Post on 14-Jul-2015
A
B
cosABBA
El resultado de multiplicar dos
vectores en producto punto es un
escalar.
El resultado del producto punto puede ser positivo, negativo o cero.
El producto punto es conmutativo.
es el menor ángulo entre A y B.
A
B
Si < 90º A·B > 0
A
B
Si > 90º A·B < 0
Si = 90º A·B = 0
A
B
1º0cos)1)(1(ˆˆ
1º0cos)1)(1(ˆˆ
1º0cos)1)(1(ˆˆ
kk
jj
ii
0º90cos)1)(1(ˆˆ
0º90cos)1)(1(ˆˆ
0º90cos)1)(1(ˆˆ
ik
kj
ji
kBjBiBB
kAjAiAA
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
¿Cuál es el resultado de A·B?
kBjBiBkAjAiABA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ
1ˆˆˆˆˆˆ kkjjii
0ˆˆˆˆˆˆ ikkjji
zzyyxx BABABABA
Sean los vectores A = 2i – 3j + k y B = 3i + j + tk, determine el valor
de t para que A y B sean perpendiculares.
0
BA
0))(1()1)(3()3)(2( t
3t
Sean los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine la medida
del ángulo entre F y L.
cosFLLF
FL
LF
cos
222222 113132
)1)(1()1)(3()3)(2(cos
º9.49
Sean los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine la
proyección del vector F sobre L.
cosFLLF
cos L
F LF F
L
2 2 2
(2)(3) (3)(1) (1)( 1)
3 1 1LF
2.41LF L
F
cosLF F
A
B
CBA
El resultado de multiplicar dos
vectores en producto cruz es otro
vector.
es el menor ángulo entre A y B.
ABsenBAC
C se encuentra en una dirección
perpendicular simultáneamente a A y B.
Su dirección está dada por
la regla de la mano
derecha.
A
B
C
C
CAB
El producto cruz no es conmutativo.
0º0)1)(1(ˆˆ
0º0)1)(1(ˆˆ
0º0)1)(1(ˆˆ
senkk
senjj
senii
jik
ikj
kji
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
kBjBiBB
kAjAiAA
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
¿Cuál es el resultado de AB?
jki
ijk
kij
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
i
j
k
+
+
+
kBjBiBkAjAiABA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ
kBABAjBABAiBABABA xyyxxzzxyzzyˆˆˆ
Este resultado es más fácil recordarlo en forma de determinante:
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
ˆˆˆ
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
ˆˆˆ
kBB
AAj
BB
AAi
BB
AABA
yx
yx
zx
zx
zy
zy ˆˆˆ
Interpretación geométrica del producto cruz
A
B
Bsen
área del paralelogramo = base altura
área del paralelogramo = ABsen
área del paralelogramo =
BA
Dados los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine un
vector perpendicular a F y L.
113
132
ˆˆˆ
kji
LFM
kjiM ˆ)]3)(3()1)(2[(ˆ)]3)(1()1)(2[(ˆ)]1)(1()1)(3[(
kjiM ˆ7ˆ5ˆ4
Dados los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine el área
del paralelogramo cuyos lados son iguales a las magnitudes de F y L.
kjiM ˆ7ˆ5ˆ4
222 754
Márea
103área
y
z
x
A
B
C
4
3
5
Con referencia al paralelepípedo de la figura, el valor de la fuerza
resultante, esto es F1+ F2 es:
a) 73i + 62,9j - 100.5k (N)
b) 123i + 63.5j - 15.5k (N)
c) 123i + 63.5j - 100.5k (N)
d) 73i + 63.5j - 15.5k (N)
e) 73i - 63.5j - 100.5k (N)
F2 = 2F1 = 100 N