SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD

OSCILACIONES LIBRES

Oscilaciones libres sin amortiguamiento

ω≡ Frecuencia natural circular (rad/s) (Frecuencia angular) T≡ Periodo natural = 2 /ω = 1/f (s)

f≡ Frecuencia (Hercios, Hz)

T

X(0)

Oscilaciones libres con amortiguamiento

Si: c = cc Amortiguamiento crítico.

c > cc Amortiguamiento supercrítico.

c < cc Amortiguamiento subcrítico.

ωω kmkmcc 222 ===

)( radicandoelanulaquecdevalorcríticoientoamortiguamcc ≡

AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO

Solución: ;0; =++=

mkx

mcxcc c

ttt etCCteCeCx ωλλ −+=+= )( 2121

[ ] tetxtxx ωω −++= )0()1)(0(

)2

( ωλ −=−=m

cdobleRaiz c

• No existe movimiento vibratorio alrededor de una posición

• La posición de equilibrio se recupera pasado un tiempo

• El amortiguamiento critico es elevado y no se presenta en estructuras reales

Amortiguamiento supercrítico (c>cc) relativoientoamortiguamoientoamortiguamdeFactor

cc

c

≡=ξ

ωξξξ mcc c 2;1 ==>

)1(42

22

2

−±−=−±−

= ξξωλmk

mc

mc

• No existe movimiento vibratorio alrededor e una posición

• La posición de equilibrio se recupera pasado un tiempo

• Es un amortiguamiento elevado y no se presenta en estructuras reales

X(0)

t

x

Amortiguamiento subcrítico (c<cc)

;1<=cc

cξ

Identificando (1) y (2): xm y Φ

• El movimiento es periódico, con una amplitud que disminuye con el tiempo

• Es el amortiguamiento que se presenta en las estructuras

X(0) Xm X1

tmexx ξω−=

)2()( 1 Φ+= − tsenexx tm ωξω

T1=2π/ω1

)1(cos)0()0()0(11

1

+

+= − txtsenxxex t ωω

ωωξωξ

Decremento logarítmico