Lomas deCocorí
Sra. Kerlyn EsquivelProfesora de MatemáticaColegio Puente de Piedra
Sr. Luis CastilloProfesor de MatemáticaLiceo de Santa Ana
Sra. Jéssica GómezProfesora de MatemáticaColegio San Vicente
Sr. Juan Carlos GProfesor de MatemáticaLiceo de Orosi
Sra. Laura Arroyo RojasProfesora de MatemáticaLiceo Santo Domingo
Sr. Luis Diego ArayaProfesor de MatemáticaCorporación EducativaSagrado Corazón de Jesús
Sra. Jéssica Villalobos RojasProfesora de MatemáticaTelesecundaria el Llano
Sr. Juan Carlos QuesadaProfesor de MatemáticaLiceo Mauro Fernández
Sra. Laura QuesadaProfesora de MatemáticaColegio Claretiano
Sr. Luis Diego Salazar V.Profesor de MatemáticaColegio Nuevas OportunidadesGrecia
Sr. Jesús GutiérrezProfesor de MatemáticaLiceo de Nicoya
Sr. Juan Morgan MorenoProfesor de MatemáticaColegio HumanísticoCostarricense
Sra. Ligia Jiménez GómezProfesora de MatemáticaC.T.P Nicoya
Sr. Luis Martínez GonzálezProfesor de MatemáticaCindea Alberto Manuel Brenes
Sr. Jesús HidalgoProfesor de MatemáticaColegio Snta Josefina
Sr. Juan Pablo Rodríguez A.Profesor de MatemáticaC.T.P. Ulloa
Sra. Lilliana VillalobosProfesora de MatemáticaLiceo de San Carlos
Sr. Luis Rodríguez JhonsonProfesor de MatemáticaC.T.P Nandayure Guanacaste
Sr. Jonathan GranadosProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno Pérez Zeledón
Sra. Karen Camacho EspinozaProfesora de MatemáticaCentro Educativo Pasos deJuventud
Sra. Lineth Quesada M.Profesora de MatemáticaLiceo de Tucurrique
Sr. Luis Ruiz TorresProfesor de MatemáticaC.T.P Carrillo
Sr. Jonathan RodríguezProfesor de MatemáticaLiceo Jorge Volio
Sra. Karen Vindas MonestelProfesora de MatemáticaColegio Cristiano Reformado
Sra. Lisbeth Allen DaileyProfesora de MatemáticaCindea de Heredia Limón
Sr. Luis Salazar CastroProfesor de MatemáticaLiceo Alfaro Ruiz
Sr. Jonny Fernández S.Profesor de MatemáticaLiceo Dulce Nombre
Sra. Karina BrenesProfesora de MatemáticaColegio Agropecuario deSan Carlos
Sra. Lissette FallasProfesora de MatemáticaLiceo de Curridabat
Sr. Maikel CarbajalProfesor de MatemáticaColegio Santa Marta
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Sr. Jorge BrenesProfesor de MatemáticaLiceo Braulio Carrillo
Sra. Karla Guevara VillegasProfesora de MatemáticaLiceo de Colorado de Abangares
Sra. Lissette UlateProfesora de MatemáticaLiceo Pacto del Jocote
Sr. Mainor Abarca CorderoProfesor de MatemáticaLiceo de Curridabat
Sr. José Ángel AmpieProfesor de MatemáticaCristian Génesis School
Sra. Karla Venegas ValverdeProfesora de MatemáticaLiceo Experimental BilingüeAugusto Briseño
Sra. Lorena Masis TorresProfesora de MatemáticaLiceo Francisca Carrasco
Sr. Manrique Barrientos Q.Profesor de MatemáticaLiceo de Miramar de Puntarenas
Sr. José Ángel AmpieProfesor de MatemáticaLiceo Nuevo de Hatillo
Sra. Katherine SandíProfesora de MatemáticaLiceo de Mata de Plátano
Sra. Lorena Rojas DonatoProfesora de MatemáticaLiceo de Coronado
Sr. Manuel ArtaviaProfesor de MatemáticaLiceo Técnico de Purral
Sr. José Carlos CalvoProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno MonseñorRubén Odio
Sr. Kenneth ÁlvarezProfesor de MatemáticaLiceo de Moravia
Sra. Lucia Mata VindasProfesora de MatemáticaLiceo Hernán Zamora Elizondo
Sr. Manuel QuirósProfesor de MatemáticaInstituto Educativo San Gerardo
Sr. Manuel VillegasProfesor de MatemáticaLiceo de San Roque
Sra. María RojasProfesora de MatemáticaLiceo Braulio Carrillo
Sr. Marvin MuñozProfesor de MatemáticaLiceo La Guácima
Sr. Norberto Oviedo UProfesor de MatemáticaLiceo de Heredia
Sra. Marcela Arce SotoProfesora de MatemáticaLiceo San Nicolás
Sra. Maricela AlfaroProfesora de MatemáticaLiceo de San Roque
Sra. Maureen Castro MesénProfesora de MatemáticaColegio Laboratorio San José
Sra. Olga Segura AlfaroProfesora de MatemáticaU.P. José María Zeledón
Sr. Marcial CorderoProfesor de MatemáticaLiceo San Gabriel
Sra. Mariela JiménezProfesora de MatemáticaLiceo de San Carlos
Sra. Maureen Mora BadillaProfesora de MatemáticaLiceo Rincón Grande de Pavas
Sra. Olga Vargas CortezProfesora de MatemáticaCentro Educativo Mi Patria
Sr. Marco GuevaraProfesor de MatemáticaColegio Santa Inés
Sra Marilú BallesterosProfesora de MatemáticaColegio Valle del Sol
Sra. Maureen RojasProfesora de MatemáticaLiceo de Santa Ana
Sra. Olga Vargas CortezProfesora de MatemáticaColegio Rodrigo Hernández
Sr. Marco SolísProfesor de MatemáticaColegio Científico y Artístico delPacífico
Sr. Mario CartachoProfesor de MatemáticaColegio Adventista Paso Canoas
Sr. Mauricio Muñoz JiménezProfesor de MatemáticaLiceo Brasilia de Upala
Sr. Omar Quesada GonzálezProfesor de MatemáticaLiceo de Poás
Sr. Marcos Angulo CisnerosProfesor de MatemáticaC.T.P. 27 de abril
Sra. Marisol Benel AlamaProfesora de MatemáticaLiceo La Aurora
Sr. Mauricio Peñaranda FallasProfesor de MatemáticaLiceo San Gabriel
Sr. Oscar Cruz MontanoProfesor de MatemáticaLiceo de Pavas
Sr. Marcos ChacónProfesor de MatemáticaLiceo Bolívar de Grecia
Sra. Marisol Ramos FloresProfesora de MatemáticaInstituto de Alajuel
Sra. Mayela Abarca CorderoProfesora de MatemáticaLiceo de Curridabat
Sr. Oscar Marín GonzálezProfesor de MatemáticaC.T.P. Carrisal de Alajuela
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Sra. Margel Valverde S.Profesora de MatemáticaLiceo de Sabanilla
Sra. Marisol Ramos FloresProfesora de MatemáticaLiceo del Carmen
Sr. Michael Chávez MadrigalProfesor de MatemáticaC.T.P Cartagena Guanacaste
Sr. Oscar Mario CastilloProfesor de MatemáticaC.T.P. Liberia
Sra. Margot Castro R.Profesora de MatemáticaInstituto Educativo San Gerardo
Sra. Marjorie Navarro NúñezProfesora de MatemáticaColegio de Turrialba
Sr. Miguel Ángel SánchezProfesor de MatemáticaColegio La Aurora
Sr. Oscar Reyes PeñascoProfesor de MatemáticaI.P.E.C.
Sra. María AmeliaProfesora de MatemáticaI.P.F La Pradera
Sra. Marta MataProfesora de MatemáticaColegio María Auxiliadora
Sra. Mirta BritoProfesora de MatemáticaColegio Educativo Royal
Sr. Pablo Leandro JiménezProfesor de MatemáticaColegio Nocturno de Siquirres
Sra. María Hernández H.Profesora de MatemáticaLiceo del Este
Sra. Martha E Ulate QuesadaProfesora de MatemáticaLiceo San Marcos de Tarrazú
Sra. Mónica BlancoProfesora de MatemáticaColegio Ilpal
Sr. Pablo Leandro JiménezProfesor de MatemáticaColegio San Judes
Sra. María Mayela González G.Profesora de MatemáticaLiceo Rural Coope-Silencio
Sr. Martín Martínez ChávezProfesor de MatemáticaC.T.P. Tronadora
Sra. Nasly Giraldo G.Profesora de MatemáticaLiceo de San José
Sr. Pedro MoreraProfesor de MatemáticaLiceo de Atenas
Sra. María OviedoProfesora de MatemáticaColegio Castella
Sr. Martín Martínez ChávezProfesor de MatemáticaColegio Nocturno de Tilarán
Sr. Nestor CerdasProfesor de MatemáticaColegio Ambientalista El Roble
Sr. Rafael Arce LópezProfesor de MatemáticaC.T.P. Puntarenas
Sr. Randall VillalobosProfesor de MatemáticaColegio Ambientalista El Roble
Sra. Ruth Bent CastroProfesora de MatemáticaLiceo de Curridabat
Sra. Tania CórdobaProfesora de MatemáticaColegio San Rafael
Sr. William GuillénProfesor de MatemáticaColegio Virtual
Sr. Raúl Badilla RamírezProfesor de MatemáticaLiceo San Miguel
Sr. Samuel Arevalo VásquezProfesor de MatemáticaC.T.P. Acosta
Sra. Tatiana Quesada C.Profesora de MatemáticaLiceo de Tarrazú
Sr. Willy TorresProfesor de MatemáticaLiceo Sinaí Pérez ZeledónDiurno
Sra. Rebeca Monge MoraProfesora de MatemáticaC.T.P. Acosta
Sra. Sandra Rodríguez HerreraProfesora de MatemáticaC.T.P. Sabanilla
Sra. Thais Sandi MenaProfesora de MatemáticaLiceo San Rafael Arriba
Sra. Xenia ParkerProfesora de MatemáticaLiceo Centro EducativoAdventista de C.R.
Sr. Ricardo Chávez SánchezProfesor de MatemáticaC.T.P. Corralillo
Sr. Santiago Bustos C.Profesor de MatemáticaC.T.P. Cartagena Guanacaste
Sr. Víctor RetanaProfesor de MatemáticaLiceo del Sur
Sra. Xinia AcuñaProfesora de MatemáticaLiceo Purral
Sr. Ricardo VenegasProfesor de MatemáticaLiceo de Curridabat
Sr. Santiago Zamora CastilloProfesor de MatemáticaC.T.P. Valle la Estrella
Sra. Victoria MatarritaProfesora de MatemáticaColegio Virtual Alajuela
Sra. Xinia EspinosaProfesora de MatemáticaLiceo San Francisco de Asís
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Sr. Ricardo ZúñigaProfesor de MatemáticaInstituto de Educación Integral
Sra. Seidy Parajeles GranadosProfesora de MatemáticaC.T.P. Tronadora TilaránGuanacaste
Sra. Vivian Lizano ArroyoProfesora de MatemáticaLiceo Luis Noble Segreda
Sra. Xinia RománProfesora de MatemáticaColegio Campestre
Sr. Roberto Rojas BadillaProfesor de MatemáticaColegio Madre del Divino Pastor
Sr. Sergio Morales RosalesProfesor de MatemáticaColegio Técnico RegionalSanta Cruz
Sra. Viviana Guevara EsquivelProfesora de MatemáticaC.T.P. Nicoya
Sra. Yajaira Rodríguez VillegasProfesora de MatemáticaLiceo Rural de Manzanillo
Sr. Rodolfo Bustos MarchenaProfesor de MatemáticaLiceo Maurilio Alvarado
Sra. Shirley González A.Profesora de MatemáticaC.T.P. Quepos
Sra. Viviana Guevara EsquivelProfesora de MatemáticaLiceo de Nicoya
Sra. Yamileth ZumbadoProfesora de MatemáticaLiceo de Heredia
Sr. Román Ruiz C.Profesor de MatemáticaLiceo Experimental BilingüeSanta Cruz
Sra. Silvia FonsecaProfesora de MatemáticaSaint Gabriel High School
Sra. Viviana SolísProfesora de MatemáticaSaint Gregory School
Sra. Yanin Gutiérrez SolísProfesora de MatemáticaColegio María Inmaculada deSan Carlos
Sr. Ronald Ríos RodríguezProfesor de MatemáticaC.T.P. Cardinal de Carrillo
Sra. Silvia PaniaguaProfesora de MatemáticaFormación Integral Montecarlo
Sra. Wendy Herrera MoralesProfesora de MatemáticaINA. Orotina
Sra. Yasmín Orozco SanchoProfesora de MatemáticaC.T.P. La Mansión
Sra. Rosibell Castro RodríguezProfesora de MatemáticaC.T.P. Liceo de Coronado
Sra. Sonia MirandaProfesora de MatemáticaColegio San Lorenzo
Sra. Wendy TijerinoProfesora de MatemáticaC.T.P. Ulloa
Sra. Yeini Barrantes NProfesora de MatemáticaLiceo Manuel Benavides
Sra. Rosibell VallejosProfesora de MatemáticaLiceo Mauro Fernández
Sra. Susan JiménezProfesora de MatemáticaC.T.P. Mercedes Norte
Sr. Werner JuárezProfesor de MatemáticaLiceo Anastasio
Sra. Yelba GutiérrezProfesora de MatemáticaLiceo Teodoro Picado
Sr. Roy Lauren SanabriaProfesor de MatemáticaC.T.P. Humberto Melloni
Sra. Susan MoralesProfesora de MatemáticaColegio Marista Alajuela
Sr. Wilbert VargasProfesor de MatemáticaSamuel Sáenz Flores
Sra. Yendri Salas ValverdeProfesora de MatemáticaLiceo Regional de Flores
Sra. Yendri SandovalProfesora de MatemáticaLiceo San Diego
Sra. Yendri SotoProfesora de MatemáticaUnidad Pedagógica San Diego
Sra. Yessenia RodríguezProfesora de MatemáticaLiceo el Ambientalista El Roble
Sr. Yoahan Gómez GarroProfesor de MatemáticaC.T.P. Jícara
Sra. Yolanda Elizondo G.Profesora de MatemáticaUnidad PedagógicaCalderón Guardia
Sra. Yorleni GómezProfesora de MatemáticaLiceo Sucre
Sra. Yuri Lobo HernándezProfesora de MatemáticaColegio La Aurora
Sra. Yuri QuintanillaProfesora de MatemáticaColegio Adventista Limón
Sra. Zeidy ChávezProfesora de MatemáticaLiceo Castro Madriz
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ÍNDICE
UNIDAD I: RELACIONES Y ÁLGEBRA1. Ecuaciones cuadráticas con una incógnita. 13
2. Problemas que involucran, en su solución, ecuaciones cuadráticas con una
incógnita.22
3. Factorización de polinomios en forma completa, mediante la combinación de
métodos.
30
4. Concepto de relación. 48
5. Concepto de variable dependiente y de variable independiente en las
relaciones.
49
6. Relaciones que corresponden a funciones. 52
7. Relaciones que corresponden a funciones, cuyo criterio está modelado por
expresiones algebraicas sencillas.
59
8. Dominio, codominio, ámbito, imagen y preimagen de funciones. 62
9. Dominio máximo de funciones 73
10.Representación gráfica de una función. 79
11.Régimen de variación de una función. 84
12.Magnitudes directamente proporcionales. 87
13.Concepto de función lineal. 88
14.Concepto de pendiente y de intersección de funciones lineales. 90
15.Problemas relacionados con la ecuación de la recta. 96
16.Ecuación de una recta paralela o perpendicular a otra recta dada. 100
17.Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos variables. 105
18.Problemas con sistemas de ecuaciones de primer grado con dos variables. 110
19.Función cuadrática. 113
20.Concepto de la función inversa. 124
21.Función exponencial. 133
22.Ecuaciones exponenciales. 136
23.Función logarítmica. 138
24.Ecuaciones logarítmicas. 141
25.Ecuaciones logarítmicas y exponenciales aplicando las propiedades de los
logaritmos.
143
26.Ecuaciones exponenciales de la forma P x Q xa b 146
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UNIDAD I
RELACIONES YÁLGEBRA
Conocimientos Habilidades específicasEcuaciones
Ecuaciones de segundo grado conuna incógnita Raíces Discriminante Conjunto solución
Expresiones algebraicas Polinomios
Factorización
Funciones Cantidades constantes Cantidades variables Dependencia Independencia Elementos para el análisis de una
función Dominio Ámbito Codominio Imagen Preimagen
Función lineal Representación algebraica Representación tabular Representación gráfica La recta Pendiente Intersección Creciente Decreciente Sistema de ecuaciones
lineales
1. Analizar el número de raíces de una ecuación de segundo grado con una incógnita a partirdel discriminante.
2. Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2ax c , utilizando el método deldespeje.
3. Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx , utilizando factorización yel método del despeje.
4. Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx c , utilizando la fórmulageneral.
5. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incógnita.6. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incógnita.7. Factorizar trinomios de segundo grado con una variable mediante los siguientes métodos:
inspección, fórmula notable, fórmula general.8. Factorizar en forma completa polinomios de tres o cuatro términos con una o dos variables
mediante los siguientes métodos: Factor común y fórmula notable, grupos y factor común,grupos y diferencia de cuadrados.
9. Distinguir entre cantidades constantes y variables.10. Identificar y aplicar relaciones entre dos cantidades variables en una expresión matemática.11. Identificar si una relación dada en forma tabular, simbólica o gráfica corresponde a una
función.12. Evaluar el valor de una función dada en forma gráfica o algebraica, en distintos puntos de su
dominio13. Interpretar hechos y fenómenos mediante relaciones que corresponden a funciones.14. Identificar el dominio, codominio, ámbito, imágenes y preimágenes de una función a partir de
su representación gráfica.15. Determinar el dominio máximo de funciones con criterio dado por expresiones algebraicas
sencillas tales como: expresiones polinomiales de una variable; expresiones racionales condenominador de la forma ,ax b ,a b reales; expresiones radicales de índice par con
subradical de la forma ,ax b ,a b reales.16. Identificar situaciones del entorno que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma
y ax b .
17. Representar en forma tabular, algebraica y gráfica una función lineal (incluidas la identidad yla constante).
18. Determinar la pendiente y las intersecciones con los ejes de coordenadas de una funciónlineal dada en forma gráfica o algebraica.
19. Analizar la monotonía de una función lineal dada en forma tabular, gráfica o algebraica.20. Determinar la ecuación de una recta a partir de su pendiente y un punto que pertenece a la
recta.
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12 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Conocimientos Habilidades específicas Función cuadrática
Representación algebraica Representación tabular Representación gráfica La parábola: Concavidad,
simetría, vértice Intersección Creciente Decreciente
La función inversa Inyectividad Sobreyectividad Gráfica de la función inversa Inversa de una función lineal Inversa de una función
cuadrática La función exponencial y la
ecuación exponencial La función logarítmica y la
ecuación logarítmica
21. Determinar la ecuación de una recta a partir de dos puntos que pertenecen a la recta.22. Determinar la ecuación de una recta paralela a otra recta dada.23. Determinar la ecuación de una recta perpendicular a otra recta dada.24. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante funciones lineales.25. Identificar situaciones que se modelan por un sistema de ecuaciones lineales con dos
variables.26. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante un sistema de
ecuaciones lineales con dos variables.27. Identificar situaciones del entorno que pueden ser modeladas por una función cuadrática.
28. Representar gráficamente una función con criterio 2y ax bx c .
29. Determinar el dominio, ámbito, concavidad, simetrías, vértice y las intersecciones con losejes de coordenadas de una función cuadrática dada en forma gráfica o algebraica.
30. Analizar la monotonía de una función cuadrática dada en forma tabular, gráfica o algebraica.31. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante funciones
cuadráticas.32. Identificar situaciones del entorno que involucran funciones inversas.33. Identificar las condiciones para que una función tenga inversa.34. Relacionar la gráfica de una función con la gráfica de su inversa, considerando el concepto
de eje de simetría.35. Determinar intervalos en los cuales una función representada gráficamente tiene inversa.36. Determinar el criterio de las funciones inversas correspondientes a funciones con criterio de
la forma:
, 0,f x mx b m 2 , 0g x ax c a h x x b c , , ,a b c m reales.
37. Identificar situaciones del entorno que involucran funciones exponenciales.38. Caracterizar la función exponencial de acuerdo a su criterio, dominio, ámbito.39. Representar en forma tabular, algebraica y gráfica una función exponencial.40. Analizar la monotonía de una función exponencial dada en forma tabular, gráfica o
algebraica.41. Determinar el conjunto solución de una ecuación exponencial que se reduce a la forma
, ,P x Q xb b P x Q x polinomios de grado menor que 3.
42. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante una funciónexponencial.
43. Identificar situaciones del entorno que involucran funciones logarítmicas.44. Caracterizar la función logarítmica de acuerdo a su criterio, dominio, ámbito.45. Representar en forma tabular, algebraica y gráfica una función logarítmica.46. Analizar la monotonía de una función logarítmica dada en forma tabular, gráfica o algebraica.47. Aplicar las propiedades de la función logarítmica.48. Determinar el conjunto solución de una ecuación logarítmica que se reduce a la forma
loga logaf x g x .
49. Determinar el conjunto solución de una ecuación exponencial que se reduce a la forma P x Q xa b , ,P x Q x polinomios de grado menor que 3.
50. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante una funciónlogarítmica.
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 13
GRUPO FÉNIX
ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA
Una ecuación cuadrática o de segundo grado en una variable con coeficientes reales es unaecuación que puede escribirse como 2 0ax bx c donde a, b, c son constantesreales, con 0a .
I Caso: 2ax c
Las ecuaciones que se pueden expresar de la forma 2ax c con a, c constantes reales,se resuelven simplemente despejando la variable “x” y luego, calculando la raíz cuadradaen ambos lados de la igualdad.
Ejemplo 1Resolver la ecuación 28 512x
Ejemplo 2Resolver la ecuación 26 246 0x
2
2
2
8 512
512
8
64
64 8
: 8,8
x
x
x
x
S
2
2
2
2
6 246 0
6 246
246
6
41
41
: 41, 41
x
x
x
x
x
S
Ejemplo 3Resolver la ecuación 2 5 4 5x x x
Ejemplo 4Resolver la ecuación 3 2 3 2 0x x
2
2
0
2
5 4 5
5 5 4
4
4
: 2,2
x x x
x x x
x
x
S
29 4
2
2
2
3 2 3 2 0
9 4 0
9 4
4
9
4 2
9 3
2 2: ,
3 3
x
x x
x
x
x
x
S
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14 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 11. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas
a) 22 8x
b) 23 27x
c) 24 64x
d) 25 125x
e) 26 216x
f) 22 8x
g) 23 27x
h) 24 64x
i) 25 125x
j) 26 216x
k) 2 49x
l) 2 64x
m) 2 81x
n) 2 100x
o) 2 121x
p) 22 8 0x
q) 23 27 0x
r) 24 64 0x
s) 25 125 0x
t) 26 216 0x
u) 2 64 0x
v) 2 81 0x
w) 2 100 0x
x) 2 121 0x
y) 22 10 8 10x x x
z) 23 7 27 7x x x
aa) 24 13 64 13x x x
bb) 25 42 125 42x x x
cc) 26 101 216 101x x x
dd) 2 3 9 40 3x x x
ee) 2 5 4 60 5x x x
ff) 2 3 10 91 3x x x
gg) 2 15 115x x x
hh) 2 11 14 135 11x x x
ii) 2 2 0x x
jj) 2 3 2 3 0x x
kk) 3 4 3 4 0x x
ll) 5 6 5 6 0x x
mm) 7 10 7 10 0x x
nn) 2 2 5 5x x x x
oo) 2 3 2 3 13 13x x x x
pp) 3 4 3 4 11 11x x x x
qq) 5 6 5 6 12 12x x x x
rr) 7 10 7 10 2x x x
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 15
GRUPO FÉNIX
ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA
II Caso: 2 0ax bx c
Las ecuaciones que se pueden expresar de la forma 2 0ax bx c con a, b, c
constantes reales, se pueden resolver por Fórmula General.
Procedimiento:
1. Se identifica el valor de a, b, c en el polinomio y se calcula el discriminante ( )
2 4b ac
2. Se realiza el estudio del discriminante:
Valor del Interpretación
0 La ecuación tiene dos soluciones
0 La ecuación tiene una soluciones
0 La ecuación NO tiene soluciones reales
3. Se calculan las soluciones con la Fórmula General:
Fórmula general para ecuacionescuadráticas
2
bx
a
Forma alternativa
1 2
bx
a
2 2
bx
a
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16 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA
II Caso: 2 0ax bx c
Ejemplo 1Resolver la ecuación 22 5 3 0x x
Ejemplo 2Resolver la ecuación 2 16 63m m
1. Se calcula el discriminante ( )
2
2
4
5 4 2 3 49
b ac
2. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces la ecuación tiene dos soluciones
3. Se calculan las soluciones:
Primera solución Segunda solución
1
1
25 7
32 2
bx
a
x
2
2
25 7 1
2 2 2
bx
a
x
1: 3,
2S
1. Se calcula el discriminante ( )
2
2
4
16 4 1 63 4
b ac
2. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces la ecuación tiene dos soluciones
3. Se calculan las soluciones:
Primera solución Segunda solución
1
1
216 2
92 1
bm
a
m
2
2
216 2
72 1
bm
a
m
: 9,7S
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 17
GRUPO FÉNIX
ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA
II Caso: 2 0ax bx c
Ejemplo 3Resolver la ecuación 3 2 11 2x x x
Ejemplo 4
Resolver la ecuación 2 32 4
2
x xx
1. Ordenamos la ecuación de la forma
2
2
2
3 2 11 2
3 6 11 2
3 6 11 2 0
3 17 2 0
x x x
x x x
x x x
x x
2. Se calcula el discriminante ( )
2
3 , 17 , 2
17 4 3 2
265
a b c
3. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces la ecuación tiene dos soluciones
4. Se calculan las soluciones:
Primera solución Segunda solución
1
1
1
2
17 265
2 3
17 265
6
bx
a
x
x
2
2
2
2
17 265
2 3
17 265
6
bx
a
x
x
17 265 17 265: ,
6 6S
1. Ordenamos la ecuación de la forma
2
2
2
2 2
2 2
2
342
1 28 3
22
4 8 3
4 8 3
4 8 3 0
5 3 8 0
x xx
x xx
x x x
x x x
x x x
x x
2. Se calcula el discriminante ( )
2
5 , 3 , 8
3 4 5 8
169
a b c
3. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces la ecuación tiene dos soluciones
4. Se calculan las soluciones:
Primera solución Segunda solución
1
1
1
23 13
2 510
110
bx
a
x
x
2
2
2
23 13
2 516 8
10 5
bx
a
x
x
8: 1 ,
5S
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18 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 2
1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas
a) 22 3 1 0x x
b) 23 2 1 0x x
c) 22 5 2 0x x
d) 24 3 1 0x x
e) 22 7 3 0x x
f) 25 4 1 0x x
g) 22 9 4 0x x
h) 26 7 1 0x x
i) 22 11 5 0x x
j) 27 8 1 0x x
k) 22 1 0x x
l) 24 4 1 0x x
m) 22 3 2 0x x
n) 29 6 1 0x x
o) 22 5 3 0x x
p) 216 8 1 0x x
q) 22 7 4 0x x
r) 225 10 1 0x x
s) 22 9 5 0x x
t) 236 12 1 0x x
u) 2 3 2x x
v) 2 4 3x x
w) 2 5 4x x
x) 2 6 5x x
y) 2 7 6x x
z) 2 2x x
aa) 2 2 3x x
bb) 2 3 4x x
cc) 2 4 5x x
dd) 2 5 6x x
ee) 23 2 1x x
ff) 24 3 1x x
gg) 25 4 1x x
hh) 26 7 1x x
ii) 27 8 1x x
jj) 24 4 1x x
kk) 29 6 1x x
ll) 216 8 1x x
mm) 225 10 1x x
nn) 236 12 1x x
oo) 3 2 3 3x x
pp) 4 2 1x x
qq) 5 3 2 5x x
rr) 6 2 5 12x x
ss) 7 4 3 7x x
tt) 8 2 7 24x x
uu) 8 11 6 5x x x
vv) 3 12 9 10 12x x x
ww) 4 4 7 10 4x x x
xx) 3 9 9 4 8x x x
yy) 7 10 10 9 1x x x
zz) 15 11 44 16 1x x x
aaa) 2 7 3
24
x xx
bbb) 2 7 3
14 282
x xx
ccc) 2 4
3 53
x xx
ddd) 2 5
4 64
x xx
eee) 2 3 1
5 25
x xx
fff) 2 3 1
12
x xx
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 19
GRUPO FÉNIX
ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA
III Caso: 2 0ax bx
Las ecuaciones que se pueden expresar de la forma 2 0ax bx con a, b constantes
reales, se pueden resolver por Fórmula General. Es importante señalar que este es un caso
particular del II Caso porque 0c .
Ejemplo 1
Resolver la ecuación 2 23 2 2 12x x x x
Ejemplo 2
Resolver la ecuación 2 21 2 1 0x x
1. Ordenamos la ecuación de la forma2 2
2 2
2
3 2 2 12
3 2 2 12 0
5 10 0
x x x x
x x x x
x x
2. Se calcula el discriminante ( )
2
5 , 10, 0
10 4 5 0
100
a b c
3. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces la ecuación tiene dos soluciones
4. Se calculan las soluciones:
Primera solución Segunda solución
1
1
1
210 10
2 50
010
bx
a
x
x
2
2
2
210 10
2 520
210
bx
a
x
x
: 0, 2S
1. Ordenamos la ecuación de la forma
2 2
2 2
2 2
2
1 2 1 0
2 1 4 4 1 0
2 1 4 4 1 0
3 6 0
x x
x x x x
x x x x
x x
2. Se calcula el discriminante ( )
2
3 , 6, 0
6 4 3 0
36
a b c
3. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces la ecuación tiene dos soluciones
4. Se calculan las soluciones:
Primera solución Segunda solución
1
1
1
26 6
2 312
26
bx
a
x
x
2
2
2
26 6
2 30
06
bx
a
x
x
: 2,0S
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20 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 3
1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas
a) 2 23 3 4x x x x
b) 2 22 4 3x x x x
c) 24 4 6x x
d) 23 6 1 1 2x x x
e) 22 5 3 3x x x
f) 22 10 8 8 11x x x
g) 23 6 27 27 7x x x
h) 2 24 13 64 13x x x x
i) 2 25 42 125 42x x x x
j) 2 26 111 216 101x x x x
k) 2 2 223 9 40 31x x x x x
l) 2 2 22 4 60 5x x x x x
m) 2 2 213 10 91 3x x x x x
n) 2 2 215 115x x x x x
o) 2 2 211 14 135 11x x x x x
p) 2 5 6 6x x
q) 2 4x x
r) 23 0x x
s) 26 0x x
t) 23 3 3 0x x
u) 25 2 2 2 3 4x x x x x
v) 2 22 2 1 3 1x x x
w) 24 4 4x x x
x) 7 2 4 1 2 8x x x x
y) 2 5 6 1 3 1 2 5x x x x
z) 4 1 2 3 5 2 3 2 7x x x x x
aa) 63 1 3
2
xx x
bb)21 2 1
2 3 6
x x
cc)2 2
33 2
x x x xx
dd)2 1 3 5
2 4 4
x x
ee)2 1 1
1 13 3
xx
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 21
GRUPO FÉNIX
Ejercicios de profundización1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas
a) 21 (2 ) ( 1)x x x
b) 2 1 3 3x x
c) 22 0x x
d) 23 2 2 2x x x
e)1 1 2
2x
x x
f)3 16
42 2
x
x x
g)2
1 2
1 1x x
h)2 2
2 3 1
4x x x
i) 13 5 3
2 2
xx x
j) 4 3 6x x
k) 3 2 3 2 3x x x
l) 1 1 5x x
m) 21 2 3x x
n) 2 1 2x x
o) 2 26 5x a ax
p) 1 2 2 2 1x x
q)
8 26 14
2 3 2 3
x x
x x x x
r) 1 2 5x x
s) 2 2 3 2x x x x x x
t) 2 2 2 5 3x x x
u) 52 1 2
3
xx x x
x
v) 3 23 2 4 0x x x
w) 2 5 4x x
x)2
32 33
3 2 1
x
x x x
y) 72 2 4 2
2x k k
x
z) 2
5 4 14 3
2 3 2 3 4 9
x
x x x
aa) 4 24 13 9 0x x
bb)2
1 21
x x
cc)2
5 32
4 2 8x x x
dd)2
2
2 7 16 2
6 2 3
x x x
x x x x
ee) 4 24 5 0x x
ff)2 13 33 4 4 0x x
gg)10 5
1 12 7 5
2 2x x
hh) 4 22 23 3 2 3 3 3x x x x
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22 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS
En la solución de problemas es importante considerar el método que planteó George Polya
(Matemático Húngaro), sugiriendo cuatro pasos:
1. Entender el problema.
2. Configurar un plan de solución.
3. Ejecutar el plan de solución.
4. Mirar hacia atrás (¿la respuesta satisface lo establecido en el problema?)
Ejemplo 1
Celeste desea calcular la medida del ancho de un rectángulo que tiene las siguientes
características: La medida de la diagonal excede en 1 al largo y en 8 al ancho.
Plan de solución:
Suponiendo un caso particular Caso general
Ejecución del plan de solución:
2 2 2
2 2 2
2
1 2
1 8
2 1 16 64
18 65 0
13 5
x x x
x x x x x
x x
x x
Respuesta: Celeste calculó que la medida
del ancho del rectángulo mide 5, porque al
sustituir los valores en 8x se obtiene un
número positivo, siendo éste la medida del
ancho.
100
99
92 8x
1x
x
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 23
GRUPO FÉNIX
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS
En la solución de problemas es importante considerar el método que planteó George Polya
(Matemático Húngaro), sugiriendo cuatro pasos:
1. Entender el problema.
2. Configurar un plan de solución.
3. Ejecutar el plan de solución.
4. Mirar hacia atrás (¿la respuesta satisface lo establecido en el problema?)
Ejemplo 2
Gustavo Adolfo desea calcular el perímetro de un cuadrado que tiene las siguientes
características: Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 6, entonces el
área del cuadrado que se forma es cuatro veces el área del cuadrado original.
Plan de solución:
Cuadrado original Cuadrado aumentado
Ejecución del plan de solución:
2 2
2 2
2
1 2
6 4
12 36 4
3 12 36 0
6 2
x x
x x x
x x
x x
Respuesta: Gustavo Adolfo calculó que el
perímetro del cuadrado original mide 24.
xx
x
x
6x
6x
6x6x
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24 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 41. Resuelva los siguientes problemas utilizando ecuaciones cuadráticas
a) La medida de la diagonal de un rectángulo excede en 1 al largo y en 2 al ancho. ¿Cuál es
la medida del ancho del rectángulo?
b) La medida de la diagonal de un rectángulo excede en 5 al largo y en 10 al ancho. ¿Cuál
es la medida del largo del rectángulo?
c) La medida del ancho de un rectángulo es 7cm menor que el largo y 14cm menor que la
diagonal. ¿Cuál es la medida de la diagonal del rectángulo?
d) La medida del ancho de un rectángulo es 8cm menor que el largo y 16cm menor que la
diagonal. ¿Cuál es la medida de la diagonal del rectángulo?
e) La medida del largo de un rectángulo es 9cm menor que la diagonal y 9cm mayor que el
ancho. ¿Cuál es la medida del largo del rectángulo?
f) La medida del largo de un rectángulo es 10cm menor que la diagonal y 10cm mayor que
el ancho. ¿Cuál es la medida del ancho del rectángulo?
g) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 2, entonces el área del
cuadrado que se forma es cuatro veces el área del cuadrado original. ¿Cuál es el
perímetro del cuadrado original?
h) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 3, entonces el área del
cuadrado que se forma es cuatro veces el área del cuadrado original. ¿Cuál es el
perímetro del cuadrado original?
i) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 8, entonces el área del
cuadrado que se forma es nueve veces el área del cuadrado original. ¿Cuál es el área
del cuadrado original?
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 25
GRUPO FÉNIX
j) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 15, entonces el área del
cuadrado que se forma es dieciséis veces el área del cuadrado original. ¿Cuál es el área
del cuadrado aumentado?
k) Si el área de un terreno rectangular mide 672m2 y el largo excede al ancho en 4m,
entonces determine la longitud del largo del rectángulo.
l) Si en un rectángulo, el perímetro mide 34cm y el área es de 72cm2, entonces determine
las dimensiones del rectángulo.
m) El área de un rectángulo es 24. Si el largo es igual a 2 aumentado en el doble del ancho,
entonces determine la longitud del largo del rectángulo.
n) Si aumentamos el lado de un cuadrado en 9cm y disminuimos el otro lado también en
9cm, obtenemos con estas nuevas dimensiones un rectángulo de área 144 cm2.
Determine los lados del rectángulo.
o) Si una sala de sesiones tiene 12m ancho y 14m de largo, y quieren alfombrarla, excepto
un borde de ancho uniforme, entonces determine las dimensiones que deberá tener la
alfombra si su área es de 80m2
p) Si la suma de dos números es 36 y su producto 323, entonces determine cuáles son esos
números.
q) La suma de dos números es 42 y su producto es 432. Determine los dos números.
r) La suma de dos números es 16, la diferencia de sus cuadrados es 32. Hallar los
números.
s) Considere dos números pares consecutivos, tal que el cuadrado del mayor sumado al
menor equivale a 810. Determine cuáles son los números.
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26 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Ejercicios de profundizacióna) Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla
la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 2m .
b) Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de
arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 2m .
c) Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es
semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.
d) Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es26
5.
e) Dos caídas de agua, A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo
en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?
f) Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números
pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.
g) Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de
840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes.
Halla las dimensiones de la caja.
h) Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se
llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?
i) La suma de las áreas de dos círculos es 276 y la diferencia entre las medidas de sus
respectivos radios es 8. ¿Cuál es la medida del radio del círculo menor?
j) Un trozo de alambre de 100 2cm de largo, se corta en dos y cada pedazo se dobla para
que tome la forma de un cuadrado. Si la suma de las áreas formadas es 397 2cm ,
encuentre la longitud de cada pedazo de alambre.
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 27
GRUPO FÉNIX
k) Un hombre desea usar 6 3m de concreto para construir el piso de un patio rectangular. Si
la longitud del patio debe ser el doble de ancho y el grosor del piso debe ser de 8cm ,
encuentre las dimensiones del patio.
l) Se quiere construir un barril de petróleo cilíndrico y cerrado con una altura de 4 metros,
de manera que el área superficial total sea de 210 m . Determine el diámetro del barril.
m) Cuando el precio de una marca popular de aparatos de videos es de $300 (dólares) por
unidad, una tienda vende 15 unidades a la semana. Cada vez que el precio se reduce en
$10, sin embargo, las ventas aumentan en 2 unidades a la semana. ¿Qué precio de venta
debe ponerse para obtener ingresos mensuales de $7000(dólares)?
n) Dos muchachos con radio-transmisores salen del mismo lugar a las 9:00 a.m, uno de
ellos camina hacia el sur a 4km/h y el otro camina hacia el oeste a 3km/h. ¿Cuánto
tiempo pueden comunicarse si cada radio tiene un alcance de 2km?
Trabajo extraclase # 1
1. Considere las siguientes ecuaciones
I. 2 4 0x II. 2 2 1 0x x ¿Cuáles de ellas no tienen soluciones reales?
A) AmbasB) Ninguna
C) Solo la ID) Solo la II
2. El conjunto solución de 5 2 1 9x x x x es
A) 6
B) 5,5
C) 5, 5
D) 1 6,1 6
3. El conjunto solución de 222 2 20 2x x x es
A) 8 , 2
B) 6 , 4
C) 6 , 4
D)8
2 ,3
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28 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
4. Una solución de 2 1 43 2 5
4
xx x
es
A)3
2
B)7
6
C)1 2 2
2
D)1 73
12
5. El conjunto de la solución de 222 3 1x x x es
A)1 5 1 5
,2 2
B)3 5 3 5
,2 2
C)3 21 3 21
,6 6
D)5 13 5 13
,6 6
6. El conjunto solución de 223 9 3x x x es
A) 3
B)3
2
C)3
, 32
D)3
, 32
7. Una solución de 4 2 1x x es
A)1
4
B)3
2
C)3
12
D)5
12
8. Considere el siguiente enunciado: “La diferencia de los cuadrados de dos númerosnaturales consecutivos es –17. Hallar los números”. Si x representa el mayor de losnúmeros, una ecuación que permite resolver el problema anterior es
A) 2 2 1 17x x
B) 2 2 1 17x x
C) 22 1 17x x
D) 22 1 17x x 9. Si el área de un terreno rectangular mide 896m2 y el largo excede al ancho en 4m,
entonces ¿cuál es la longitud en metros del largo del rectángulo?
A) 28B) 30
C) 32D) 34
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 29
GRUPO FÉNIX
10.El producto de dos números positivos es 2. Si el número mayor excede en17
10al menor,
entonces ¿cuál es el número mayor?
A) 5
2
B)4
5
C)2
5
D)3
1011.El área de un rectángulo es 15. Si el largo es igual a 4 aumentado en el triple del ancho,
entonces ¿cuál es la longitud del largo del rectángulo?
A) 13
B)7
8
C)3
5D) 9
12.La suma de dos números es 23 y su producto 102. ¿Cuáles son esos números?
A) 17 y 6 B) 7 y 30
C) 11 y 12
D) 6 y 17
13.Si el área de un rombo es 6,4 y la longitud de una diagonal es un quinto del cuádruplo dela longitud de la otra diagonal, entonces ¿cuál es la medida de la diagonal de mayorlongitud?
A)16
5
B)16
9
C) 4
D) 2
14.El producto de dos números negativos es 90. El número mayor excede en siete a untercio del número menor. ¿Cuál es el número menor?
A) 3B) 9
C) 30D) 10
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30 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
I Método: Fórmula General
La fórmula general además es útil para la factorización de un polinomio de la forma
2ax bx c con a, b, c constantes reales y 0c
Procedimiento:
1. Se identifica el valor de a, b, c en el polinomio y se calcula el discriminante ( )
2 4b ac
2. Se realiza el estudio del discriminante:
Valor del Interpretación
0 El polinomio es factorizable como el producto
de dos factores distintos
0 El polinomio es factorizable como el producto
de dos factores iguales
0 El polinomio NO es factorizable
3. Se calculan los valores de x con la Fórmula General:
Fórmula general
2
bx
a
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 31
GRUPO FÉNIX
FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
I Método: Fórmula General
Ejemplo 1Factorice el polinomio 24 12 9x x
Ejemplo 2Factorice el polinomio 25 2x x
1. Se calcula el discriminante ( )
2
2
4
12 4 4 9 0
b ac
2. El discriminante es cero ( 0 ),
entonces el polinomio es factorizable
como el producto de dos factores iguales.
3. Se calculan los valores de x :
Primer factor Segundo factor
1
1
212 0 3
2 4 2
bx
a
x
12 3x
2
2
212 0 3
2 4 2
bx
a
x
22 3x
2
22
/ : 4 12 9 2 3 2 3
4 12 9 2 3
R x x x x
x x x
1. Ordenamos el polinomio de la forma
22 5x x
2. Se calcula el discriminante ( )
2
2
4
1 4 2 5 39
b ac
3. El discriminante es negativo ( 0 ),
entonces el polinomio NO es factorizable.
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32 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
I Método: Fórmula General
Ejemplo 3
Factorice el polinomio 22 5 3x x
Ejemplo 4
Factorice el polinomio 216 63y y
1. Se calcula el discriminante ( )
2
2
2 , 5, 3
4
5 4 2 3
49
a b c
b ac
2. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces el polinomio es factorizable
como el producto de dos factores distintos
3. Se calculan los valores de x :
Primer factor Segundo factor
1
1
1
1
25 7
2 212
43
bx
a
x
x
x
1 3x
2
2
2
2
25 7
2 22
41
2
bx
a
x
x
x
22 1x
2/ : 2 5 3 3 2 1R x x x x
1. Ordenamos el polinomio de la forma2 16 63y y
2. Se calcula el discriminante ( )
2
2
1 , 16, 63
4
16 4 1 63
4
a b c
b ac
3. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces el polinomio es factorizable
como el producto de dos factores distintos
4. Se calculan los valores de y :
Primer factor Segundo factor
1
1
1
1
216 2
2 118
29
by
a
y
y
y
1 9y
2
2
2
2
216 2
2 114
27
by
a
y
y
y
1 7y
2/ : 16 63 9 7R y y y y
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 33
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 5
1. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando la Fórmula General.
a) 22 3 1x x
b) 23 2 1x x
c) 22 5 2x x
d) 24 3 1x x
e) 22 7 3x x
f) 25 4 1x x
g) 22 9 4x x
h) 26 7 1x x
i) 22 11 5x x
j) 27 8 1x x
k) 22 1x x
l) 24 4 1x x
m) 22 3 2x x
n) 29 6 1x x
o) 22 5 3x x
p) 216 8 1x x
q) 22 7 4x x
r) 225 10 1x x
s) 22 9 5x x
t) 236 12 1x x
u) 23 2x x
v) 24 3x x
w) 25 4x x
x) 26 5x x
y) 27 6x x
z) 2 2x x
aa) 22 3x x
bb) 23 4x x
cc) 24 5x x
dd) 25 6x x
ee) 23 18y y
ff) 22 15y y
gg) 22 1y y
hh) 2 7 60a a
ii) 210 3 11a a
jj) 29 25 30a a
kk) 240 100 4m m
ll) 29 4 12m m
mm) 2 169 26m m
nn) 224 144m m
oo) 210 15 20n n
pp) 213 90m m
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34 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
II Método: Inspección
Se utiliza para polinomios de la forma 2ax bx c , con , ,a b c y 0a . La
factorización de dicho polinomio debe ser de la forma 2ax bx c Ax B Cx D ,
donde , ,A B C son números enteros con , ,A C a B D c y A D B C b .
Caso generalEjemplo 1
Factorice el polinomio 22 5 3x x
1. Se buscan los factores para 2ax y c
2. Se expresa la factorización 2ax bx c Ax B Cx D
1. Se buscan los factores para 2 3y
2. Se expresa la factorización 22 5 3 3 2 1x x x x
Ejemplo 2Factorice el polinomio 26 23 10x x
Ejemplo 3Factorice el polinomio 24 12 9x x
1. Se buscan los factores para6 10y
2. Se expresa la factorización 26 23 10 3 10 2 1x x x x
1. Se buscan los factores para 4 9y
2. Se expresa la factorización de
224 12 9 2 3 2 3 2 3x x x x x
3x
2 1x
22 5 3x x
1 2 3 5x x x
3 10x
2 1x
26 23 10x x
3 1 2 10 23x x x
2 3x
2 3x
24 12 9x x
2 3 2 3 12x x x
C x D
A D B C b
2ax bx c Ax B
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 35
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 6
1. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando Inspección.
a) 22 3 1x x
b) 23 2 1x x
c) 22 5 2x x
d) 24 3 1x x
e) 22 7 3x x
f) 25 4 1x x
g) 22 9 4x x
h) 26 7 1x x
i) 22 11 5x x
j) 27 8 1x x
k) 22 1x x
l) 24 4 1x x
m) 22 3 2x x
n) 29 6 1x x
o) 22 5 3x x
p) 216 8 1x x
q) 22 7 4x x
r) 225 10 1x x
s) 22 9 5x x
t) 236 12 1x x
u) 23 2x x
v) 24 3x x
w) 25 4x x
x) 26 5x x
y) 27 6x x
z) 2 2x x
aa) 22 3x x
bb) 23 4x x
cc) 24 5x x
dd) 25 6x x
ee) 23 18y y
ff) 22 15y y
gg) 22 1y y
hh) 2 7 60a a
ii) 210 3 11a a
jj) 29 25 30a a
kk) 240 100 4m m
ll) 29 4 12m m
mm) 2 169 26m m
nn) 224 144m m
oo) 24 2 6x x
pp) 26 3 9x x
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36 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
III Método: Fórmula Notable
Se utiliza para polinomios de la forma 2ax bx c , con , ,a b c y 0a .
1. Se calcula 2ax y c
2. Se determina si 22 ax c bx
3. En caso de ser cierto el procedimiento # 2 se expresa 22 2ax bx c ax c
Ejemplo 1Factorice el polinomio 225 70 49x x
Ejemplo 2Factorice el polinomio 220 100y y
1. Se calcula225 5x x y 49 7
2. Se determina si
2 5 7 70x x 3. El procedimiento # 2 es cierto, entonces
2225 70 49 5 7x x x
1. Se calcula2y y y 100 10
2. Se determina si
2 10 20y y 3. El procedimiento # 2 es cierto, entonces
22 220 100 20 100 10y y y y y
Trabajo cotidiano # 71. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando Fórmulas Notables.
a) 2 2 1x x b) 24 4 1x x c) 29 6 1x x d) 216 8 1x x e) 225 10 1x x f) 2 4 4x x g) 24 12 9x x h) 29 24 16x x i) 216 40 25x x j) 225 60 36x x k) 2 6 9x x l) 24 20 25x x m) 29 42 49x x n) 225 40 16x x o) 2 2 1x x
p) 24 4 1x x q) 29 6 1x x r) 216 8 1x x s) 225 10 1x x t) 2 4 4x x u) 24 12 9x x v) 29 24 16x x w) 216 40 25x x x) 225 60 36x x y) 2 6 9x x z) 24 20 25x x aa) 29 42 49x x bb) 236 60 25x x cc) 225 40 16x x dd) 236 60 25x x
ee) 249 28 4b b ff) 2 1 2w w gg) 225 9 30x x hh) 216 4 16x x
ii)2
14
aa
jj)2
14
bb
kk)2
2 99
nn
ll)2 2
19 3
b b
mm)24 1
9 3 16
x x
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 37
GRUPO FÉNIX
FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
IV Método: Teorema del factor
Un polinomio f x tiene un factor x d si y sólo si 0f d . En nuestro caso, un
polinomio de la forma 2ax bx c , con , ,a b c y 0a , tiene un factor x d si y
sólo si 0f d .
Procedimiento:
1. Se determinan los divisores de “ c ”
1 2 3: , , ,... nDivisores d d d d
2. Se determina uno de los divisores que cumpla que 0f d .
3. Se realiza la división sintética entre 2ax bx c y x d para determinar el
cociente, es decir el segundo factor del polinomio.
Ejemplo 1
Factorice el polinomio 22 5 3x x
Procedimiento:
1. Se determinan los divisores de “ 3 ”
: 1, 3Divisores
2. Se determina uno de los divisores que cumpla que 0f d .
23 2 3 5 3 3 0f
3. Se realiza la división sintética entre 22 5 3x x y 3x para determinar el cociente,
es decir el segundo factor del polinomio.
Cociente: 2 1x
4. La factorización del polinomio 22 5 3 3 2 1x x x x
2 5 3 3
2
6
1
3
0
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38 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 81. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando el teorema del factor.
a) 22 3 1x x
b) 23 2 1x x
c) 22 5 2x x
d) 24 3 1x x
e) 22 7 3x x
f) 25 4 1x x
g) 22 9 4x x
h) 26 7 1x x
i) 22 11 5x x
j) 27 8 1x x
k) 22 1x x
l) 24 4 1x x
m) 22 3 2x x
n) 29 6 1x x
o) 22 5 3x x
p) 22 7 4x x
q) 22 9 5x x
r) 23 2x x
s) 24 3x x
t) 25 4x x
u) 26 5x x
v) 27 6x x
w) 2 2x x
x) 22 3x x
y) 23 4x x
z) 24 5x x
aa) 25 6x x
bb) 23 18y y
cc) 22 15y y
dd) 22 1y y
ee) 2 7 60a a ff) 2 169 26m m gg) 224 144m m
FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
IV Método: Teorema del factor
Ejemplo 2Factorice el polinomio 2 4 4x x
1. Se determinan los divisores de “ 4 ” : 1, 2, 4Divisores
2. Se determina uno de los divisores que cumpla que 0f d .
22 2 4 2 4 0f
3. Se realiza la división sintética entre 2 4 4x x y 2x para determinar el cociente,es decir el segundo factor del polinomio.
Cociente: 2x
4. La factorización del polinomio 22 4 4 2 2 2x x x x x
1 4 4 2
1
2
2
4
0
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 39
GRUPO FÉNIX
FACTORIZACIÓN COMPLETA DE POLINOMIOS DE TRES Y CUATRO TÉRMINOS CONUNA O DOS VARIABLES
Factor Común y Fórmula Notable
Ejemplo 1Factorice de forma completa el polinomio
228 28 7x y xy y
Ejemplo 2Factorice de forma completa el polinomio
3 2 2 2 28 40 50
7 7 7x y x y xy
1. Se determina el factor común delpolinomio
2
2
28 28 7
7 4 4 1
x y xy y
y x x
2. Se factoriza el trinomio de segundo grado
2
2
7 4 4 1
7 2 1
y x x
y x
1. Se determina el factor común delpolinomio
2 224 20 25
7xy x x
2. Se factoriza el trinomio de segundo grado
2 2
22
24 20 25
72
2 57
xy x x
xy x
Ejemplo 3Factorice de forma completa el polinomio 3 2 2 1x x x x
1. Se determina el factor común del polinomio
3 2
2 2
2 1
2 1
x x x x
x x x x
2. Se factoriza el trinomio de segundo grado:
2 2
22
2 1
1
x x x x
x x x
3. Se factoriza la expresión que está dentro del paréntesis cuadrado utilizando diferencia decuadrados:
22 1
1 1
x x x
x x x x x
4. Se simplifican los factores
1 1
1 1
2 1 1
2 1
x x x x x
x x x x x
x x
x x
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40 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 91. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.
a) 3 218 12 2x y x y xy
b) 4 3 248 24 3x y x y x y
c) 3 3 2 3 34 16 16x y x y xy
d) 4 2 3 2 2 245 120 80x y x y x y
e) 3 4 5 4 4 4150 54 180x y x y x y
f) 250 80 32
3 3 3x y xy y
g) 3 264 64 16
5 5 5x y x y xy
h) 2 2 2 3 284 147 12
11 11 11x y xy x y
i) 2 3 4 3 3 336 16 48
7 7 7x y x y x y
j) 3 4 4 4 5 4125 120 45
3 3 3x y x y x y
k) 3 2 10 25x x x x
l) 3 2 4 4x x x x
m) 4 2 2 6 9x x x x
n) 5 3 24 4 1x x x x
o) 6 4 29 12 4x x x x
p) 5 2 72 9 24 16 8x x x x
q) 6 2 816 9 30 25 36x x x x
r) 7 2 9125 16 40 25 80x x x x
s) 2 38 1825 20 4
3 3x x x x
t) 3 2 54 925 30 9
5 80x x x x
u) 3 2 22xy xy x xy y
v) 4 2 2 24 4xy xy x xy y
w) 5 3 2 26 9xy xy x xy y
x) 2 3 2 2 24 4x y x y x xy y
y) 3 3 3 2 29 12 4x y x y x xy y
z) 3 4 3 2 2 29 24 16x y x y x xy y
aa) 2 2 216 40 25xy xy x xy y
bb) 4 2 4 4 2 225 20 4x y x y x xy y
cc) 4 2 225 30 9xy xy x xy y
dd) 3 5 2 29 30 25x y xy x xy y
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 41
GRUPO FÉNIX
FACTORIZACIÓN COMPLETA DE POLINOMIOS DE TRES Y CUATRO TÉRMINOS CONUNA O DOS VARIABLES
Grupos y Factor Común
Ejemplo 1Factorice de forma completa el polinomio
23 8 6 4x y xy x
Ejemplo 2Factorice de forma completa el polinomio
23 4 6 2xy x y x
1. Se agrupan los términos de dos en dos
tomando como criterio que cada
agrupación tenga factor común
2
2
3 8 6 4
3 6 8 4
x y xy x
x xy y x
2. Se determina el factor común de cada
agrupación
23 6 8 4
3 2 4 2
x xy y x
x x y y x
3. Se determina el factor común entre los
dos grupos
3 2 4 2
3 2 4 2
2 3 4
x x y y x
x x y x y
x y x
1. Se agrupan los términos de dos en dos
tomando como criterio que cada
agrupación tenga factor común
2
2
3 4 6 2
3 6 4 2
xy x y x
xy y x x
2. Se determina el factor común de cada
agrupación
23 6 4 2
3 2 2 2
xy y x x
y x x x
3. Se determina el factor común entre los
dos grupos
3 2 2 2
3 2 2 2
2 3 2
2 2 3
y x x x
y x x x
x y x
x x y
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42 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 10
1. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.
a) 2 31x x x
b) 21 2 2x x x
c) 3 24 1 4x x x
d) 3 23 2 12 8x x x
e) 2 33 9 3x xy y y
f) 24 6 3 2x y xy x
g) 1 3 2 6x y xy
h) 24 3 6 2x xy y x
i) 2 28 4 5 10y x x y xy
j) n ym m yn
k) 2a a ax x
l) 3 1 3ab b a
m) 2yz z y y
n) 2 21by y b
o) 2 2 3 31ab a b a b
p) 4 43 2 3 2mx m x
q) 2 33 9 3a ab b b
r) 2 29 1 6n a an
s) 26 8 4 3mn n m m
t) 2 39 3 3ax x a x
u) 2 2 2 23 4 3 4x a x a
v) 2 22 6 3bx b x
w) 21 9 14 6x mx m
x) 2 22 2x z x z
y) 2 22 6 3b b a a
z) 4 3 4 3w m nw mn
aa) 2 2 2 33 12 4n mn nm m n
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 43
GRUPO FÉNIX
FACTORIZACIÓN COMPLETA DE POLINOMIOS DE TRES Y CUATRO TÉRMINOS CONUNA O DOS VARIABLES
Grupos y Diferencia de Cuadrados
Ejemplo 1Factorice de forma completa el polinomio
2 210 16 25x x y
Ejemplo 2Factorice de forma completa el polinomio
3 2x x y xy
1. Se agrupan los términos tres a uno,
2 2
2 2
10 16 25
10 25 16
x x y
x x y
2. Se factoriza el trinomio por Fórmula
Notable
2 25 16x y
3. Se factoriza por diferencia de cuadrados
5 4 5 4x y x y
4. Se simplifican los factores
5 4 5 4x y x y
1. Se agrupan los términos de dos en dos,
3 2
3 2
x x y xy
x xy x y
2. Se factoriza uno de los binomios por
factor común
2 2x x y x y
3. Se factoriza uno de los binomios por
diferencia de cuadrados
x x y x y x y
4. Se factoriza toda la expresión por factor
común y se simplifica
2
1
1
x y x x y
x y x xy
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44 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 111. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.
a) 2 2 22ab a b c
b) 2 26 9n n c
c) 2 2 22ac a c b
d) 2 2 22xz x z y
e) 2 22 1ax a x
f) 2 24 4 1x y xy
g) 2 2 22a ab b x
h) 2 22 1a a b
i) 2 22 1a a c
j) 2 225 1 2a m a
k) 225 10 9n n
l) 2 2 29 6a b c bc
m) 2 2 29 4 4x m am a
n) 2 224 9 1 16xy x y
o) 2 29 1 16 24x a ax
p) 2 2 29 4 6y x ay a
q) 2 2 4 2x y x x xy
r) 3 22 3 3 2x x y xy
s) 4 2 2 25 5xy x x y x
t) 4 2 24 1 4x x x
u) 3 212 4 27 9x x x
v) 3 28 12 18 27x x x
w) 2 336 4 9 16x x x
x) 2 390 8 40 18x x x
y) 2 318 4 8 9x x y x y
z) 2 236 4 9a ab b
aa) 2 216 36 4 9a ab b
bb) 2 24 1 4a b ab
cc) 3 2 2 3x x y xy y
dd) 4 3 2y y y y
ee) 4 3 22 3 2 3y y y y
ff) 3 3xy y x y y
Vers
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 45
GRUPO FÉNIX
Ejercicios de profundización1. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.
a) 6 38x x
b) 2 35 3
2 2x x x
c) 3 23 2 6y y y
d) 2 22 2
2
7 8 9x x
b b
e) 2
2
3 16 1 xx
a a
f) 2 2 3 4 3 2
12 18
x x x
g) 2 24 9 10 15a b b a b
h) 2 2 24 12 4 9m ab a b
i)
2 2
2
15 12
2 2
m mp mp p
m m
j)
22 3 2 2
21 1
b a ba b a b
a a
k) 23 28 10 3q q p q q p q
l) 23 215 4 2 3 4 2 3y y x y y x y
m) 2 2 2 2q p q q p q p p q p p q
n) 4 2 3b ba a
o) 3 2 410 am m
p) 3 2 1z zs s
q) 22 3n nx x
r) 1 2 1 1a ax x
s) 2 2j x jm m
t) 45 a b a b nz z
u) 2 4 31 5 1
mx x
v) 1 3 12 2
a am m
w) 3 1 3 2x xa b a b
x) 2 1 22 2
my y
y) 2 1 1 2 1 2 1 2m m mx x x
z) 2 3 2 3 2n nx y x y
aa) 2 2 415 2 5 2
mx x
bb) 1
24 8
n nb a b a b
a a
cc) 2 1 3 2 1 1
4 8
x xk k
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46 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo extraclase # 21. Al factorizar 3 2 1a a a un factor es
A) 1a B) 2 1a
C) 2 1a
D) 22 1a
2. Un factor del polinomio 249 2 3x corresponde a
A) 5 3xB) 5 3x
C) 25 xD) 2 1 2 5x x
3. Al factorizar 2 26x ax a uno de los factores esA) 3x aB) 2x a
C) 6x aD) 2x a
4. Al factorizar 26 2x x uno de los factores es
A) 2 2x B) 3 2x
C) 2 2x D) 3 2x
5. La factorización de 2 3
164
x es
A) 1 5 11
2x x
B) 1 5 11
2x x
C) 1 5 11
4x x
D) 1 5 11
4x x
6. Un factor de 2 1 2x y y es
A) 1x B) 2 y
C) 1x y D) 1x y
7. Un factor de 24 1 1x x y es
A) 1x B) 1y
C) 2 1x y D) 2 1x y
8. Un factor de 2 26 3 6 3y x x y esA) x yB) x y
C) 2x y D) 2x y
9. Al factorizar 2 2 4 4a b b uno de los factores esA) 1 bB) a b
C) 2a b D) 2a b
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 47
GRUPO FÉNIX
10.La expresión 2 22 1x y x factorizada corresponde a
A) 1 1y x y x B) 1 1y x y x
C) 1 1y x y x D) 1 1y x y x
11.En la factorización completa de 2 1
2 2
xx uno de los factores es
A) 2 1x
B) 2 1x
C)1
2x
D)1
2x
12.En la factorización completa de 3 2 28 4 8 4x x y x xy uno de los factores esA) x yB) 1x
C) 2x yD) 2 1x
13.En la factorización completa de 6 38x x uno de los factores esA) 2x B) 3
2x C) 2 4 4x x D) 2 2 4x x
14.En la factorización completa de 316 4x x uno de los factores esA) 2 1x B) 2
2 1x C) 24 2 1x x D) 24 2 1x x
15.Una factorización de 4 2 2 44 12 9x x y y es
A) 4 44 6x y
B) 22 22 3x y
C) 22 22 3x y
D) 2 2 2 22 3 2 3x y x y
16.Uno de los factores de 2 2 3 4 3 2x x x es
A) 4x B) 2x
C) 3 2x D) 2 4x
17.Uno de los factores de 2 2 2k p k p es
A) 2 pB) 22 p
C) 2 2k p
D) 2k p
18.En la factorización completa de 2 24 4y x x uno de los factores esA) 4x B) 2y
C) 2y x D) 2y x
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48 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
CONCEPTO DE RELACIÓN
El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dosconjuntos.
Ejemplo 1 Ejemplo 2Analicemos mediante un diagrama elsiguiente caso donde existe una relaciónentre estudiantes y su edad.
Analicemos el siguiente caso donde existeuna relación entre estudiantes y el númerode miembros de su familia.
Ejemplo 3Analicemos el siguiente caso donde la relación o correspondencia es comprar.Cuatro estudiantes, Carlos, María, José y Laura, ingresan a la librería, que entre otrascosas ofrece: lápices, lapiceros, plumas, cuadernos, reglas, borradores, hojas blancas,fólder, clips, grapas, etc. Luego de observar lo que la librería les ofrecía: Carlos compró lapiceros, un cuaderno y un borrador; María compró dos borradores y una regla; José compró un lápiz; Laura no compró.
Podemos decir que los estudiantes forman un conjunto A y los útiles que ofrece la librería unconjunto B para representarlo de la siguiente forma:
En este caso Laura fue a la librería pero no compró nada, por lo tanto en una relaciónpueden sobrar elementos en ambos conjuntos.
Mary
Rosy
Celeste
Gustavo
5
3
4
6
RA B
Mary
Rosy
Celeste
Gustavo
13
17
15
14
RA B
16
Carlos
María
José
Laura
lápizplumascuadernosreglasborradoreshojasfólderlapiceros
A B
Vers
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 49
GRUPO FÉNIX
VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE INDEPENDIENTE
Variables Variable independiente Variable dependienteEs todo aquello que puedeasumir diferentes valores.
Es aquella propiedad de unfenómeno a la que se le va aevaluar su capacidad parainfluir, incidir o afectar a otrasvariables.
Es la característica queaparece o cambia cuando seaplica, suprime o modifica lavariable independiente.
Ejemplo 1Podemos decir que los estudiantes son la variable independiente (conjunto A) y los útilesque ofrece la librería son la variable dependiente (conjunto B):
Ejemplo 2Si se paga a 350 colones la hora. El salario de un trabajador depende de las horas quetrabaje. El salario será igual a 350 por el número de horas trabajadas.Si S : salario y h : horas trabajadas entonces
Esto significa que el valor de la variable S depende del valor del variable h . Es decir,entre más horas trabaje mayor es su salario.
Ejemplo 3Un ciclista viaja a una velocidad constante durante cierto tiempo, recorre una distancia igualal producto de la velocidad por el tiempo transcurrido, es decir, d v t Esto significa que si el cuerpo viaja a 5 /m s se puede determinar cuál es la distanciarecorrida con solo saber el tiempo trascurrido.La distancia depende de la duración (tiempo) del recorrido.Si d : distancia y t : tiempo de recorrido, entonces
Carlos
María
José
Laura
lápizplumascuadernosreglasborradoreshojasfólderlapiceros
A B
350S harv iable independientevar iab le dependiente
5d tarv iable independientevar iab le dependiente
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50 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE INDEPENDIENTE
Ejemplos de variables
Variables independientes Variables dependientes
Número de fotocopias Precio total de las fotocopias
Tiempo Distancia
Velocidad Distancia
Medida del radio Longitud de la circunferencia
Medida del radio Área de la circunferencia
Medida del ancho de un rectángulo Perímetro del rectángulo
Medida del largo de un rectángulo Perímetro del rectángulo
Velocidad inicial de un objeto lanzado haciaarriba Altura
Tiempo Altura
Trabajo cotidiano # 11. A continuación se presentan relaciones de variables que son comunes en nuestra vida.
Determine cuál es variable dependiente y cual es independiente.
a) El salario de un constructor depende de la cantidad de horas trabajadas por semana.b) La producción de azúcar en un ingenio es proporcional a la cantidad de caña que se
produce.c) El salario de un peón en una finca depende de la cantidad de horas trabajadas por
semana.d) La cantidad de diputados por partido político es proporcional a la cantidad de votos que
obtenga en una elección.e) Que un equipo de fútbol quede campeón depende de la cantidad de juegos que gane en
todo el torneo.f) La cantidad de vacunas contra la gripe AH1N1 es proporcional a la cantidad de personas
en riesgo.g) Que un estudiante apruebe el curso lectivo depende del promedio de sus notas en los
tres trimestres.h) La pobreza de un país depende de la cantidad de impuestos que se cobran se destinen
para brindar nuevas oportunidades a los ciudadanos.i) La capacidad de procesar información de una computadora depende de la velocidad de
su procesador.j) La capacidad de una computadora para almacenar información depende de la capacidad
de almacenamiento de su disco duro.
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 51
GRUPO FÉNIX
CONTENIDOS DE PROFUNDIZACIÓNDESPEJE DE VARIABLE
Consiste en resolver una ecuación para una determinada variable, pero en términos de las
otras variables. De una fórmula original se puede derivar al menos otra más.
Ejemplo 1 Ejemplo 2La fórmula del movimiento lineal casi siempre
se escribe
Supongamos que un determinado problema
nos plantea como variable dependiente la
velocidad v, entonces simplemente
despejamos
dv
t
El área de un triángulo es igual al producto
de la base por la altura dividido por 2.
2
bhA
Si la variable dependiente fuese h, quedaría
la fórmula así:
Si la variable dependiente fuera b, quedaría
la fórmula así
2Ab
h
Trabajo cotidiano # 21. De las fórmulas que se presentan a continuación obtenga nuevas fórmulas despejando
las variables indicadas.
a) despejarf ii
V Va V
t
b) despejarf iV V at t
c) despejarf if
V Vg V
t
d) 2 22 despejarf i igh V V V
e)2
despejarh
tb hg
f)2
2 despejarh
tv gg
g) 3
despejar2
n nD n
h) despejar2
DdA d
22
2
2
bhA
A bh
Ah
bA
hb
arv iable
independiente
arv iable
dependiente
d v t
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52 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
CONCEPTO DE FUNCIÓN
En el primer objetivo de esta unidad hemos analizado el concepto de relación o
correspondencia entre dos conjuntos, en los cuales basta con que exista una conexión o un
criterio que los relacione. Para entender mejor el concepto de función analicemos los
siguientes ejemplos.
Ejemplo 1
Tres estudiantes, Carlos, María y José, ingresan a la librería, que entre otras cosas ofrece:
lápices, lapiceros, plumas, cuadernos, reglas, borradores, hojas blancas, fólder, clips,
grapas, etc. Luego de observar lo que la librería les ofrecía:
Carlos compró un borrador;
María compró dos borradores;
José compró un lápiz.
Podemos decir que los estudiantes forman un conjunto A y los útiles que ofrece la librería un
conjunto B para representarlo de la siguiente forma:
¿Cuáles son las diferencias entre este ejemplo y el que se planteó en el objetivo estudiado
anteriormente en la página 68?
Carlos
Maria
José
Lápiz
Plumas
Cuadernos
Reglas
Borradores
Hojas
A B V
ersión
Elec
trónic
a
Editor
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 53
GRUPO FÉNIX
CONCEPTO DE FUNCIÓN
Ejemplo 2
Analicemos el siguiente caso donde existe una relación entre estudiantes y su edad.
En este caso encontramos que cada uno de los elementos del Conjunto A se relaciona con
un único elemento del Conjunto B. Es decir, cada estudiante se relaciona con un único
número que representa su edad.
Mediante un diagrama podemos representar la información.
Podemos observar lo siguiente:
1) Todos los elementos del Conjunto A se relacionaron con algún elemento del Conjunto B,
o sea, no sobraron elementos en el Conjunto A (Conjunto de Salida).
2) Contrario al Conjunto A, notamos que existen elementos del Conjunto B que no fueron
“seleccionados” por elementos del Conjunto A. Es decir, sobraron elementos en el
Conjunto B (Conjunto de llegada).
Mary
Rosy
Pedro
Juan
13
17
15
14
R
A B
16 Vers
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54 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
CONCEPTO DE FUNCIÓN
Ejemplo 3
Analicemos el siguiente caso donde existe una relación entre estudiantes y el número de
miembros de su familia.
En este caso encontramos que cada uno de los elementos del Conjunto A se relaciona con
un único elemento del Conjunto B. Es decir, cada estudiante se relaciona con un único
número que representa los miembros de su familia.
Mediante un diagrama podemos representar la información.
Podemos observar lo siguiente:
1) Todos los elementos del Conjunto A se relacionaron con algún elemento del Conjunto B,
o sea, no sobraron elementos en el Conjunto A (Conjunto de Salida).
2) Al igual todos los elementos del Conjunto B se relacionaron con algún elemento del
Conjunto A, o sea, no sobraron elementos en el Conjunto B (Conjunto de llegada).
R
BA
3
4Pedro
Rosy
Juan
56Mary
Vers
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 55
GRUPO FÉNIX
CONCEPTO DE FUNCIÓN
Ejemplo 4
Un grupo de 25 estudiantes de undécimo año, realiza una prueba escrita. Supongamos que
el conjunto A está formado por los 25 estudiantes del grupo, y el conjunto B por las posibles
notas que se pueden obtener en una escala de 1a 100.
A = {Rosy, Beatriz, Carmen, Denia, Estefany,
Francini, Gretel, Hazle, Ileana, Jeannet,
Karol, Lorena, María, Alvaro, Bolivar, Carlos,
Dagoberto, Eduardo, Francisco,
Geovanny, Harol, Ignacio, José, Kenneth,
Luis}
B = {1,2,3,4,…,98,99,100} (números entre el
1 y el 100 inclusive)
La relación de correspondencia = Nota obtenida en la prueba.
De acuerdo con lo anterior hagamos un análisis de las siguientes situaciones:
Todo alumno debe tener una y solo una nota.
Un alumno no puede tener más de una nota.
Pueden haber notas, que ningún alumno haya obtenido.
Pueden haber varios alumnos, o todos, que hayan obtenido la misma nota.
Bajo estas condiciones diremos que se ha establecido una correspondencia entre el
conjunto de los alumnos y el conjunto de las notas, esta correspondencia se le llama
función.
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56 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
CONCEPTO DE FUNCIÓN
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos A y B no vacíos, en la cual para
todo elemento que pertenece al conjunto A , existe un solo elemento y solo uno, que
pertenece al conjunto B al cual se le asocia o corresponde.
Dicho de otro modo, una función es una relación entre dos conjuntos, que cumple dos
condiciones:
1. Todo elemento del conjunto de partida o Dominio está relacionado con un elemento en el
conjunto de llegada o Codominio.
2. No es posible que un elemento del conjunto de partida o dominio esté asociado con dos
o más elementos del conjunto de llegada o Codominio
Para simbolizar que se ha establecido una función f de un conjunto A en un conjunto B
usaremos la siguiente notación:
:f A B
Diagramas de Venn
La información anterior la podemos representar mediante un diagrama de Venn.
Conjunto A Conjunto Bf
1
2
3
4
x
x
x
x
1
2
3
4
5
6
y
y
y
y
y
y
Vers
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 57
GRUPO FÉNIX
CONCEPTO DE FUNCIÓN
Ejemplo 1Por medio de diagramas de Venn analicemos las siguientes correspondencias y
determinemos cuales corresponden a una función.
NO corresponde a una función ya que a un
elemento en A no le corresponde un
elemento en B.
SI corresponde a una función, a cada
elemento del conjunto A le corresponde un
elemento en B.
NO corresponde a una función ya que un
elemento en A le corresponde dos
elementos en B.
SI corresponde a una función, a cada
elemento del conjunto A le corresponde un
elemento en B.
a
bc
123
A B
a
bc
123
A B
a
bc
123
A B
a
bc
123
A B
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58 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 31. Determine cual correspondencia en cada uno de los siguientes casos corresponde a una
función.
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
a
bc
123
A B
a
bc
123
A B
a
bc
123
A B
a
bc
123
A B
a
bc
123
A B
a
bc
123
A B
a
bc
123
A B
a
bc
123
A B
a
bc
123
A B
a
bc
123
A B
a
bc
123
A B
a
bc
123
A B
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 59
GRUPO FÉNIX
RELACIONES QUE SE ESTABLECEN ENTRE CONJUNTOS NUMÉRICOS, CUYOCRITERIO ESTÁ FORMULADO MEDIANTE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una relación se establece por medio de la correspondencia entre dos conjuntos y una regla
de asociación que permita relacionar los elementos de un conjunto con los del otro conjunto,
en este objetivo trabajaremos con reglas de asociación compuestas por expresiones
algebraicas.
Ejemplo 1
Si el criterio de la función es
Para encontrar los valores del conjunto B, sustituimos cada valor del conjunto A en el criterio.
a) b) c)(4) 2(4) 1
(4) 8 1
(4) 9
f
f
f
(3) 2(3) 1
(3) 6 1
(3) 7
f
f
f
(2) 2(2) 1
(2) 4 1
(2) 5
f
f
f
( ) 2 1f x x
( ) 2 1f x x
2
3
4
5
7
9
A B
2
3
4
A B
f
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60 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
RELACIONES QUE SE ESTABLECEN ENTRE CONJUNTOS NUMÉRICOS, CUYOCRITERIO ESTÁ FORMULADO MEDIANTE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Ejemplo 2
En el ejemplo anterior representamos los conjuntos con diagramas de Venn, ahora los
denotaremos con llaves, veamos:
Si 2,3,4,5A y el criterio es ( ) 4 2f x x determine el conjunto B.
a) b) c) d)
Concluinos que Si 2,3,4,5A entonces 6,10,14,18B
Ejemplo 3
Analicemos un problema de aplicación.
Una empresa que fabrica cintas de audio estima que el costo C (en colones) al producir
cintas está dado por la función ( ) 20 100C x x
1. Calcule el costo de producir 50 unidades
(50) 20(50) 100
(50) 1000 100
(50) 1100
C
C
C
R/ El costo de producir 50 cintas es de
₡ 1100
2. Calcule el costo de producir 75 unidades
(75) 20(75) 100
(75) 1500 100
(75) 1600
C
C
C
R/ El costo de producir 50 cintas es de
₡ 1600
(2) 4(2) 2
(2) 8 2
(2) 6
f
f
f
(3) 4(3) 2
(3) 12 2
(3) 10
f
f
f
(4) 4(4) 2
(4) 16 2
(4) 14
f
f
f
(5) 4(5) 2
(5) 20 2
(5) 18
f
f
f
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 61
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 41. De acuerdo al criterio de la función indicado determine los elementos del conjunto B
Conjunto de salida A Criterio Conjunto de llegada B
a) 3, 4, 5, 6A ( ) 3 1f x x _____________B
b) 1, 3, 4, 6A ( ) 3 2f x x _____________B
c) 3, 2, 4, 5, 6A ( ) 5 6f x x _____________B
d) 6, 4, 0, 3A 2( ) 3 1f x x _____________B
e) 7, 4, 2, 5, 8A 2( ) 5 7f x x _____________B
f) 9, 8, 1, 8, 9A 4 2( )
7
xf x
_____________B
g)2 3 5
, 0, , , 37 7 2
A
28 2( )
5
xf x
_____________B
h)3 1
7, 3, , , 115 3
A
( ) 4 2f x x _____________B
i)3 2
0, ,5 7
A
2( )f x x _____________B
2. Resuelva cada uno de los siguientes problemas.
a) El costo de producción de una empresa que produce periódicos está dado por la función
( ) 400 200C x x ¿Cuál es el costo de producir 20 000 periódicos? ¿Cuál es el costo
de producir 15 000 periódicos?
b) Celeste y Gustavo Adolfo tienen una empresa donde se produce chips de computadora el
costo en colones está dado por la función3
( ) 2004
C x x . Calcule el costo de
producir 700 unidades. Calcule el costo de producir 5000 unidades.
c) Un fabricante de computadoras determina que el ingreso obtenido por la producción y
venta de las mismas esta dado por la función 2( ) 350 0.25I x x x . Calcule el ingreso
si se venden 500 computadoras. Calcule el ingreso si se venden 1500 computadoras.
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62 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
DOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN, PREIMAGENY NOTACIÓN DE FUNCIONES
Para entender mejor el concepto de función es importante tener claro los siguientes
componentes que satisfacen una relación que corresponde a una función.
Componentes Ejemplos
DominioEl dominio de una función son todos los
elementos que puede tomar el conjunto de
salida.
PreimágenesSon todos los elementos del dominio.
CodominioEl codominio de una función son todos los
valores que puede tomar el conjunto de
llegada.
ÁmbitoEl ámbito de una función son los únicos
elementos del codominio que tienen relación
con los elementos del dominio.
ImágenesSon todos los elementos del ámbito.
Notación de funcionesPara denotar una función utilizaremos la siguiente simbología ,
f indica que existe una función.
A determina el conjunto de salida, o dominio.
B determina el conjunto de llegada o codominio.
Nota: la expresión ( ) ( )f x y ó y f x
:f A B
1 2 3Ámbito : , ,y y y
BA
3x2x1x
3y2y1y
4y
f
1 2 3 4Codominio : , , ,y y y y
BA
3x2x1x
3y2y1y
4y
f
BA
3x2x1x
3y2y1y
4y
f
1 2 3Dominio : , ,x x x
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 63
GRUPO FÉNIX
DOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN, PREIMAGENY NOTACIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 1
Considere la función f , tal que :f ; con ( ) 5 7f x x
Determine Solución
a) Dominio de f
b) Codominio de f
c) Criterio de f
d) La imagen de 4
e) La preimagen de 10
f) Ámbito de f
a) El dominio de f es 0 ,
b) Codominio de f es
c) Criterio de f es 5 7f x x
d) Para calcular una imagen se debe sustituir el valor dado en
lugar de “x” :
e) Para calcular una preimagen se debe sustituir el valor dado
en lugar de ( )f x :
f) El ámbito de f es , 7 porque el dominio es
0 , , 0 7f y " "f
Concluimos que :f con ( ) 5 7f x x tiene las siguientes características
Dominio Codominio Criterio Imagen de 4 Preimagen de -10 Ámbito
(4) 5(4) 7
(4) 20 7
(4) 27
f
f
f
4 27La imagen de es
5 7
10 5 7
10 7 5
3 5
3
5
f x x
x
x
x
x
310
5La preimagen de es
3
5 5 7f x x 27 , 7
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64 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
DOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN, PREIMAGENY NOTACIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 2
Considere la función f , tal que :f ; con ( ) 5 7f x x
Determine Solución
a) Dominio de f
b) Codominio de f
c) Criterio de f
d) La imagen de 4
e) La preimagen de 12
f) Ámbito de f
a) El dominio de f es , 0
b) Codominio de f es
c) Criterio de f es 5 7f x x
d) Para calcular una imagen se debe sustituir el valor dado en
lugar de “x” :
e) Para calcular una preimagen se debe sustituir el valor dado
en lugar de ( )f x :
f) El ámbito de f es 7 , porque el dominio es
, 0 , 0 7f y " "f
Concluimos que :f ; con ( ) 5 7f x x tiene las siguientes características
Dominio Codominio Criterio Imagen de - 4 Preimagen de 12 Ámbito
7 ,
( 4) 5( 4) 7
( 4) 20 7
( 4) 27
f
f
f
4 27La imagen de es
5 7
12 5 7
12 7 5
5 5
5
51
f x x
x
x
x
x
x
12 1La preimagen de es
1 5 7f x x 27
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 65
GRUPO FÉNIX
DOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN, PREIMAGENY NOTACIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 3
Considere la función f , tal que : 2 ,10f ; con5
( )3
xf x
Determine Solución
a) Dominio de f
b) Codominio de f
c) Criterio de f
d) La imagen de1
2
e) La preimagen de 2
f) Ámbito de f
a) El dominio de f es 2 ,10
b) Codominio de f es
c) Criterio de f es5
( )3
xf x
d) Para calcular una imagen se debe sustituir el valor dado en
lugar de “x” :
e) Para calcular una preimagen se debe sustituir el valor dado
en lugar de ( )f x :
f) El ámbito de f es5 7
,3 3
porque el dominio es
2 ,10 , 72
3f y 5
103
f
15
1 22 3
1 11
2 6
f
f
1 11
2 6La imagen de es
5( )
35
23
2 3 5
6 5
6 5
1
1
xf x
x
x
x
x
x
x
2 1La preimagen de es
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66 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
DOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN, PREIMAGENY NOTACIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 4
Considere la función f , tal que : 3, 1, 0 , 5f ; con 2 1f x x x
Determine Solución
a) Dominio de f
b) Codominio de f
c) Criterio de f
d) La imagen de 1
e) Las preimágenes de 1
f) Ámbito de f
a) El dominio de f es 3, 1, 0 , 5
b) Codominio de f es
c) Criterio de f es 2 1f x x x
d) Para calcular una imagen se debe sustituir el valor dado en
lugar de “x” :
e) Para calcular las preimágenes se debe sustituir el valor
dado en lugar de ( )f x :
f) El ámbito de f es 5 , 1 , 29 porque el dominio es
3, 1, 0 , 5 , 3 5f , 1 1f , 0 1f y
5 29f
21 1 1 1
1 1
f
f
1 1La imagen de es
2
2
2
2
1 2
1
1 1
1 1 0
0
0 1
f x x x
x x
x x
x x
x x
1 1 0La preimágenes de son y
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 67
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 51. De las siguientes funciones determine el Df (dominio), Cf (codominio), Af (ámbito), el
criterio y la preimagen e imagen que se solicita en cada una.
a) 2 5; :f x x f y preimagen de 8 e imagen de 8 .
b) 4 3; :f x x f y preimagen de7
2e imagen de
1
2
.
c) 6; :f x x f y preimagen de 0 e imagen de5
3.
d) 5; :f x x f y preimagen de23
4
e imagen de 123 .
e) 2; :
7
xf x f
y preimagen de 19 e imagen de 81 .
f) 1 2; :
3
xf x f
y preimagen de31
7
e imagen de
2
5.
g) 2 5; : 7 , 15f x x f y preimagen de 5 e imagen de 2 .
h) 4 3; : 10 , 1f x x f y preimagen de 4 50 e imagen de 3 7 .
i) 2 1; : 15 ,
7 7
xf x f
y preimagen de
8
7e imagen de
15
4
.
j) 1 2 27 27; : ,
3 5 5
xf x f
y preimagen de 0 e imagen de 3 .
k) 2 32 ; : 0,2, 1,
5f x x x f
y preimágenes de 0 e imagen de 1 .
l) 2 73; : 2, , 3
3f x x f
y preimagen de 1 e imagen de
7
3.
m) 12 1; : , 100
2f x x f
y preimagen de 3 e imagen de18
7.
n) 33 2 1; : 9 , 1f x x f y preimagen de 3 15 e imagen de 5 .
o) 2 31 ; : 1,0,
2 2
xf x f
y preimagen de1
2
e imagen de 0 .
p) 4 44 3 ; : 4,
5 3f x x f
y preimagen de
4
5e imagen de 4 .
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68 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
EJERCICIOS DE PROFUNDIZACIÓNDOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN, PREIMAGEN
Y NOTACIÓN DE FUNCIONES
1. Para la función f : , con 1 si 0
si 0
xf x
-x x
determine la imagen de –3.
2. Si 2
3
xf x
, entonces determine 1f .
3. Para la función f dada por 1
2f x
x
, determine:
a) 5 4 3f f f
b)
5 4
3
f f
f
c)
30 1 3 4
2 5
f f f f
f f
4. Para la función f dada por 3 5f x a , si a es una constante, entonces
determine 0 1f f .
5. Si 2f x x y la preimagen de 3 es 4 1k , entonces determine el valor de k .
6. Si para :f G IR con 3 1f x x el ámbito es 3,5 , entonces determine G.
7. Si fG 1,0 , 2,1 , 3,2 , 4,3 , 5,4 es el gráfico de la función f , entonces
determine el ámbito de esa función.
8. Sea la función : .f P Si el dominio de f tiene 7 elementos, entonces ¿cuál es el
menor número posible de elementos del ámbito de f ?
9. Sea 1
2f x
x
con dominio 2 entonces determine el ámbito de f .
10. Para la función :f dada por 2f x x , determine el ámbito de f .
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 69
GRUPO FÉNIX
IDENTIFICACIÓN DEL DOMINIO, EL CODOMINIO, EL ÁMBITO, IMÁGENES YPREIMÁGENES DE UNA FUNCIÓN, A PARTIR DE SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Ejemplo 1 Ejemplo 2
Dominio 4 , Dominio , 1
Codominio Codominio
Ámbito , 4 Ámbito , 1
Imagen de 0 2 Imagen de 1 no existe
Preimagen de 0 6 Preimagen de 1 0
Ejemplo 3 Ejemplo 4
Dominio , Dominio 4 , 2
Codominio Codominio
Ámbito , Ámbito 3 , 3
Imagen de 1 4 Imagen de 0 3
Preimagen de 4 1 Preimagen de 0 4
x
y
21-1
4
-2
-4
x
y3
-4
-3
2
-4 6x
4
2
2 4
y
x
y
-1
1
-2 212 1
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70 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 6De las siguientes gráficas de funciones determine el dominio, codominio, ámbito ypreimagen e imagen que se solicita en cada una.
Ejercicio 1 Ejercicio 2
Preimagen de 0 , Imagen de 0 Preimágenes de 0 , Imagen de 1Ejercicio 3 Ejercicio 4
Preimagen de 3 , Imagen de 2 Preimagen de 0 , Imagen de 2Ejercicio 5 Ejercicio 6
Preimagen de 0 , Imagen de 4 Preimagen de 0 , Imagen de 6
Ejercicio 7 Ejercicio 8
Preimágenes de 0 , Imagen de 2 Preimagen de 4 , Imagen de 1
y
x-4
34
4
-3
32
-2
2
11
-1-1
30x
3y
1
1 4
-2
3 ∙
∙
y
x2∙
x21
-2
-1-2
3
y
-4 3
-3 ∙∙
y
x4
-4 6x
4
2
∙2 4
y
∙
4
2 5x
y
-2-4
x
y
3-3
-4
f
1
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 71
GRUPO FÉNIX
De las siguientes gráficas de funciones determine el dominio, codominio, ámbito, preimagene imagen.
Ejercicio 9 Ejercicio 10
Preimagen de 4 , Imagen de 3 Preimágenes de 0 , Imagen de 0
Ejercicio 11 Ejercicio 12
Preimagen de 3 , Imagen de 1 Preimagen de 2 , Imagen de 1Ejercicio 13 Ejercicio 14
Preimágenes de 2 , Imagen de 2 Una preimagen de 2 , Imagen de 1Ejercicio 15 Ejercicio 16
Preimagen de 3 , Imagen de 1 Preimagen de 3 , Imagen de 1
x
y
-3 432
3
-2-4
y
3
f
-1-1-2
21x
2
1
1 2-2 -1-1
x
y
4
y
x321
1
-1
4
2
2
x
y
-1 1
1
2
x
y
2 43-1
1
1
-2
3
2-1
y
x-2-3 -1
1
3
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72 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Ejercicios de profundización
Determine el dominio, el codominio, el ámbito, 1f , 2f , intervalo para x si 0f x ,
intervalo para x si 0f x , el número de preimágenes de 2 .
Ejercicio 17 Ejercicio 18
Ejercicio 19 Ejercicio 20
Ejercicio 19 Ejercicio 20
1
2
-3 -2-1
2 3
3
-2
-1
1
1 2 4 5-4
-3
-5-1
-3 -2 -1 3 x
y
-2
12
y
2312
1x
2
-4 -3 -1 1 2 5-1
-3
1 2 4 5-4
-3
-5-1
x
y
1
1
-3 -2 -1 2 3
2
-2
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 73
GRUPO FÉNIX
DOMINIO MÁXIMO DE FUNCIONES CUYO CRITERIO SE ENUNCIA CON EXPRESIONESALGEBRAICAS SENCILLAS
Si se describe la imagen bajo una función f , por medio de una fórmula algebraica y un
codominio B sin especificar el dominio, esta función tendrá un dominio implícito que
corresponde a todos los valores “x” tal que ( )f x pertenezca al codominio; al conjunto de
estos valores se le llama Dominio Máximo y lo denotamos con fD .
I Caso: Expresiones polinomiales de una variable.
Ejemplo 1Determine el dominio máximo de 23 4 1f x x x
Para expresiones polinomiales de una variable, el dominio máximo es , cualquier número
real tiene imagen. Simbólicamente se representa: fD =
II Caso: Expresiones racionales con denominador de la forma x b , con IRb
Ejemplo 2
Determine el dominio máximo de 5
6f x
x
1. Igualamos a cero el denominador y resolvemos:
2. El dominio máximo es: fD = 6
III Caso: Expresiones radicales de índice par, con subradical de la forma x b , conIRb
Ejemplo 3Determine el dominio máximo de 4f x x
1. Resolvemos la inecuación:
2. El dominio máximo es: 4 ,fD
6 0
6
x
x
4 0
4
x
x
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74 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 71. Determine el dominio máximo de las siguientes funciones
a) 23 2 3f x x x
b) 23 2 3f x x x
c) 23 2 3f x x x
d) 222 3
3f x x x
e) 223
3 5
xf x x
f) 223
3 5
xf x x
g) 2 5f x x
h) 2 5f x x
i) 2 5f x x
j) 55
3f x x
k) 4 3f x x
l) 13
5f x x
m) 24 3f x x
n) 23 4f x x
o) 27f x x
p) 2f x x
q) f x x
r) 1f x
s) 3 24 7 6f x x x x
t) 1
9f x
x
u) 10
15f x
x
v) 7
xf x
x
w) 7
xf x
x
x) 7
xf x
x
y) 7
xf x
x
z) 11 2
2
xf x
x
aa) 4
3
xf x
x
bb) 10
5
xf x
x
cc) 9 1
7
xf x
x
dd) 24 3 1
4
x xf x
x
ee) 210 6
2
x xf x
x
ff) 3
2
4
xf x
x
gg) 4
1
9
xf x
x
hh) 9f x x
ii) 15f x x
jj) 7f x x
kk) 7f x x
ll) 7f x x
mm) 7f x x
nn) 4 10f x x
oo) 46
7f x x
pp) 4 3f x x
qq) 41
4f x x
rr) 6 3f x x
ss) 6 3f x x
tt) 68
3f x x
uu) 61
6f x x
vv) 8 3f x x
ww) 8 2f x x
xx) 8 5f x x
yy) f x x
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 75
GRUPO FÉNIX
CONTENIDOS DE PROFUNDIZACIÓNDOMINIO MÁXIMO DE FUNCIONES CUYO CRITERIO SE ENUNCIA CON EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
II Caso (profundización): Expresiones racionales
Ejemplo 1
Determine el dominio máximo de 2
2
5 7 13
3 5 2
x xf x
x x
1. Igualamos a cero el denominador y resolvemos:
2. El dominio máximo es: fD =1
2 ,3
III Caso (profundización): Expresiones radicales de índice par
Ejemplo 2Determine el dominio máximo de 4 5f x x
1. Resolvemos la inecuación:
2. El dominio máximo es:5
,4fD
IV Caso: Expresiones racionales con radicales de índice par en el denominador
Ejemplo 3
Determine el dominio máximo de 3 2
4
2 5 7 3
9 7
x x xf x
x
1. Resolvemos la inecuación:
2. El dominio máximo es:9
,7fD
2
1 2
3 5 2 0
12 y
3
x x
x x
4 5 0
5
4
x
x
9 7 0
9
7
x
x
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76 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 81. Determine el dominio máximo de las siguientes funciones
a) 2
2 3
2 3
xf x
x x
b) 2
2
1 3 4
28 8 12
x xf x
x x
c) 2
1
4 9
xf x
x
d) 2
2
1 xf x
x x
e) 2
2
3 6 3x xf x
x x
f) 2
2
4 1
16
xf x
x
g) 3
11 2
6 2
xf x
x x
h) 4 8
2 3
xf x
x x
i) 2 1
3 2
xf x
x x
j) 2
4 1
5 7 1
xf x
x x
k) 2
3 5 1
xf x
x x
l) 5
4 2 3
xf x
x
m) 2 6f x x
n) 5 2f x x
o) 1f x x
p) 4 2f x x
q) 21
3f x x
r) 1
2 4
xf x
s) 5 2 4 13f x x x
t) 3 45 1 1f x x x
u) 2
2f x
x
v) 7 1
5
xf x
x
w) 2 4
5
xf x
x
x) 1
2 13 2
f x
x
y) 1 5
3 2 5
xf x
x x
z) 12 3
44f x
xx
aa) 5 3
5
xf x
x
bb) 2
3 1
xf x
x
cc) 3
1
xf x
x
dd) 2 1
9 2
xf x
x
ee) 4 4 5
5 1
x xf x
x x
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 77
GRUPO FÉNIX
Trabajo extraclase # 11. Sea la función dada por : 1, 7 2 ,3,5f , ¿cuál de los siguientes conjuntos
puede corresponder a un gráfico de f ?A) 1, 3 , 7 , 5
B) 2 , 3 , 3 , 5C) 1, 2 , 1, 3 , 7 , 5
D) 2 ,1 , 3 ,1 , 5 , 7
2. Si g es una función con 33( ) 2 1g x x entonces la preimagen de 2 esA) 5
B) 39
2
C) 37
2
D) 3 15
3. La imagen de1
4en la función 1( ) 2 xf x corresponde a
A) 4 8
B) 3
C)3
4D) 3
4. Para la función f dada por 1
2f x
x
, considere las siguientes proposiciones.
. 3 1
. 1 0
I f f
II f f
¿Cuáles de ellas son verdaderas?A) Solo la I.B) Solo la II.
C) Ambas.D) Ninguna.
5. Sea 3 2 1f x x con dominio 1,2
entonces el ámbito de f es
A) 0
B) ,0
C) 0,
D) 12
IR
6. Para la función : 0 ,f A , con f x x , si el ámbito de f es
1 , 4 , 9 , entonces, el dominio de f es
A) B) 1 , 2 , 3
C) 1 , 4 , 9
D) 1 , 16 , 817. Considere las siguientes relaciones:
I. :f con 4f x x
II. :g con 2 3g x x De ellas, ¿Cuáles corresponden a una función?A) AmbasB) Ninguna
C) Solo la ID) Solo la II
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78 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
y
5
2
1x
2
8. El ámbito def esA) B) , 5 C) , 2 5 D) , 2 5 ,
9. El ámbito de f esA) B) 1C) 0,1
D) 0
10. De acuerdo con los datos de la siguiente gráfica, el ámbito de f esA) 2B) 2 , 4
C) 0 , 4
D) 0 , 2
11. En la función f cuyo criterio es 1
2
xf x
x
el dominio máximo es
A) 0 , B) 0
C) 1D) 0 , 2
12. El dominio máximo de la función f dada por 3
1
1f x
x
es
A) B) 1
C) , 1 D) 1 ,
13. El máximo dominio de la función 3
1
xH x
x
es
A) , 3 1, B) 3 ,1
C) 3 ,1D) , 3 1,
14. Considere las funciones cuyo criterio se da a continuación.
2
2
xf x
x
12g x x 2h x x
¿Cuáles de ellas tienen por dominio máximo 2 ?A) Solo f y g.B) Solo f y h.
C) Solo h y g.D) f , g y h.
-2
-2x
y
1
2
4
y
x
f
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 79
GRUPO FÉNIX
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
La gráfica de una función f x corresponde al conjunto de puntos de la forma ,x f x
ó ,x y en el Sistema de Coordenadas Cartesianas, donde “x” es la preimagen y f x
ó “y” es la imagen.Si trazamos una recta perpendicular a la recta horizontal en el punto que corresponde alnúmero real “x” y trazamos una recta perpendicular a la recta vertical en el punto quecorresponde al número real f x ó “y”, entonces el punto de intersección de estas dos
rectas se identifica con el par ordenado ,x f x ó ,x y .
De acuerdo a lo anterior, significa que el eje “x” estará representando el dominio de lafunción, el eje “y” el codominio, y la regla de asociación quedará determinada por lospuntos de la gráfica.
Ejemplo 1Ubique en el siguiente sistema de coordenadas los pares ordenados que se presentan a
continuación. 2, 1 ; 2 ,1 ; 0, 2 ; 1 , 2 2, 3y y
x
2 , 1
2 , 1
0 , 2
1 , 2
2 , 3
, ,x f x ó x y
eje y
eje x
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80 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 9Ubique los pares ordenados en el siguiente sistema de coordenadas
a) 4,3 ; 3,3 ; 1, 1 ; 2, 1 ; 3, 2 ; 3,0
b) 1,0 ; 1,3 ; 0,2 ; 2,3 ; 3,2 ; 3,3
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 81
GRUPO FÉNIX
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Ejemplo 2Dada la función ( ) 2 2f x x ,
:con f determine su gráfica.
Ejemplo 3Dada la función 2( ) 2f x x ,
:con f determine su gráfica.
1. Escogemos algunos valores del dominio ycalculamos sus respectivas imágenes.
x 2 1 0 1 2
( )f x 6 4 2 0 2
2. Es este caso obtenemos los siguientespares ordenados:
2, 6 ; 1, 4 ; 0, 2 ;
1, 0 2,2y
1. Escogemos algunos valores del dominio ycalculamos sus respectivas imágenes.
x 2 1 0 1 2
( )f x 2 1 2 1 2
2. Es este caso obtenemos los siguientespares ordenados:
2,2 ; 1, 1 ; 0, 2 ;
1, 1 2,2y
1, 1
0, 2
1, 1
2, 2 2,2
x
y
f
2, 6
1, 4
0, 2
1, 0
2, 2
x
y
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82 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Ejemplo 4
Dada la función 2( ) 2f x x ,
:con f determine su gráfica.
Ejemplo 5
Dada la función 3( ) 1f x x ,
:con f determine su gráfica.
1. Escogemos algunos valores del dominio ycalculamos sus respectivas imágenes.
2. Es este caso obtenemos los siguientes
pares ordenados:
2, 2 ; 1,1 ; 0,2 ;
1,1 2, 2y
x 2 1 0 1 2
( )f x 2 1 2 1 2
1. Escogemos algunos valores del dominio ycalculamos sus respectivas imágenes.
2. Es este caso obtenemos los siguientes
pares ordenados:
2, 7 ; 1, 0 ; 0,1 ;
1, 2 2,9y
x 2 1 0 1 2
( )f x 7 0 1 2 9
2, 2
1,1
0,2
1,1
2, 2
( )f x
x
y
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 83
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 10Represente gráficamente en el sistema de coordenadas las siguientes funciones (se
recomienda el uso del Software Geogebra en http://www.geogebra.org/cms/ ):
a) ( ) 2 1f x x , :con f
b) ( ) 2 2f x x , :con f
c) ( ) 2 3f x x , :con f
d) ( ) 2 4f x x , :con f
e) ( ) 2 1f x x , :con f
f) ( ) 2 2f x x , :con f
g) ( ) 2 3f x x , :con f
h) ( ) 2 4f x x , :con f
i) 2( ) 1f x x , :con f
j) 2( ) 2f x x , :con f
k) 2( ) 3f x x , :con f
l) 2( ) 1f x x , :con f
m) 2( ) 2f x x , :con f
n) 2( ) 3f x x , :con f
o) 2( ) 4f x x , :con f
p) 3( )f x x , :con f
q) 3( ) 2f x x , :con f
r) 3( ) 3f x x , :con f
s) 3( )f x x , :con f
t) 3( ) 2f x x , :con f
u) 3( ) 3f x x , :con f
Ejercicios de profundizaciónRepresente gráficamente en el sistema de coordenadas las siguientes funciones:
a) ( ) 2 1f x x , :con f
b) ( ) 2 1f x x , :con f
c) ( ) 2 1f x x , :con f
d) 2( ) 1f x x , :con f
e) 2( ) 1f x x , :con f
f) 2( ) 1f x x , :con f
g) 2( ) 1f x x , :con f
h) 2( ) 1f x x , :con f
i) 3( )f x x , : 1 , 5con f
j) 3( )f x x , : 2 , 4 , 6 , 8con f
k) 3( )f x x , : 10 , 5con f
l) 3( )f x x , : 1 , 3 , 5 , 7con f
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84 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
CONTENIDOS DE PROFUNDIZACIÓNRÉGIMEN DE VARIACIÓN
Estrictamente creciente (EC) Estrictamente decreciente (ED)
Se dice que f es una función estrictamentecreciente si 1( )f x < 2( )f x siempre que
1x < 2x .
Se dice que f es una función estrictamentedecreciente si 1( )f x > 2( )f x siempre que
1x < 2x .
Creciente (C) Decreciente (D)
Se dice que f es una función creciente si
1( )f x 2( )f x siempre que 1x < 2x .
Se dice que f es una función decrecientesi 1( )f x 2( )f x siempre que 1x < 2x .
Constante (CO)
Se dice que f es una función constante si f x b , con b , para todo “x” que
pertenece al dominio. Es decir, los puntos de la gráfica están en una recta horizontal quepasa por 0,b
Ejemplo 1
Estrictamente Creciente
5 , 3 1 , 2
Estrictamente Decreciente
1 , 1 2 ,
Creciente
5 , 1
Decreciente
3 , 1
Constante
3 , 1
f
x
y Vers
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 85
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 11De las siguientes gráficas de funciones determine su respectivo régimen de variación, es
decir, intervalo(s) donde la función es EC, ED, C, D, CO.
Ejercicio 1 Ejercicio 2
Ejercicio 3 Ejercicio 4
Ejercicio 5 Ejercicio 6
Ejercicio 7 Ejercicio 8
y
x-4
34
4
-3
32
-2
2
11
-1-1
30x
3y
1
1 4
-4 3
-3 ∙∙
y
x4
-4 6x
4
2
∙2 4
y
∙
-2
3 ∙
∙
y
x2∙
x21
-2
-1-2
3
y
4
2 5x
y
-2-4
x
y
3-3
-4
f
1
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86 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
De las siguientes gráficas de funciones determine su respectivo régimen de variación, es
decir, intervalo(s) donde la función es EC, ED, C, D, CO.
Ejercicio 9 Ejercicio 10
Ejercicio 11 Ejercicio 12
Ejercicio 13 Ejercicio 14
Ejercicio 15 Ejercicio 16
x
y
-3 432
3
-2-4
4
y
x321
1
-1
4
2
2
x
y
-1 1
1
2
y
3
f
-1-1-2
21x
2
1
1 2-2 -1-1
x
y
x
y
2 43-1
1
1
-2
3
2-1
y
x-2-3-1
1
3
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 87
GRUPO FÉNIX
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES QUE SE EXPRESANMEDIANTE LA ECUACIÓN • , 0y k x k
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellaspor un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:a) A más corresponde más.b) A menos corresponde menos.
Ejemplo 1Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio.
Si 1 kg de tomates cuesta ₡ 500, 2 kg costarán ₡ 1000, 3kg costaran ₡ 1500 y así a máskilogramos de tomates más colones. Y a menos kilógramos de tomate menos colones.
Ejemplo 2En un autobús la tarifa fija de cada pasajero está dada por la función •y k x
y : total por pagar k : tarifa x : número de pasajeros
₡150 ₡150 1₡300 ₡150 2₡450 ₡150 3
En este casoa) “ y “ Representa la variable dependiente (imágenes)b) “ x ” La variable independiente (preimágenes)c) “ k ” La constante de proporcionalidad
Trabajo cotidiano # 121.- ¿Cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales?Justifica cada una de las respuestas.a) La velocidad de un automóvil y el tiempo que tarda en realizar un mismo recorrido.b) La distancia recorrida por un automóvil y el tiempo empleado, manteniendo la misma
velocidad.c) La longitud del lado de un cuadrado y la superficie del mismo.d) La edad de un niño y su estatura.e) Las horas trabajadas por semana y el salario mensual.f) La tarifa que cobra un taxi y la cantidad de kilómetros recorridos.g) La tarifa fija que cobra un taxi por kilometro recorrido y el dinero obtenido.h) La cantidad de nutrientes que se le echan a un árbol y su altura.i) El número de llamadas por teléfono y la tarifa a pagar.j) El número de minutos que se hablan por teléfono y la tarifa a pagar.k) La producción en una empresa y el salario de los trabajadores.l) La cantidad de libros leídos y el conocimiento adquirido.m) La producción de azúcar y el ingreso en colones del ingenio.n) La producción de azúcar y el ingreso en colones de los trabajadores.
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88 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
FUNCIÓN LINEAL: CONCEPTO
Es una función :f , tal que ( )f x mx b donde m y b y su
representación gráfica es una recta, a “ m ” se le denomina pendiente de la recta, es
decir, el grado de inclinación de dicha recta con respecto al eje x .
Notación simbólica Dominio Codominio Ámbito
( )f x mx b
ó
y mx b
Excepto en la función
constante.
Representación gráfica de la función lineal
Creciente Decreciente Constante Identidad
Trabajo cotidiano # 131. Grafique las siguientes funciones (se recomienda el uso del Software Geogebra en
http://www.geogebra.org/cms/) y determine en cada caso: el dominio, codominio y ámbito,
además, si la función es creciente, creciente (identidad), decreciente o constante.
a) ( ) 2 3f x x
b) ( ) 2 0f x x
c) ( )f x x
d) ( ) 6f x
e) ( ) 9f x x
f) 2 0y x
g) y x
h) 9 9y x
i) 4y x
j) 9y
k) ( ) 2 3g x x
l) ( ) 8g x x
m) ( ) 10 7g x x
n) ( ) 9 1g x x
o) ( ) 7g x
f
0m
f
0m
f
0m
f
f x x
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 89
GRUPO FÉNIX
Ejercicios de profundización2. Determine para cada una de las siguientes funciones lineales si son crecientes,
decrecientes, constantes o corresponden a la identidad.a) La función dada por con 0f x mx b, m .
b) Si f x mx b es una función tal que 1 4 3 4f y f - .
c) Si f x mx b es una función tal que 6 1 11 1f y f .
d) Si f x mx b es una función tal que 1 4 3 6f y f .
e) Si f x mx b es una función tal que 10 8 4 5f y f .
f) Si f x mx b es una función tal que 10 5 4 8f y f .
g) Si f x mx b es una función tal que 1 6 3 4f y f .
h) Si f x mx b es una función tal que 1 1 3 3f y f .
i) Si f x mx b es una función tal que 6 6 11 11f y f .
3. Si 3 2 3,4ff x x y D entonces determine el ámbito de f .
4. Si el dominio de la función 3 1f x x es , 3 entonces determine su ámbito.
5. Si el ámbito de la función 2 5 2,5f x x es entonces determine su dominio.
6. Si el ámbito de la función 4 1 1,21f x x es entonces determine su dominio.
7. Si el ámbito de la función 12
xf x es
1,1
2
, entonces determine su dominio.
8. Si el ámbito de la función 2 5 1,f x x es entonces determine su dominio.
9. Si el ámbito de 4 1 11,f x x es entonces determine su dominio.
10.Si 3 9 8f x k x es una función creciente entonces determine el valor de k .
11.Si 3 9 8f x k x es una función decreciente entonces determine el valor de k .
12.Si 3 9 8f x k x es una función constante entonces determine el valor de k .
13.Si f es una función lineal dada por 5 4 .f x p x q Si f es una funciónconstante, entonces determine el valor de p .
14.Si f es una función lineal dada por 5 4 .f x p x q Si f es una funcióncreciente, entonces determine el valor de p .
15.Si f es una función lineal dada por 5 4 .f x p x q Si f es una funcióndecreciente, entonces determine el valor de p .
16.Si f es una función lineal dada por 10f x mx y 2 3f , calcule 2f .
17.Si f es una función lineal dada por 10f x ax y 3 2f , calcule 2f .
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90 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
CONCEPTO DE PENDIENTE Y DE INTERSECCIÓN EN LA FUNCIÓN LINEALSea f una función de la forma ( )f x mx b , con :f
Estudio de la pendiente Intersección con los ejes de coordenadas
a) Si 0m , entonces la función esestrictamente creciente.
b) Si 0m , entonces la función esestrictamente decreciente.
c) Si 0m , entonces la función esconstante.
a) La intersección con el eje y es en el
punto (0, )b
b) La intersección con el eje x es en el
punto ,0b
m
PENDIENTE E INTERSECCIÓN A PARTIR DE DOS PUNTOS DE SU GRÁFICO
Ejemplo1Determinar el criterio de una función lineal y la intersección con los ejes,
si (2) 8f y ( 3) 7f .
Para determinar el criterio de una función lineal, debemos calcular el valor “ m ” y de “b ”.
1. La pendiente se calcula con la fórmula:
En este caso los pares ordenados son;
1 1 2 2
( 2 , 8 ) ( 3 , 7 )x y x y
y
Sustituyendo: 2 1
2 1
7 8 153
3 2 5
y ym
x x
2. Para calcular b se utiliza la fórmula:
1 1
8 3 2
2
b y mx
b
b
3. Por lo tanto, el criterio de la función lineal es ( ) 3 2f x x
4. La intersección con el eje y es en el punto 0 , 0 , 2b
5. La intersección con el eje x es en el punto2 2
, 0 , 0 , 03 3
b
m
2 1
2 1
y ym
x x
V
ersión
Elec
trónic
a
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 91
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 141. En cada caso determine el criterio de la función lineal y la intersección con los ejes que
cumple con las condiciones dadas.
a) 2 4 1 5f y f
b) 2 3 2 4g y g
c) 6 3 8 12h y h
d) 42 2 3
3p y p
e) 2 3 3 18f y f
f) 2 6 1 3g y g
g) 2 1 0 5h y h
h)1 3 3 7
2 4 4 5p y p
i) 1 3 2 1f y f
j) 4 0 3 2g y g
k) 1 1 2 5h y h
l)3 14 3 2
4 13 2 3p y p
2. A continuación se presentan dos pares ordenados, determine el criterio de la función lineal yla intersección con los ejes.
a) 2,3 , 4,1
b) 1,7 , 7,6
c) 3,4 , 5,2
d) 7,2 , 6, 2
e) 3,4 , 2, 2
f) (6 7) , 3,5
g) 9,5 , 6, 5
h) 1,2 , 4, 7
i)1 5
,5 4
7 2,
5 3
j)5 3
,6 2
,7 21
,2 3
k)5 11
,2 4
,5 9
,2 4
3. A continuación se presenta el valor de la pendiente y un par ordenado determine en cadacaso el criterio de la función lineal y la intersección con los ejes.
a) m = 2 2,3
b) m = 3 5,2
c) m =2
3
1, 5
d) m = 2 2,6
e) m = 6 2, 3
f) m = -1 5, 1
g) m = 1 3, 5
h) m =1
2 4,2
i) m =1
2
4 2,
3 3
j) m = -17 4
,3 3
k) m =5
4
1 3,
2 4
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92 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Ejercicios de profundización4. A continuación se presentan ecuaciones de diferentes rectas, determine en cada caso el
valor de “ m ” y de “b ”, la intersección con los ejes y el régimen de variación.
a) 2 3 2y x
b) 4 5 4y x
c) 3 3 2y x
d) 6 3 4y x
e)4 7
53 4
xy
f) 12 4
y x
g)2 3 4
5 10 5
y x
h)4
13 2
xy
i)3 1
2 2 4
y x
j) 5 2 3 0x y
k) 4 6 6 0x y
l)3 1
08 4 2
y x
m)4 7 3
03 4 2
x y
n)1
02 4 2
x y
o)1
03 9
yx
5. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el origen de las coordenadas y tiene
pendiente3
5
?
6. Si la variable dependiente de 4 5f x x se aumenta en 12 unidades, entonces en
¿cuántas unidades se incrementa la variable independiente?
7. Si la variable dependiente de 7 3f x x se disminuye en 9 unidades, entonces en
¿cuántas unidades se incrementa la variable independiente?
8. Si f es una función lineal, tal que 2 14f x f x , entonces determine la
pendiente de la recta que representa a f .
9. Si f es una función lineal, tal que 2 8f x f x , entonces determine la
pendiente de la recta que representa a f .
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 93
GRUPO FÉNIX
PENDIENTE E INTERSECCIÓN A PARTIR DE LOS DATOS QUE PROPORCIONA LAREPRESENTACIÓN GRÁFICA
Ejemplo 1Determinar la pendiente y la intersección con los ejes de la siguiente gráfica de una función
Intersección eje x
2 , 0 , 0b
m
Intersección eje y
0 , 3 0 , b
Pendiente
2 1
2 1
3 0 3 3
0 2 2 2
y ym
x x
Criterio de la función
33
2
f x mx b
f x x
Ejemplo 2Determinar la pendiente y la intersección con los ejes de la siguiente gráfica de una función
Intersección eje x
1, 0 , 0b
m
Intersección eje y
0 , 5 0 , b
Pendiente
2 1
2 1
5 0 55
0 1 1
y ym
x x
Criterio de la función
5 5
f x mx b
f x x
f
y
x
f
x
y
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94 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
PENDIENTE E INTERSECCIÓN A PARTIR DE LOS DATOS QUE PROPORCIONA LAREPRESENTACIÓN GRÁFICA
Ejemplo 3Determinar la pendiente y la intersección con los ejes de la siguiente gráfica de una función
Intersección eje x
No interseca
Intersección eje y
0 , 3 0 , b
Pendiente
0m
Criterio de la función
0 3
3
f x mx b
f x x
f x
Trabajo cotidiano #15De acuerdo a las siguientes gráficas de funciones, determine la intersección con los ejes, la
pendiente y el criterio de la función.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
2
21
32
y
x
2
2
x
y
3
2
x
y
3
2
x
y
4
2
x
y
31
x
y
y
x
x
f
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 95
GRUPO FÉNIX
Ejercicios de profundizaciónComplete el espacio indicado con el símbolo >, <, = según corresponda.
1. 2. 3.
m ____ 0
b ____ 0b
m
____ 0
m ____ 0
b ____ 0b
m
____ 0
m ____ 0
b ____ 0b
m
____ 0
4. 5. 6.
m ____ 0
b ____ 0b
m
____ 0
m ____ 0
b ____ 0b
m
____ 0
m ____ 0
b ____ 0b
m
____ 0
7. 8. 9.
m ____ 0
b ____ 0b
m
____ 0
m ____ 0
b ____ 0b
m
____ 0
m ____ 0
b ____ 0b
m
____ 0
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
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96 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
EJERCICIOS Y PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA ECUACIÓN DE LA RECTA
En la solución de problemas es importante considerar el método que planteó George Polya
(Matemático Húngaro), sugiriendo cuatro pasos:
1. Entender el problema.
2. Configurar un plan de solución.
3. Ejecutar el plan de solución.
4. Mirar hacia atrás (¿la respuesta satisface lo establecido en el problema?)
Ejemplo
Celeste y Gustavo Adolfo tienen una empresa donde se produce chips de computadoras, el
costo de la producción en colones está dado por la función3
( ) 2004
C x x . Calcule el
costo de producir 5000 unidades. Calcule la cantidad de chips producidos si el costo fue de
1736 colones.
Costo de producir 5000 unidades Cantidad de chips producidos
3( ) 200
43
(5000) 5000 2004
(5000) 3950
C x x
C
C
R/ El costo de producir 5000 unidades es
de ₵ 3950.
3( ) 200
43
1736 2004
2048
C x x
x
x
R/ La cantidad de chips producidos es de
2048.
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 97
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano #161. Una empresa que fabrica cintas de audio estima que el costo C (en colones) al producir
cintas está dado por la función ( ) 200 100C x x . Calcule el costo en colones de
producir 50 unidades. Calcule la cantidad de cintas de audio producidas si el costo en
colones fue de 24 500 .
2. El costo semanal “C” en dólares por producir “x” unidades de un producto está dado por
( ) 5 200C x x . Si en una semana se produjeron 1250 unidades de ese producto,
entonces, ¿cuál será el costo por dicha producción? Si en una semana el costo por
producir cierta cantidad de ese producto es 825 dólares, entonces ¿cuántas unidades se
produjeron esa semana?
3. El precio “p” en colones y la cantidad vendida “x” de cierto producto está dado por
( ) 1004
xp x
con 0 400x . ¿Cuál es el precio en colones si se venden 120
unidades de ese producto? ¿Cuántas unidades de ese producto se vendieron si el precio
fue un colón?
4. El crecimiento de un feto de más de 12 semanas de gestación se calcula mediante la
fórmula 1,53 6,7L t ; donde L es la longitud (en cm) y t es el tiempo (en
semanas). La longitud prenatal se puede determinar por ultrasonido. Calcule la longitud
de un feto de 24 semanas de gestación. Calcule la edad de un feto cuya longitud es 28
centímetros.
5. Se ha calculado que 1000 curies de una sustancia radioactiva, introducidos en un punto
del mar abierto, se extendería por una superficie de 40000km2 en 40 días. Suponiendo
que la superficie cubierta por la sustancia radiactiva sea una función lineal del tiempo t y
sea siempre circular se tiene que 1000r t t . Calcule la superficie contaminada en
60 días. Calcule los días transcurridos para que la superficie contaminada sea de
90 000 km2.
6. El fenómeno de la isla de calor urbano se ha observado en Tokio. El promedio de
temperatura era 13,5 °C en 1915, y desde entonces ha subido 0,032 °C por año.
Considere que la temperatura T (en °C) está linealmente relacionada con el tiempo t (en
años) y que t = 0 corresponde a 1915. Pronostique el promedio de temperatura para el
año 2004. Pronostique el año en el que el promedio de temperatura será
aproximadamente 17,82 °C.
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98 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo extraclase # 2
1. Si la pendiente de gráfica de una función lineal f es3
2
y 2,0 es un punto que
pertenece a ella, entonces 1f es igual a
A) 3
2
B) 7
2
C) 9
2
D) 3
2
2. De acuerdo con los datos de la siguiente gráfica, considere las siguientes proposicionesI. 0f x , con 1x II. La función f es creciente
De ellas, ¿Cuáles son verdaderas?A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
3. De acuerdo con los datos de la gráfica, el criterio de la función g corresponde aA) 2 2g x x
B) 12
xg x
C) 2 2g x x
D) 12
xg x
4. Si el dominio de la función 3 1f x x es , 3 entonces su ámbito es
A) ,10 B) 10,
C) , 10 D) 10,
5. Si el ámbito de 4 1 11,f x x es entonces el dominio de f es
A) ,3 B) 3,
C) ,3 D) ,45
6. Si el ámbito de la función f dada por 12
xf x es
1,1
2
, entonces el dominio
de f es
A) 0,3
B) 0,3
C)1 5
,2 4
D)1 5
,2 4
x
y
-2 2
1
2 g
2
1 21
2
2
y
x
f
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 99
GRUPO FÉNIX
7. Sean 1l y 2l rectas cuyos criterios forman un sistema de ecuaciones dependientes. Si
1l está definida por 3 6x y y 2l por 6 2 12x y r , entonces el valor de laconstante r esA) 0B) 1
C) 2D) 3
8. Si 3 9 8f x k x es una función decreciente entonces se cumple con certezaque k pertenece al conjuntoA) ,3 B) 3,
C) 3, D) , 3
9. Si f es una función lineal dada por 5 4 .f x p x q Si f es una funcióncreciente, entonces se cumple con certeza que p pertenece al conjunto
A)4
,5
B)4
,5
C)4
,5
D)4
,5
10. Si f es una función lineal dada por 10.f x mx Si 2 3f entonces 2f es
A) 3B) 10
C) 23D) 25
11. Si 2, 1 4, 1y pertenecen al gráfico de una función lineal f , considere lassiguientes proposiciones.
I. f es estrictamente creciente.II. El ámbito de f es 1, 1 .
¿Cuáles de ellas son verdaderas?A) Ambas.B) Ninguna.
C) Solo la I.D) Solo la II.
12. El costo en dólares “C ” por producir “ x ” de un producto está dado por4 850C x . Si se han producido 190 unidades de producto, entonces, ¿cuál es el
costo de tal producción?A) 90B) 165
C) 660D) 850
13. Una empresa que fabrica cintas de audio estima que el costo C (en colones) al producircintas está dado por la función ( ) 200 100C x x . Calcule la cantidad de cintas deaudio producidas si el costo en colones fue de 24 500 .A) 100B) 122
C) 4 900 000D) 4 900100
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100 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
RECTAS PARALELAS
Dos rectas con pendientes 1 2m y m son paralelas si y solo si 1 2m m .
Ejemplo 1Determine la ecuación de la recta 1 que
pasa por el punto 1,4 y es paralela a la
recta 2 : 12 4 32 0x y
Ejemplo 2Determine la ecuación de la recta 1 que
pasa por el punto 2,5 y es paralela a la
recta 2 : 5 2 1 0y x
1. Expresamos la ecuación de la recta dada
de la forma 2 2: y m x b
2
2
: 3 8
3
y x
m
2. Sabemos que 1 1: y m x b entonces
determinamos los valores de 1m y b .
3. Tenemos que 1 3m , por ser rectas
paralelas, es decir 1 2 .
4. Calculamos el valor de b con 1,4
1 1 1b y m x
4 3 1
1
b
b
5. Entonces la ecuación de la recta es
1 : 3 1y x
1. Expresamos la ecuación de la recta dada
de la forma 2 2: y m x b
2
2
2 1:
52
5
xy
m
2. Sabemos que 1 1: y m x b entonces
determinamos los valores de 1m y b .
3. Tenemos que 1
2
5m
, por ser rectas
paralelas, es decir 1 2 .
4. Calculamos el valor de b con 2,5
1 1 1b y m x
25 2
521
5
b
b
5. Entonces la ecuación de la recta es
1
2 21:
5 5y x
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 101
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano #171. Determine la ecuación de la recta paralela a la recta dada y que pasa por el punto
indicado.
a) 2 3 0x y ; pasa por 5, 3
b) 3 10 0x y ; pasa por 4, 2
c) 3 1 0y x ; pasa por 1, 1
d) 2 1 0y x ; pasa por 5,0
e) 2 3 6 0x y ; pasa por3 4
,2 5
f)2
3 02 3
y x ; pasa por 3, 6
g)3
2 14
y x ; pasa por 1,2
h)2 3
4
xy
; pasa por 1,0
i)6 2
3
xy ; pasa por 1,5
j) 8 4 2y x ; pasa por 2,3
k) 5 3y x ; pasa por 2,1
l) 0y x ; pasa por 0,2
Ejercicios de profundización2. Determine la ecuación de la recta que contenga el punto 7,6 y que sea paralela a una
recta que interseca el eje “y” en 4 e interseca el eje “x” en -3.
3. Determine la ecuación de la recta que sea paralela a una recta que contiene los puntos
4,1 2,5y y que contenga el punto 4,2 .
4. Determine la ecuación de la recta que interseca el eje “y” en 3 y que sea paralela a una
recta que pasa por los puntos 2, 1 5, 3y .
5. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto 2, 5 y que es paralela a la
recta 1y .
14. Determine el valor de k para que la recta 3 10k x y sea paralela a la recta2 3 6x y .
15. Si las rectas definidas por 5 3 4 7 1x y y x ky son paralelas entonces,determine el valor de k .
16. ¿Cuál es el valor de k para que la recta cuya ecuación es 2 1 6y k x seaparalela a la recta determinada por 2 4 5y x ?
17. Si las rectas definidas por5
7 5 2 14
xy y x ky y son paralelas entonces,
determine el valor de k .18. Si la recta definida por 5 3 2 2 1a x a y a es paralela a la recta definida por
12y x entonces, determine el valor de “ a ”.
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102 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas con pendientes 1 2m y m son perpendiculares si y solo si 1 2 1m m .
Ejemplo 1Determine la ecuación de la recta 1 que
pasa por el punto 1,4 y es perpendicular
a la recta 2 : 12 4 32 0x y
Ejemplo 2Determine la ecuación de la recta 1 que
pasa por el punto 2,5 y es
perpendicular a la recta 2 : 5 2 1 0y x
1. Expresamos la ecuación de la recta dada
de la forma 2 2: y m x b
2
2
: 3 8
3
y x
m
2. Sabemos que 1 1: y m x b entonces
determinamos los valores de 1m y b .
3. Tenemos que 1
1
3m
, por ser rectas
perpendiculares, es decir 1 2 .
4. Calculamos el valor de b con 1,4
1 1 1b y m x
14 1
313
3
b
b
5. Entonces la ecuación de la recta es
1
1 13:
3 3y x
1. Expresamos la ecuación de la recta dada
de la forma 2 2: y m x b
2
2
2 1:
52
5
xy
m
2. Sabemos que 1 1: y m x b entonces
determinamos los valores de 1m y b .
3. Tenemos que 1
5
2m , por ser rectas
perpendiculares, es decir 1 2 .
4. Calculamos el valor de b con 2,5
1 1 1b y m x
55 2
210
b
b
5. Entonces la ecuación de la recta es
1
5: 10
2y x
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 103
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano #181. Determine la ecuación de la recta perpendicular a la recta dada y que pasa por el punto
indicado.
a) 2 3 0x y ; pasa por 5, 3
b) 3 10 0x y ; pasa por 4, 2
c) 3 1 0y x ; pasa por 1, 1
d) 2 1 0y x ; pasa por 5,0
e) 2 3 6 0x y ; pasa por3 4
,2 5
f)2
3 02 3
y x ; pasa por 3, 6
g)3
2 14
y x ; pasa por 1,2
h)2 3
4
xy
; pasa por 1,0
i)6 2
3
xy ; pasa por 1,5
j) 8 4 2y x ; pasa por 2,3
k) 5 3y x ; pasa por 2,1
l) 0y x ; pasa por 0,2
Ejercicios de profundización2. Determine la ecuación de la recta que contenga el punto 7,6 y que sea perpendicular a
una recta que interseca el eje “y” en 4 e interseca el eje “x” en -3.3. Determine la ecuación de la recta que interseca el eje “y” en 3 y que sea perpendicular a
una recta que pasa por los puntos 2, 1 5, 3y .
4. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto 2, 5 y que es perpendicular
a la recta 1y .
5. Determine el valor de k para que la recta 3 10k x y sea perpendicular a la recta2 3 6x y .
6. Si las rectas definidas por 5 3 4 7 1x y y x ky son perpendicular entonces,
determine el valor de k .7. ¿Cuál es el valor de k para que la recta cuya ecuación es 2 1 6y k x sea
perpendicular a la recta determinada por 2 4 5y x ?
8. Si las rectas definidas por5
7 5 2 14
xy y x ky y son perpendicular
entonces, determine el valor de k .9. Si la recta definida por 5 3 2 2 1a x a y a es perpendicular a la recta
definida por 12y x entonces, determine el valor de “ a ”.
10.Si 25 2 3 0 4 3 1 0x ky y k x y son las ecuaciones que definen dos rectas
perpendiculares entonces, determine el valor de k .
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104 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo extraclase # 31. De acuerdo con los datos de la siguiente gráfica, la ecuación a una recta paralela a 1
es
A) 22
xy
B) 2 2y x
C) 22
xy
D) 2 2y x
2. La ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por 4 5 6 0x y es
A)4
25
xy
B) 52
4
xy
C) 51
4
xy
D)4
75
xy
3. Si los puntos 3 , 2 y 4 , 0 pertenecen a la recta l entonces la pendientede una recta perpendicular a l es
A) 2
B) 1
C) 1
2
D) 1
2
4. Sean 1 y 2 dos rectas perpendiculares entre sí. Si la recta 1 está dada por3 2y x , entonces, el valor de la pendiente de 2 es
A) 3
B)1
3
C) 3
D)1
3
5. La ecuación de la recta que contiene el punto 3 , 0 y es perpendicular a la recta2 6x y está definida por
A) 2 6y x
B) 2 3y x
C) 3y x
D) 32
xy
6. El valor de k para que la recta 3 10kx y sea paralela a la recta 2 3 6x y esA) 2
B)2
3
C) 2
D) 3
2
7. ¿Cuál es el valor de k para que la recta cuya ecuación es 2 1 6y k x seaparalela a la recta determinada por 2 4 5y x
A) 1
4
B) 5
2
C) 1
2
D) 3
2
x3
2
y
1
3
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 105
GRUPO FÉNIX
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas esax by c
dx ey f
donde , , , , ,a b c d e f son constantes; ,x y son incógnitas. Una solución del sistema es
un par ordenado ,x y que es solución simultáneamente de ambas ecuaciones. Si un
sistema no tiene soluciones se dice que es inconsistente.
Ejemplo 1
2 3
4 5 6
x y
x y
Ejemplo 2
2 3 4
3 5 6
x y
x y
Sistemas de ecuaciones incompatiblesDe un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución.
Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
2 4
2 4 7
x y
x y
Las ecuaciones corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente.
Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga
a la vez ambas ecuaciones.
Sistemas de ecuaciones indeterminadosDe un sistema se dice que es indeterminado cuando presenta infinitas soluciones.
Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
2 1
2 4 2
x y
x y
Las ecuaciones corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente
5 y que pasan por el punto 1 , 1 , por lo que ambas se intersecan en todos los puntos
de dicha recta.
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106 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE POREL MÉTODO DE SUMA Y RESTA
Consiste en multiplicar cada ecuación por un número adecuado de modo que, al sumar
ambas ecuaciones, una de las incógnitas desaparezca obteniéndose así una ecuación con
una incógnita cuyo valor se determina y se usa para encontrar el valor de la otra incógnita.
Ejemplo 1Determine la intersección de las rectas
10 2 2 0
5 4
x y
y x
Ejemplo 2Determine la intersección de las rectas
10 7 24 0
2 4
3
x y
xy
1. Se ordena el sistema de la forma general10 2 2
4 5
x y
x y
2. Se multiplica la segunda ecuación por 2 yse suma con la primera para obtener elvalor de x
10 2 2
8 2 10
2 0 12
x y
x y
x y
2 12
126
2
x
x
3. Se sustituye en la “x” de la primeraecuación
10 2 2
10 6 2 2
60 2 2
2 2 60
2 58
5829
2
x y
y
y
y
y
y
4. El punto de intersección es 6 , 29
1. Se ordena el sistema de la forma general10 7 24
2 3 4
x y
x y
2. Se multiplica la segunda ecuación por 5y se suma con la primera para obtener elvalor de y
10 7 24
10 15 20
0 22 44
x y
x y
x y
22 44
442
22
y
y
3. Se sustituye en la “y” de la primeraecuación
10 7 24
10 7 2 24
10 14 24
10 24 14
10 10
101
10
x y
x
x
x
x
x
4. El punto de intersección es 1 , 2
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 107
GRUPO FÉNIX
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE POREL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación y sustituir en la otra ecuación.
De esta forma se obtiene una ecuación en una sola incógnita; se determina el valor de ésta y
se utiliza para encontrar el valor de la otra incógnita.
Ejemplo 1Determine la intersección de las rectas
10 2 2 0
5 4
x y
y x
Ejemplo 2Determine la intersección de las rectas
10 7 24 0
2 4
3
x y
xy
1. Se ordena el sistema de la forma general10 2 2
4 5
x y
x y
2. Se despeja una de las incógnitas en laprimera ecuación
10 2 2
10 2 2
2 2
10
x y
x y
yx
3. Se sustituye el valor “x” en la segundaecuación
4 5
2 24 5
10
8 85
108 8 10
510
8 2 50
50 829
2
x y
yy
yy
y y
y
y
4. Se sustituye el valor “y” en la primeraecuación y se obtiene 6x .
5. El punto de intersección es 6 , 29
1. Se ordena el sistema de la forma general10 7 24
2 3 4
x y
x y
2. Se despeja una de las incógnitas en laprimera ecuación
2 3 4
2 4 3
4 3
2
x y
x y
yx
3. Se sustituye el valor “x” en la segundaecuación
10 7 24
4 310 7 24
2
40 307 24
240 30 14
24240 44 24 2
48 402
44
x y
yy
yy
y y
y
y
4. Se sustituye el valor “y” en la primeraecuación y se obtiene 1x .
5. El punto de intersección es 1 , 2
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108 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE POREL MÉTODO DE IGUALACIÓN
Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y luego igualar los resultados
para obtener el valor de una de las incógnitas. Dicho valor se utiliza para encontrar el valor
de la otra incógnita.
Ejemplo 1Determine la intersección de las rectas
10 2 2 0
5 4
x y
y x
Ejemplo 2Determine la intersección de las rectas
10 7 24 0
2 4
3
x y
xy
1. Se ordena el sistema de la forma general10 2 2
4 5
x y
x y
2. Se despeja la misma incógnita en las dosecuaciones
Primera ecuación Segunda ecuación
10 2 2
10 2 2
2 2
10
x y
x y
yx
4 5
4 5
5
45
4
x y
x y
yx
yx
3. Se iguala el resultado de x y calculamosel valor de y
2 2 5
10 44 2 2 10 5
8 8 10 50
8 50 10 8
58 2
29
y y
y y
y y
y y
y
y
4. Se sustituye el valor “y” en cualquierade las ecuaciones y se obtiene 6x .
5. El punto de intersección es 6 , 29
1. Se ordena el sistema de la forma general10 2 2
4 5
x y
x y
2. Se despeja la misma incógnita en las dosecuaciones
Primera ecuación Segunda ecuación
10 7 24
7 24 10
24 10
7
x y
y x
xy
2 3 4
3 4 2
4 2
32 4
3
x y
y x
xy
xy
3. Se iguala el resultado de y y calculamosel valor de x
24 10 2 4
7 33 24 10 7 2 4
72 30 14 28
72 28 14 30
44 44
1
x x
x x
x x
x x
x
x
4. Se sustituye el valor “x” en cualquierade las ecuaciones y se obtiene 2y .
5. El punto de intersección es 1 , 2
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 109
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 191. Determine la intersección de cada par de rectas que se presentan a continuación.
(Sugerencia: utilizar los tres métodos estudiados anteriormente para cada ejercicio)
a)5 0
3 3
x y
y x
b)6 3 0
3 13 4
x y
y x
c)4 5 11 0
3 11 2
x y
y x
d)2 15
11
x y
x y
e)3 2 3
4 2 41
x y
y x
f)2 0
53 4
4
x y
y x
g)
175
67
2 23
x y
x y
h)22
10 2 53
3 2 6 11
x y
x y
i)
72 3
29
6 12
x y
x y
j)
13 4
350
6 8 23
x y
x y
k)3 2 8
4 6 14
3 3
x y
x y
l)
3 2 5
3 32
24
x y
x y
m)
4 8 44
3 33 2
36
x y
y x
n)
4 2 2 4
3 36 3 5
102
x y
x y
o)
2 3 23
2 22 2
3 5 3
x y
x y
p)
4 3 73
3 2 32 4
3 3
x y
x y
q)
2 6 18
5 529
43 6
x y
yx
r)
2 293
3 32 1 9
2 3 2
xy
x y
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110 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CONDOS VARIABLES
En la solución de problemas es importante considerar el método que planteó George Polya
(Matemático Húngaro), sugiriendo cuatro pasos:
1. Entender el problema.
2. Configurar un plan de solución.
3. Ejecutar el plan de solución.
4. Mirar hacia atrás (¿la respuesta satisface lo establecido en el problema?)
Ejemplo 1Celeste y Gustavo Adolfo tienen juntos 89 millones de colones. Si Gustavo Adolfo tiene 4
millones de colones más que el doble de los que tiene Celeste. ¿Cuántos millones de
colones tiene cada uno?
Plan de solución:
Paso #1Se definen las variables
Paso #2Se plantean dos ecuaciones lineales
con dos variables
:
:
x dinero que tiene Celeste
y dinero que tiene Gustavo Adolfo
89
4 2
x y
x y
Ejecución del plan de solución:Se resuelve el sistema de ecuaciones siguiente por cualesquiera de los métodos estudiados
89
2 4
x y
x y
Respuesta: Celeste tiene182
3millones de colones (un poco más de 60 millones) y Gustavo
Adolfo tiene85
3millones de colones (un poco más de 28 millones).
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 111
GRUPO FÉNIX
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CONDOS VARIABLES
Ejemplo 2
Dados dos números, si el triple del mayor más el quíntuplo del menor es igual a 4 , y el
doble del mayor menos el triple del menor es igual a2
15, entonces ¿cuál es el número
menor?
Plan de solución:
Paso #1Se definen las variables
Paso #2Se plantean dos ecuaciones lineales
con dos variables
:
:
x el número menor
y el número mayor
3 5 4
22 3
15
x y
y x
Ejecución del plan de solución:
Se resuelve el sistema de ecuaciones siguiente por cualesquiera de los métodos estudiados
5 3 4
23 2
15
x y
x y
Respuesta: El número menor es2
5.
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112 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 20Resuelva los siguientes problemas utilizando cualesquiera de los tres métodos estudiadosanteriormente para sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.
1. Dos personas A y B tienen juntas ochenta y nueve colones. Si B tiene cuatro colones
menos que el doble de lo que tiene A, entonces ¿cuántos colones tiene B?
2. Manuel y José tienen entre los dos ¢1.200. Manuel tiene ¢400 menos que José. ¿Cuánto
dinero tiene cada uno de ellos?
3. La edad de Daniel excede en 4 años a la edad de Paulo y ambas suman 32 años. ¿Cuál
es la edad de cada uno de ellos?
4. La edad de María excede en 5 años a la edad de Carlos y la suma de sus edades es 40
años. ¿Cuántos años tiene cada uno?
5. María compra 5 cuadernos y 3 lapiceros en ¢3400. Noelia compra, a los mismos precios,
8 cuadernos y 9 lapiceros en ¢6700. ¿Cuál es el precio en colones de un cuaderno?
¿Cuál es el precio en colones de un lapicero?
6. La suma de dos números es 30 y la quinta parte de la diferencia de esos números es 4.
¿Cuáles son los números?
7. Dados dos números, si el triple del mayor más el quíntuplo del menor es igual a 5 , y el
doble del mayor menos el triple del menor es igual a3
7, entonces ¿cuál es el número
mayor?
8. La suma de un número más el triple de otro es igual a 14. Si el triple del primero se le
resta al duplo del segundo, se obtiene 9. ¿Cuáles son los números?
9. La suma de un número más el triple de otro es igual a 14. Si al triple del primero se le
resta el duplo del segundo, se obtiene 9. ¿Cuáles son los números?
10.La suma de un número más el cuádruplo de otro es igual a 21. Si el quíntuplo del primero
se le resta al triple del segundo, se obtiene 12. ¿Cuáles son los números?
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 113
GRUPO FÉNIX
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función polinómica real de variable real que tiene grado dos recibe el nombre defunción cuadrática. Se representa por 2( )f x ax bx c con , , , ; 0a b c a . Sugráfica es una parábola cuyo eje es paralelo al eje “ y ”.
Análisis de una función cuadrática
Discriminanteacb 42
Si 0 interseca al eje “x” en dos puntos diferentes.
Si 0 no interseca al eje “x”.
Si 0 interseca al eje “x” en un solo punto.
Concavidad
Si 0a entonces la parábola es cóncava hacia arriba
y el vértice se llama punto mínimo.
Punto mínimo o vértice =
4,
2 aa
b
Si 0a entonces la parábola es cóncava hacia abajo
y el vértice se llama punto máximo.
Punto máximo o vértice =
4,
2 aa
b
Intersección con el eje “ x ” Se resuelve la ecuación cuadrática 20 ax bx c .
Los pares ordenados serían: 1 , 0x y 2 , 0x .
Intersección con el eje “ y ” En el punto 0 , c
Eje de simetría Es la recta2
bx
a
Ámbito
0a 0a
,4a
,
4a
Creciente
0a 0a
,2
b
a
,2
b
a
Decreciente
0a 0a
,2
b
a
,
2
b
a
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114 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Ejemplo 1Realice el estudio completo de la función :f , tal que 2( ) 6 5f x x x .
Análisis de una función cuadrática
Discriminante2 4b ac
2 4b ac 2( 6) 4(1)(5) 16
Interseca al eje “x” en dos puntos diferentes.
Concavidad
1a , es decir, 0a
entonces la parábola es cóncava hacia arriba
( 6) (16) 6 16 , , , 3 , 42 4 2(1) 4(1) 2 4
bV
a a
Intersección con el eje“ x ”
Se resuelve la ecuación cuadrática 2 6 5 0x x
1 25 , 1x x
Los pares ordenados donde se interseca al eje x son:
( 5 , 0 ) ( 1 , 0 )y
Intersección con el eje“ y ”
En el punto 0 , c 0 , 5
Eje de simetría Es la recta( 6)
32 2(1)
bx
a
Ámbito
1a , es decir, 0a 0a
, 4,4a
No aplica
Creciente
1a , es decir, 0a 0a
, 3,2
b
a
No aplica
Decreciente
1a , es decir, 0a 0a
, , 32
b
a
No aplica
Dominio: Codominio:
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 115
GRUPO FÉNIX
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Ejemplo 1Realice el estudio completo de la función :f , tal que 2( ) 6 5f x x x .
vértice 3, 4
eje de simetría 3x
intersección eje x 5,0
intersección eje x 1,0
intersección eje y 0,5
x
y
Vers
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116 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Ejemplo 2Realice el estudio completo de la función :f , tal que 2( ) 6 5f x x x .
Análisis de una función cuadrática
Discriminante2 4b ac
2 4b ac 2(6) 4( 1)( 5) 16
Interseca al eje “x” en dos puntos diferentes.
Concavidad
1a , es decir, 0a
entonces la parábola es cóncava hacia abajo
(6) (16) 6 16 , , , 3 , 42 4 2( 1) 4( 1) 2 4
bV
a a
Intersección con el eje“ x ”
Se resuelve la ecuación cuadrática 2 6 5 0x x
1 25 , 1x x
Los pares ordenados donde se interseca al eje x son:
( 5 , 0 ) ( 1 , 0 )y
Intersección con el eje“ y ”
En el punto 0 , c 0 , 5
Eje de simetría Es la recta(6)
32 2( 1)
bx
a
Ámbito
0a 1a , es decir, 0a
No aplica , , 44a
Creciente
0a 1a , es decir, 0a
No aplica , , 32
b
a
Decreciente
0a 1a , es decir, 0a
No aplica , 3,2
b
a
Dominio: Codominio:
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 117
GRUPO FÉNIX
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Ejemplo 2Realice el estudio completo de la función :f , tal que 2( ) 6 5f x x x .
vértice 3,4
eje de simetría 3x
intersección eje x 1,0 intersección eje x 5,0
intersección eje y 0,5
y
x
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118 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 211. Realice el estudio completo de las siguientes funciones cuadráticas incluyendo su gráfica.
a) 2 5 6f x x x , :f
b) 2 5 6f x x x , :f
c) 24 8 4f x x x , :f
d) 24 8 4f x x x , :f
e) 22 2f x x , :f
f) 22 2f x x , :f
g) 23 6f x x x , :f
h) 23 6f x x x , :f
i) 21f x x , :f j) 1 1f x x x , :f
2. De acuerdo a las siguientes gráficas de funciones cuadráticas realice el estudio completo.Puede utilizar valores aproximados según la gráfica.
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 119
GRUPO FÉNIX
Ejercicios de profundización3. Realice el estudio completo de las siguientes funciones cuadráticas incluyendo su gráfica.
a) 2 5 6f x x x , : ,4f
b) 2 5 6f x x x , : 4,f
c) 2 5 6f x x x , : 5,5f
d) 2 5 6f x x x , : ,4f
e) 2 5 6f x x x , : 4,f
f) 2 5 6f x x x , : 5,5f
g) 24 8 4f x x x , : ,3f
h) 24 8 4f x x x , : 3,f
i) 24 8 4f x x x , : 4,4f
j) 24 8 4f x x x , : ,3f
k) 24 8 4f x x x , : 2,f
l) 24 8 4f x x x , : 4,0f
4. De acuerdo a las siguientes gráficas de funciones cuadráticas determine su criterio.
a) b) c)
d) e) f)
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120 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
5. Si la gráfica de la función dada por 2( ) 2 3 3f x m x x es una parábola cóncava
hacia arriba, entonces determine el valor de m.
6. Si la gráfica de 22 3 6f x a x x es una parábola cóncava hacia abajo,
entonces determine el valor de “ a ”.
7. Si la gráfica de 22 4 1f x x mx m pasa por el punto 2,18 entonces
determine la intersección con el eje de las ordenadas.
8. Si 22 4 2f x x mx y la coordenada en x del vértice es 16 entonces determine
el valor de m.
9. Si 22h x x bx c y la gráfica de h interseca al eje x en y3
22 entonces
determine el criterio de h .
10.Si el punto mínimo de 2 es6 1,4f x ax bx entonces determine el valor de
“ a ”.
11.Determine el valor de n para que la función cuyo criterio es 24f x nx sea
estrictamente creciente en 6,0 .
12.Para la función f con 2f x x x , determine el valor de x de modo que
0f x .
13.Para la función f con 2 4 3f x x x , determine el valor de x de modo que
0f x .
14.Para la función f con 24 4 3f x x x , determine el valor de x de modo
que 0f x .
15.Sea :f tal que 23 11 4f x x x entonces determine el valor de x de
modo que 0f x .
16.Sea f una función cuadrática dada por 2f x x c con 0c . Si 0f x ,
entonces determine el valor de x .
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 121
GRUPO FÉNIX
17.Sea f la función dada por 220 4,9 50f t t t que describe la trayectoria a los
" "t segundos de una piedra lanzada hacia arriba desde el techo de un edificio.i ¿Cuál es aproximadamente el tiempo en segundos necesario para que la piedra
alcance su máxima altura con respecto al suelo?ii ¿Cuál es aproximadamente la máxima altura que puede alcanzar dicha piedra
respecto al suelo?18.En una fábrica se determinó que el costo " "C al producir una cantidad " "x de
artículos está dado por 260 800C x x x .
i ¿Cuál es el costo máximo que se puede obtener al producir estos artículos?ii ¿Cuál es la producción necesaria para que la fábrica alcance el costo máximo?
19.El ingreso en dólares " "I obtenido al vender " "x de cierto producto está dado por
2 60I x x x .
i ¿Cuántas unidades de ese producto deben venderse para obtener el ingreso máximo?ii ¿Cuál es el ingreso máximo que se puede obtener al vender dicho producto?
20.La producción " "P en kilogramos de manzanas de una finca está dada por
2500 5 ,P x x x donde " "x es el número de árboles por hectárea.
i ¿Cuál es la producción máxima en kilogramos de manzanas que se puede obtener?ii ¿Cuál es el número de árboles por hectárea que hace que la producción total sea
máxima?21.Al lanzar un objeto con velocidad inicial 0v (en m/seg), su altura s sobre el suelo
después de t segundos está dada por la función 20 4,9s t v t t . Si la velocidad inicial
es 120m/seg,i entonces la altura máxima que puede alcanzar dicho objeto es aproximadamente?ii entonces el tiempo en segundos en el cual el objeto alcanza la altura máxima es
aproximadamente?22.El ozono se presenta en todos los niveles de la atmósfera terrestre y su densidad varía
según la estación del año y la latitud. En Edmonton, Canadá, la densidad D(h) del ozono(en 10-3 cm/km) para altitudes h entre 20km y 35km se determinó a nivel experimental.Para 2( ) 0,058 2,867 24,239 (otoño)D h h h ,i calcule la altitud a la que la densidad del ozono es máxima.ii calcule la máxima densidad que puede alcanzar el ozono en otoño en Edmonton,
Canadá.23.El número de millas M que cierto automóvil puede recorrer con un galón de gasolina, a
una velocidad v en mph, está dado por 21 5 para 0 < < 70.
30 2M v v v
.
i Indique la velocidad más económica para un viaje.ii Indique el máximo de millas que puede alcanzar un automóvil con un galón de
gasolina para un viaje.
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122 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo extraclase # 4
1. Considere las siguientes proporsiones para la función f dada por 2 9f x x I. f es creciente en el intervalo , 0II. La gráfica de f interseca el eje y en 9
De ellas, ¿cuáles son verdaderas?A) AmbasB) ninguna
C) solo la ID) solo la II
2. Las siguientes proposiciones se refieren a la función f dada por 2 1f x x I. El ámbito de f es II. El eje de simetría de la gráfica de f está dado por 1x
De ellas, ¿cuáles son verdaderas?A) AmbasB) ninguna
C) solo la ID) solo la II
3. sea f una función dada por : 4 , 0f , con 2 4f x x x . ¿cuál es elámbito de f ?
A) 0 , 4
B) 2 , 4C) 4 , 0D) , 4
4. Sea f una funcion dada por 22 4 5f x x x . ¿cuál es la imagen de 3 enf ?
A) 1B) 6
C) 11D) 11
5. Sea f una función dada por 24
4
xf x
, un intervalo donde f es creciente es
A) , 0B) , 2
C) 1 , D) 4,
6. Si la gráfica de la función dada por 2( ) 2 3 3f x m x x es una parábola cóncavahacia arriba, entonces el valor de m puede ser cualquier número que pertenece alA) 0,B) ,3
C) , 2D) 2,
7. El eje de simetría de la función 23 2 1f x x x corresponde a
A)3
4x
B)1
3x
C)4
3x
D)1
3x
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 123
GRUPO FÉNIX
8. El vértice de la parábola dada por 2 2
2
x xf x
es
A)1 1
,2 2
B)1 1
,2 4
C)1
1 ,2
D)1
,12
9. Si f es la función dada por 2
3
xf x
,entonces f es estrictamente decreciente en
A) , 0
B) 0 ,
C)1
,3
D)1
,3
10. Si “ f ” es una función dada por 23 10f x x x , entonces para todo IRx secumple queA) 5f x
B) 10f x
C) 3
2f x
D) 49
4f x
11. Sea :f tal que 23 11 4f x x x entonces 0f x si x pertenece alconjunto
A) 1, 4,
3
B)1
,43
C)1
4,3
D) 1, 4 ,
3
12. En una fábrica se determinó que el costo " "C al producir una cantidad " "x de artículosestá dado por 260 800C x x x . ¿Cuál es el costo máximo que se puede obteneral producir estos artículos?A) 30B) 40
C) 1700D) 6800
13. La producción " "P en kilogramos de manzanas de una finca está dada por
2500 5 ,P x x x donde " "x es el número de árboles por hectárea. ¿Cuál es elnúmero de árboles por hectárea que hace que la producción total sea máxima?A) 50B) 100
C) 9375D) 12500
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ix
124 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
CONCEPTO DE FUNCIÓN INVERSA NOCIÓN DE BIYECTIVIDAD
Clasificación de funciones de acuerdo a su codominio
InyectivaSe dice que una función es inyectiva si cada
elemento del ámbito es imagen de un y sólo
un elemento del dominio.
SOBREYECTIVASe dice que una función es sobreyectiva si
todo elemento del codominio es imagen de al
menos un elemento del dominio. Es decir si
todos los elementos del codominio
pertenecen al ámbito.
BIYECTIVAUna función es biyectiva si es al mismo
tiempo inyectiva y sobreyectiva.
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ix
RELACIONES Y ÁLGEBRA 125
GRUPO FÉNIX
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES DE ACUERDO A SU CODOMINIO
Ejemplo 1 Ejemplo 2
: 4 ,f : 4 , 2 3 , 3f
Codominio Codominio 3 , 3
Ámbito , 4 Ámbito 3 , 3
Conclusiones:1. La relación no es uno a uno, por tanto la
función no es inyectiva.
2. Codominio distinto que el ámbito, por
tanto la función no es sobreyectiva.
Conclusiones:1. La relación sí es uno a uno, por tanto la
función es inyectiva.
2. Codominio es igual que el ámbito, por
tanto la función es sobreyectiva.
3. Es inyectiva y sobreyectiva a la vez, por
tanto la función es biyectiva.
Ejemplo 3 Ejemplo 4
Si : 2 , 3 5 , 11 ,f con
3 1,f x x se cumple que f es…
La función : , 0 4 ,f
con 2 4f x x es…
Codominio 5 , 11 Codominio 4 ,
Ámbito 5 , 10 Ámbito 4 ,
Conclusiones:1. La relación sí es uno a uno, por tanto la
función es inyectiva.
2. Codominio distinto que el ámbito, por
tanto la función no es sobreyectiva.
Conclusiones:1. La relación sí es uno a uno, por tanto la
función es inyectiva.
2. Codominio es igual que el ámbito, por
tanto la función es sobreyectiva.
3. Es inyectiva y sobreyectiva a la vez, por
tanto la función es biyectiva.
-4 6x
4
2
∙2 4
y
∙x
y3
-4
-3
2
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126 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 22Clasifique las siguientes funciones de acuerdo a su codominio en inyectivas, sobreyectivas,
biyectivas u otras.
Ejercicio 1 Ejercicio 2
: 2 , 3f :f
Ejercicio 3 Ejercicio 4
: 1 , 1 1 , 1f : 3 , 4 ,f
Ejercicio 5 Ejercicio 6
: , 2f :f
Ejercicio 7 Ejercicio 8
: 2 , 3 ,f :f
30x
3y
1
1 4x
21
-2
-1-2
3
y
x
y
3-3
-4
f
1
y
3
f
-1-1-2
21x
-4 3
-3 ∙∙
y
x4
1
1
24
2
2
x
y
-1
2-1
y
x-2-3-1
1
3
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 127
GRUPO FÉNIX
14. Para que la función dada por 2 2f x x x sea sobreyectiva con dominio IR,¿Cuál debe ser su codominio? ¿Cuál puede ser su dominio para que sea inyectiva?
15. Para que la función dada por 2 2f x x x sea sobreyectiva con dominio IR,¿Cuál debe ser su codominio? ¿Cuál puede ser su dominio para que sea inyectiva?
16. Para que la función dada por 2 2f x x sea sobreyectiva con dominio IR,¿Cuál debe ser su codominio? ¿Cuál puede ser su dominio para que sea inyectiva?
17. Para que la función dada por 2 3f x x x sea sobreyectiva con dominio IR,¿Cuál debe ser su codominio? ¿Cuál puede ser su dominio para que sea inyectiva?
18. Para que la función dada por 221
3 4
xf x x sea sobreyectiva con dominio IR,
¿Cuál debe ser su codominio? ¿Cuál puede ser su dominio para que sea inyectiva?19. Para que la función dada por 22f x x sea sobreyectiva con dominio IR,
¿Cuál debe ser su codominio? ¿Cuál puede ser su dominio para que sea inyectiva?20. Sean f y g funciones, definidas de en y dadas respectivamente por
23
xf x y 2 2g x x . ¿Cuáles de ellas son sobreyectivas?
21. Sean f y g funciones, definidas de en y dadas respectivamente por
5 12f x x y 23 7 2g x x x . ¿Cuáles de ellas son sobreyectivas?
22. Sean f y g funciones, definidas de en y dadas respectivamente por
1
2
xf x
y 21g x x . ¿Cuáles de ellas son sobreyectivas?
23. Clasifique las siguientes funciones de acuerdo a su codominio en inyectivas,sobreyectivas, biyectivas u otras.a) :f con 2 4f x x
b) : 4 ,f con 2 4f x x
c) : 0 ,f con 2 4f x x
d) : , 0f con 2 4f x x
e) : 0 , 4 ,f con 2 4f x x f) :f con 4f x x
g) : 1 ,f con 2 4f x x
h) : 15 , 2f con 73
xf x
i) 23: 15 , 2 2 ,
3f
con 73
xf x
j) : 0 , ,f con ,f x xk) : 0 , 0 , ,f con ,f x x
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128 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
CRITERIO DE LAS FUNCIONES INVERSAS CORRESPONDIENTES A FUNCIONESCUYO CRITERIO ES DE LA FORMA: 2, ,f x mx b h x ax c g x x c
CON , , , 0 , 0m b a c m a Si una función es biyectiva entonces tiene una función inversa. El procedimiento paradeterminar la inversa de una función dada f , es plantear la ecuación f x yy despejar en ella a " "x en términos de " "y .
Dicho de otro modo, si tenemos una función biyectiva f tal que :f IR IR , entonces
la función inversa de f es 1f tal que 1 :f IR IR Ejemplo 1
Determinar la función inversa de
: 3 ,f IR , tal que
( ) 4 3f x x
Ejemplo 2Determinar la función inversa de
: 0 , 5,f , tal que
23
52
xf x
a) Debemos recordar siempre que
y f x4 3y x
b) Despejar “x” de la ecuación original4 3
3
43
4
y x
yx
yx
c) Intercambiar los valores de “ x ” y de “ y ”
3
4
xy
d) Escribir la función inversa como
1y f x
1
1
3
4: 3 ,
xf x tal que
f IR
a) Debemos recordar siempre que
y f x23
52
xy
b) Despejar “x” de la ecuación original
2
2
2
35
23
52
2 5
3
2 10
3
xy
xy
yx
yx
c) Intercambiar los valores de “ x ” y de “ y ”
2 10
3
xy
d) Escribir la función inversa como
1y f x
1
1
2 10
3
: 5, 0,
xf x tal que
f
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 129
GRUPO FÉNIX
CRITERIO DE LAS FUNCIONES INVERSAS CORRESPONDIENTES A FUNCIONES
CUYO CRITERIO ES DE LA FORMA: 2, ,f x mx b h x ax c g x x c CON , , , 0 , 0m b a c m a
Ejemplo 3
Determinar la función inversa de 7: , ,0
3f
, tal que 3 7f x x
a) Debemos recordar siempre que
y f x
3 7y x
b) Despejar “x” de la ecuación original
2
2
3 7
3 7
7
3
y x
y x
yx
c) Intercambiar los valores de “ x ” y de “ y ”
2 7
3
xy
d) Escribir la función inversa como
1y f x
2
1 17 7: ,0 ,
3 3
xf x tal que f
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130 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 231. Determine el criterio de la función inversa de las siguientes funciones, suponga que todas
están bien definidas y son biyectivas.a) ( ) 3 4f x x b) ( ) 5 6f x x c) ( ) 2 3f x x d) ( ) 5 6f x x e) ( ) 2 3f x x f) ( ) 3 4f x x g) ( ) 3 4f x x h) ( ) 5 6f x x
i) 3 4f x x
j) 5 6f x x
k) 7 8f x x
l) 9 36f x x
m) 10 12f x x
n) 15 3f x x
o)3
( ) 24
f x x
p)6
( ) 57
f x x
q) 497
3f x x
r) 1810
7f x x
s) 23
xf x
t) 54
xf x
u) 74
xf x
v) 65
xf x
w) 24
3
xf x
x) 36
4
xf x
y) 46
5
xf x
z) 57
6
xf x
2. Determine el criterio de la función inversa de las siguientes funciones, suponga que todasestán bien definidas y son biyectivas.
a)5 6
( )7
xf x
b)8 9
( )10
xf x
c) 2( ) 3 4f x x d) 2( ) 5 6f x x e) 29 36f x x
f) 210 12f x x
g) 2 6( ) 5
7f x x
h) 2 12( ) 8
5f x x
i) 2497
3f x x
j) 21810
7f x x
k) 2
74
xf x
l) 22
43
xf x
m) 25
76
xf x
n)25 6
( )7
xf x
o)28 9
( )10
xf x
p) ( ) 2f x x
q) ( ) 4f x x
r)1
( )2
f x x
s)3
( )4
f x x
Ejercicios de profundización3. Determine el criterio de la función inversa de las siguientes funciones, suponga que todas
están bien definidas y son biyectivas.a) 2 5f x x
b) 3 12
xf x
c) 24
5 3
xf x
d) 12 1
3f x x
e) ( ) 1f x x
f) ( ) 1f x x
g) 4 9f x x
h) 82
xf x
i) 35
2
xf x
j) 1 6
2
xf x
k) 5
3 2
xf x
l) 12
xf x
m) 7 5f x x
n) 2 1xf x
x
o) 1
3
xf x
x
p) 3 2
6 4
xf x
x
q) 2 5
xf x
x
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 131
GRUPO FÉNIX
4. Si los puntos 4 , 2 y 3 , 5 pertenecen a la gráfica de la función lineal f ,
entonces, determine el criterio de la función inversa de f .5. Si f es una función lineal tal que 13 1 y 2 2-f f , entonces determine el
criterio de 1f .
6. Si 2: 0
3f
y 5
3 2f x
x
entonces, determine 1f x .
7. Si : 1, 0,f y 1
1f x
x
entonces, determine 1f x .
8. Considere 2: ,0 , 2 2h con h x x y determine 1h x .
9. Considere : ,0 ,1h con 2 1h x x y determine 1h x .
10.Si : 0, 1,f dada por 2
12
xf x , entonces, determine 1f x .
11.Si 3 1f x x , entonces determine la preimagen de 12 en -f .
12.Si 12 y
5-x
h x h
es la inversa de “ h ” entonces, determine 1 2-h .
13.Si 1 1,5
-xf x f es la inversa de “ f ” entonces, determine 1 3-f .
14.Si “ f ” es una función dada por 4 3f x x entonces, determine 1 6f .
15.Si f es una función cuyo criterio es 23
xf x entonces, determine 1 3-f .
16.Si f es una función biyectiva y 1 6 4f x x , entonces, determine 2f .
17.Sea : 0, 2,f con 2 2f x x , entonces, determine 1 4-f .
18.Determine 1 2f para la función dada por 4 3f x x .
19.Si 3 1
4
xf x
, halle la preimagen de 12
en5
-f
.
20.Determine la preimagen de 2 en 1f para la función dada por 32
xf x .
21.Determine la imagen de 4 en 1f para la función dada por 2 1f x x .
22.Si 3
2
xf x
, halle la imagen de 12
en5
-f
.
23.Si h 13 y
8-x
x h
es la inversa de “h” ; halle 1 3-h .
24.Si 2
1 1, g4
-xg x es la inversa de “ g ” halle 1 3-g .
25.Determine la preimagen de 1 en 1f para la función dada por 3 1
2 2
xf x
x
.
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132 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo extraclase # 5
1. Sean f y g funciones, definidas de en y dadas respectivamente por
23
xf x y 2 2g x x . ¿Cuáles de ellas son sobreyectivas?
A) Sólo fB) Sólo g
C) Ni f ni gD) Tanto f como g
2. La función :f con 2 4f x x esA) Inyectiva y sobreyectiva.B) sobreyectiva y no Inyectiva.
C) Inyectiva y no sobreyectiva.D) no inyectiva y no sobreyectiva.
3. La función : 4 ,f con 2 4f x x esA) inyectiva y sobreyectiva.B) sobreyectiva y no inyectiva.
C) Inyectiva y no sobreyectiva.D) no inyectiva y no sobreyectiva.
4. Si ,a b pertenece al gráfico de una función biyectiva f , entonces un par ordenadoque pertenece al gráfico de la función inversa de f es
A)1 1
,a b
B) ,b a
C) ,a b
D) ,b a
5. Sea :f B , con 2 4f x x una función biyectiva. ¿Cuál es el dominio de lainversa de f ?
A) B) 4 ,
C) , 0D) 4
6. Sea : 0, 2,f con 2 2f x x , entonces 1 4-f corresponde aA) 4B) 18
C) 2
D) 6
7. De acuerdo con los datos de la gráfica de la función“ f ”. ¿Cuál es el criterio de la funcióninversa?A) 1 2 4-f x x
B) 1 2 4-f x x
C) 1 22
- xf x
D) 1 22
- xf x
x
y
f4
2
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 133
GRUPO FÉNIX
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Es una función definida por la ecuación xf x a con 1a y 1a , donde a es una
constante llamada base, el exponente es una variable, y, :f
I Caso
Base mayor que uno 1a II Caso
Base entre cero y uno (0 1)a
Características1. Dominio:
2. Codominio:
3. Ámbito: 4. Es biyectiva.
5. No interseca al eje x.
6. Interseca al eje y en ( 0 , 1 ).
7. Es estrictamente creciente.
8. Es asintótica al eje x por la izquierda.
Características1. Dominio:
2. Codominio:
3. Ámbito: 4. Es biyectiva.
5. No interseca al eje x.
6. Interseca al eje y en ( 0 , 1 ).
7. Es estrictamente decreciente.
8. Es asintótica al eje x por la derecha.
x
y
x
y
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134 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Ejemplo 1Considere la función exponencial cuyo
criterio es 2 xf x y determine
Ejemplo 2Considere la función exponencial cuyo
criterio es 1
2
x
f x
y determine
a) Dominio:
b) Codominio:
c) Ámbito:
d) 11
2f
e) 1 2f
f) Intersección con el eje x: No existe
g) Intersección con el eje y : 0,1
h) Régimen de variación: Estrictamente
creciente
i) Gráfica:
a) Dominio:
b) Codominio:
c) Ámbito:
d) 11
2f
e) 1 2f
f) Intersección con el eje x: No existe
g) Intersección con el eje y : 0,1
h) Régimen de variación: Estrictamente
creciente
i) Gráfica:
x x
y y
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 135
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 241. Determine el dominio, codominio, ámbito, 1f , 1f , intersección con los ejes,
régimen de variación y gráfica de las siguientes funciones exponenciales.
a) 3 , :xf x f
b) 3 , : 2,1xf x f
c) 3 , : 2,xf x f
d) 3 , : ,4xf x f
e) 1, :
3
x
f x f
f) 1, : 2,1
3
x
f x f
g) 1, : 2,
3
x
f x f
h) 1, : ,4
3
x
f x f
i) 1, :
4
x
f x f
j) 1, : 2,1
4
x
f x f
k) 1, : 2,
4
x
f x f
l) 1, : ,4
4
x
f x f
m) 5 , :xf x f
n) 5 , : 2,1xf x f
o) 5 , : 2,xf x f
p) 5 , : ,4xf x f
q) 5, :
2
x
f x f
r) 5, : 2,1
2
x
f x f
s) 5, : 2,
2
x
f x f
t) 5, : ,4
2
x
f x f
u) 5, :
2
x
f x f
v) 2 , :x
f x f
w) 2 , : 2,1x
f x f
x) 2 , : 2,x
f x f
y) 2 , : ,4x
f x f
z) 2 , :x
f x f
aa) 2 , : 2,1x
f x f
bb) 2 , : 2,x
f x f
cc) 2 , : ,4x
f x f
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136 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
ECUACIONES EXPONENCIALES
La función exponencial f dada por xf x a con 1a es biunívoca; en consecuencia,se satisfacen las condiciones equivalentes que siguen para números reales 1x y 2x :
1. Si 1 2x x , entonces 1 2x xa a2. Si 1 2x xa a , entonces 1 2x x
Ejemplo 1Resuelva la ecuación 3 2 15 5x x
Ejemplo 2Resuelva la ecuación 3 27y
1. Se igualan los exponentes por tener lamisma base
3 2 15 5
3 2 1
x x
x x
2. Se resuelve la ecuación resultante3 2 1
3 1 2
2
x x
x x
x
1. Se factorizan las bases
3
3 27
3 3
y
y
2. Se igualan los exponentes por tener la
misma base33 3
3
y
y
Ejemplo 3Resuelva la ecuación 12 4 8x x
Ejemplo 4
Resuelva la ecuación2 1
1343 7
49
xx
1. Se factorizan las bases
1
12 3
2 4 8
2 2 2
x x
x x
2. Se aplican las leyes de potencias
2 2 3
2 1 3
2 2 2
2 2
x x
x x
3. Se igualan los exponentes por tener lamisma base
2 1 3x x 4. Se resuelve la ecuación resultante
2 1 3
1 3 2
1
x x
x x
x
1. Se factorizan las bases
2 1
2 13 2
1343 7
49
7 7 7
xx
x x
2. Se aplican las leyes de potencias
2 2 13
3 1 4 2
3 4 1
7 7 7
7 7
7 7
xx
x x
x x
3. Se igualan los exponentes por tener lamisma base
3 4 1x x 4. Se resuelve la ecuación resultante
3 4 1
3 4 1
7 1
1
7
x x
x x
x
x
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 137
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 251. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales.
a) 3 2 17 7x x
b) 3 2 19 9x x
c) 2 3 5 111 11x x
d) 3 4 2 112 12x x
e) 10 3 7 113 13x x
f)26 21615 15x
g)26 101 216 10117 17x x x
h)23 2 120 20x x
i) 44 16 115 1125 25 x xx
j)22 10 8 1127 27x x x
k) 2 22 2 1 3 129 29x x x
l) 2 8y
m) 5 625y
n) 7 2401y
o) 10 100000y
p) 11 121y
q) 13 2197y
r) 13 9 27x x
s) 15 25 125x x
t) 2 1 5 37 49 343x x
u) 2 13 9 27x x x
v) 6 3 15 25 125x x x
w)1
2 2 13 9 27x x x
x)2 1
18 2
4
xx
y)2 1
127 3
9
xx
z)2 1
1125 5
25
xx
aa)
2 31
231
816
xx
bb)
2 1 12 3
62 9 8
3 4 27
x xx
cc) 2
32
3 21 12
8 32
x xx
dd) 1
2 120,25 0,25 0,125
xx
ee) 2 1
1 331
0,125 2 44
xx
ff) 2 1 1
4 2 2 14
16 9 41,5
81 4 9
x x
x
gg)1 1
3 2
2 4
2 8
x x
x
hh)2 1
1
153 5 14
225
x
x
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138 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Si ( ) ;xf x a tal que :f entonces, 1( ) log ;af x x tal que 1 :f y
viceversa. Además, log a x y si y solo si ya x , para todo 0x y para todo
y .
I Caso
Base mayor que uno 1a II Caso
Base entre cero y uno (0 1)a
Características
1. Dominio: 2. Codominio: 3. Ámbito: 4. Es biyectiva.
5. No interseca al eje y.
6. Interseca al eje x en ( 1 , 0 ).
7. Es estrictamente creciente.
8. Es asintótica al eje y por abajo.
Características
1. Dominio: 2. Codominio: 3. Ámbito: 4. Es biyectiva.
5. No interseca al eje y.
6. Interseca al eje x en ( 1 , 0 ).
7. Es estrictamente decreciente.
8. Es asintótica al eje y por arriba
x
y
x
y
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 139
GRUPO FÉNIX
LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Ejemplo 1Considere la función logarítmica cuyo criterio
es 2logf x x y determine
Ejemplo 2Considere la función logarítmica cuyo criterio
es 12
logf x x y determine
a) Dominio:
b) Codominio:
c) Ámbito:
d) 1 0f
e) 2 1f
f) Intersección con el eje x: 1,0
g) Intersección con el eje y : No existe
h) Régimen de variación: Estrictamente
creciente
i) Gráfica:
a) Dominio:
b) Codominio:
c) Ámbito:
d) 11
2f
e) 1 2f
f) Intersección con el eje x: 1,0
g) Intersección con el eje y : No existe
h) Régimen de variación: Estrictamente
decreciente
i) Gráfica:
x
y
x
y
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140 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 261. Determine el dominio, codominio, ámbito, 2f , 1f , intersección con los ejes, régimen
de variación y gráfica de las siguientes funciones exponenciales.
a) 3log , :f x x f
b) 3log , : 2,7f x x f
c) 3log , : 2,f x x f
d) 3log , : 0,4f x x f
e) 13
log , :f x x f
f) 13
log , : 2,7f x x f
g) 13
log , : 2,f x x f
h) 13
log , : 0,4f x x f
i) 52
log , :f x x f
j) 52
log , : 2,7f x x f
k) 52
log , : 2,f x x f
l) 52
log , : 0,4f x x f
m) 2log , :f x x f
n) 2log , : 2,7f x x f
o) 2log , : 2,f x x f
p) 2log , : 0,4f x x f
q) 1
2
log , :f x x f
r) 1
2
log , : 2,7f x x f
s) 1
2
log , : 2,f x x f
t) 1
2
log , : 0,4f x x f
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 141
GRUPO FÉNIX
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Sea a un número real positivo diferente de 1. El logaritmo de x con base a se definecomo log a x y si y sólo si yx a para toda 0x y todo número real y .
Ejemplo 1Determine el valor de a en
la expresión3
log 22a
Ejemplo 2Determine el valor de x en
la expresión 3log 2x
Ejemplo 3Determinar el valor de y si
3log 27 y
1. Se utiliza la definición ypasamos a notaciónexponencial
32
3log 2
2
2
a
a
2. Se eleva el otro lado al
exponente inverso32
23
3 2
3
2
(2)
2
4
a
a
a
a
1. Se utiliza la definición ypasamos a notaciónexponencial
3
2
log 2
3
x
x
2. Se resuelve la potencia
23
9
x
x
1. Se utiliza la definición ypasamos a notaciónexponencial
3log 27
3 27y
y
2. Se resuelve la ecuaciónexponencial
3
3 27
3 3
3
y
y
y
Trabajo cotidiano # 271. Determine el valor de x en las siguientes ecuaciones logarítmicas utilizando la definición.a) log 81 4x
b)1
log 23x
c)1
log 52x
d)1
log 43x
e) log 3 2x
f) log 3 3 3x
g)5
log 2432x
h) 3 1log 5
3x
i)1
log 42401x
j) 3log 2 1 1x x
k) 3log 2x
l) log 4x
m) 3
1log
2x
n) 8
1log
6x
o) 3
1log
4x
p) 13
log 2x
q) 132
1log
5x
r) 4log 2 2x
s) 13
1log
2x
t) 3
1log 4
x
u) 17
1log 3
x
v) 2log 8 xw) 2log 32 xx) 3log 81 x
y) 14
log 8 x
z) 14
log 16 x
aa) 25
1log
5x
bb) 5
1log
625x
cc) 18
1log
2x
dd)
18
3
1log
81x
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142 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Si x y y denotan números reales positivos, entonces se cumplen las siguientespropiedades.
Nombre de la Propiedad Propiedad Ejemplos
Logaritmo de unamultiplicación
log log loga a ax y x y 2 2 2log 7 log 7 logx x
2 2log8 log8 logx x
Logaritmo de una divisiónlog log loga a a
xx y
y
2 2 2log log log 77
xx
22
8log log8 log x
x
Logaritmo de unaexpresión en notación
exponenciallog logy
a ax y x
73 3log 7logx x
3log 3logy y
Logaritmo de la base log 1a a 5log 5 1
log 10 1
Logaritmo de la unidad log 1 0a 3log 1 0
log 1 0
Cambio de baselog
logloga
yy
a
2
log 3log 3
log 2
7
log 5log 5
log 7
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 143
GRUPO FÉNIX
ECUACIONES LOGARÍTMICAS QUE INCLUYEN UNA O DOS OPERACIONES, Y QUE SEPUEDEN LLEVAR A LA FORMA log loga af x g x
Para resolver ecuaciones logarítmicas, es necesario conocer y aplicar el teorema sobre las
funciones logarítmicas, el cual pasamos a detallar:
La función logarítmica f dada por logaf x x con 1a es biunívoca; en
consecuencia, se satisfacen las condiciones equivalentes que siguen para números reales
1x y 2x :
1. Si 1 2x x , entonces 1 2log loga ax x
2. Si 1 2log loga ax x , entonces 1 2x x
Ejemplo 1Resuelva la ecuación
4 4log 3 log 2 1x x
Ejemplo 2Resuelva la ecuación
2 27 7log 5 7 2 log 3 2 1x x x x
Procedimiento:
1. Se igualan los argumentos utilizando la
segunda condición
4 4log 3 log 2 1
3 2 1
x x
x x
2. Se resuelve la ecuación resultante
3 2 1
3 1 2
2
x x
x x
x
3. Al sustituir el valor de “x” el argumento
es positivo, por tanto
2S
Procedimiento:
1. Se igualan los argumentos utilizando la
segunda condición
2 27 7
2 2
log 5 7 2 log 3 2 1
5 7 2 3 2 1
x x x x
x x x x
2. Se resuelve la ecuación resultante
2 2
2 2
2
1 2
5 7 2 3 2 1
5 7 2 3 2 1 0
2 5 3 0
13
2
x x x x
x x x x
x x
x x
3. Al sustituir el valor de “x” el argumento
es positivo, por tanto
1 , 32
S
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144 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
ECUACIONES LOGARÍTMICAS QUE INCLUYEN UNA O DOS OPERACIONES, Y QUE SEPUEDEN LLEVAR A LA FORMA log loga af x g x
Ejemplo 3Resuelva la ecuación
log 3 1 log 2 3 1 log 5x x
Procedimiento:
1. Se ordena la ecuación con los términos logarítmicos al lado izquierdo de la igualdad
log 3 1 log 2 3 1 log 5
log 3 1 log 5 log 2 3 1
x x
x x
2. Se aplica la propiedad del logaritmo de una multiplicación
log 3 1 log 5 log 2 3 1
log 5 3 1 log 2 3 1
x x
x x
3. Se aplica la propiedad del logaritmo de una división
log 5 3 1 log 2 3 1
5 3 1log 1
2 3
x x
x
x
4. Se expresa en notación exponencial
1
5 3 1log 1
2 3
5 3 110
2 3
x
x
x
x
5. Se resuelve la ecuación
1 5 3 110
2 320 30 15 5
5 35
7
x
xx x
x
x
4. Al sustituir el valor de “x” el argumento es positivo, por tanto
7S
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 145
GRUPO FÉNIX
Trabajo cotidiano # 281. Determine el valor de x en las siguientes ecuaciones logarítmicas utilizando la definición.
a) 2 2log 3 1 log 2x x
b) log 3 2 logx x
c) 7 7log 3 log 5 6x x
d) 6 6log 2 3 log 5 3x x
e) 2 2log 12 log 5 3x x
f) 3 3log 4 log 4x x
g) 2 21 12 2
log logx x x x
h) 21 12 2
log 2 10 log 8 10x x x
i) 21 12 2
log 3 7 log 27 7x x x
j) 21 12 2
log 4 13 log 64 13x x x
k) 23 3log 5 42 log 125 42x x x
l) 23 3log 6 111 log 216 101x x x
m) 23 3log 23 9 log 40 31x x x
n) 3 3log 7 10 log 10 9 1x x x
o) 2 2log 3 1 1 log 2x x
p) log 1 log 2 3 x x
q) 7 7log 3 1 log 5 6x x
r) log4 1 log 2x x
s) log 2 1 log 3 0x x
t) 3 32 log 4 log 2x x
u) 1
3 3log 4 log 1 1x x
v) 1
5 51 log 3 log 1 0x x
w) 1
2 24 2log 2 log 2 4 0x x
x) 3 3 3log log 2 log 9 3x
y) log 2 log 5 log8x
z) 2log log 25 log 5x
aa) 4 4 4log 5 log 3 2 log 3x
bb) 3 3 3
1log log 9 log 6
2x x
cc) 125 5 5log 9 log 3 log 2x x x
dd) 4
1log 3 7
2x
ee)1
9 9
1 1log log 5 10
21x
x
ff) 2 9log 6 7 1
xx
gg)5
5
1log
42log 8x
hh) 7 3log log 2 0x x
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146 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
ECUACIONES EXPONENCIALES DE LA FORMA P x Q xa b , DONDE P(X) Y Q(X)SON POLINOMIOS CON UNA VARIABLE DE GRADO CERO (NO
SIMULTÁNEAMENTE), DE GRADO UNO O DOSDebemos igualar los logaritmos de ambos miembros de la ecuación. Con esto, las variablesen el exponente se convierten en multiplicadores y la ecuación resultante es más fácil deresolver. En otras palabras, es la estrategia de “aplicar logaritmos a ambos miembros de laigualdad”.
Ejemplo 1Resuelva la ecuación 2 1 3 43 5x x
1. Se aplica logaritmo a ambos miembros de la igualdad2 1 3 4log3 log5x x
2. Se aplica la propiedad del logaritmo de una expresión en notación exponencial
2 1 log3 3 4 log5x x 3. Se aplica la propiedad distributiva
2 log3 log3 3 log5 4log5x x 4. Se resuelve la ecuación para “x”
2 log3 3 log5 4log5 log3
2log3 3log5 4log5 log3
4log5 log3
2log3 3log5
x x
x
x
Trabajo cotidiano # 291. Determine el valor de x en las siguientes ecuaciones logarítmicas utilizando la definición.
a) 2 1 3 42 3x x
b) 3 1 2 43 5x x
c) 1 5 15 7x x
d) 1 5 17 10x x
e) 5 4 6 110 11x x
f)22 10 8 102 3x x x
g)23 7 27 73 5x x x
h)24 13 64 135 7x x x
i)25 42 125 427 10x x x
j)26 101 216 10110 11x x x
k)2 23 3 42 3x x x x
l)2 22 4 33 5x x x x
m)24 4 65 7x x
n)23 6 1 1 27 10x x x
o)22 5 3 310 11x x x
p)23 5
5 9
x x
q) 3
281 3
2x
x
r) 2
564 16
5
xx
s)2
3 2 1
3 1
3 4x x
t) 2
15
2x
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 147
GRUPO FÉNIX
Trabajo extraclase # 61. Sea f la función exponencial dada por xf x a . Si 2 5f f , entonces, un
posible valor para a es
A) 2
B)4
3
C)9
4
D)11
15
2. Sea f la función dada por 3
2
x
f x
. Considere las siguientes proposiciones.
I. El ámbito de f es 0 , .II. f es decreciente.
¿Cuáles de ellas son VERDADERAS?A) Ambas.B) Ninguna.C) Sólo la I.D) Sólo la II.
3. Para la función f dada por ,xf x a si 1a y 0 ,x entonces se cumple que
A) 1xa B) 0xa C) 0 1xa D) 0 1xa
4. La solucion de3 1 2 3
2 49
7 4
x x
es
A) 1B) 5C) 4D) 7
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148 RELACIONES Y ÁLGEBRA
GRUPO FÉNIX
5. La solución de3 9 243x es
A) 2
B) 4
C)5
2
D) 5
3
6. La solución de 1 2 13
9x es
A) 2
B)3
2C) 2
D)3
2
7. Si f es una función logarítmica de base " "a y 0f x para 1 ,x entonces se
cumple queA) 1 aB) 1a C) 0 1a D) 1 0a
8. La gráfica de la función f dada por 65
logf x x interseca el eje x en
A) 0 , 1
B) 1 , 0
C)2
, 05
D)2
0 ,5
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RELACIONES Y ÁLGEBRA 149
GRUPO FÉNIX
9. Para la función logarítmica f dada por log .af x x Si 1 2 ,f x f x entonces un posible valor de " "a es
A)3
2
B)5
2
C)4
5
D)6
510.La solución de 23 2x x es
A)3
2
log 2
B)
3
21
log2
C)
3
22
log3
D)
3
23
log2
11.El conjunto solución de log 2 5 0x es
A)
B)1
5
C)2
5
D)8
5
12.Los científicos utilizan la función dada por log 3,7 0,2d g , para calcular el
diámetro, en kilómetros, de asteroides, donde “ d ” representa el diámetro y “ g ”representa la magnitud del asteroide. ¿Cuál es el diámetro aproximado, en kilómetros, deun cuerpo que presenta magnitud 11?A) 1,50
B) 13,29C) 31, 62D) 35, 21
13.La presión atmosférica “p” sobre un avión que se encuentra a una altura “x” en kilómetros
sobre el nivel del mar está dada por 0,145760 xp x e . ¿Cuál es aproximadamente la
presión sobre un avión que se encuentra a una altura de 20 km sobre el nivel del mar?A) 8,64B) 41,74C) 417,40D) 864,00
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BIBLIOGRAFÍA
- Baldor. Geometría plana y del espacio y trigonometría. Ediciones Códice. Madrid, España, 1987.
- Baldor. Álgebra. Ediciones Códice. Madrid, España, 1987.
- Baldor. Aritmética. Ediciones Códice. Madrid, España, 1987.
- Corrales, Mario. Matemática Estadística. Editorial UNED.
- Cárdenas, Humberto y otros. Matemática Primer Curso y Matemática Segundo Curso. 3era Edición.
- Clemens, Santanley y otros. Geometría con aplicaciones y soluciones de problemas. Adison-Wesley
Iberoamericana, S.A., Wilmington, E.U.A, 1989
- Gamboa, G. Porras, V. Matemáticas 10º. Publicaciones Porras y Gamboa, San José, Costa Rica. 2006.
- Larson, R. Hostetler, R. Cálculo y geometría analítica. Mc Graw-Hill, México, 1988 (Capítulo I).
- Larson, Hostetler, Neptune. Algebra intermedia. Segunda edición. Mc Graw-Hill, México, marzo 2000.
- Ministerio de Educación Pública. Plan de Transición 2013 del Programa de Estudio. San José, Costa
Rica. 2012.
- Moise, Edwin y otros. Geometría Moderna. Editorial Wesly Publishing Company, USA. 1966.
- Murillo, Manuel. Matemática básica con aplicaciones. EUNED, San José, Costa Rica, 2000.
- Polya, G. (1966). Matemáticas y razonamiento plausible. Madrid: Tecnos.
- Polya, G. (1990). Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas.
- Ruiz, A. (2006). Universalización de la educación secundaria y reforma educativa. San José, Costa Rica:
EUCR-CONARE.
- Ruiz, A. (2010). Conocimientos y currículo en la educación matemática. Cuadernos de Investigación y
Formación en Educación Matemática, 6, 107-141.
- Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. Orlando: Academic Press.
- Schoenfeld, A. (1991). On mathematics as sense making: An informal attack on the unfortunate divide
of formal and informal mathematics. En J.F. Voss, D.N. Perkins & J.W. Segal (Eds.), Informal reasoning
and education. Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates, pp. 311-343.
- Schoenfeld, A. (2011). How we think. New York: Routledge.
- Swokowski, Earlw. Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Editorial Iberoamericana. 1988.
- Tsijli, Teodora. Geometría Euclidea 1. EUNED, San José, Costa Rica, 1994.
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Editor
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ix
Estimados profesores:
Reciban un cordial saludo y un sincero deseo de éxito en sus labores
profesionales, como Editorial Líder estamos a la vanguardia con respecto a los cambios efectuados por el Ministerio de Educación Pública para los Nuevos
Programas de Estudio; siendo fieles al enfoque con base en la resolución de
problemas.
Es por eso que orgullosamente les entregamos esta versión en electrónico; y el Plan de Transición 2013 de los Nuevos Programas de Estudio en Matemática, con los respectivos cambios en 7°, 8°, 9°, 10° y 11°.
Los Docentes que decidan trabajar con nuestros libros se les entregarán
ejemplares gratuitos con los niveles que vayan a impartir, a continuación citamos
algunas de las razones por las cuales trabajar con nuestros libros:
1. CARBONO NEUTRAL, estamos comprometidos con que nuestro país alcance
esta meta, por esta razón nuestra promoción de los libros ha sido solo en
electrónico, asimismo, utilizamos papel hecho con la fibra de la caña de azúcar y
las portadas son hechas a base de material reciclado.
2. NUEVOS PROGRAMAS DE ESTUDIO, nuestros libros de texto han sido
elaborados tomando como referente las nuevas tendencias en Educación
Matemática, en particular, de acuerdo a los nuevos programas en matemática -
enfoque con base en la resolución de problemas-.
3. PLAN DE TRANSICIÓN 2013, nuestros libros cumplen al 100% con lo que solicita
el MEP para la implementación eficaz de los nuevos programas en matemática en
III Ciclo y Ciclo Diversificado. Por tal motivo, adjuntamos dicho Plan de Transición
en este disco para que puedan constatar lo que promulgamos.
4. PRECIO, para las Instituciones Educativas y Profesores es de ¢3516 c/u.
5. DESCUENTO ADICIONAL DE UN 2,5 % en el monto de la factura si el pago
correspondiente se realiza por depósito bancario a alguna de las cuentas de Grupo
Fénix.
6. CRÉDITO DE UN MES, el plazo de crédito que Grupo Fénix brinda es de un mes a
partir de la fecha de facturación y entrega de los libros, con la condición de realizar
pagos semanales (exactamente cada siete días naturales después de
entregados los libros). El atraso en la cancelación de la factura al cabo del mes de
crédito, generará un interés de un 1% diario (aplican sólo días laborales).
7. EMPASTE TRADICIONAL, la presentación de la Edición 2013 no viene con resorte como las Ediciones anteriores, no obstante, si alguna Institución por
razones de comodidad ergonómica lo desean pueden solicitar el libro con resorte.
San José, 21 Enero 2013D.P.V. - 105
Un Nuevo Comienzo... un Resurgimiento!
Grupo FénixEDITORIAL
Grupo Fénix de C.R.
Papel elaborado delbagazo de caña de
azúcar
MÁS ARBOLESPARA EL FUTURO!
Estimados profesores:
Reciban un cordial saludo y un sincero deseo de éxito en sus labores
profesionales, como Editorial Líder estamos a la vanguardia con respecto a los cambios efectuados por el Ministerio de Educación Pública para los Nuevos
Programas de Estudio; siendo fieles al enfoque con base en la resolución de
problemas.
Es por eso que orgullosamente les entregamos esta versión en electrónico; y el Plan de Transición 2013 de los Nuevos Programas de Estudio en Matemática, con los respectivos cambios en 7°, 8°, 9°, 10° y 11°.
Los Docentes que decidan trabajar con nuestros libros se les entregarán
ejemplares gratuitos con los niveles que vayan a impartir, a continuación citamos
algunas de las razones por las cuales trabajar con nuestros libros:
1. CARBONO NEUTRAL, estamos comprometidos con que nuestro país alcance
esta meta, por esta razón nuestra promoción de los libros ha sido solo en
electrónico, asimismo, utilizamos papel hecho con la fibra de la caña de azúcar y
las portadas son hechas a base de material reciclado.
2. NUEVOS PROGRAMAS DE ESTUDIO, nuestros libros de texto han sido
elaborados tomando como referente las nuevas tendencias en Educación
Matemática, en particular, de acuerdo a los nuevos programas en matemática -
enfoque con base en la resolución de problemas-.
3. PLAN DE TRANSICIÓN 2013, nuestros libros cumplen al 100% con lo que solicita
el MEP para la implementación eficaz de los nuevos programas en matemática en
III Ciclo y Ciclo Diversificado. Por tal motivo, adjuntamos dicho Plan de Transición
en este disco para que puedan constatar lo que promulgamos.
4. PRECIO, para las Instituciones Educativas y Profesores es de ¢3516 c/u.
5. DESCUENTO ADICIONAL DE UN 2,5 % en el monto de la factura si el pago
correspondiente se realiza por depósito bancario a alguna de las cuentas de Grupo
Fénix.
6. CRÉDITO DE UN MES, el plazo de crédito que Grupo Fénix brinda es de un mes a
partir de la fecha de facturación y entrega de los libros, con la condición de realizar
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entregados los libros). El atraso en la cancelación de la factura al cabo del mes de
crédito, generará un interés de un 1% diario (aplican sólo días laborales).
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Un Nuevo Comienzo... un Resurgimiento!
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2013
10UN ENFOQUE CON BASEEN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
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