División Sintetica.
La division sintetica es un algoritmo rapido para verificar la divisibilidad de un polinimio en terminos de x por un binomio de la forma x+a.
Considere, por ejemplo dividir el polinomio 3 x2+2 x−8 entre x+2
Se toman los coeficientes del polinomio y se ordenan respecto a los exponentes de la variable, al final se coloca el término constante con el signo invertido, se aconseja formar una relación como se muestra a continuación
Coeficientes del polinomio
x2 x1 x0
3 +2 −8❑ |−(+2 ) términoindependiente del binomiodivisor
Se baja el primer coeficiente, correspondiente al termino con el mayor exponente, este se multiplica por le valor que resulto a la derecha (que es -2)
x2 x1 x0
3 +2 −8↓ −6 ¿
3 −4 ¿|−2 terminoindependiente del binomiodivisor ¿¿
(3 ) (−2 )=−6 Elresultado se sumaa la2da . columna
El resultado de esta operación se suma al coeficiente de la siguiente columna
x2 x1 x0
3 +2 −8↓ −6 +8
3 −4 ¿|−2(termino independiente delbinomio divisor )¿
(−4 ) (−2 )=+8El resultado se sumaa la3er . columna
Este resultado se vuelve a multiplicar por el valor que resulto a la derecha, y el resultado se suma al coeficiente de l atercer columna
x2 x1 x0
3 +2 −8↓ −6 +83 −4 0
Los valores 3 y - 4 corresponden a los coeficientes del cociente, el exponente de la literal se reduce en uno respecto de la columna en la que se encuentra, es decir:
3 x−4
Éste es el resultado de dividir 3 x2+2 x−8 entre x+2 con residuo 0.
Éste metodo es aplicable a cualquier polinomio para buscar sus factores, para encontrar los binomios que se pueden dividir al polinomio se prueba con los factores positivos y negativos del término constante del polinomio, y en caso de que el coeficiente del término literal de mayor exponente no sea uno, los factores también incluyen las fracciones.
Por ejemplo:
Se desea encontrar los bonomios que factorizan el polinomio x3+4 x2−x−10.
Los binomios que dividen al polinomio x3+4 x2−x−10 podrían ser los binomios con la combinación de todos los factores positivos y negativos de -10 (termino constante), es decir:
x−10 x−5x+1 x+2
x−2 x−1x+5 x+10
La recomendación es comenzar la prueba de divisibilidad por los factores primos o el factor que involucra la unidad.
Dividir x3+4 x2−x−10 por x−2
x3 x2 x1
1 4 −1
+2 ¿x0
−10+22
1 +6+11 +12|+2 ¿
El binomio x – 2 no divide de forma exacta a x3+4 x2−x−10 ya que el residuo es
igual a 12, es decir que el resultado es igual a x2+6 x+11+12x−2 .
Entonces, dividir x3+4 x2−x−10 por x+2
x3 x2 x1
1 4 −1
−2 ¿x0
−10+10
1 +2−5 0|−2¿
El binomio x+2divide de forma exacta a x3+4 x2−x−10 ya que el residuo es igual a cero, el cociente de la division es igual a x2+2x−5.
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