MEMORIAS
DEL VII COLOQUIO INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA
EDUCATIVA PARA PROFESORES
PACHUCA, HIDALGO
7 al 9 de diciembre de 2015
Editores Carlos Rondero-Guerrero
Anna Tarasenko
Aarón Reyes-Rodríguez
Juan Alberto Acosta-Hernández
Oleksandr Karelin
Marcos Campos-Nava
Agus%n Torres Rodríguez
Coloquio internacional
VII
de Matemá*ca Educa*va para Profesores
MEMORIAS
DEL VII COLOQUIO INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA
EDUCATIVA PARA PROFESORES
PACHUCA, HIDALGO
7 al 9 de diciembre de 2015
Editores Carlos Rondero-Guerrero
Anna Tarasenko
Aarón Reyes-Rodríguez
Juan Alberto Acosta-Hernández
Oleksandr Karelin
Marcos Campos-Nava
Agus%n Torres Rodríguez
Coloquio internacional
VII
de Matemá*ca Educa*va para Profesores
VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para profesores
Pachuca, Hidalgo
7 al 9 de diciembre de 2015
Citar como:
Rondero, C., Tarasenko, A., Reyes, A., Acosta, J. A., Karelin, A., Campos, M. y Torres, A.
(Eds.), Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa Para Profesores.
Pachuca: México.
ISBN: En trámite
I
Presentación
El VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores representa una
continuación de los esfuerzos desarrollados desde hace varios años en el Área Académica
de Matemáticas y Física de la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo, para
contribuir en la formación y actualización de los profesores de matemáticas. Esta
actividad surge de la inquietud que un grupo de investigadores de la UAEH ha mantenido
para vincular los resultados de la investigación con propuestas didácticas que impacten de
manera significativa en la educación matemática que reciben los estudiantes.
Consideramos que la interacción y comunicación entre profesores, matemáticos y
educadores matemáticos permitirá intercambiar puntos de vista y experiencias, con la
intención de generar propuestas encaminadas a resolver la problemática del aprendizaje
de las matemáticas presente en las aulas de todos los niveles educativos.
En cada edición del Coloquio se adopta un lema, cuyo propósito es proponer una
temática que oriente la actividad académica. Este año el eje del coloquio es “El desarrollo
del pensamiento crítico en la formación de profesores”, ya que en una sociedad de la
información y el conocimiento como la actual, la creatividad y la innovación son
habilidades fundamentales para el desarrollo de un profesional. En este año se contará
con la participación de investigadores de España, Chile, Cuba y Panamá, además de
profesores y educadores matemáticos de Instituciones Educativas de diferentes estados de
la República, particularmente del Distrito Federal, Estado de México, Puebla e Hidalgo.
Agradecemos el apoyo económico bridado por la Universidad Autónoma del Estado de
Hidalgo a través del Programa Anual Operativo 2014 y el Patronato de la UAEH, sin el
cual la realización de esta actividad académica no hubiera sido posible. Orientaremos
todos nuestros esfuerzos para que esta edición 2015 del coloquio sea productiva para
todos los participantes.
El Comité Organizador
II
III
Contenido
Presentación………………………………………………………………………….….…I
Contenido…………………………………………………………………………………II
FORMACIÓN DE PROFESORES
La WebQuest como estrategia de enseñanza para el desarrollo del pensamiento
estocástico en estudiantes normalistas de matemáticas: una experiencia que promueve el
trabajo colaborativo y autónomo….………………………………………………………3
Saúl Elizarráraz
Dificultades y errores al resolver problemas geométricos por estudiantes normalistas que
cursan la especialidad en Matemáticas: El caso de la semejanza de triángulos………..11
Saúl Elizarrarás, José Luis Medardo Quiroz, Orlando Vázquez y Mario Rodríguez
Relevancia de la formación de profesores de matemáticas del nivel superior…………..21
Agustín Torres-Rodríguez
Dificultades en la resolución de problemas geométricos con estudiantes normalistas de la
especialidad en matemáticas…………………………………………………………..…31
Orlando Vázquez
NUEVAS TECNOLOGÍAS EN LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE
El pensamiento crítico en la selección de contenidos matemáticos de un MOOC de
precálculo………………………………………………………………………………...41
Juan Alberto Acosta y Anna Tarasenko
Tareas de aprendizaje matemático con el uso de software de geometría dinámica como
elemento articulador: el caso del mecanismo de pistón………………………………….49
Marcos Campos
IV
Gráficas interactivas en 3D con R……………………………………….………………61
Maricarmen González-Videgaray y Rubén Romero-Ruiz
Manipulables virtuales un recurso didáctico en la enseñanza de las matemáticas………71
Juan Oaxaca y Carmen Valderrama
Uso de una página web y un laboratorio virtual para la enseñanza de estadística
descriptiva……………………………………………………………………………….83
Miguel Pineda, Armando Aguilar, Juan Axotla, Frida León, Omar García y
DomingoMárquez
Enseñanza del tema de prueba de hipótesis en las carreras de ingeniería de la FESC con
apoyo un curso e-learning………………………………………………………………..91
Miguel Pineda, Armando Aguilar, Juan Axotla, Frida León, Omar García y Rogelio
Ramos
Formación de profesores de matemáticas en Geogebra y Comics……………………101
Zaira Eréndira Rojas-García y Ma. Emma Bautista-García
INNOVACIÓN EDUCATIVA
Sistemas de creencias hacia las matemáticas en alumnos universitarios……..…….111
María Eugenia Canut
Formación de estudiantes motivando el aprendizaje y la aplicación de las
matemáticas, con la integración de proyectos basados en competencias profesionales a
nivel superior…………………………………………………………………………...119
Yucels Del Carmen y Heidi Del Carmen
La matemática y el método de enseñanza por proyecto…………………………….….127
Orlando García-Marimón
V
Resultados preliminares de la aplicación de la secuencia didáctica para la factorización de
polinomios de segundo grado y su aplicación en la ecuación cuadrática………..……..139
Vianet Olimpia González-Medina
Habilidades de los niños en edad preescolar para resolver problemas matemáticos...…149
Luisa Morales-Maure
El uso de producciones textuales de los alumnos para la indagación de errores
conceptuales en la resolución de problemas con números racionales………………….163
Giselle Ochoa-Hofmann y Jorge Ramírez-González
Diseño de un instrumento piloto de valoración de habilidades del pensamiento
matemático y de razonamiento lógico para una licenciatura de una Institución de
Educación Superior…………………………………………………………………..…173
Nelly Rigaud- Téllez
La importancia del pensamiento crítico en la didáctica de las matemáticas………..….183
Anna Tarasenko y Juan Alberto Acosta
La experiencia de la asignatura de Matemáticas Básicas para el alumnado………...….191
Fernando Velasco-Luna, Hortensia Reyes-Cervantes, Solano Tajonar-Sanabria y Luis
Arévalo-Aguilar
VI
FORMACIÓN
DE
PROFESORES
VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores
2015. En Rondero, C., Tarasenko, A., Reyes, A., Acosta, J. A., Karelin, A., Campos, M.
y Torres, A. (Eds.), Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa
Para Profesores (pp. 3-10). Pachuca: México. ISBN: En trámite.
La WebQuest como estrategia de enseñanza para el desarrollo del pensamiento estocástico en estudiantes
normalistas de matemáticas: una experiencia que promueve el trabajo colaborativo y autónomo
Saúl Elizarrarás
Escuela Normal Superior de México, Distrito Federal, México. [email protected]
Resumen. El presente reporte forma parte de un proyecto de
investigación cualitativo (Eisner, 1998) más amplio, realizado con un grupo de doce estudiantes del sexto semestre de la Licenciatura en
Educación Secundaria con Especialidad en Matemáticas (LESEM) de la
Escuela Normal Superior de México (ENSM); a modo de ejemplo, se
presentan algunas dificultades sobre ideas fundamentales de estocásticos (Heitele, 1975) manifestadas por los participantes al resolver problemas
propuestos en una WebQuest (WQ), quienes refirieron que esto se debió
a que faltaron explicaciones sencillas y precisas, así como ejemplos cuya dificultad fuera gradual; también manifestaron poca familiaridad con los
conceptos propios de la probabilidad y estadística, aunque en algunos
casos accedieron a su comprensión mediante el trabajo colaborativo y
reconocieron la ventaja de conocer las distintas formas de resolver un mismo problema; no obstante, hubo equipos que consideraron
indispensable resolverlo en el aula para validar procedimientos y
establecer acuerdos sobre los resultados.
Abstract. This report is part of a broader project of qualitative research
(Eisner, 1998), conducted with a group of twelve students of the sixth
semester of the Bachelor of Secondary Education with specialization in Mathematics (LESEM) Escuela Normal Superior de Mexico (ENSM);
for example, some difficulties on fundamental ideas of stochastic
(Heitele, 1975) expressed by the participants to resolve problems posed
in a WebQuest (WQ), who stated that this was because they lacked simple and accurate explanations are presented, as well as Examples
whose difficulty was gradual; also they expressed unfamiliarity with the
concepts of probability and statistics, although in some cases agreed to their understanding through collaborative work and recognized the
advantage of knowing the different ways of solving the same problem;
however, it was considered essential equipment in the classroom to solve validate procedures and establish agreements on the results.
La WebQuest como estrategia de enseñanza
S. Elizarrarás
4
1 Introducción
El presente estudio, a modo de exploración, tuvo como objetivo principal al siguiente:
Interpretar el impacto en el proceso de formación continua de los estudiantes normalistas
cuando se utiliza como estrategia de enseñanza a la WQ para promover el trabajo
colaborativo y autónomo. Asimismo, se planteó como objetivo secundario: identificar
dificultades de comprensión en estudiantes normalistas de la LESEM sobre ideas
fundamentales de estocásticos. Se planteó como punto de partida a dos de los cinco
rasgos del perfil de egreso de la LESEM (SEP, 1999); el primero, denominado
habilidades intelectuales, señala que los estudiantes normalistas deben ser capaces de
plantear, analizar y resolver problemas, enfrentar desafíos intelectuales generando
respuestas propias a partir de sus conocimientos y experiencias; asimismo, deben
localizar, seleccionar y utilizar información de diverso tipo, tanto de fuentes escritas
como de material audiovisual, entre otras características de igual importancia; lo anterior
debe verse reflejado en el trabajo con los estudiantes que habrán de tener bajo su
responsabilidad. El segundo rasgo que fue incorporado es el conocido como identidad
profesional y ética, el cual establece, entre otros atributos, que los estudiantes normalistas
deben valorar el trabajo en equipo como un medio para la formación continua, así como
manifestar actitudes favorables para la cooperación.
1.1 Referentes teóricos
Se han destacado algunas de sus características de los dos rasgos del perfil de egreso
citados porque tienen estrecha relación con el planteamiento de la temática tratada en el
presente reporte de investigación. En este sentido, la WQ como estrategia de enseñanza
puede ser de gran utilidad cuando se trata de fomentar el trabajo colaborativo y autónomo
en la formación de futuros profesores de Matemáticas para la Escuela Secundaria de
México, adquiriendo una gran importancia el aspecto social del aprendizaje en el que
como lo enfatiza Adell (2004) favorece la búsqueda de información en un auténtico viaje
intelectual cuyo producto es la asimilación y acomodación de nueva información.
Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores
5
A pesar de que hace 40 años, Heitele (1975) formuló su perspectiva epistemológica sobre
lo que es verdaderamente fundamental para la enseñanza y el aprendizaje de estocásticos
(conjugación de los temas de probabilidad y estadística), todavía se podría considerar
vigente su planteamiento porque la lista de diez ideas fundamentales que propuso el
autor, siguen siendo trascendentales para caracterizar la comprensión de los estudiantes
que en este caso corresponden a la educación normal y que trasciende a la formación de
estudiantes del nivel secundaria de México, a saber: medida de probabilidad, espacio
muestra, regla de la adición, regla del producto e independencia, equidistribución y
simetría, combinatoria, modelo de urna y simulación, variable estocástica, ley de los
grandes números y muestra. El autor concibe a estas ideas de forma interrelacionada y
descarta una concepción estructuralista; además, destaca la necesidad de que sean
incluidas de forma honesta y responsable en los procesos de enseñanza y de aprendizaje
desde los niveles básicos hasta el nivel superior en forma gradual y sistemática.
Cabe señalar que los temas de estocásticos promueven de forma preponderante el
desarrollo del pensamiento crítico y reflexivo, ya que permiten el planteamiento de
alternativas para la toma de decisiones, lo cual conlleva una base racional, científica y
sobre todo ética para la resolución de problemas que afectan a las grandes masas, lo cual
debería implicar tomar en cuenta los intereses comunes por encima de los particulares.
Por su parte, Frawley (1999) unifica a internalistas y externalistas, planteando que no hay
algo que sea completamente individual ni totalmente social; de este modo, señala que la
mente social y la mente computacional confluyen en la relación entre el lenguaje y el
pensamiento y caracteriza tres etapas subjetivas para su estudio, a saber: procesamiento
no consciente, conciencia y metaconciencia.
1.2 Enfoque metodológico y organización de la investigación
El presente artículo forma parte de un proyecto de investigación de tipo cualitativo más
amplio, que en términos de Eisner (1998), su enfoque es todavía más profundo que lo
propuesto por la Etnografía Educativa; no obstante, se reconoce a la observación
participante como método y a la bitácora (a modo de diario de campo) como técnica.
Asimismo, se utilizaron como instrumentos a cuestionarios con interrogantes específicas
La WebQuest como estrategia de enseñanza
S. Elizarrarás
6
en las que se recuperaron las experiencias que tuvieron a bien compartir un grupo de doce
estudiantes normalistas de la LESEM de la ENSM con el equipo en el cual les
correspondió trabajar y cuya contestación la hicieron en archivo en Word y los enviaron
vía correo electrónico para su evaluación por parte del docente e investigador; se les
propuso la resolución de problemas sobre ideas fundamentales de estocásticos que fueron
propuestos en una WQ y de forma complementaria, se les solicitó la elaboración de un
mapa conceptual en el que pudieran reconocer todos los conceptos relacionados con la
temática propuesta. Cabe señalar que estas actividades fueron solicitadas a los
participantes luego de haber llevado a cabo un aproximado de quince sesiones en las que
se propusieron actividades diversas que fueron guiadas por el docente e investigador y
contestadas en forma grupal, conforme a los resultados obtenidos de repeticiones
independientes de fenómenos aleatorios diversos, tales como: discusión y análisis de
fenómenos deterministas y aleatorios, lanzar dados para jugar a alcanzar la meta de un
juego simulado de autos de carreras, realizar volados para simular hasta tres nacimientos
deseados de una pareja de recién casados, extracción de canicas de botellas (urnas) para
simular la producción de piezas defectuosas de dos máquinas productoras de trofeos, etc.
2 Interpretación y análisis de los hallazgos
En términos generales, los estudiantes presentaron dificultades de comprensión sobre
ideas fundamentales de estocásticos tales como: espacio muestra, regla del producto e
independencia, variable aleatoria, combinatoria y modelo de urna y simulación. Por
ejemplo, en el problema siguiente se debió haber obtenido la probabilidad, multiplicando
cincuenta veces por sí mismo a un cincuentavo; sin embargo, sólo se reconocieron los
eventos elementales de forma aislada sin establecer una relación entre estos:
En una urna hay 50 bolas, aparentemente iguales, numeradas del 1 al 50. ¿Cuál es la
probabilidad de extraer, una a una con reemplazo, las 50 bolas en el orden natural?
Solución: B: "bolas" P(B)=1/50 P(1)=1/50; P(2)=1/50; P(3)=1/50; P(4)=1/50; P(6)=1/50; P(n)=n/50.....
Fig. 1. Ejemplo de respuesta con ausencia de comprensión sobre la regla del producto e independencia
Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores
7
Otro ejemplo en el que manifestaron falta de consistencia y adecuado reconocimiento
sobre la dependencia de eventos es el que se muestra en la Figura 2, pues a pesar de que
recurren al cálculo de probabilidad condicional, formulan su respuesta en términos de la
independencia de eventos; además también se puede destacar que no utilizaron
apropiadamente los conceptos de evento y en su lugar, recurrieron a términos y al final,
simplificaron la probabilidad, lo cual resulta inconveniente, debido a que se desconoce a
todos los eventos que conforman el espacio muestra correspondiente:
Se considera el experimento aleatorio “lanzar dos veces un dado”. ¿Cuál es la probabilidad de
obtener número par en el segundo lanzamiento condicionado a obtener impar en el primero?
¿Son dependientes o independientes estos sucesos? ¿Por qué? (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6) (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6) (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6) (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6) (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6) (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,6); (6,6) N: "obtener un número par en el segundo lanzamiento" P(N)= 18/36 I: "Impar 1° lanzamiento y par 2° lanzamiento. P (I) = 9/36 P (I/N)= P (I∩B)/P(A)=1/4/1/2 P (I/N)=P(N)=1/2 Por tanto A y B son términos independientes porque la probabilidad de sacar un número par en el segundo lanzamiento es = 9/36 y la probabilidad de obtener un número impar y par en los lanzamiento.
Fig. 2. Ejemplo de respuesta con ausencia de comprensión sobre la dependencia de eventos
Otra actividad que fue solicitada refirió a la presentación de los conceptos propios de la
probabilidad y la estadística, previa búsqueda de su definición formal que en algunos
casos ya habían sido tratados en el aula desde las primeras sesiones de trabajo. En la
Figura 3, se muestra un ejemplo proporcionado por uno de los equipos y que de modo
más o menos similar, también fue presentado por los demás equipos. Se puede observar
la ausencia de algunos conceptos tales como: combinatoria, equiprobabilidad,
independencia, regla de la adición y regla del producto, etc.; además, faltó relacionar de
manera directa algunos de los conceptos incluidos como por ejemplo, el caso del espacio
muestra y su vínculo con el diagrama de Venn e incluso, se debió haber excluido la
presentación de frases y en cambio, se debieron haber sintetizado por ideas específicas.
La WebQuest como estrategia de enseñanza
S. Elizarrarás
8
Fig. 3. Ejemplo de mapa conceptual proporcionado por uno de los equipos.
Como actividad final o de cierre, los participantes debían contestar una serie de
preguntas, cuya finalidad fue que pudieran reflexionar sobre la experiencia adquirida y de
este modo, les permitiera favorecer su formación docente en cuanto a los rasgos del perfil
de egreso que fueron citados al principio de este artículo y por ende, brindar elementos
para que en un futuro pudieron incorporar estrategias docentes en ambientes virtuales.
De modo específico, una primera pregunta fue la siguiente: ¿Cuáles dificultades tuvieron
al desarrollar la WebQuest sobre probabilidad? A este respecto, las contestaciones
manifestaron la falta de familiaridad con los conceptos y el lenguaje de la probabilidad,
así como la contrariedad de elaborar una sola definición (Equipo 1). También hubo
quienes manifestaron lo complicado que les resultó la organización de la información en
diagramas de árbol para la resolución de ciertos problemas (Equipo 2).
Las dificultades que se presentaron son los conceptos que nos son familiares y además,
comprender el lenguaje de probabilidad y a la vez formalizar una respuesta de acorde a la
probabilidad. En los conceptos hay semejanzas pero fue un poco difícil poder realizar una sola
definición para la probabilidad ya que deberíamos de conjuntar toda la información. (Equipo 1)
Algunas dificultades que se presentaron en la realización de la Web Quest es el planteamiento de
algunos diagramas ya que al tener los datos no sabíamos cómo desarrollarlos. (Equipo 2)
Previendo lo anterior, se les planteó la pregunta siguiente: ¿De qué manera pudieron
remontar esas dificultades mediante el trabajo en equipo? En este sentido, las
Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores
9
aportaciones fueron de dos tipos; por un lado, quienes se dieron a la tarea de buscar
información complementaria o ejemplos en otras fuentes (Equipo 1) y por el otro, quienes
movilizaron y socializaron sus conocimientos previos para formular la resolución de los
problemas propuestos (Equipo 3).
Mediante la comunicación e investigando en otras fuentes con ejercicios más sencillos, retomar
apuntes de clase y conceptos de la Webquets (Equipo 1).
Partiendo de los conocimientos de cada integrante del equipo ya que cada uno tiene su forma de
comprender y analizar los ejercicios planteados en la web Quest. (Equipo 3)
Una tercera pregunta se enuncia a continuación: ¿Qué importancia tiene el trabajo
colaborativo en el desarrollo de la WebQuest sobre probabilidad? En este caso, todos
coincidieron en que el trabajo en equipo les permitió remontar las dificultades que habían
tenido para desarrollar la WQ y en particular, para resolver los problemas propuestos.
El trabajo colaborativo fue importante ya que si no comprendíamos lo solicitado había compañeros
que nos ayudaron en la comprensión y además, para ver las diferentes maneras de resolver un
ejercicio de probabilidad (Equipo 2).
Asimismo, pudimos establecer una convivencia de reflexión en cuestión de los métodos para
resolver problemas de probabilidad desde la perspectiva de cada uno de nosotros y el lograr
trabajar en equipo es un reto (Equipo 3)
Ala cuarta pregunta refirió a: ¿Cuáles cambios propondrían para mejorar la WebQuest
sobre probabilidad? a pesar de que en la pregunta anterior se había tenido coincidencia en
la trascendencia que tuvo el trabajo en equipo, aquí se manifestaron dos tipos de
respuesta, una que demandaba la ejemplificación sobre la resolución de problemas
similares (Equipo 3) y también que se trabajen en el aula (Equipo 4).
Dar solución a varios ejemplos para que sea fácil de comprender lo que se solicita. (Equipo 3).
Trabajarlas en el aula y que haya menos información teórica o que sea clara y precisa (Equipo 4).
La quinta y última pregunta cuestionó lo siguiente: ¿Cuáles ventajas y desventajas tiene
el trabajo colaborativo para el cumplimiento de las tareas y de la evaluación de la
WebQuest sobre probabilidad? En este sentido, se destaca como ventaja la promoción del
pensamiento crítico y como desventaja, se citó el caos que más o menos, ocasionó la
socialización de las distintas estrategias de resolución de un problema (Equipo 1).
Ventajas: Aumenta el interés, promueve el pensamiento crítico y mejora el logro académico.
Desventajas: Dividir el trabajo y fragmentarlo. (Equipo 2)
La WebQuest como estrategia de enseñanza
S. Elizarrarás
10
3 A modo de conclusiones
Estos hallazgos permiten tener un acercamiento a la interpretación del uso de una
WebQuest como estrategia de enseñanza durante la formación docente de estudiantes
normalistas de Matemáticas. En general, los participantes aludieron que sus dificultades
se debieron a la falta de explicaciones sencillas y precisas, así como ejemplos cuya
complejidad fuera gradual; también manifestaron poca familiaridad con conceptos,
aunque en algunos casos accedieron a su comprensión mediante el trabajo colaborativo,
pero en otros casos no fue así, debido a que no pudieron cohesionar sus actividades en el
equipo y cuando se trató de resolver un problema, hubo equipos que consideraron una
desventaja no hacerlo en el aula, ya que se presentaron discusiones al interior del equipo
que no fue posible establecer acuerdos que en el fondo representa la posibilidad de
flexibilizar el pensamiento sobre la base de una perspectiva reflexiva, crítica, analítica y
sintética. Se pretende realizar otros estudios con los estudiantes normalistas que cursan el
séptimo y el octavo semestres de la LESEM e incluso, con egresados con la finalidad de
continuar recabando información sobre su desempeño en el aula y en su interacción con
los estudiantes de secundaria cuando el medio que se utiliza es la WQ como estrategia de
enseñanza.
4 Referencias
Adell, J. (2004). Internet en el aula: las WebQuest. Revista Electrónica de Tecnología
Educativa, 17 (4).
Eisner, E. (1998). El ojo ilustrado. Indagación cualitativa y mejora de la práctica
educativa. Barcelona: Paidós.
Frawley, W. (1999). Vygotsky y la ciencia cognitiva. España: Paidos.
Heitele, D. (1975). An epistemological View on Fundamental Sthocastic Ideas.
Educational Studies in Mathematics, 6, 187-205.
VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores
2015. En Rondero, C., Tarasenko, A., Reyes, A., Acosta, J. A., Karelin, A., Campos, M.
y Torres, A. (Eds.), Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa
Para Profesores (pp. 11-20). Pachuca: México. ISBN: En trámite.
Dificultades y errores al resolver problemas geométricos por estudiantes normalistas que cursan la especialidad en matemáticas: el caso de la semejanza
de triángulos
Saúl Elizarrarás1, José Luis Medardo Quiroz
2, Orlando Vázquez
3 y Mario Rodríguez
Escuela Normal Superior de México, Distrito Federal, México. [email protected]
Resumen. Este estudio es de carácter cualitativo (Eisner, 1998, Carvalho
y Loila, 2008). Se aplicó un cuestionario de 25 reactivos relacionados
con problemas de tipo geométrico de contenidos diversos, a 10 estudiantes normalistas que cursan el quinto semestre de la Licenciatura
en Educación Secundaria con Especialidad en Matemáticas (LESEM), en
la Escuela Normal Superior de México (ENSM). El instrumento fue
conformado por una selección de problemas propuestos en las pruebas estandarizadas que se han aplicado a estudiantes mexicanos de la escuela
secundaria (de los tres grados). Los criterios de análisis devinieron de los
referentes teóricos que fueron consultados y en particular, la discusión de los resultados fue centrada en los temas siguientes: Proporcionalidad,
Criterios de semejanza de triángulos, Teorema de Tales y Escala. Las
respuestas otorgadas muestran cómo los participantes de este estudio manifestaron dificultades y errores para su contestación y en términos
generales, la media aritmética obtenida fue de cinco.
Abstract. This study is qualitative (Eisner, 1998, Carvalho and Loila,
2008). A questionnaire of 25 reagents geometric problems related to different content type was applied to 10 normal school students in the
fifth semester of the Bachelor of Secondary Education with
Specialization in Mathematics (LESEM) in the Superior Normal School of Mexico (ENSM). The instrument was made up of a selection of
proposed problems on standardized tests have been applied to Mexican
students of secondary school (three grades). Become Sound analysis criteria of theoretical references that were consulted and in particular the
results of the discussion were focused on the following topics:
Proportionality, criteria similar triangles, Theorem of Tales and Scale.
The responses given show how participants in this study reported difficulties and errors for your reply and in general, the arithmetic mean
obtained was five.
Dificultades y errores al resolver problemas geométricos por estudiantes normalistas
S. Elizarrarás, J. L. M. Quiroz, O. Vázquez y M. Rodríguez
12
1 Introducción
En este apartado se describen los referentes teóricos que fueron utilizados, los cuales
devinieron en criterios de análisis. En un segundo momento, se alude a la organización y
método de la investigación, por lo que se tratan aspectos como: el método, los
instrumentos y los participantes en el estudio.
1.1 Referentes teóricos y conceptuales
Desde una perspectiva filosófica, Abrate, Pochulu y Vargas (2006) señalan que el error es
atribuible a la capacidad de considerar como verdaderos conceptos y procedimientos que
están deficientemente desarrollados, incluyendo ideas contradictorias o interpretaciones y
justificaciones falsas. Además, los autores afirman que el desarrollo del conocimiento
científico ha estado acompañado de errores, lo cual ha permitido sustituir un
conocimiento viejo e institucionalizado en la sociedad por uno nuevo que se revela lleno
de fuerza y vigor, con el correspondiente, por lo cual el problema del error ha estado
vinculado al problema de la verdad y de la fuente última del conocimiento, y la historia
de la Filosofía. Derivado de lo anterior, sintetizan que no hay fuentes últimas del
conocimiento, ya que todo conocimiento es humano y está mezclado con nuestros errores
y prejuicios; además, el error forma parte constituyente de nuestra adquisición del
conocimiento.
Sin un carácter rígido, los autores puntualizan que las investigaciones en análisis de
errores pueden ser agrupadas en torno a dos objetivos principales: la superación del error
a través de su eliminación, o a través de la exploración de sus potencialidades. En la
primera categoría se encuentran las investigaciones realizadas por la influencia del
conductismo y del procesamiento de la información. En segundo lugar, aparecen los
trabajos más recientes de carácter constructivista en los que se privilegia la comprensión
por encima de la eficacia y la eficiencia.
Abrate, Pochulu y Vargas (2006) destacan que los métodos descriptivos desempeñan un
papel fundamental en la investigación educativa dado que pueden proporcionar hechos,
Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores
13
datos, etc., y preparan el camino para la configuración de nuevas teorías o nuevas
investigaciones. Asimismo, refieren que todas las teorías sobre la enseñanza y
aprendizaje de la Matemática coinciden en la necesidad de identificar los errores de los
alumnos en el proceso de aprendizaje, determinar sus causas y organizar la enseñanza
teniendo en cuenta esa información. En consecuencia, el profesor debe ser sensible a las
ideas previas de los alumnos y debería utilizar las técnicas del conflicto cognitivo para
lograr el progreso en el aprendizaje; sobre todo debe tomar en cuenta que existe una gran
variedad de dificultades que son potencialmente generadoras de errores. Sin pretender
una categorización exhaustiva, Di Blasi Regner y Otros (2003; en Abrate, Pochulu y
Vargas, 2006) las agrupan en los siguientes tópicos:
1) Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos. Este conflicto
asociado al uso del lenguaje ordinario, dentro del contexto matemático, es un conflicto de
precisión en el que debería haber una interpretación exacta de los signos.
2) Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático. A este respecto, se
recomienda que al abandonar ciertas demostraciones formales en beneficio de una
aplicación más instrumental de las reglas matemáticas, para nada debe implicar la
renuncia del desarrollo del pensamiento lógico como parte de la competencia matemática.
3) Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza. Tienen relación con la capacidad
de organización de la institución escolar sobre la disposición de materiales curriculares y
recursos, así como con el currículo de Matemática y con los métodos de enseñanza.
4) Dificultades asociadas al desarrollo cognitivo de los alumnos. Conocer los estadios
generales del desarrollo intelectual para diseñar material de enseñanza, representado cada
uno de ellos por un modo característico de razonamiento y por unas tareas específicas de
Matemática que los alumnos son capaces de hacer.
5) Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales. Refiere a la aversión
por el aprendizaje de la Matemática, manifestada por sentimientos de tensión, ansiedad
por acabar una tarea y miedo al fracaso o a equivocarse, cuyos aspectos que influyen son:
Dificultades y errores al resolver problemas geométricos por estudiantes normalistas
S. Elizarrarás, J. L. M. Quiroz, O. Vázquez y M. Rodríguez
14
la naturaleza jerárquica del conocimiento matemático, la actitud de los profesores, estilos
de enseñanza, y las actitudes y creencias hacia la Matemática que les son transmitidas.
Respecto a los errores, Radatz (1980; en Abrate, Pochulu y Vargas, 2006) proponen la
siguiente categorización general de los errores:
1) Dificultades del lenguaje. Se deben al mal uso de los símbolos y términos
matemáticos, así como a la falta de comprensión semántica del lenguaje matemático.
2) Dificultades para obtener información espacial. Provienen de la producción de
representaciones icónicas (imágenes espaciales) inadecuadas de situaciones matemáticas.
3) Aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos. Son originados por
deficiencias en la comprensión de conceptos, contenidos y procedimientos para la
realización de una tarea matemática. Estas deficiencias incluyen la ignorancia de los
algoritmos, conocimiento inadecuado de hechos básicos, procedimientos incorrectos en la
aplicación de técnicas y dominio insuficiente de símbolos y conceptos necesarios.
4) Asociaciones incorrectas o rigidez del pensamiento. Son causados por la incapacidad
del pensamiento para ser flexible, es decir, para adaptarse a situaciones nuevas. Dentro de
esta clase de errores se tienen
4.1) Por perseverancia. Predominan los elementos singulares de un problema.
4.2) De asociación. Razonamientos o asociaciones incorrectas entre elementos
singulares.
4.3) De interferencia. Los conceptos u operaciones interfieren unos con otros.
4.4) De asimilación. La información es mal procesada debido a fallas de percepción.
5) Aplicación de reglas o estrategias irrelevantes. Son producidos cuando se aplican
reglas o estrategias similares en contenidos diferentes (razonamiento analógico).
Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores
15
Aunado a los errores antes descritos, Abrate, Pochulu y Vargas (2006) identificaron de
manera específica que algunos errores fueron debidos a: la recuperación de un esquema
previo, a cálculos incorrectos o accidentales, a deficiencias en la construcción de
conocimientos previos y a la ausencia de conocimientos previos. De un modo particular,
los autores señalan que pare el caso de la Geometría plana, la especificidad del lenguaje
matemático puede constituirse en un obstáculo para los alumnos, pues su uso correcto
está estrechamente ligado al proceso de conceptualización y ambos se retroalimentan; en
este sentido, los errores que encontraron devinieron de las dificultades que los estudiantes
tuvieron para obtener información espacial, cuya causa la atribuyeron al modo en que
ciertos conceptos han quedado atados a los ejemplos típicos que presentan los profesores
para su enseñanza, y para los cuales aún no se ha logrado la abstracción de las relaciones
geométricas verdaderamente esenciales. Aunado a lo anterior, refieren que la posibilidad
de estimar cantidades, resultados y medidas contribuye a desarrollar las capacidades
relacionadas con la medición y como este tema en la currícula de Matemática es casi
teórico, en el sentido de que se plantean problemas limitados a una actividad de
manipulación de números que disfraza, en el fondo, una actividad aritmética bajo el título
de “Medidas”; así, los errores que aparecieron sobre este contenido se relacionaron, a su
juicio, con deficiencias en la construcción de conocimientos previos sobre el uso
totalmente inadecuado de las unidades de medida, pues los alumnos proporcionaron sólo
resultados numéricos carentes de unidades, o cantidades relacionadas a longitudes o
volúmenes, y no a una superficie.
1.2 Método y organización
Este estudio es de carácter cualitativo (Eisner, 1998, Carvalho y Loila, 2008). El método
utilizado es el de la observación participante, ya que el docente titular se encontraba
realizando funciones de investigador. Para recabar la información, se diseñaron
cuestionarios con problemas geométricos que fueron de lo general hasta centrarlos en
temas como la escala y los criterios de semejanza en triángulos.
Antes de iniciada la enseñanza, se aplicó un cuestionario de 25 reactivos relacionados con
problemas de tipo geométrico de contenidos diversos, a 10 estudiantes normalistas que
Dificultades y errores al resolver problemas geométricos por estudiantes normalistas
S. Elizarrarás, J. L. M. Quiroz, O. Vázquez y M. Rodríguez
16
cursan el quinto semestre de la Licenciatura en Educación Secundaria con Especialidad
en Matemáticas (LESEM), en la Escuela Normal Superior de México (ENSM). El
instrumento fue conformado por una selección de problemas propuestos en pruebas
estandarizadas que se han aplicado a estudiantes mexicanos de secundaria (de los tres
grados). En particular, los temas tratados fueron: Propiedades de las medidas en los
ángulos que pueden trazarse en la circunferencia, Teorema de Pitágoras, Congruencia de
triángulos, Proporcionalidad, Criterios de semejanza de triángulos, etc.
2 Análisis y discusión de resultados
Las respuestas otorgadas muestran cómo los participantes de este estudio manifestaron
dificultades y errores para su contestación y en términos generales, la media aritmética
obtenida fue de cinco. En la tabla 1, se muestran los resultados específicos para los temas
relacionados con la semejanza de triángulos, cuya media aritmética fue muy aproximada
al resultado general obtenido para los 22 reactivos.
Tabla 1. Media aritmética para los temas relacionados con la semejanza
Contenido Aciertos del grupo
Semejanza figuras (rectángulos) 3
Triángulos congruentes y suma de ángulos internos 4
Criterios congruencia de triángulos 5
Criterios semejanza triángulos 3
Proporcionalidad / lados homólogos 5
Razón de semejanza 9
Congruencia de triángulos 9
Media aritmética 5.1
En la Figura 1, se muestra un ejemplo de reactivo cuyo tema fue el de semejanza de
triángulos y cuya respuesta inicial del estudiante excluyó la relación entre la altura del
tablero de basquetbol respecto a la longitud del triángulo mayor en correspondencia con
la relación que estableció entre los catetos del triángulo menor (en azul se muestra la
corrección realizada al estudiante. La dificultad presentada por el estudiante se puede
deber al aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos (Radatz, 1980).
Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores
17
Fig. 1. Ejemplo de dificultades relacionada con el aprendizaje deficiente.
De manera similar al caso anterior, en la Figura 2 se muestra la respuesta proporcionada
por un estudiante respecto a otra de las situaciones planteadas, que a la letra señala lo
siguiente: Una lámpara emite una luz a 25 cm de distancia de la figura triangular,
proyectando la sombra amplificada en una pared que dista 75 cm de la figura. ¿Cuál es la
razón entre la figura y su sombra proyectada en la pared si la figura pequeña mide 2.5 cm
de altura?; aun cuando lo hace de forma correcta, se puede destacar que su cálculo lo hace
en términos de la regla de tres y excluye poner de relevancia los conceptos propios de la
semejanza tales como: la razón y proporción. Otro aspecto que se derivaba de su cálculo
era la escala a la que se proyectaba la sombra, desconociendo que se trataba de una
ampliación y no de una reducción.
Fig. 2. Ejemplo de dificultades relacionada con conceptos y hechos previos.
Un tercer caso que se presenta en la Figura 3, refiere a un ejercicio que fue planteado sin
vincularlo a una situación y contexto específico, el cual se podía resolver utilizando el
teorema de tales que establece que toda paralela trazada respecto a uno de los lados de un
Dificultades y errores al resolver problemas geométricos por estudiantes normalistas
S. Elizarrarás, J. L. M. Quiroz, O. Vázquez y M. Rodríguez
18
triángulo determina segmentos proporcionales en los otros dos o bien, la otra forma era
recurriendo a uno de los criterios de semejanza de triángulos, lo cual implicaba la
movilización de la habilidad matemática denominada como visualización y otras como el
cálculo. Si bien es cierto que la respuesta proporcionada es la correcta, se debe poner de
relevancia que también se utilizó la regla de tres y excluyendo todo lo que implica a las
dos posibles estrategias que fueron enunciadas en el caso anterior.
Fig. 3. Ejemplo de dificultades relacionada con conceptos y hechos previos.
3 A modo de conclusiones
Aunado a los resultados obtenidos en función de los criterios de análisis establecidos, se
ha podido establecer de forma preliminar que las causas pudieron deberse a los factores
siguientes:
La redacción de las preguntas planteadas en los problemas ofrece ambigüedades,
provocando confusión en el alumno. No obstante, también se pudo identificar que los
estudiantes presentaron una falta de cabal comprensión de la pregunta por deficiente
competencia lectora de parte de los estudiantes normalistas.
Los estudiantes hacían un intento infructuoso por resolver los problemas, aplicando un
contenido memorizado, pues presentaban fallas en su evocación. También manifestaron
confusión al aplicar la correcta función trigonométrica cuando se les plantearon reactivos
que debían ser movilizados para resolver problemas que se relacionaban con la semejanza
Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores
19
de triángulos, lo cual también implicó a su memorización en estudios de bachillerato,
previos.
Asimismo, persistieron los conocimientos olvidados (Perkins, 2002) y propiedades
implícitas (por ejemplo, diferenciar cuando se trataba de una ampliación o una reducción
relacionadas con el concepto de escala) por parte de los estudiantes respecto a conceptos
de carácter geométrico y en consecuencia, la resolución misma de los problemas.
Se debe destacar la ausencia de flexibilidad del pensamiento para relacionar
conocimientos de tipo aritmético o algebraico en la resolución de problemas geométricos.
Asimismo, hubo falta de la reversibilidad del pensamiento para verificar o comprobar
resultados en función de los datos que se proporcionan en el problema.
Este estudio permite reflexionar sobre la necesidad de analizar el impacto de la enseñanza
que se desprende de los resultados obtenidos, posterior a su intervención y que en
definitiva requieren de profundizar en su estudio con la finalidad de proponer algunas
alternativas que puedan incidir de manera favorable en el desarrollo de competencias
matemáticas en estudiantes normalistas de la Especialidad en Matemáticas que a su vez,
les faciliten el desarrollo de otras competencias docentes que se inscriben en el proceso
de formación inicial de futuros profesores de Matemáticas para la Escuela Secundaria de
México.
Asimismo, este estudio ha permitido reflexionar sobre la necesidad de explorar otros
contenidos propios de la Geometría, de tal modo que se pueda interrelacionar con los
contenidos de tipo aritmético o algebraico e incluso, haciendo uso de las tecnología de la
Información y Comunicación.
Referencias
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María: Buenos Aires.
Dificultades y errores al resolver problemas geométricos por estudiantes normalistas
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20
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VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores
2015. En Rondero, C., Tarasenko, A., Reyes, A., Acosta, J. A., Karelin, A., Campos, M. y Torres, A. (Eds.), Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa Para Profesores (pp. 21-30). Pachuca: México. ISBN: En trámite.
Relevancia de la formación de profesores de matemáticas del nivel superior
Agustín Torres-Rodríguez Instituto Tecnológico de Atitalaquia, Hidalgo, México.
Resumen. El contenido de esta ponencia constituye un avance de tesis de posgrado, que aborda como objeto de estudio la formación de profesores de matemáticas. Concretamente, describe algunos elementos que contribuyen al estado del conocimiento. Se divide en tres partes: una introducción dónde explico primeramente mi interés por este tema de investigación, en la segunda parte, acompaño la discusión con algunos datos que denotan la relevancia de estudiar esta temática. En la tercera parte, propongo un análisis de hallazgos sobresalientes acerca de los estudios que se han realizado en este tema, desde la mirada de la matemática educativa y que aportan a las bases teóricas y conceptuales que le dan sustento. Con estos elementos, pretendo delimitar los ejes de análisis que utilizaré para finalmente acercarme al objeto de estudio o problema de investigación.
Abstract. The content of this paper represents an advance graduate thesis, which addresses as object of study the formation of mathematics teachers. Specifically, it describes some elements that contribute to the state of knowledge. It is divided into three parts: an introduction where first explain my interest in the subject of research, in the second part, I accompany the discussion with some data that show the importance of studying this subject. In the third part, I propose an analysis of important findings about the studies that have been done on this issue, from the perspective of mathematics education and to contribute to the theoretical and conceptual foundations that support it. With these elements, I intend to delimit the areas of analysis that I will use to finally approach the object of study or research problem.
1 Introducción
Es muy conocido el problema de la deserción y/o reprobación en los distintos niveles
escolares, sobre todo en el área de las matemáticas, tal y como lo reportan diversos
autores (Ruiz y Lupercio, 2013:148). En el caso concreto de las matemáticas que se
Relevancia de la formación de profesores de matemáticas del nivel superior
A. Torres-Rodríguez
22
imparten en el tronco básico de las distintas carreras de ingeniería, el problema tiene
implicaciones graves en el aprovechamiento académico de los estudiantes, al grado de
complicar su avance y egreso. No soslayo el hecho de que existen varios elementos que
inciden directa o indirectamente en este proceso de enseñanza-aprendizaje: el estudiante,
los docentes, las instituciones, los padres de familia y por supuesto los programas de
estudio y en general el currículum. Mi interés se centra, sin embargo en el papel que
juega el docente de matemáticas en el nivel superior por dos razones: la primera se basa
en el reconocimiento que diversos autores e instancias han definido sobre el importante
papel que juegan los docentes en el aprendizaje de los estudiantes. Varios estudios
señalan al factor docente como actor principal de la transformación educativa y de la
renovación de los modelos de enseñanza, (Aguerrondo, 2004; Fullan 2002; Vaillant,
2005), citados en Vesub (2007). Los docentes, sin embargo, no son los únicos
responsables de los resultados y de la calidad del sistema educativo, y tampoco pueden
asumir el desafío del cambio en forma particular y aislada, pero desde luego tienen un rol
protagónico. Se requiere por lo tanto ayudarles a esta tarea, implementando una serie de
acciones sostenidas en el tiempo, que posibiliten su desarrollo profesional. La segunda
razón tiene que ver con un rasgo que resulta muy común en el docente de este nivel
educativo, quien normalmente tiene como profesión de origen una ingeniería y se
incorpora la enseñanza universitaria sin contar con una formación de índole pedagógica
(Barrera y Cisneros, 2012; García et. al., 2005).
1.1 Importancia del docente en el proceso educativo
En la sociedad actual, el fenómeno educativo se encuentra en la agenda de los diversos
países, y además forma parte sustancial de diversos organismos internacionales. Tiana
(2008) identifica dos argumentos que explican las razones o causas de este creciente
interés. Uno de ellos es la forma tan rápida en que se suceden los cambios en el ámbito
educativo, y el otro tiene relación con las respuestas que demanda la propia sociedad de
que dichos procesos de cambio resulten eficaces. Esta situación la describe acertadamente
Pérez (2010), quien plantea que “el desafío actual más urgente de nuestro sistema
Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores
23
educativo es preparar a los ciudadanos para afrontar la cambiante, compleja, incierta y
profundamente desigual sociedad contemporánea”.
Para este mismo autor, el hecho de que la educación se haya tornado en un elemento
crucial tiene que ver con la fuerte conexión existente entre educación y desarrollo, lo que
ha llevado a los distintos gobiernos a preocuparse por la calidad de la enseñanza que se
imparte en las instituciones. La vital importancia del tema se debe a que se considera que
estas actividades van estrechamente relacionadas con el nivel de vida y bienestar que
puede alcanzar una sociedad, de ahí la necesidad de que los sistemas educativos de un
país respondan de la manera más eficaz a estos retos que plantean el desarrollo científico
y tecnológico, así como los nuevos contextos de globalización.
Todos esos cambios en la sociedad actual, han tenido su impacto en las últimas décadas
en la formación, actualización y aplicación de los conocimientos dentro de los ámbitos
académicos. Se han vinculado cada vez más la calidad y la eficacia de los sistemas
educativos en la labor de los profesores, ello no significa que los docentes sean el único
elemento que directamente afecta la calidad, pero si resulta un componente importante.
De hecho, para poder mejorar la calidad, se tienen que potenciar diversos aspectos, desde
la gestión de los sistemas, el aprovechamiento de los recursos, el reforzamiento de la
gestión de los distintos centros educativos, y el punto que me interesa rescatar en este
análisis, que es la función del docente, para reforzar el proceso de enseñanza y
aprendizaje y planificar de forma más integral los procesos de evaluación de los sistemas
(Silva, 2004). Este papel preponderante del profesorado como elemento de la calidad
educativa, y que ha sido reconocido por numerosos autores, pone de manifiesto la
necesidad de atender la formación y actualización de sus docentes. De manera que el
fortalecimiento de la función docente y el proceso de enseñanza-aprendizaje son dos
aspectos en los que la participación de los profesores resulta de suma relevancia. En
palabras de Gimeno (1982), la formación del profesorado representa una de las piedras
angulares de cualquier intento de renovación del sistema educativo.
Relevancia de la formación de profesores de matemáticas del nivel superior
A. Torres-Rodríguez
24
1.2 El perfil deseable del profesor de matemáticas en las IES
Si acotamos la problemática al docente de nivel universitario en nuestro país, resulta que
este docente, se caracteriza en general por no tener una formación específica en
pedagogía o en enseñanza, sino que se trata generalmente de profesionistas que dan clase
en una licenciatura similar a la de su campo disciplinar, y en el mejor de los casos dan
clase en la misma carrera que ellos estudiaron. (García et. al. 2005). Es por esta situación
que varios autores han evidenciado la necesidad de que el profesor universitario inicie un
proceso de formación adicional a su campo disciplinar. Escudero (1999) enfatiza que la
atención a la enseñanza en el nivel universitario tiene grandes pendientes, si se compara
con la que han recibido los restantes niveles educativos. Señala también que el nivel
universitario debería “aspirar a un profesor que esté permanentemente abierto a un nivel
más profundo y extenso en su área de conocimiento, así como en las capacidades y
disposiciones que le llevan a participar activamente en la recreación del mismo a través
de la práctica investigadora” (Escudero,1999:136). En este sentido, se ha identificado
que las rutas de formación debe tener dos vertientes: una profundización y/o
actualización de contenidos disciplinares, y otra componente de naturaleza didáctica.
Por otro lado, también se ha identificado la necesidad de que la formación del docente
proporcione al profesor herramientas teórico-metodológicas que lo habiliten en el campo
de la investigación educativa. Varios autores han identificado la estrecha relación entre el
quehacer docente y la investigación educativa (Hidalgo, 1993; Piñero, et al., 2007).
Aunque hay que reconocer que lo que todavía está en una fuerte discusión es la base
teórica de esta relación y la forma en cómo influye la investigación educativa en la
transferencia hacia el quehacer docente. Sin embargo no hay duda que es pertinente que
la investigación educativa forme parte sustantiva de un proceso de formación docente en
general. Así lo plantea Hidalgo (1993):
La formación de maestros que se lleva a cabo en las escuelas normales y los
programas de educación continua, actualización y capacitación para docentes en
servicio, en las universidades y otros centros de educación superior, han asumido,
Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores
25
en efecto, algunos criterios teórico-metodológicos propios de la investigación
como elementos sustantivos.
Asumida entonces la importancia de la investigación como eje central dentro de un
proceso de formación docente, surge la necesidad de configurar e insertar en el currículo
competencias investigativas en el proceso de formación de los docentes. Para Piñero et al.
(2007):
La tarea de investigar ya no es función exclusiva de los laboratorios o grupos de
investigación, y en la actualidad el proceso de investigación está orientado a
recuperar la capacidad de cuestionamiento, crítica y construcción de
conocimiento en el aula de clase (p. 177).
Se ha identificado también que se requiere que los programas de formación tengan una
estructura flexible que pueda permitir una serie de modificaciones y/o adaptaciones que
dependen finalmente del entorno en dónde se pretenda implementar. También hay que
considerar que para los docentes en servicio activo, no siempre resulta viable poder
acceder a programas más estructurados como es el caso de los posgrados, debido a
limitaciones de tiempo y también a factores económicos, esto es el acceso a becas y/o
planes de financiamiento por parte de su propio centro de trabajo o de las instituciones
que lo proporcionan. A este respecto Braslavsky (1999) señala que:
Los profesores que recibieron su formación de grado en la universidad tienen la
oportunidad de realizar cursos de perfeccionamiento docente en cualquier
institución, e incluso la posibilidad de hacer estudios de postgrado más
sistemáticos, como maestrías y doctorados diversos. Estas oportunidades cuentan
con la ventaja de ser altamente formalizadas y estructuradas. Su desventaja es que
no especializan a los profesores como docentes (p. 34).
Tal como lo señala esta autora, encontramos otra razón para resaltar la importancia de un
proyecto de formación docente que considere aspectos de la investigación educativa: la
mayoría de los estudios de posgrado tienen como propósito dotar a los estudiantes de
Relevancia de la formación de profesores de matemáticas del nivel superior
A. Torres-Rodríguez
26
mayores conocimientos dentro de su perfil profesional, esto es, atienden en mayor
medida contenidos curriculares que apuntan hacia una mayor especialización en su área
de conocimientos disciplinares, pero no abordan en forma suficiente los aspectos
pedagógicos necesarios para completar la formación que la labor docente requiere.
En este mismo sentido, una propuesta de formación docente debe considerar dichas
limitaciones, ofreciendo en contraparte una mayor flexibilidad y tomar en consideración
las condiciones laborales del entorno de los profesores, los espacios adecuados y los
mecanismos de gestión necesarios para poder implementar estos procesos de forma
satisfactoria. Es así como Piñero et al. (2007) resaltan un perfil deseable del docente con
este tipo de formación:
El docente, entonces, debe ser capaz de elaborar cooperativamente, un proyecto
educativo y un proyecto pedagógico para su escuela; que sepa buscar y
seleccionar la información, que sea capaz de identificar las necesidades básicas de
aprendizaje de sus alumnos y convertirlas en currículo para la enseñanza; que sabe
organizar el trabajo en grupo entre sus alumnos, y participar y cooperar él mismo
en el trabajo grupal con sus colegas; que tiene la capacidad para reflexionar crítica
y colectivamente sobre su rol y sobre su práctica (p. 179).
1.3 Los aportes desde la matemática educativa.
Desde el campo de la educación matemática, se ha señalado también la relevancia de los
conocimientos y características que requiere un docente que enseña matemáticas en los
distintos niveles educativos. Qué tanta importancia tienen los conocimientos de los
docentes de matemáticas lo pone de manifiesto la siguiente aseveración del National
Council of Teachers of Mathematics (NCTM) en un documento denominado Principios y
Estándares para la Educación Matemática, correspondiente al año 2000:
Los estudiantes aprenden matemáticas a través de las experiencias que los
profesores les proporcionen [énfasis agregado]. Así, el entendimiento que los
Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores
27
estudiantes adquieren de las matemáticas, su capacidad para usarlas para resolver
problemas, su confianza en, y su disposición hacia las matemáticas son moldeadas
por las formas de enseñanza que encuentran en la escuela. La mejora de la
educación matemática para todos los estudiantes, requiere una enseñanza efectiva
en todos los salones de clase (NCTM, 2000, p.16).
¿Cuáles son los conocimientos deseables de un profesor de matemáticas? Báez et. al.
(2007) consideran que “los cambios conceptuales requeridos por la escuela, exigen la
redefinición de los roles del profesor….[por lo que] se considera imprescindible su
formación como investigador capaz de diseñar, desarrollar y evaluar estrategias que le
permitan resolver los problemas que la realidad [educativa[ le presenta”. Para la
UNESCO los docentes deben de tener un perfil acorde con las necesidades actuales, por
lo que es necesario que desarrollen y mejoren sus estrategias de enseñanza (Díaz y
Poblete, 2003).
En este sentido se habla de que el docente debe poseer y/o adquirir ciertas características
que le permitan afrontar su labor con mayor eficacia. No se debe olvidar que es el
docente quien desarrolla estrategias o acciones para que los estudiantes aprendan
matemáticas. En este contexto, se han sugerido varias características deseables en el
docente. Además existen otros elementos importantes cuando se analiza el papel del
profesor de matemáticas. Los mismos autores identifican tres aspectos en este sentido, y
que tienen una gran influencia en la práctica docente: las creencias del profesor, su
experiencia y su formación. Como ejemplo de esta incidencia, de las concepciones del
profesor dependen la interpretación y toma de decisiones acerca de las creencias, errores
de aprendizaje u obstáculos epistemológicos que sostengan los estudiantes. Asimismo de
sus concepciones depende el modo en que aborda los contenidos, las situaciones
didácticas que desarrolla y las estrategias que utiliza. Para hacer frente a dichas
exigencias del perfil del docente de matemáticas, investigadores como Barrera y Reyes
(2013), definen que un proceso de formación docente para el área de matemáticas en los
niveles medio superior y superior, debe contener conocimientos estructurados en torno a
tres grandes ejes como mínimo, los conocimientos disciplinares, conocimientos sobre
Relevancia de la formación de profesores de matemáticas del nivel superior
A. Torres-Rodríguez
28
epistemología y conocimientos didácticos sobre los contenidos matemáticos. La
importancia del estudio de la epistemología ha sido puesta en la discusión por teóricos
como Bruno D’Ámore (2004), para quien conocer la epistemología de la matemática es
profundizar sobre la forma en cómo ha evolucionado el conocimiento y el pensamiento
matemáticos, lo que se constituye en una fuerte herramienta para la adecuada
transposición didáctica que se requiere en su enseñanza. En general la formación
matemática y didáctica de los profesores, puede funcionar como campo de acción e
investigación que debe enriquecer a la propia didáctica de la matemática, como campo de
estudio (Godino, 2002).
1.4 Conclusiones.
La revisión de la literatura nos permite definir algunos de los elementos más relevantes
para construir el estado del conocimiento. Dentro de estos elementos tenemos los
siguientes: la importancia de por lo menos dos grandes ejes formativos, el disciplinar y el
pedagógico. Además de los anteriores, la necesidad de incorporar a los procesos de
formación las herramientas teóricas y metodológicas que le permitan habilitarlo en
competencias investigativas. Se considera que la inclusión de tales competencias
permitiría vincular la práctica y la reflexión docente, desde el análisis crítico,
interpretativo y transformacional del quehacer educativo. Resulta entonces pertinente y
necesario que el proceso de formación docente lleve también a la formación de
investigadores educativos que sean capaces de identificar problemas concretos,
abordarlos en forma crítica y poder construir propuestas de solución desde las teorías
educativas hasta su concreción en el trabajo dentro del aula.
Por otro lado, desde la educación matemática se identifica la necesidad de proporcionar a
los docentes de matemáticas una formación que considere el desarrollo de competencias
profesionales que lo habiliten para poder dar respuesta a las problemáticas que en
particular se presentan en la enseñanza de las matemáticas en el nivel superior,
empleando para ello los constructos teórico-conceptuales desarrollados desde este campo
disciplinar.
Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores
29
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Dificultades en la resolución de problemas geométricos con estudiantes normalistas de la especialidad en
matemáticas
Orlando Vázquez Escuela Normal Superior de México, Distrito Federal, México.
Resumen. Aquí interesa dar a conocer las dificultades que tuvieron
nueve estudiantes normalistas del tercer semestre que cursan la Licenciatura en Educación Secundaria con Especialidad en Matemáticas
(LESEM) de la Escuela Normal Superior de México (ENSM), durante el
ciclo escolar: 2014-2015, al aplicarles seis instrumentos con cinco problemas cada uno. Este estudio es de carácter cualitativo (Eisner, 1998;
Carvalho, 2008). Quien esto escribe, fue profesor de los estudiantes
referidos durante el segundo y tercer semestres. Se esperaba que los
estudiantes pudieran resolver los “problemas” propuestos por el docente, pues para su resolución solo se necesitaban conocimiento básicos de
matemáticas, no obstante, se identificó que la mayoría de ellos, carecen
de tales conocimientos, que los conceptos matemáticos aprendidos en los niveles básicos han sido memorizados a corto plazo, quedando al
descubierto un conocimiento inerte (Perkins, 2002), por consiguiente
distan de tener una comprensión de los mismos.
Abstract. Is relevant to publicize the difficulties that had nine third semester student teachers enrolled in the Bachelor of Secondary
Education with Specialization in Mathematics (LESEM) of the Ecole
Normale Superieure in Mexico (ENSM) during the school year: 2014-2015 to apply six instruments with five problems each. This study is
qualitative (Eisner, 1998; Carvalho, 2008). This writer, he taught
students referred during the second and third semesters. It was hoped that students could solve the "problems" proposed by the teacher, because for
resolution only basic knowledge of mathematics is needed, however, it
was identified that most of them lack such knowledge, that mathematical
concepts learned in baselines have been stored in the short term, it has revealed an inert knowledge (Perkins, 2002) thus far to have an
understanding of them.
Dificultades en la resolución de problemas geométricos
O. Vázquez
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1 Introducción
Hoy enfrentamos la disyuntiva, seguir en la zona de confort o ser más competitivos en
todos los sentidos, en el caso particular de los profesores de matemáticas, no solo se
requiere que tengan el dominio de los contenidos a enseñar, sino también ser capaces de
poder enseñar didácticamente mejor, pues ambos aspectos son trascendentes. No es lo
mismo ir a enseñar que saber enseñar un contenido. Plantear y resolver problemas es una
de las competencias que propone la SEP (2006, 2011) en los Planes y Programas de
estudio en la educación básica (primaria y secundaria), en este sentido, ¿qué contenidos
debe tener el curriculum de las escuelas formadoras de docentes con relación a la
resolución de problemas?, ¿qué competencias matemáticas deben ser enseñadas a los
estudiantes para que estos las desarrollen relacionadas con la resolución de problemas?,
¿qué habilidades matemáticas deben enseñarse en la educación básica?, ¿qué tipo de
actividades se deben proponer a los estudiantes para erradicar las dificultades que
presentan al resolver problemas?
1.1 Escenario de la investigación
Cabe señalar, que quien esto escribe fue profesor de los mismos alumnos durante el
segundo semestre correspondiente al ciclo escolar: 2013-2014. Durante el segundo
semestre al igual que el tercero, se aplicaron instrumentos que aludieron a la resolución
de problemas, esto, con la finalidad de identificar el tipo de estrategias que utilizaban los
estudiantes y las dificultades que pudieran tener al resolver problemas.
1.2 Caracterización y estrategia de enseñanza
Se aplicaron seis instrumentos con cinco problemas cada uno, sumando un total de 30
problemas durante el semestre. Las sesiones fueron dos veces a la semana con una
duración de dos horas cada una. El profesor entregaba a cada estudiante una hoja impresa
con demanda de justificación en el tipo de respuestas que los estudiantes otorgaban para
cada problema, esto con el fin de identificar las posibles estrategias o bien, las
dificultades que éstos tenían al resolver los problemas. Se les daba el tiempo necesario
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que los estudiantes solicitaban para resolverlos, una vez que los estudiantes indicaban que
ya habían resuelto los problemas, el profesor les solicitaba a los estudiantes que pasaran
al pizarrón para explicaran a sus demás compañeros la estrategia que habían utilizado. El
profesor también, mostraba la(s) estrategia(s) para que los estudiantes observaran
distintos procedimientos de cómo resolver un “problema”. De acuerdo con Gardner
(2000), para llegar a la comprensión de un concepto o una nueva situación “lo
importante es que los estudiantes exploren con profundidad suficiente un número
razonable de ejemplos para que puedan ver cómo piensa y actúa un científico, un
geómetra” (pág. 137).
1.3 Diseño del cuestionario
En seguida se presentan tres de los treinta problemas que se aplicaron en el instrumento, a
saber:
Problema 1. ¿Cuál es el área de los triángulos ABC y EDC?
Problema 2. ¿Cuál es el área del rectángulo con base en los datos de la figura adjunta?
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Problema 3. Encontrar el área sombreada de la figura adjunta.
1.4 Resultados y evidencias generales del instrumento
En la Figura 1, se puede caracterizar el tipo de respuesta que dio el alumno, sin embargo
no hay más evidencias de la justificación en su respuesta, por lo que es probable que haya
utilizado la expresión para calcular el área del triángulo.
Fig 1. Respuesta incorrecta
Cabe señalar que la respuesta presentada en la Figura 1 es incorrecta, aun cuando aplicó
el teorema de Pitágoras correctamente, el resultado no es el esperado. Asimismo, se
advierte la falta de dominio de las habilidades matemáticas tales como la medición,
imaginación espacial e inferir datos, principalmente. Por otra parte, se prescindió de
razonamientos analítico y deductivo.
El problema 2, causó también dificultades.
Fig 2. Respuesta otorgada para el problema 2
Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores
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La Figura 2, permite advertir que el estudiante considera el largo del rectángulo como el
doble del ancho, pues es el dato que tiene a la vista, sin embargo, se puede interpretar que
este estudiante al igual que otros, no recurren a la habilidad matemática de la imaginación
espacial, la medición de manera correcta, así como a inferir datos en el problema
planteado.
Otro estudiante recurrió a la regla de tres, sin embargo, aplicó de manera equivocada tal
propiedad, pues éste consideró a los lados y ángulos del rectángulo, por lo que, lo
conllevó a dar una respuesta incorrecta.
Fig 3. Aplicación de la regla proporcional de manera incorrecta en el problema 2
Fig 4. Respuesta incorrecta para el problema 3
1.5. Alcances y limitaciones
Respecto a los alcances logrados, se puede señalar que los estudiantes resolvieron
distintos problemas de carácter geométrico principalmente; además observaron cómo
resolvieron cada uno de los problemas planteados con sus compañeros de clases, también
pudieron apreciar las estrategias que el docente titular utilizó para resolver problemas, y
que además dio sugerencias de que aspectos son necesarios considerar antes de resolver
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un problema, pues en cada sesión el docente explicaba que antecedentes se necesitaban
para resolver tales problemas y daba sugerencias de cómo poder explicarlos a sus futuros
estudiantes de nivel secundaria. También cabe señalar, que debido a que mostraron desde
un principio carencias en el dominio de conocimientos básicos de matemáticas, quien
escribe este documento, solicito a los estudiantes que resolvieran en el segundo semestre
un libro de ejercicios de primer grado de secundaria, y en el tercer semestre se les pidió
que resolvieran el correspondiente a segundo grado; esto con la finalidad de que
recordaran conocimientos olvidados (Perkins, 2002); sin embargo, muchos estudiantes,
con el fin de ganar el 10% de su calificación entregaron los libros contestados, pero para
su llenado, solo en algunos casos, se dedicaban a copiar a otros compañeros, por lo que,
en lugar de “aprender” y recordar conceptos olvidados, solo arraigaban más dichos
conocimientos.
En lo que se refiere a las limitaciones, podemos subrayar que el Plan de Estudios actual
(SEP, 1999) que cursan los estudiantes de la LESEM de la ENSM no contempla de
manera sistemática la resolución de problemas, por lo que, a lo largo de los distintos
semestres, es necesario que los estudiantes lleven asignaturas específicas que aludan a la
resolución de problemas, pues, en este caso en particular, quien esto escribe, se dio a la
tarea de abrir un espacio en su Plan de Trabajo Semestral incluyendo la resolución de
problemas que aludieran al desarrollo de habilidades matemáticas.
1.6. A modo de conclusiones
Si bien es cierto, que los estudiantes ya han cursado por distintos niveles de escolaridad
básicos, no tienen un dominio de aspectos de la matemática básica, esto trae como
consecuencia, que los alumnos carezcan de estrategias para resolver problemas. Pues en
este estudio, queda al descubierto, que tuvieron dificultades en la aplicación de la ley de
los signos, propiedades de la igualdad, leyes de los exponentes, factorización de números
primos, factorización de leyes de los exponentes, entre otros aspectos de las matemáticas.
Por otra parte, los estudiantes de la LESEM muestran poco interés por erradicar sus
dificultades para resolver problemas, pesé a que saben que carecen del dominio de
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conocimientos básicos, no muestran el más mínimo interés por estudiar de manera
autónoma, pues, a pesar de darles recomendaciones para que erradiquen sus dificultades a
través de la resolución de libros de ejercicios de nivel de secundaria, y de que consulten
libros para resolver problemas, pareciera que no les interesa saber un poco más sobre el
tema, pues concentran su atención en solo pasar el semestre con la calificación que sea,
esto con la esperanza de que tarde o temprano serán profesores de educación básica. Una
vez más, podemos advertir que las nuevas generaciones de futuros docentes son alumnos
que no estudian la profesión de ser docentes por convicción, pues, de manera informal se
ha podido constatar de que muchos de los alumnos que estudian la LESEM en la ENSM
han sido rechazados de otras escuelas, o bien, se dicen ser hijos de profesores, o porque
ya no tenían otra opción para seguir estudiando, o bien, argumentan que quieren ser
docentes porque los profesores tienen muchas “vacaciones”.
Referencias
Carvalho, M. “Investigación cualitativa en educación matemática”. México, Limusa,
2008.
Eisner, E. “El ojo ilustrado. Indagación cualitativa y mejora de la práctica educativa”.
España, Paidós, 1998.
Gardner, H. “La educación de la mente y el conocimiento de las disciplinas”. España,
Paidós, 2000.
Perkins, D. “La escuela inteligente: del adiestramiento de la memoria a la educación de
la mente”. Barcelona, Gedisa Editorial, 2002.
SEP. “Plan de estudios 1999. Documentos básicos. Licenciatura en educación
secundaria”. Programa para la Transformación y el Fortalecimiento Académicos
de las Escuelas Normales, 1999.
SEP. “Programas de Estudio. Educación Básica. Secundaria”. Dirección General de
Desarrollo Curricular. Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la
Secretaría de Educación Pública, México, 2006.
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SEP. “Programas de Estudio. Educación Básica. Secundaria”. Dirección General de
Desarrollo Curricular. Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la
Secretaría de Educación Pública. México, 2011.
NUEVAS TECNOLOGÍAS
EN LA ENSEÑANZA Y
EL APRENDIZAJE
VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa para Profesores
2015. En Rondero, C., Tarasenko, A., Reyes, A., Acosta, J. A., Karelin, A., Campos, M.
y Torres, A. (Eds.), Memorias del VII Coloquio Internacional de Matemática Educativa
Para Profesores (pp. 41-48). Pachuca: México. ISBN: En trámite.
El pensamiento crítico en la selección de contenidos
matemáticos de un MOOC de precálculo
Juan Alberto Acosta1 y Anna Tarasenko
2
Universidad Autónoma del Estado de Hida
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