Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con fracciones algebraicas y radicales Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
1
OPERACIONES CON FRACCIONES
ALGEBRAICAS Y RADICALES
UNIDAD VI VI.1 TEOREMAS DEL RESIDUO Y DEL FACTOR Sea un polinomio en x de la forma:
( ) 013
32
21
1 axaxaxaxaxaxP nn
nn
nn
nn ++⋅⋅⋅++++= −
−−
−−
−
donde 021 ,,,, aaaa nnn L−− son coeficientes numéricos y ∈n N,
se dice que ∈c R es un cero o raíz, de ( )xP si y sólo si ( ) 0=cP . Es decir, la raíz de un polinomio es
el número que toma la variable para que el valor numérico de ( )xP sea cero. Ejemplos.
1) En el polinomio ( ) 12 −= xxP , sus raíces son:
1=x ya que ( ) ( ) 011111 2 =−=−=P
1−=x ya que ( ) ( ) 011111 2 =−=−−=−P
2) En el polinomio ( ) xxxP −= 24 , sus ceros son:
0=x ya que ( ) ( ) 0000040 2 =−=−=P
4
1=x ya que 04
1
16
4
4
1
4
14
4
12
=−=−
=
P
3) En el polinomio ( ) xxxxP 65 23 +−= , sus raíces son:
0=x ya que ( ) ( ) ( ) 0000060500 23 =+−=+−=P
2=x ya que ( ) ( ) ( ) 012208262522 23 =+−=+−=P
3=x ya que ( ) ( ) ( ) 0184527363533 23 =+−=+−=P Algoritmo de la división para polinomios
Dados dos polinomios ( )xP (llamado dividendo) y ( )xQ (llamado divisor) de modo que el grado del
dividendo sea mayor que el grado del divisor y ( ) 0≠xQ .
Entonces, para ( )( )xQ
xP existen dos polinomios únicos ( )xc y ( )xr tales que cumplen con:
( ) ( ) ( ) ( )xrxcxQxP +⋅=
El polinomio ( )xc se llama cociente y ( )xr es el residuo de la división cuyo grado es menor que el de ( )xP .
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2
Sean un polinomio ( )xP de grado 1≥n y ∈a R. Teorema del residuo Si el polinomio ( )xP se divide por ax − , entonces el residuo es ( )aP .
Demostración:
Si se divide ( )xP entre ax − se tiene:
( ) ( )( ) RaxxQxP +−=
donde ( )xQ es el cociente y R es el residuo.
Si ahora se evalúa ax = se obtiene:
( ) ( )( ) RRRaaaQaP =+=+−= 0
De donde ( )aP es el residuo. Ejemplo.
Sea el polinomio: ( ) 11594 23 −+−= xxxxP , comprobar el teorema de residuo si se divide por 2−x . Solución. Dividiendo el polinomio por 2−x :
34
5
63
113
2
115
84
115942
2
2
2
23
23
+−
−+−−
−−+−
+−
−+−−xx
x
x
xx
xx
xx
xxxx
ahora, evaluando para 2=x :
( ) ( ) ( ) ( ) 511103632112529242 23 −=−+−=−+−=P
Los resultados son iguales, lo que comprueba el teorema del residuo. Teorema del factor Si a es una raíz del polinomio ( )xP , entonces ax − es un factor del polinomio. O bien, si ax − es un
factor de ( )xP , entonces a es una raíz del polinomio. Esto es:
( ) axaP −⇔= 0 es un factor de ( )xP . Demostración:
Si ax − es factor de ( )xP entonces se cumple que: ( ) ( )( )axxQxP −= porque ( ) ( )( ) 0=−= aaaQaP
por lo tanto, a es raíz de la ecuación ( ) 0=xP .
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Pero si a es raíz de la ecuación ( ) 0=xP , esto implica que ( ) 0=aP Si se aplica el teorema del residuo se tiene que:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )axxQaxxQaPaxxQxP −=+−=+−= 0
por lo tanto ax − es factor de ( )xP . Ejemplo
Determinar si 2+x es factor del polinomio ( ) 104 23 −−+= xxxxP Solución: Si 2+x es factor, 2−=x es raíz, entonces debe cumplir que el residuo sea cero:
( ) ( ) ( ) ( ) 01021681022422 23 =−++−=−−−−+−=−P
Por lo tanto, 2+x es factor del polinomio Comprobando:
52
0
105
105
42
102
2
1042
2
2
2
23
23
−+
+−−
−−
−−
−−
−−++xx
x
x
xx
xx
xx
xxxx
Por lo tanto se cumple que: ( )( )252104 223 +−+=−−+ xxxxxx . División sintética
Por el teorema del residuo, si a es una raíz del polinomio ( )xP , entonces ( )xP es divisible por ax − ,
pues el residuo de dividir ( )xP entre ax − es cero. A cada uno de las raíces se les designa por
nx,,x,x,x L321 .
Esto es, dado el polinomio ( ) 013
32
21
1 axaxaxaxaxaxP nn
nn
nn
nn ++⋅⋅⋅++++= −
−−
−−
− , entonces se
puede factorizar como: ( ) ( )( )( ) ( )nxxxxxxxxxP −−−−= L321 , es decir, un polinomio de grado n
tiene exactamente n raíces. La principal razón de factorizar un polinomio es encontrar sus raíces. Generalmente, para reconocer las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene en cuenta que éstas son divisores del término
independiente. Así, las raíces enteras del polinomio ( ) 12496 234 −++−= xxxxxP están entre los
divisores de 12 . Por lo tanto, pueden ser raíces de ( )xP los números 126644332211 ,,,,,,,,,, −−−−−
y 12− . En el polinomio anterior, si se prueba para 1=x :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 41249611214191611 234 −=−++−=−++−=P , puesto que el residuo es distinto de
cero, se concluye que ( )xP no es divisible por 1−x .
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4
Ahora, si se prueba para 1−=x :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01249611214191611 234 =−−++=−−+−+−−−=−P , puesto que el residuo es cero,
se concluye que ( )xP es divisible por 1+x . Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando un algoritmo llamado Regla de Ruffini que aplica el teorema del residuo verificando cual de estos valores da como residuo cero. Este es un procedimiento que permite hallar el cociente y el residuo sin efectuar la secuencia descrita anteriormente. Esta regla aplica sólo si el divisor es un polinomio de la forma ax − . En general, la división sintética es un procedimiento abreviado para realizar la división de un polinomio de
la forma ( ) 013
32
21
1 axaxaxaxaxaxP nn
nn
nn
nn ++⋅⋅⋅++++= −
−−
−−
− entre un polinomio lineal
expresado como ax − y sólo sirve para obtener las raíces enteras. La metodología para encontrar las raíces enteras de un polinomio mediante la división sintética es la siguiente: • La disposición práctica requiere que en un primer renglón se escriban los coeficientes del dividendo
ordenado de forma descendente y completo hasta el término independiente. A la izquierda de una línea
vertical se escribe un valor de prueba como probable raíz, que como ya se mencionó es un divisor de 0a .
• El primer coeficiente del dividendo se copia abajo en una tercera fila en la misma columna. Se multiplica el valor de prueba por el primer coeficiente de la tercera fila y el resultado se escribe debajo del siguiente coeficiente del dividendo.
• Se suman los coeficientes de la segunda columna y el resultado se escribe en la tercera fila. • El resultado obtenido en el paso anterior reinicia el ciclo: se multiplica por el valor de prueba y el
resultado se escribe debajo del siguiente coeficiente del dividendo. Nuevamente se suman los coeficientes de la tercera columna y el resultado se escribe en la tercera fila
• El proceso continúa hasta que se obtenga el resultado de la última columna. Este valor es el residuo. Si es cero entonces el valor de prueba es una raíz del polinomio
• De no ser una raíz, se repite la metodología con otro valor de prueba hasta encontrar un valor cuyo residuo sea cero.
• Cuando el residuo es cero, los valores de la tercera fila representan los coeficientes del polinomio reducido y se efectúa el mismo procedimiento con estos coeficientes hasta que se llegue a un polinomio de grado uno, a fin de que se pueda despejar x para obtener la última raíz.
Ejemplo. Encontrar las raíces enteras de los siguientes polinomios:
1) 062 =−− xx Solución. Las posibles raíces son: 6332211 ,,,,,, −−− y 6−
Probando con 1=x :
601
01
611
1
−
−−
Por lo tanto, no es raíz. Probando con 3−=x :
641
123
611
3
−−
−−−
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5
Por lo tanto, no es raíz. Probando con 3=x :
021
63
611
3
−−
La primera raíz es 31 =x
El polinomio reducido que queda es: 02 =+x
despejando se tiene la segunda raíz: 22 −=x
2) 0242242 23 =+−− xxx Solución. Las posibles raíces son: 241212886644332211 ,,,,,,,,,,,,,, −−−−−−− y 24− .
Probando con 4−=x :
8026122
104488
242242
4
−−−−
−−−
Por lo tanto, no es raíz. Probando con 1=x :
02422
2422
242242
1
−−−−
−−
La primera raíz es 11 =x Trabajando ahora con el polinomio reducido: Probando con 2=x :
2022
44
2422
2
−
−−
Por lo tanto, no es raíz. Probando con 4=x :
062
248
2422
4
−−
La segunda raíz es 42 =x
El polinomio reducido que queda es: 062 =+x
despejando se tiene la tercera raíz: 33 −=x
3) 015133 23 =+−− xxx Solución. Las posibles raíces son: 15553311 ,,,,,, −−− y 15− .
Probando con 1−=x :
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6
24941
941
151331
1
−−−
−−−
Por lo tanto, no es raíz. Probando con 3=x :
241301
3903
151331
3
−−−
−−
Por lo tanto, no es raíz. Probando con 5=x :
0321
15105
151331
5
−−
−−
La primera raíz es 51 =x Por lo tanto, no es raíz. Probando con 1=x :
031
31
321
1
−
La segunda raíz es 12 =x
El polinomio reducido que queda es: 03 =+x
despejando se tiene la tercera raíz: 33 −=x
4) 048282642 234 =+−−+ xxxx Solución. Las posibles raíces son: 48242416161212886644332211 ,,,,,,,,,,,,,,,,,, −−−−−−−−− y 48− .
Probando con 1=x :
0482062
482062
48282642
1
−−−−
−−
La primera raíz es 11 =x Trabajando ahora con el polinomio reducido: Probando con 2=x :
480102
0204
482062
2
−
−−
Por lo tanto, no es raíz. Probando con 3=x :
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7
016122
48366
482062
3
−−
La segunda raíz es 32 =x Trabajando ahora con el polinomio reducido: Probando con 1−=x :
6102
102
16122
1 −−−
Por lo tanto, no es raíz. Probando con 4−=x :
042
168
16122
4 −−−
La tercera raíz es 43 −=x
El polinomio reducido que queda es: 042 =+x
despejando se tiene la cuarta raíz: 24 −=x
VI.2 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica racional es el cociente de dos polinomios:
( )( )xQ
xP
Las expresiones racionales tienen las mismas propiedades que los números racionales. Como no se puede dividir por cero, las sustituciones de variables que hacen que el denominador sea cero no son aceptables. Ejemplos.
1) En la expresión racional x
xx 753 2 −+, x no puede ser 0
2) En la expresión racional 2+x
x, x no puede ser 2−
3) En la expresión racional yx −
4, x no puede ser igual a y .
Una expresión racional está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes diferentes de 1 y 1− Ejemplos.
1) La fracción x
x
5
6+ es su mínima expresión ya que ni 5 ni x son factores de 6+x
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8
2) La fracción ( )( )2
27
−−
xx
x no es su mínima expresión ya que 2−x es un factor común del numerador y del
denominador. Para simplificar expresiones racionales, se procede de forma similar a cuando se simplifican números racionales, es decir, se factoriza el numerador y el denominador. Los factores se simplifican hasta 1. La expresión simplificada es igual a la no simplificada excepto para aquellos valores en los que el factor que se cancele sea igual a cero. Ejemplos. Simplificar las siguientes expresiones racionales:
1) x
x
4
84 −
( )x
x
x
x
x
x 2
4
24
4
84 −=−=−
2) 23
12
2
++−xx
x
( )( )( )( ) 2
1
21
11
23
12
2
+−=
++−+=
++−
x
x
xx
xx
xx
x
3) 156
25
−−
x
x
( )( )
( ) 3
1
523
521
523
25
156
25 −=−−−=
−−=
−−
x
x
x
x
x
x
4) 484
141222
2
++−−
xx
xx
( )( )
( )( )( )( ) ( )12
7
114
712
124
762
484
141222
2
2
2
+−=
++−+=
++−−=
++−−
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
5) ( )( )
( ) ( )yxyx
yxyxyx
126
21232
2222
+−+−−
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( )( )
( )6
23
26
223
26
43
126
21232
222
2
2222 yx
yx
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
yxyxyx −=+
−+=+−−−=
+−+−−
2
2yx −=
6) x
xx 22 −
En esta expresión racional x no puede ser 0 , y como es el factor que se cancela entonces se cumple que:
( )2
222
−=−=−x
x
xx
x
xx porque 0≠x .
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9
Para sumar fracciones se efectúa el mismo procedimiento que se emplea cuando se suman números racionales. En general: • Se reducen las fracciones lo más posible. • Se descomponen los denominadores • Se halla el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores, obteniendo así el denominador
común. • Para hallar el numerador resultante, se divide el MCM por el denominador y se multiplica el cociente
obtenido por el numerador correspondiente, esto convierte al numerador en un polinomio que debe descomponerse en factores para finalmente simplificar.
Ejemplos. Efectuar las operaciones algebraicas siguientes:
1) 6
23
4
2 ++− xx
Solución. Se obtiene el MCM de los denominadores: 12 :
( ) ( )12
29
12
4663
12
23223 −=++−=++−= xxxxx
12
29
6
23
4
2 −=++−∴ xxx
2) 30
4
15
2
12
xyyxyx −+++−
Solución. Se obtiene el MCM de los denominadores: 60 :
( ) ( ) ( )60
42245 xyyxyx −+++−
reduciendo:
60
5
60
824855 yxxyyxyx +=−+++−
60
5
30
4
15
2
12
yxxyyxyx +=−+++−∴
3) 9
12
3
5
3
22 −
+−
++ a
a
a
a
a
a
Solución. Se descompone el tercer denominador en sus factores:
( )( )33
12
3
5
3
2
−++
−+
+=
aa
a
a
a
a
a
se obtiene el MCM de los denominadores: ( )( )33 −+ aa :
( ) ( )( )( )33
125323
−++++−=
aa
aaaaa
eliminando paréntesis:
( )( ) ( )( )33
217
33
1215562 222
−++=
−++++−=
aa
aa
aa
aaaaa
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10
factorizando: ( )
( )( ) 3
7
33
37
−=
−++=
a
a
aa
aa
3
7
9
12
3
5
3
22 −
=−
+−
++
∴a
a
a
a
a
a
a
a
4) 96
3
9
3
4
2222 ++
++−−+
−+
xx
x
x
x
x
x
Solución. Se descomponen los denominadores en sus factores:
( )( ) ( )( ) ( )23
3
33
3
22
2
+++
−+−+
−++=
x
x
xx
x
xx
x
reduciendo:
3
1
3
1
2
1
++
++
−=
xxx
se obtiene el MCM de los denominadores: ( )( )32 +− xx :
( ) ( ) ( )( )( )32
223
+−−+−++
xx
xxx
eliminando paréntesis:
( )( )32
13
+−−xx
x
( )( )32
13
96
3
9
3
4
2222 +−
−=++
++−−+
−+∴
xx
x
xx
x
x
x
x
x
5) 23
1
6
3
107
5222 ++
++−−
−+++
+aa
a
aa
a
aa
a
Solución. Se descomponen los denominadores en sus factores:
( )( ) ( )( ) ( )( )21
1
23
3
25
5
++++
+−−+
+++=
aa
a
aa
a
aa
a
reduciendo:
2
1
2
1
2
1
++
++
+=
aaa 2
3
+=
a
2
3
23
1
6
3
107
5222 +
=++
++−−
−+++
+∴aaa
a
aa
a
aa
a
6) 1
12
2
2 −−−
+ x
x
xx
x
Solución. Se descomponen los denominadores en sus factores:
( ) ( )( )11
1
1
2
−+−−
+=
xx
x
xx
x
se obtiene el MCM de los denominadores: ( )( )11 −+ xxx :
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11
( ) ( )( )( )11
11 2
−+−−−=
xxx
xxxx
eliminando los paréntesis y ordenando:
( )( ) ( )( ) ( )( )11
2
11
2
11
233232
−+−+=
−++−=
−++−−=
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxx
factorizando el numerador y simplificando:
( )( )( )
( )( )( )( ) 1
2
11
12
11
22
++=
−+−+=
−+−+=
x
x
xxx
xxx
xxx
xxx
1
2
1
12
2
2 ++=
−−−
+∴
x
x
x
x
xx
x
7) yx
yx
yx
yx
6622
22
−−+
−+
Solución. Se descomponen los denominadores en sus factores:
( ) ( )yx
yx
yx
yx
−−+
−−=
62
22
se obtiene el MCM de los denominadores: ( )yx −6 :
( ) ( )( )yx
yxyx
−−+−=
6
3 22
factorizando el numerador y simplificando: ( ) ( )( )
( )( )( )
( ) 6
3
6
3
6
3 yx
yx
yxyx
yx
yxyxyx ++=−
++−=−
−++−=
6
3
6622
22 yx
yx
yx
yx
yx ++=−−+
−+∴
Para multiplicar expresiones racionales se procede de forma similar que con los números racionales. Ejemplos. Multiplicar las siguientes expresiones algebraicas:
1)
−−
+−−−
5
2
44
1032
2
x
x
xx
xx
Solución. Se descompone la fracción en sus factores:
( )( )( )( ) 5
2
22
25
5
2
44
1032
2
−−⋅
−−+−=
−−
+−−−
x
x
xx
xx
x
x
xx
xx
simplificando:
2
2
−+=
x
x
2
2
5
2
44
1032
2
−+=
−−⋅
+−−−∴
x
x
x
x
xx
xx
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12
2) ( )446
12102 22
2
++−−+−
yyyy
yy
Solución. Se descompone la fracción en sus factores:
( )( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )4423
23244
23
652 222
+++−−−=++
+−+−= yy
yy
yyyy
yy
yy
factorizando el trinomio: ( )( )
( )( ) ( )( )2223
232 +++−−−
yyyy
yy
simplificando: ( )( )222 +−= yy
( ) ( )( )222446
12102 22
2
+−=++−−+−∴ yyyy
yy
yy
3) ( )
+−
+++
yx
yx
yx
yxyx
22
6126 22
2
22
Solución. Tomando como factor común al 6 en el numerador de la primera fracción y al 2 en el denominador de la segunda:
( )( ) ( )
+−
+++=
yx
yx
yx
yxyx
2
26 22
2
22
factorizando:
( )( )
( )( )( )
+−+
++=
yx
yxyx
yx
yx
2
62
2
simplificando:
( )yx −= 3
( ) ( )yxyx
yx
yx
yxyx −=
+−
+++∴ 3
22
6126 22
2
22
4)
++−
+−++
−+−
5
149
56222
2510
103
832 2
2
2
2 a
aa
aa
aa
aa
a
Solución. Tomando como factor común al 8− en el numerador de la primera fracción y al 2 en el denominador de la segunda:
( )( )
++−
+−++
−+−−=
5
149
28112
2510
103
48 2
2
2
2 a
aa
aa
aa
aa
a
factorizando:
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )
+−−
−−++
−+−−=
5
72
472
55
25
48
a
aa
aa
aa
aa
a
simplificando:
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con fracciones algebraicas y radicales Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
13
42
8 −=−=
45
149
56222
2510
103
832 2
2
2
2−=
++−
+−++
−+−∴
a
aa
aa
aa
aa
a
Para dividir expresiones racionales se procede de la misma forma que se efectúa con los números racionales. Para dividir expresiones racionales, se multiplica la primera expresión por el recíproco del divisor. Ejemplos. Dividir las siguientes expresiones algebraicas:
1)
6
53
15
2
4
x
x
Solución. Simplificando:
( )( )
22
4
2
4
615
90
53
615x
x
x
x
x ==
22
4
6
6
53
15
xx
x
=∴
2)
12
11
33
2
2
+−+−+
xx
xx
x
Solución. Factorizando las fracciones al máximo:
( )( )( )
( )( )11
111
13
−−+
−++
xx
xxx
x
simplificando: ( )( )( )( )( )( )
( )1
13
111
1113
+−=
+−+−−+=
x
x
xxx
xxx
( )1
13
12
11
33
2
2
+−=
+−+−+
∴x
x
xx
xx
x
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con fracciones algebraicas y radicales Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
14
3)
1
641515
302023
2
+−
+−
x
xxx
xx
Solución. Factorizando las fracciones al máximo:
( )( )
( )1
322115
32102
+−+−
=
x
xxx
xx
simplificando: ( )( )( ) ( ) xx
x
xxx
xxx
3
1
30
10
322115
1321022
==−+
+−=
4)
xa
a
xa
axa
a
xa
a
++
−
+−
+ 22
Solución.
El MCM de xa + y de xa 22 + es: xa 22 + , por su parte, el MCM de xa − y xa + es: ( )( )xaxa +− , por lo que escribiendo la expresión como el cociente de dos fracciones se tiene:
( ) ( )( )( )xaxa
xaaaxaxa
aa
+−−++
+−
= 22
2
reduciendo:
( )( ) ( )( )xaxa
axa
a
xaxa
axaaxaxa
a
+−
+=
+−−++
+=222 22222
factorizando:
( )
( )( )
( )( )( ) 22 222
2axa
xaxaa
xaxa
a
xa
a
++−=
+−
+=
simplificando: ( )
a
xa
4
−=
a
xa
xa
a
xa
axa
a
xa
a
422 −=
++
−
+−
+∴
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con fracciones algebraicas y radicales Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
15
VI.3 OPERACIONES CON RADICALES Un radical es cualquier raíz indicada de una expresión. La radicación es la operación inversa de la
potenciación y se representa por el símbolo n , donde n es el índice del radical y dentro se ubica una
expresión denominada subradical. Para resolver una raíz, se busca una cantidad que elevada a un exponente igual al índice del radical sea igual al subradical. El radical puede ser racional si la raíz indicada es exacta o irracional si no lo es. Ejemplos.
1) El subradical de la expresión 35 +x es 35 +x
2) 216x es un radical racional porque su resultado, x4 , es exacto.
3) 3 417x es un radical irracional porque su resultado no es exacto.
5) 4 46 dc − es un radical de cuarto grado
En los radicales de segundo grado se omite su índice, esto es: 2 aa = .
Si ba n = , a es una raíz enésima de b . Ejemplos
1) Si 932 = entonces 3 es una raíz cuadrada de 9
2) Si 62554 = entonces 5 es una raíz cuarta de 625
Si n es par, 0≥na , por lo que un número negativo no puede tener raíz enésima . Ejemplos
1) Si 16− no tiene raíz cuadrada en R.
2) Si 6 64− no tiene raíz sexta en R.
Si n es par y nab = , también ( )nab −= , así que b tiene dos raíces enésimas, a y a− . Ejemplos
1) Como 2552 = y ( ) 255 2 =− , 5 y 5− son raíces cuadradas de 25 .
2) Como 8134 = y ( ) 813 4 =− , 3 y 3− son raíces cuartas de 25 . Si n es impar, todo número real tiene exactamente una raíz enésima. Ejemplos
1) 62163 = .
2) 2325 −=−
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16
Si 0≥b , hay una única raíz enésima no negativa de b representada por n b Ejemplo.
Si 2749 = , entonces 7 es una raíz cuadrada de 49 y como ( )2749 −= , 7− es otra raíz cuadrada de
49 . Pero 49 denota exclusivamente a la raíz no negativa de 49 . Si ∈≥ n,m,x 0 N, a ley de exponentes fraccionarios establece que:
n mn
m
xx = Esto es, cualquier expresión elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador y el subradical es la misma expresión elevada a la potencia que tiene el numerador.
En el caso particular, si nm = , se tiene que: n nxx = Los radicales cumplen con las siguientes propiedades: 1) El producto de dos radicales de un mismo índice es igual a la raíz del producto de los subradicales.
Esto es: nnn baba ⋅=⋅ si ∈>> n,b,a 00 N. 2) El cociente de dos radicales de un mismo índice es igual a la raíz del cociente de los subradicales.
Esto es: nn
n
b
a
b
a = si ∈>> n,b,a 00 N.
3) Un radical de índice n elevado a una potencia m equivale a una raíz de índice n y de subradical
elevado a la potencia m . Esto es: ( ) n mmn aa = si ∈> n,m,a 0 N.
4) La raíz de índice m de un radical de índice n es equivalente a una raíz de índice n de un radical de
índice m y es igual a una raíz de índice nm ⋅ . Esto es: nmn mm n aaa ⋅== si ∈> n,m,a 0 N. Es importante notar que la suma algebraica de dos radicales de cualquier índice no es igual a la raíz de la
suma algebraica de los subradicales. Es decir: nnn baba ±≠± De acuerdo con la ley de exponentes fraccionarios y de las propiedades de los radicales, el objetivo de simplificar un radical es expresarlo en su forma más simple. Es decir, un radical está simplificado cuando: • No se puede extraer ningún factor del radicando (es el menor posible). • No puede reducirse su índice (es el menor posible). • El radicando no es una fracción. • No hay radicales en el denominador de una fracción. VI.3.1 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES A TRAVÉS DE LA E XTRACCIÓN DE FACTORES DEL SUBRADICAL Un radical se puede simplificar cuando contiene factores cuyos exponentes son divisibles por el índice y se procede de la siguiente manera: • La parte numérica del subradical se descompone en factores de tal forma que sean potencias con
exponentes múltiplos del índice de la raíz, a fin de poder extraer del radical. • La parte literal del subradical se descompone de tal manera que se exprese la mayor parte posible
con exponentes múltiplos del índice de la raíz.
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17
Ejemplos.
1) aaaaaaa 23232918 24245 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
2) 4 34 3444 344 7 3333381243 kkkkkkk =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
3) 3 223 62333 6233 75 45454125500 yxxyyyxxyyxxyx =⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=
4) 5 435 4553555 9685 968 222223264 wzvvwzzzwwvvzwvzwv =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=
5) ( ) ( ) abaaabaaabaabaa 22222484 22222234 −=−=−=−
6) ( ) ( ) ( )nmanmanmnmaanamnam +=+=++=++ 2222242 22222
7) 32
32
2
3233
36
323
3
35
4
22
9
22
3
22
3
28
729
16
729
b
a
b
a
b
a
b
a
bb
aa
bb
aa
b
a ==⋅⋅⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=
8) abccabccbbaaccbbaacba 11211211444 438622862973 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= VI.3.2 INCLUSIÓN DE UN FACTOR EN UN SUBRADICAL En este caso se eleva la expresión por introducir a la potencia que indique el índice del radical, se efectúa el producto de subradicales y el resultado se expresa con el mismo índice. Ejemplos.
1) 805165454 2 ===
2) ( ) 322 12343232 aaaaaaa ===
3) ( ) βαβαβαβα 222 252555 ===
4) 2189
118
3
118
3
12
==
=
5) ( ) ( ) ( ) ( ) xyxxyxyx
xyx
yx
xyx
yx
xyx +=+=
++=
++=
++ 2
22
6) ( ) 3 53 23 33 23 33 2 1282642424 wwwwwww ===
7) ( ) 4 354 34 44 34 44 3 966166262 baabaabaaba ===
8) ( ) 5 1354
35 5105
4
35 525
4
32 9
27243
273
273 mk
m
kmk
m
kmk
m
kmk ===
VI.3.3 EXPRESAR UN RADICAL COMO UNO DE ÍNDICE MENOR Otra forma de simplificación de un radical consiste en transformarlo a uno equivalente que posea un índice menor. Para ello, se expresa cada uno de los factores del subradical en su forma de exponente fraccionario, se simplifican las fracciones y se vuelve a transformar a radical. Ejemplos.
1) xxxx === 2
1
4
24 2
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18
2) ( ) 4 34
3
8
6
8
168 6 kkkkk ====
3) ( ) 44
1
12
3
12
1312 6666216 ====
4) ( ) 33
1
3
1
6
1226 22 mnnmnmnm ==⋅=
5) 22
22232
2
1
2
1
2
1
10
5
10
5
10
1
5
5
10
5 aaaaaa =
===
=
6) ( ) ehhehehehe 555525 2
1
2
1
2
1
4
2
4
2
4
2
4
12224 22 =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=
7) ( ) 3 223
2
3
2
3
2
9
6
9
6
9
6
9
16669 66 422264 βαβαβαβαβα ===⋅⋅=
8) ( ) 4 24
2
4
1
4
2
8
4
8
2
8
4
8
14248 42 422216 xyyxyxyxyx ===⋅⋅=
VI.3.4 OPERACIONES CON RADICALES DEL MÍSMO ÍNDICE. Radicales semejantes son aquellos que tienen igual radicando y el mismo índice, es decir, sólo difieren por el coeficiente. Ejemplos.
1) x4 y x9 son radicales semejantes
2) 3 26 ab− y 3 2
4
5ab son radicales semejantes
3) x8 y 37 x no son radicales semejantes
Para sumar o restar radicales se simplifican a su forma más elemental y se reducen los radicales semejantes. Ejemplos.
1) 5652545254545162080 22 =+=⋅+⋅=⋅+⋅=+
2) 523353523353543959202745 222 −−=⋅−⋅−⋅=⋅−⋅−⋅=−−
335 −=
3) 32527938172575263243175 ⋅−⋅−⋅+⋅=−−+
310733975352733975352733975 2222 −−+=⋅−−+=⋅−⋅−⋅+⋅=
372 −=
4) 0373235373235349343251471275 222 =−+=⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=−+
5) 21625551634516429257800580332044507 ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅=−+−
245554352442357245554325442357 2222222 ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅=
5202521005125322105 −=−+−=
6) 262524236225216725032 222 ⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=−+ 262524 −+=
23=
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19
7) 2102529210022528120050162 222 ⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=−+
242102529 =−+=
8) 3232353493433953169123275489 222 ⋅+⋅−⋅=⋅+⋅−⋅=+−
32736315336323335349 =+−=⋅+⋅−⋅=
Para efectuar la multiplicación de radicales se multiplican respectivamente los coeficientes y los subradicales, ubicando este último producto bajo el signo de radical y se simplifica. Ejemplos.
1) 23231863 2 =⋅==⋅
2) 73073107310631032215 2 =⋅=⋅==⋅
3) 333 333 2 1836274
24389
4
3bababaaba =⋅==⋅
4) 333 333333 43043524352500132204156
1453 =⋅⋅=⋅⋅==⋅⋅ ,
Para dividir dos radicales, se dividen respectivamente los coeficientes y los subradicales, ubicando este último cociente bajo el signo de radical y se simplifica. Ejemplos.
1) 2232
64 =
2) 35
1
10
32 =a
a
3) kkkkkk
k
2
3
4
62
4
32
4
38
4
3
24
163 3 333 3
3 2
3 5
==⋅⋅===
4) yyyyyyyxy
xy23
6
43
6
49
6
4
44
3
362
1223
5
8
=⋅=⋅==
VI.3.5 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES DE ÍNDICE DIFERE NTE Los radicales no semejantes no se pueden reducir, por lo que la suma y la resta no son posibles. Para multiplicar dos radicales de diferente índice: • Se halla el MCM de los índices. • El MCM se divide entre cada índice de la raíz y cada radicando se eleva a este resultado. • Se resuelven los radicandos como potencia de otra potencia, es decir multiplicando los exponentes. • Se multiplican los radicandos como potencias de la misma base, es decir sumando los exponentes. • El radicando se descompone en factores procurando que sean potencias con exponentes múltiplos
del índice de la raíz, a fin de poder extraer del radical aquella parte que lo permita.
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20
Ejemplos.
1) 3 22xx ⋅
el índice común es 6 , por lo tanto:
( ) 66 66 76 436 226 33 2 444422 xxxxxxxxxxx =⋅==⋅=⋅=⋅
2) 4 38423 aab ⋅
el índice común es 8 , por lo tanto:
( ) ( ) ( ) 8 664448 6234448 238 44 3 2212221284238423 abaabaaabaab ⋅=⋅=⋅=⋅
8 428288 41010 2212212 baaba == 4 28 422 2242212 ababaa =⋅=
3) 4 33 22 32 baba ⋅
el índice común es 12 , por lo tanto:
( ) ( ) 12 11512312 1117312 3938812 3312 4224 33 22 3232323232 baabababababababa ==⋅=⋅=⋅
12 115272 baa=
4) 5 43 2 164
34
3
2nmm ⋅
el índice común es 15 , por lo tanto:
( ) ( ) ( ) ( )15 31234105215 312310515 3415 525 43 2 222
1164
2
1164
12
616
4
34
3
2nmmnmmnmmnmm ⋅=⋅=⋅=⋅
15 312121010 222
1nmm ⋅= 15 3715 37715 371571515 32222 12822
2
122
2
12
2
1nmmnmmnmmnm =⋅===
Para dividir dos radicales de diferente índice: • Se halla el MCM de los índices. • El MCM se divide entre cada índice de la raíz y cada radicando se eleva a este resultado. • Se resuelven los radicandos como potencia de otra potencia, es decir multiplicando los exponentes. • Se dividen los radicandos como potencias de la misma base, es decir restando los exponentes. • El radicando se descompone en factores procurando que sean potencias con exponentes múltiplos
del índice de la raíz, a fin de poder extraer del radical aquella parte que lo permita. Ejemplos.
1) 3
2
3
3
x
x
el índice común es 6 , por lo tanto:
( )( )
6 462
6
6 2
6 32
3
2
39
27
3
3
3
3x
x
x
x
x
x
x ===
2) 4 2
3 3
4
8
a
ba
el índice común es 12 , por lo tanto:
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21
( )( )
6 2312 46212 46126
412
1263
4124
12 32
12 43
4 2
3 3
886464
0964
4
8
4
8
4
8bababa
a
ba,
a
ba
a
ba
a
ba ======
3) 5 2
3 345
mn
nm
el índice común es 15 , por lo tanto:
( )( )
15 9215 921515 9171563
1520
15 32
15 534
5 2
3 34
125312531253125355
nm,mnmm,nm,nm
nm,
mn
nm
mn
nm =====
4) 4 322
6 543
3
18
zyx
zyx
el índice común es 12 , por lo tanto:
( )( )
12 212
966
1086
12 3322
12 2543
4 322
6 543
1227
324
3
18
3
18zy
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx===
para extraer la raíz de un radical, se multiplican los índices y se simplifica. Ejemplos.
1) 36 23 2 aaa ==
2) 2288 6 363 ===
3) ( ) 48 28 24 2 552525 aaaa ===
4) ( ) 3 215 5215 105 3 10 xxxx ===
VI.3.6 RACIONALIZACIÓN DE RADICALES Racionalizar consiste en eliminar los radicales del denominador de una fracción. Para lograr esto, se multiplican las dos componentes del cociente por una expresión que contenga el radical por eliminar y que cumpla que al multiplicarse, el denominador resulte una expresión racional. Ejemplos. Racionalizar las siguientes fracciones:
1) 3
1
multiplicando el numerador y el denominador por 3 :
3
3
3
3
3
1 =⋅
2) 54
3
multiplicando el numerador y el denominador por 5 :
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22
( ) 20
53
54
53
5
5
54
3 ==⋅
3) 4 9
3
a
multiplicando el numerador y el denominador por ( )4 39a :
( )( )
( )a
a
a
a
a
a
a
a
a 3
729
9
7293
9
93
9
9
9
3 4 34 34 3
4 3
4 3
4===⋅
4) 3 35
6
x
multiplicando el numerador y el denominador por ( )3 23x :
( )( )
( )( ) x
x
x
x
x
x
x
x
x 5
92
15
96
35
36
3
3
35
6 3 23 23 2
3 2
3 2
3===⋅
Ejemplo.
Efectuar la operación 4
3
2
1
3
1 +− y racionalizar el resultado.
Solución.
32
3
2
2
3
1
3
3
2
3
2
2
2
1
3
1
2
3
2
1
3
1
4
3
2
1
3
1
4
3
2
1
3
1 +−=⋅+⋅−=+−=+−=+−
2
2
6
35
2
2
3
3
32
5
2
2
32
5 −=−⋅=−=
Cuando se quiere racionalizar una fracción cuyo denominador sea un binomio que posea radicales de segundo grado, se multiplican las dos componentes del cociente por el binomio conjugado del denominador y se simplifica. Ejemplos. Racionalizar las siguientes fracciones:
1) 21
23
+−
multiplicando el numerador y el denominador por 21− , que es el binomio conjugado del denominador:
5241
245
21
22233
21
21
21
23 −=−
−=−
+−−=−−⋅
+−
2) 34
325
−+
multiplicando el numerador y el denominador por 34 + , que es el binomio conjugado del denominador:
3213
31326
316
6383520
34
34
34
325 +=+=−
+++=++⋅
−+
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23
3) 3425
19
−
multiplicando el numerador y el denominador por 3425 + , que es el binomio conjugado del denominador:
2
376295
4850
376295
316225
376295
3425
3425
3425
19 +=−+=
⋅−⋅+=
++⋅
−
4) 7332
7334
+−
multiplicando el numerador y el denominador por 7332 − , que es el binomio conjugado del denominador:
51
211887
6312
63211824
7934
79216211238
7332
7332
7332
7334
−−=
−+−=
⋅−⋅⋅+−−⋅=
−−⋅
+−
17
29216
51
872118 −=−=
VI.4 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Existen números llamados complejos que forman un sistema numérico que comparte muchas propiedades
con los números reales. En este sistema es posible encontrar soluciones a ecuaciones como rx −=2 con ∈r R+ para los cuales el conjunto de los números reales resulta insuficiente.
Se define como unidad imaginaria i al número que elevado al cuadrado es 1− . Formalmente, el conjunto de los números imaginarios I, se define como:
I { ∈== bbix R, }1−=i
Ejemplos de números imaginarios:
ix 81 =
ix4
52 −=
i.x 769833 =
ix 74 =
Dado que xx 1−=− , entonces la solución de una raíz cuadrada de un número real negativo
x− siempre está dado por la raíz no negativa xi .
Ejemplos.
1) i416 =−
2) i749 =−
3) i228 =−
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Las potencias de la i cumplen lo siguiente:
1−=i
12 −=i
( ) iiiii −=−== 123
( ) 1234 =−=−== iiiiii
( ) iiiii === 145
( ) 1256 −==== iiiiii
De acuerdo con lo anterior, en los números imaginarios no se cumple que ( ) n nnn aa ≠ si 0<a . Ejemplos. Efectuar los siguientes productos de números imaginarios:
1) ( ) 151151553 2 −=−==⋅ iii
2) ( ) iiiiii 565656742 3 −=−==⋅⋅
3) ( ) 91993
15
5
62
4
3 4 ===⋅⋅⋅ iiiii
4) ( ) iii,iiiii 421042102004107526 5 ===⋅⋅⋅⋅
5) ( ) ( ) ( ) 0252102520252258153 62424 ,,i,iiii −=−==⋅=⋅ Se denomina número complejo a toda expresión de la forma biaz += donde ba, son números reales
e i es la unidad imaginaria. El primer término del binomio es la parte real del número complejo y la segunda es su parte imaginaria (que es un número real multiplicado por la unidad imaginaria). En términos generales, el conjunto de los números complejos, denotado por C, en forma binómica puede expresarse de la siguiente forma:
C { ∈+== b,a,biaz R, }1−=i
Ejemplos de números complejos:
iz 521 +=
iz 342 −−=
iz4
7
3
13 +=
i..z 3792984 −=
115 −+−= πz
Si 0=a , el número complejo es un imaginario puro. Si 0=b el número complejo es un número real. De esto, se deduce que los números reales y los números imaginarios son subconjuntos de los números complejos:
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Un número complejo es igual a cero sólo si sus dos partes son iguales a cero. Dos números complejos son iguales si son iguales sus respectivas partes reales e imaginarias. Suma de números complejos
Sean biaz +=1 y dicz +=2 dos números complejos, entonces 21 zz + se define como:
( ) ( )idbcazz +++=+ 21 Ejemplos. Sumar los siguientes números complejos:
1) iz 431 += y iz 522 += Solución:
( ) ( ) iizz 95542321 +=+++=+
2) iz 62
91 += y iz 8
2
32 −=
Solución:
( )( ) iizz 26862
3
2
921 −=−++
+=+
3) i..z 61941 −= y i..z 22352 −−= Solución:
( )( ) ( )( ) i..i....zz 83402261359421 −−=−+−+−+=+ Resta de números complejos
Sean biaz +=1 y dicz +=2 dos números complejos, entonces 21 zz − se define como:
( ) ( )idbcazz −+−=− 21 Ejemplos. Restar los siguientes números complejos:
1) iz 1131 += y iz 722 += Solución:
Números reales
Números imaginarios
a bi
Números Complejos = bia +
Números reales
Números imaginarios
a bi
Números Complejos = bia +Números Complejos = bia +
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( ) ( ) iizz 417112321 +=−+−=−
2) iz3
2
4
51 +−= y iz
5
7
3
12 −=
Solución:
izz
−−+
−−=−5
7
3
2
3
1
4
521
ii15
31
12
19
15
2110
12
415 +−=++−−=
3) i..z 73251 −= y i..z 33812 −−= Solución:
( )( ) ( )( ) i.i....zz 4073373812521 −=−−−+−−=− Producto de números complejos
Sean biaz +=1 y dicz +=2 dos números complejos, entonces 21 zz ⋅ viene dado por:
( ) ( ) 221 bdibciadiacdicbiazz +++=+⋅+=⋅ , pero considerando que 12 −=i y agrupando las
respectivas partes reales y las imaginarias, se tiene que:
( ) ( )ibcadbdaczz ++−=⋅ 21 Ejemplos. Multiplicar los siguientes números complejos:
1) iz 541 += y iz 322 += Solución:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) iiizz 22710121582534352421 +−=++−=++−=⋅
2) iz 911 −= y iz4
382 −=
Solución:
( ) ( ) ( )( ) izz
−+
−+
−−−=⋅ 894
31
4
398121 i
−−+
−= 724
3
4
278
ii4
291
4
5
4
2883
4
2732 −=
−−+
−=
3) i.z 5521 −= y i.z 54102 −−= Solución:
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )i....zz 1055452545105221 −−+−+−−−−=⋅
( ) ( ) i..i.. 753854750251152225 +−=+−+−−= Complejos conjugados Dos números complejos se llaman conjugados si tienen iguales sus componentes reales y opuestas sus componentes imaginarias.
Esto es, dado un número complejo biaz += , su conjugado denotado como z es:
biaz −= .
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Ejemplos.
1) iz 461 −=
iz 461 +=
2) i..z 38512 +=
i..z 38512 −=
3) iz2
1
3
73 +−=
iz2
1
3
73 −−=
Cociente de números complejos
Sean biaz +=1 y dicz +=2 dos números complejos. Para obtener 2
1
z
z basta con multiplicar el
numerador y el denominador por el complejo conjugado del 2z a fin de que el denominador resultante
sea real: 222
2
2
1
idc
bdibciadiac
dic
dic
dic
bia
z
z
−−+−=
−−⋅
++=
ordenando se tiene:
( ) ( )22
2
1
dc
iadbcbdac
z
z
+−++=
Ejemplos.
Dados los siguientes números complejos, obtener el cociente 2
1
z
z:
1) iz 3141 += y iz 452 += Solución:
( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )i
iii
z
z −=−=+
−++=+
−++= 241
4182
1625
56151270
45
414534351422
2
1
2) iz 26181 +−= y iz 262 −= Solución:
( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ]( )
( ) ( )i
iii
z
z34
40
120160
436
3615652108
26
21862622661822
2
1 +−=+−=+
−+−−=−+
−−−+−+−=
3) iz 961 −= y iz −−= 22 Solución:
( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]( ) ( )
( ) ( )i
iii
z
z
5
24
5
3
5
243
14
618912
12
1629192622
2
1 +−=+−=+
+++−=−+−
−−−−+−−+−=
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